例2 、函数())0(>+=a x
a x x f 在区间[])0(,>m n m 取得最大值6，取得最小值2，那么此函数在区间[]m n --,上是否存在最值？请说明理由。
例3、求下列函数的值域。
（1）1
)(2+=x x x f （2）x x x x f 23)(2++= （3）15)(-+=x x x f 练习：
1、已知函数1
)(+=x x x f ，求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图像； 2、求函数3
3)(22+-=x x x f 的值域； 3、 求函数1
3)(+=
x x f 在]5,2[上的最大值和最小值。 4、 函数352)(--=x x x f 的值域是(][)+∞∞-,40, ，求此函数的定义域。
5、 已知函数x
a x x x f ++=2)(2，[)+∞∈,1x ， （1） 当2
1=a 时，求()x f 的最小值； （2） 若()x f 在[)+∞,1上单调递增，求实数a 的取值范围。
5. 函数x
a x x f +
=)(满足：如果常数a>0，那么函数在],0(a 上是减函数，在),[∞+a 上是增函数， （1）如果函数)0(2>+=x x
x y b
在]4,0(上是减函数，在),4[∞+上是增函数，求b 的值； （2）当a=1时，试用函数单调性的定义证明函数f(x)在]1,0(上是减函数；
（3）设常数]9,1[∈c ，求函数x c x x f +=)(在]3,1[上的最大值和最小值。
对勾函数的图象及其性质
对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如())0(>+=a x
a x x f 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名对勾函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 问题1：已知函数()x
x x f 1+=， （5） 求该函数的定义域；
（6） 判断该函数的单调性和奇偶性；
（7） 求该函数的值域；
（8） 画出该函数的图像。
解：（1） （2）
（3）
问题2：由函数()x x x f 1+=的图像性质类比出函数())0(>+=a x
a x x f 的性质。 1、定义域：{}
0≠x x 2、值域： (][)
+∞-∞-,22,a a ， 在正数部分仅当x=a 取最小值2a ，在负数部
分仅当x=a -取最大值-2a
3、奇偶性：奇函数，关于原点对称
4、单调区间： (]a -∞-,单调递增 [a -
,0)] 单调递减 (0, a ] 单调递减 [a ，
+∞) 单调递增
5、图像 问题3：如果函数()x
x x f b
2+=在(]4,0上单调递减，在[)+∞,4上单调递增，求实数b 的值。 解：4
=b 定义域：（，）（，）
00-∞+∞(][)[)(]增区间:，， ，减区间:，， ，111001-∞-+∞-值域：（，][，)
22-∞-+∞
问题4：当()x
a x x f +=中的条件变为0例1、求函数()x
x x f 3+=在下列条件下的值域。 （1）()()+∞∞-,00, ； （2）()2,0； （3）(]2,3--； （4）(]2,1；
解：（1）(][)+∞-∞-,3232, ； （2）[)+∞,32； （3）⎥⎦⎤ ⎝⎛--27,4； （4）[)
4,32 例2 、函数())0(>+=a x
a x x f 在区间[])0(,>m n m 取得最大值6，取得最小值2，那么此函数在区间[]m n --,上是否存在最值？请说明理由。
解：最大值－2，取得最小值－6.
例3、求下列函数的值域。
（1）1
)(2+=x x x f （2）x x x x f 23)(2++= （3）15)(-+=x x x f 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
21,21； （2）(][)+∞+-∞-,323323, ； （3） (][)
+∞+-∞-,521521, 练习： 1、已知函数1
)(+=
x x x f ，求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图像； 解：定义域{}1-≠x x ；值域{}1≠y y 。()()↑+∞-↑-∞-,1,1,，是非奇非偶函数. 2、求函数3
3)(22+-=x x x f 的值域； 解：定义域R ，值域[)1,1-，()[)↓+∞↑∞-,0,0, ，偶函数.
6、 求函数1
3)(+=x x f 在]5,2[上的最大值和最小值。 解： )(x f 在]5,2[上单调递减，21)(,1)(min max =
=x f x f 。 7、 函数3
52)(--=x x x f 的值域是(][)+∞∞-,40, ，求此函数的定义域。 解：函数的定义域为⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎢⎣⎡2
7,33,25 。
