第十二章 达朗贝尔原理(动静法)

RQ maC mR M QC J C m 2

O
由动静法，得：
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(1) X 0 , F T RQ 0 (2) Y 0 , N P S 0 mC ( F ) 0 , M FR M QC 0 (3)

M F(
2
MO
(e)
m1 gr 1 m2 gr 2
根据动量矩定理：
d 2 2 [( m1r1 m2 r2 J ) ] m1 gr1 m2 gr2 dt
m1r1 m2 r2 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
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方法3 用功率方程求解 取系统为研究对象，任一瞬时系统的 1 1 1 2 2 T m1v1 m2 v2 J 2 2 2 2 2 2 2 (m1r1 m2 r2 J ) 2 元功 W F m1 gds1 m2 gds2

m1 gr 1d m2 gr 2 d (m1r1-m2 r2 )gd
由 dT δW F 得 d [
2
2 两边除以dt，并求导数，得
(m1r1 m2 r2 J )] (m1r1 m2 r2 ) gd
2 2
m1r1 m2 r2 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
RQ Mac
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二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面 的简单情况。 直线 i : 平动， 过Mi点， Qi mi ai 空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面） O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化： 主矢： 主矩：
O

RQ MaC
M QO mO (Qi ) mO (Qi n ) r i mi ri 0 mi ri 2 J O
角加速度。 解： 方法1 用达朗贝尔原理求解 取系统为研究对象
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虚加惯性力和惯性力偶：
RQ1 m1a1 , RQ 2 m2 a2 , M QO J O J

由动静法：
m
O
(F ) 0 ,
m1 gr1 m2 gr2 RQ1r1 RQ 2 r2 M QO 0 m1 gr1 m2 gr2 m1a1r1 m2 a2 r2 J 0
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[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向 右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车 厢的加速度 a 。
a

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解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力
Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mgsin Qcos 0
解得
a g tg
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用动静法求解动力学问题时， 对平面任意力系：
X i Qix 0 (e) Yi Qiy 0
(e)
mO ( Fi ) mO (Qi ) 0
(e)
对于空间任意力系：
(e) (e) X i Qix 0 , mx ( Fi ) mx (Qi ) 0 (e) (e) Y Q 0 , m ( F i iy y i ) m y (Qi ) 0 ( e) (e) Z i Qiz 0 , mz ( Fi ) mz (Qi ) 0

m A ( F ) 0 , m gcos 0 l /2 M QA 0 (3)
由(2)得 : RA n mg sin0 ; 3g cos0 ; 2l mg 代入(1)得: RA cos0 。 4 由(3)得 :
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用动量矩定理+质心运动定理再求解此题： 解：选AB为研究对象 由
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也
不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
计的原理。
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§12-2 质点系的达朗伯贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi Ni Qi 0 ( i 1,2,...... ,n ) 对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构 成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。可用方程表示为：
J A mg cos
l mg cos 3g 2 cos 1 2 2l ml 3 3g t 0时 , 0 , cos 0 , 此时 0 2l
l 2

得：
由质心运动定理：
ma RA mg cos 0 0 man mg sin 0 RAn
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表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
d dP Qi mi ai MaC dt ( mi vi ) dt
dLO d mO (Qi ) mO (mi ai ) dt mO (mi vi ) dt
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质
心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
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一、刚体作平动 向质心C简化：
RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (mi aC )mi ri aC 0
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方 法，也称动静法。
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第十二章
§12–1 §12–2 §12–3
达朗贝尔原理
惯性力的概念 ·质点的达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化
R
R) T
2
R
(4)
O
由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动， 必须 F<f N =f (P+S) (5)
可见，f 越 大越不易滑动。
把(5)代入(4)得： M f ( P S )(
2
R
R) T
2
R
Mmax的值 为上式右端的 值。
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达朗贝尔原理的应用
根据达朗贝尔原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力
Fi N i Qi 0 mO ( Fi ) mO ( N i ) mO (Qi ) 0
注意到 划分, 则
Fi 0 , mO (Fi )0
(i ) (i )
(e)
, 将质点系受力按内力、外力
Fi Qi 0 (e) m ( F O i ) mO (Qi ) 0
①选取研究对象。原则与静力学相同。
②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 ③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要
在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯
性力系的简化结果。
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⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。
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讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，
RQ 0 , M QC 0
（主矢、主矩均为零）
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三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运
动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。 刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC

绕通过质心轴的转动： M QC JC
列补充方程： a1 r1 , a2 r2 上式 得：
m1r1 m2 r2 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
代入
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方法2 用动量矩定理求解 取系统为研究对象
LO m1v1r1 m2 v2 r2 J (m1r1 m2 r2 J )
2 2

Q ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯 性反抗的总和。
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二、质点的达朗贝尔原理 非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力
R F N ma
F N ma 0

F N Q 0
质点的达朗贝尔原理
该方程对动力学问题来说只是 形式上的平衡，并没有改变动力学 问题的实质。采用动静法解决动力 学问题的最大优点，可以利用静力 学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
§12–4
定轴转动刚体的轴承动反力
静平衡与动平衡的概念
达朗贝尔原理的应用
§12-1
惯性力的概念 ·质点的达朗贝尔原理
人用手推车 F ' F ma 力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来 的运动状态，对于施力物体(人手)产生的 反抗力。称为小车的惯性力。
一、惯性力的概念
定义：质点惯性力
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
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§12-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 RQ 和一个
惯性力偶 M QO 。
M QO mO (Qi )
RQ Qi mi ai MaC
l 3g a cos 0 2 4
RA mgsin 0
n
mg , RA cos 0 4

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[例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道
滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S 、T 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回 转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑 动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。 解： 取轮为研究对象 虚加惯性力系：
学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如
加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求