巴特沃斯低通滤波器

0.1a p 0.1a s s sp
带最小衰减α =30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 0.1a s
1a p
1a s
2.4
0242 4.25, 2.4
2.4 10 1 2 f lg 0.0242 lg 0.0242 NN 2 4.25, 55 lgf 2.4 4.25, N N s sp lg 2.4 2.4 2 f p
H（ a s）
N c
(s s
k 0
N 1
k
)
7 j 3
• 例如N=3, 通过下式可以计算出6个极点 5 2 4 j j j j s 3 c 3 s 2 c 3 s 0 c 3 s1 c
s 4 c
j2
s 5 c
要求
f i g u r e ; p l o t ( Q , H a s ) ; a x i s ( [ 0 5]);xlabel('f(kHz)'),ylabel('20lg(abs(H_{a}(j{\Omega})))(dB)');
3 0
- 7 0
• • • • •
L=length(Ha); Yt=Xt(1:L).*Ha; figure;plot(Q,abs(Yt));axis([0 60 0 150]); yt=ifft(Yt); figure;plot(Q,yt);
• 模拟低通滤波器的设计指标 • 构造一个逼近设计指标的传输函数Ha(s) • Butterworth（巴特沃斯）低通逼近
模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(续)
• 模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs。 • Ωp；通带截止频率 • Ωs：阻带截止频率
• αp：通带中最大衰减系数
• αs；阻带最小衰减系数 • αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：
2
2
逼近方法—用频率响应的幅度平方函数逼近 • 滤波器的技术指标给定后，需要构造一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数 满足给定的指标αp和α 2 s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此 H a ( j) H a ( s )G ( s ) s j
)H ()j H a ( j) H Haa((j s )G ( as s) j
，k 0,1 ， N - 1
将极点展开可得到的Ha(p)的分母p的N阶多项式，用下式表示：
1 H a ( p) 2 N 1 N b0 b1 p b2 p bN 1 p p
H a ( p)
1 b0 b1 p b2 p 2 bN 1 p N 1 p N 因式分解形式中的各系数
10 p 1 k sp 0.0242 0.1as N • (1) 确定阶数 10 1 0.1a p 10 1 2 fs k 0.0242 a 2.4 sp 0.1 sp s 1 210 fp 10 1 2 0.0242 f s 0.1a p 1 0.0242 k lg 0.0242 N 10 2.4 10 11 N 5 sp 4.25, k sp 0.0242 1 2 f2.4 2 f 0.1a p lg s
sp
p
lg 0.0242 N 4.25, lg 2.4
N 5
N 5
• （2）求极点pk为
s0 e
3 j 5
,
s1 e s3 e
4 j 5
s2 e , s4 e
7 j 5
j
6 j 5
1 • （3）归一化传输函数为 H ( p)
a
(p p )
p s j j c c
• 令
，p称为归一化拉氏复变量。
a N -1
/ c
）
称为归一化频率。
1 • 经过归一化后巴特沃斯滤波器的传输函数为： H（p）
K 0
（p - p
k
p k s k / c
•
sk
pk
1 2 k 1 为归一化极点， j（ 为位于左半平面的极点用下式表示： ） 2 2N
2
H a ( j ) H a ( j) 2 • 将幅度平方函数|Ha(jΩ)| 写成s的函数：
1 H（ a s）H（ a - s） s 2N 1 （ ） j c
• 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：
s0
j
s5
sk (1)
1 2N
( jc ) ce
•
• • •
b3=b2;
b4=b1; Q=(0:128); %取样点 Ha=Qc^5./((j*Q).^5+b4*Qc*(j*Q).^4+b3*Qc^2*(j*Q).^3+b2*Qc^3*(j*Q).^2+ b1*Qc^4*(j*Q)+b0*Qc^5);
• •
Has=20*log10(abs(Ha));%对数幅频响应10lg|Gs(jΩ)|在Ωp、Ωs处分别达到ap、as的
2 5.2755krad / s
1)

• （5）将p=s/Ωc代入Ga(p)中得到：
5 c (10 1) 2 10.525 krad /4s H ( s ) s c Ga 5 4 2 3 3 2 s b4c s b3 c s b2 c s b1 c s b05c
巴特沃思 低通滤波器
LOREM IPSUM
• 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，这些滤 波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员 使用。 • 下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然介
绍巴特沃斯滤波器的设计方法。
• 巴特沃思滤波器是典型的模拟滤波器
模拟低通滤波器的设计 指标及逼近方法
j • 位于左半平面的三个分别为 : 3 s j -
2
s 0 c
1
c
c
s 2 c
4 j 3
H（ a s）
• 传输函数：
3 c
2 j 3 c
（s c）（s -
）（s -
2 -j 3 c
）
归一化系统函数
• 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ω c归一化， 1 归一化后的Ha(s)表示为 H（ s ） a N -1 sk s （ ） c c k 0
•
figure;plot(f,abs(fft_y));title('原始信号频谱
');xlabel('f/Hz');ylabel('幅度');axis([0 60 0 150]);
•
Qc=5.2775;%3dB截止频率Ω c
• • •
b0=1;%因式分解形式中的各系数 b1=3.2361; b2=5.2361;
下面来确定N • 确定技术指标： p
p
s
s
• 根据技术指标求出滤波器阶数N
10 p - 1 sp s / p，k sp 10s / 10 1
/ 10
N-
lgk sp lgsp
• 经过总结，巴特沃斯低通滤波器的设计步骤大致为：
• 设计通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻
t=linspace(0,1,N);%时间间隔
xt=cos(2*pi*4*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*p i*30*t);%原始信号 figure;plot(t,xt);title('原始信号');xlabel('t/s');ylabel('幅度'); Xt=fft(xt,N); fft_y=fftshift(Xt); f=linspace(-N/2,N/2,N);
c p (10
0.1a p
1)

1 2N
2 5.2755krad / s
• （4）为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ω c，得到：
s c (100.1as 1)
c p (10
0.1a p

1 2N
1 2N
2 10.525krad / 开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解 形式。
1 H G a ( p ) p5 b p 4 b p 3 b p 2 b p b 4 3 2 1 0
• 由N=5，直接查表得到： • b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
H（ j0） p 20lg dB jp H（ ）
H（ j0） s 20lg dB js H（ ）
• 如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为
p -10lg H（ a j p） a j p） p -10lg H（
• 以上技术指标用图所示。图中Ωc称为3dB截止频率
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
s1
s4
• k=0,1,2,3，······，2N-1。
0
s2

1
s3
• 2N个极点等间隔分布在半径 c 为的圆上，间隔是
/N rad。
• 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成 H（ ，而右半平面的 a s）
a s） a s） N个极点构成 H（ , H（ 的表示式为
0.1as
1 2N
• • •
Qc=5.2775;%3dB截止频率Ω c b0=1;%因式分解形式中的各系数 b1=3.2361;