黑龙江省中考数学试题.doc
2023黑龙江省牡丹江市中考数学真题试卷和答案
2023年牡丹江市初中毕业学业考试数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟；2．全卷共三道大题，总分120分；3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．一、单项选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分）1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 函数y =x 的取值范围是（ ）A. 1x ≤ B. 1x ≥- C. 1x <- D. 1x >3. 下列计算正确的是（ ）A. 248a a a ⋅=B. 3332a a a -=C. ()3236ab a b =D. ()222a b a b +=+4. 如图，A ，B ，C 为O 上的三个点，4AOB BOC ∠=∠，若60ACB ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）A. 20︒B. 18︒C. 15︒D. 12︒5. 一组数据1，x ，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 36. 由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 97. 观察下面两行数：15111929⋯，，，，，1361015⋯，，，，，取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）A. 92B. 87C. 83D. 788. 如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在y 轴上，反比例函数k y x=的图象经过点C 和AD 的中点E ，若2AB =，则k 的值是（ ）A 3 B. 4 C. 5 D. 69. 若分式方程3122ax x =-++的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A. 1a <-且2a ≠-B. 0a <且2a ≠-C. 2a <-且3a ≠- D. 1a <-且3a ≠-10. 用一个圆心角为90︒，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（）A. 6B. 5C. 4D. 311. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF ，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C 恰好落在点F 处，得到折痕MN ，如图②．根据以上操作，若8AB =，12AD =，则线段BM 的长是（）.的A. 3B.C. 2D. 112. 如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()2,0-，()3,0．下列结论：①0ab c>；②2c b =；③若抛物线上有点15,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,y -，31,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则213y y y <<；④方程20cx bx a ++=的解为112x =，213x =-，其中正确的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）13. 目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．数据16000000用科学记数法表示为________．14. 如图，AB CD ，AD 与BC 交于点O ，请添加一个条件________，使AOB DOC △≌△．（只填一种情况即可）15. 如图，将45︒的AOB ∠按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2cm ，若按相同的方式将22.5︒的AOC ∠放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为________cm ．16. 甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是________．17. 张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________．18. 将抛物线()23y x =+向下平移1个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，2AB =，()1,0A ，60DAB ∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 旋转90︒后，得到菱形111AB C D ，则点1C 的坐标是________．20. 如图，在正方形ABCD 中，E 在边CD 上，BE 交对角线AC 于点F ，CM BE ⊥于M ，CME ∠的平分线所在直线分别交CD ，AC 于点N ，P ，连接FN ．下列结论：①::N P F N P C S S FM M C =△△；②CM PN =；③EN CD EC CF ⋅=⋅；④若1EM =，4MB =，则PM =，其中正确的是________．三、解答题（共60分）21. 先化简，再求值：223111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中sin 30x =︒．22. 如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P 的坐标；（2）求BCP 的面积．注：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．23. 在ABC 中，90C ∠=︒，=60B ∠︒，2BC =，D 为AB 的中点，以CD 为直角边作含30︒角的Rt CDE △，90DCE ∠=︒，且点E 与点A 在CD 的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE 的长．24. 第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A ．“龙江奶”；B ．“龙江肉”；C ．“龙江米”；D ．“龙江杂粮”；E ．“龙江菜”；F ．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：（1）本次参与调查的居民有多少人？（2）补全条形统计图，在扇形统计图中C 类百分比是______；（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？25. 在一条高速公路上依次有A ，B ，C 三地，甲车从A 地出发匀速驶向C 地，到达C 地休息1h 后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B 地，甲车从A 地出发1.5h 后，乙车从C 地出发匀速驶向A 地，两车同时到达目的地．两车距A 地路程km y 与甲车行驶时间h x之间的函数关系如图所示．请结合图象信的息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是_____km /h ，乙车行驶的速度是_____km /h ．（2）求图中线段MN 所表示的y 与x 之间的函数解析式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km ？请直接写出答案．26. ABCD Y 中，AE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ，将ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到EF ，连接BF ．（1）当点E 在线段BC 上，=45ABC ∠︒时，如图①，求证：AE EC BF +=；（2）当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC ∠︒时，如图②：当点E 在线段CB 延长线上，135ABC ∠=︒时，如图③，请猜想并直接写出线段AE ，EC ，BF 的数量关系；（3）在（1）、（2）条件下，若3BE =，5DE =，则CE =_______．27. 某商场欲购进A 和B 两种家电，已知B 种家电的进价比A 种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A 种家电的件数与用1.2万元购进B 种家电的件数相同．请解答下列问题：（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A 种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若A 和B 两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B 种家电的件数．28. 如图，在平面直角坐标系中，ABCD Y 的顶点B ，C 在x 轴上，D 在y 轴上，OB ，OC 的长是方程2680x x -+=的两个根（OB OC >）．请解答下列问题：的（1）求点B 的坐标；（2）若:2:1OD OC =，直线y x b =-+分别交x 轴、y 轴、AD 于点E ，F ，M ，且M 是AD 的中点，直线EF 交DC 延长线于点N ，求tan MND ∠的值；（3）在（2）条件下，点P 在y 轴上，在直线EF 上是否存在点Q ，使NPQ △是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．的2023年牡丹江市初中毕业学业考试数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟；2．全卷共三道大题，总分120分；3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．一、单项选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分）1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；故选：A ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 函数y =x 的取值范围是（ ）A. 1x ≤ B. 1x ≥- C. 1x <- D. 1x >【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0知：10x +≥，可求出x 的范围．【详解】解：根据题意得：10x +≥，解得：1x ≥-，故选：B ．【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3. 下列计算正确的是（ ）A. 248a a a ⋅= B. 3332a a a -= C. ()3236ab a b = D. ()222a b a b +=+【答案】C【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可．【详解】解：246a a a ⋅=，故A 不符合题意，33332a a a -=，故B 不符合题意；()3236ab a b =，故C 符合题意；()2222a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选C 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键．4. 如图，A ，B ，C 为O 上的三个点，4AOB BOC ∠=∠，若60ACB ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）A. 20︒B. 18︒C. 15︒D. 12︒【答案】C【解析】【分析】由60ACB ∠=︒，可得2120AOB ACB ∠=∠=︒，结合4AOB BOC ∠=∠，可得1120304BOC ∠=⨯︒=︒，再利用圆周角定理可得答案．【详解】解：∵60ACB ∠=︒，∴2120AOB ACB ∠=∠=︒，∵4AOB BOC ∠=∠，∴1120304BOC ∠=⨯︒=︒，∴1152BAC BOC ∠=∠=︒，故选C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．5. 一组数据1，x ，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】由一组数据1，x ，5，7有唯一众数， 可得x 的值只能是1，5，7，结合中位数是6，可得7x =，从而可得答案．【详解】解：∵一组数据1，x ，5，7有唯一众数，∴x 的值只能是1，5，7，∵中位数是6，∴7x =，∴平均数为()1157754+++=，故选B【点睛】本题考查的是众数，中位数，平均数的含义，理解概念并灵活应用是解本题的关键．6. 由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】根据主视图和左视图判断该几何体的层数及每层的最多个数，即可得到答案．【详解】解：根据主视图和左视图判断该几何体共有两层，下面一层最多有4个小正方体，上面的一层最多有3个小正方体，故该几何体所用的小正方体的个数最多是7个，故选:B ．【点睛】此题考查了几何体的三视图，由三视图判断小正方体的个数，正确理解三视图是解题的关键．7. 观察下面两行数：15111929⋯，，，，，1361015⋯，，，，，取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）A. 92B. 87C. 83D. 78【答案】C【解析】【分析】先分别找出每行数字的规律，求出每行第7个数，将这两个数相加即可．【详解】解：第一行的数字规律为：21n n +-，第二行的数字规律为：22n n +，∴第一行的第7个数字为：277155+-=，第二行的第7个数字为：277282+=，552883∴+=，故选：C ．【点睛】本题考查规律探究，发现每行数字的排布规律是解题的关键．8. 如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在y 轴上，反比例函数k y x=的图象经过点C 和AD 的中点E ，若2AB =，则k 的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】由正方形的性质得2BC AB ==，可设2,2k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭可求出k 的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∵2,AB BC CD AD ====∵点E 为AD 的中点，∴11,2AE AD ==设点C 的坐标为2,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,222k k BO AO AB BO ==+=+,∴1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵点C ，E 在反比例函数k y x=的图象上，∴21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭，解得，4k =，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x =（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点()x y ，的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．9. 若分式方程3122a x x =-++的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A. 1a <-且2a ≠- B. 0a <且2a ≠-C. 2a <-且3a ≠- D. 1a <-且3a ≠-【答案】D【解析】【分析】直接解分式方程，进而得出a 的取值范围，注意分母不能为零．【详解】解：去分母得：23a x =+-，解得：1x a =+，∵分式方程3122a x x =-++的解是负数，∴10a +<，20x +≠，即120a ++≠，解得：1a <-且3a ≠-，故选：D ．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．10. 用一个圆心角为90︒，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可．【详解】解：扇形的弧长：8904180ππ⨯⨯︒=︒，则圆锥的底面直径：44ππ÷=．故选：C ．【点睛】本题考查圆锥侧面积公式，熟记公式的灵活应用是解题的关键．11. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF ，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C 恰好落在点F 处，得到折痕MN ，如图②．根据以上的操作，若8AB =，12AD =，则线段BM 的长是（ ）A. 3B.C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质得：8AB AF BE ===，4FD EC ==，=FN CN ，设DN x =，则8CN FN x ==-，利用勾股定理求出,DN FN ，再证明MFH FND ，得MF MC =，求解即可．【详解】解：如图，过点M 作MH AD ⊥，交AD 于点H ，90DFN DNF ∠+∠=︒90MFH DFN ∠+∠=︒MFH DNF∴∠=∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH 和FND 中，90D MHD MFH DNFFMH DFN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴MFH FNDMF MH FH FN DF DN∴==4,8DF MH == 824MF FH FN DN ∴===设DN x =，则8CN FN x ==-，222FN DN DF ∴=+，即：()22284x x -=+，解得：3x =，∴3DN =，5CN FN ==，∴25MF MF FN ==，10MF ∴=，10MC MF ∴==，12AD BC ==12102BM BC MC ∴=-=-=，故选：C ．【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键．12. 如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()2,0-，()3,0．下列结论：①0ab c>；②2c b =；③若抛物线上有点15,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,y -，31,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则213y y y <<；④方程20cx bx a ++=的解为112x =，213x =-，其中正确的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象可知：a<0，02b a->，0c >，得出0ab c <，故①不正确；将点()2,0-，()3,0代入，得出：0a b +=，再求出2c b =-，故②不正确；根据函数图象可得213y y y <<，故③正确；根据方程20cx bx a ++=，()()22244270b ac b b b b ∆=-=-⨯-⨯-=-<，可知方程无解，故④不正确．【详解】解：根据二次函数图象可知：a<0，02b a ->，0c >，∴0b >，∴0ab c<，故①不正确；将点()2,0-，()3,0代入得出：40930a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩①②，②-①得出：0a b +=，∴a b =-，再代入①得出：2c b =-，故②不正确；∵1302-<-<，∴20y <，30y >，∵502>，∴10y >，根据图象可知：213y y y <<，故③正确；∵方程20cx bx a ++=，∴()()22244270b ac b b b b ∆=-=-⨯-⨯-=-<，∴方程20cx bx a ++=无解，故④不正确；正确的个数是1个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）13. 目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．数据16000000用科学记数法表示为________．【答案】71.610⨯【解析】【分析】根据题意用科学记数法()10110na a ⨯≤<表示即可．【详解】解：716000000 1.610=⨯，故答案为：71.610⨯．【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的形式()10110na a ⨯≤<是解题的关键．14. 如图，AB CD ，AD 与BC 交于点O ，请添加一个条件________，使AOB DOC △≌△．（只填一种情况即可）【答案】AB CD =或AO DO =或BO CO=【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法处理．【详解】∵AB CD∴A D ∠=∠，B C∠=∠若AB CD =，则AOB DOC △≌△(ASA)；若AO DO =，则AOB DOC △≌△(AAS)；若BO CO =，则AOB DOC △≌△(AAS)；故答案为：AB CD =或AO DO =或BO CO =．【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15. 如图，将45︒的AOB ∠按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2cm ，若按相同的方式将22.5︒的AOC ∠放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为________cm ．【答案】()2+【解析】【分析】根据平行线的性质得到45DBO AOB ∠==︒∠，解直角三角形求出OB =，再推出BOC BCO ∠=∠，进而得到BC BO ==，再求出CD 的长即可得到答案．【详解】解：由题意得，BC OA ∥，90BDO ∠=︒，2cm OB =，∴45DBO AOB ∠==︒∠，∴cos BD OB DBO==∠∵22.5AOC ∠=︒，∴22.5BOC AOB AOC =-=︒∠∠∠，22.5BCO AOC ==︒∠∠，∴BOC BCO ∠=∠，∴BC BO ==，∴()2cm CD BD BC =+=+，∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为()2cm +，故答案为：()2+．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出BC 的长是解题的关键．16. 甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是________．【答案】13【解析】【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【详解】解：根据题意画出树状图如图所示：，共有9种等可能的结果，甲获胜的情况有3种，∴甲获胜的概率是：3193=，故答案为：13．【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．17. 张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________．【答案】20%【解析】【分析】设该超市的月平均增长率为x ，根据等量关系：三月份盈利额()21x ⨯+=五月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】解：设每月盈利平均增长率为x ，根据题意得：()2500017200x +=．解得：120%x =，2220%x =-（不符合题意，舍去），故答案为：20%．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量()21x ⨯±=后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．18. 将抛物线()23y x =+向下平移1个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．【答案】2或4##4或2【解析】【分析】先求出抛物线()23y x =+向下平移1个单位长度后与x 交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．【详解】解：抛物线()23y x =+向下平移1个单位长度后的解析式为()231y x =+-，令0y =，则()2310x +-=，解得，122,4x x =-=-，∴抛物线()231y x =+-与x 的交点坐标为()2,0-和()4,0-，∴将抛物线()231y x =+-向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．故答案为：2或4．【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，2AB =，()1,0A ，60DAB ∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 旋转90︒后，得到菱形111AB C D ，则点1C 的坐标是________．【答案】()1或()13+-【解析】【分析】分两种情况：当绕点A 顺时针旋转90︒后，当绕点A 逆时针旋转90︒后，利用菱形的性质及直角的三角形30度角的性质求解即可．【详解】解：当绕点A 顺时针旋转90︒后，如图，∵60DAB ∠=︒，190D AD ∠=︒∴130D AB ∠=︒，∵菱形ABCD 中AB CD ∥，2CD AD AB ===，∴11120AD C ADC ∠=∠=︒，延长11C D 交x 轴于点E ，∴160AD E ∠=︒，190AED ∠=︒，∴11112ED AD ==，∴AE =∴()113C +-；当绕点A 逆时针旋转90︒后，如图，延长22C D 交x 轴于点F ，∵60DAB ∠=︒，290B AB ∠=︒，∴230D AF ∠=︒，∵菱形ABCD 中AB CD ∥，2CD AD AB ===，∴22120AD C ADC ∠=∠=︒，∴260AD F ∠=︒，290AFD ∠=︒，∴22112FD AD ==，∴AF =∴()21C -；故答案为：()1或()13+-．【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键．20. 如图，在正方形ABCD 中，E 在边CD 上，BE 交对角线AC 于点F ，CM BE ⊥于M ，CME ∠的平分线所在直线分别交CD ，AC 于点N ，P ，连接FN ．下列结论：①::N P F N P CS S FM M C =△△；②CM PN =；③EN CD EC CF ⋅=⋅；④若1EM =，4MB =，则PM =，其中正确的是________．【答案】①④【解析】【分析】如图，记N 到PC 的距离为h ，可得1212NPF NPC PF hS PFS PCPC h ⨯==⨯ ，证明PMF PCN ∽，可得MF PFCN PN =，PFM PNC ∠=∠，证明NCM NPC ∽，可得PN PC CN CM =，可得PF FM PC CM=，NPF NPC S PF FMS PC CM== ，故①正确；证明,,,M F C N 四点共圆，可得FN BC ∥，证明EFN EBC ∽，EN FN FNEC BC CD==，故③不正确；求解24CM BM EM =⋅=，可得2CM =，（负根舍去），CE =，BC AB ===，证明CEF ABF △∽△，53EF =，103BF =，52133FM =-=，证明PMF BCF ∽，PM MF BC CF =，求解CF ==，可得PM =，故④正确；证明EMN ECF ∽，可得EN MN EF CF =，求解MN =PN PM MN CM =+==≠，故②不正确．【详解】解：如图，记N 到PC 的距离为h ，∴1212NPFNPCPF hS PF S PC PC h ⨯==⨯ ，∵CM BE ⊥，正方形ABCD ，∴90C M E ∠=︒，45PCN ∠=︒，∵MN 平分CME ∠，∴45CMN EMN PMF PCN ∠=∠=∠=︒=∠，∵MPF NPC ∠=∠，∴PMF PCN ∽，∴MF PFCN PN =，PFM PNC ∠=∠，∴PF PNMF CN=，同理可得：NCM NPC ∽，∴PN PCCN CM =，∴PC PFCM MF =，∴PF FMPC CM=，NPF NPC S PF FMS PC CM== ，故①符合题意；∵45PMF PCE ∠=︒=∠，∴180PCE FMN ∠+∠=︒，∴,,,M F C N 四点共圆，∴90FNC FMC ∠=∠=︒，∴FN BC ∥，∴EFN EBC ∽，∴EN FN FNEC BC CD==，∴EN CD EC FN ⋅=⋅，故③不正确；∵1EM =，4BM =，则5BE =，∵正方形ABCD ，CM BE ⊥，∴90BCD BMC EMC ∠=∠=∠=︒，∴90MEC MCE MCE BCM ∠+∠=︒=∠+∠，∴MEC BCM ∠=∠，∴CME BMC ∽，∴CM MEBM CM=，∴24CM BM EM =⋅=，∴2CM =，（负根舍去），∴CE =，BC AB ===，同理可得：CEF ABF △∽△，∴12EF CE BF AB ===，∴53EF =，103BF =，52133FM =-=，∵45PMF ACB ∠=∠=︒，PFM BFC ∠=∠，∴PMF BCF ∽，∴PM MF BC CF=，∵EFN EBC ∽，∴13EN EF EC BE ==，∴EN =，CN =∴CF ==，23=∴PM =，故④正确；同理可得：EMN ECF ∽，∴EN MNEF CF=，∴353，∴MN =PN PM MN CM =+==≠，故②不正确．综上：正确的有①④；故答案为：①④【点睛】本题考查的是正方形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，四点共圆，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键，本题的难度大，是填空压轴题．三、解答题（共60分）21. 先化简，再求值：223111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中sin 30x =︒．【答案】1x +，32【解析】【分析】先计算括号内分式减法，再计算除法，然后代入求值，即可得到答案．【详解】解：223111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭2121113x x x x x --⎛⎫=-⋅⎪---⎝⎭ ()()111213x x x x x +---=⋅--1x =+，当sin 3120x =︒=时，原式13122=+=．【点睛】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，代数式求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．22. 如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P 的坐标；（2）求BCP 的面积．注：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【答案】（1）抛物线对应的解析式234y x x =--，325,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （2）152BCP S =△【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再根据解析式求点P 的坐标即可；（2）求出点()0,4C -和抛物线顶点325,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,0A -，()4,0B 利用BCP OCP OBP BOC S S S S =+-△△△△即可得到答案．【小问1详解】抛物线2yx bx c =++经过点()1,0A -，()4,0B ，101640b c b c -+=⎧∴⎨++=⎩，解这个方程组，得34b c =-⎧⎨=-⎩．∴抛物线对应的解析式234y x x =--．P 点是抛物线的顶点坐标，24,24b ac b P a a ⎛⎫-∴- ⎪⎝⎭，即：332212b a --=-=⨯，()()2241434254414ac b a ⨯⨯----==-⨯，325,24P ⎛∴⎫- ⎪⎝⎭．【小问2详解】如图，连接OP ．()1,0A - ，()4,0B ，()0,4C -，325,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，134322OCP S =⨯⨯∴=△，125254242OBPS =⨯⨯=△，14482BOC S =⨯⨯= ． BCP O CP O BP BO C S S S S =+- △△△△，25153822BCP S ∴=+-=△．【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，掌握数形结合的思想和割补法求三角形面积是解题的关键．23. 在ABC 中，90C ∠=︒，=60B ∠︒，2BC =，D 为AB 的中点，以CD 为直角边作含30︒角的Rt CDE △，90DCE ∠=︒，且点E 与点A 在CD 的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE 的长．【答案】作图见解析，线段AE 的长为AE =或AE =【解析】【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质得到24AB BC ==，AC ==角形斜边上的中线性质和等边三角形的判定证明BCD △为等边三角形，可得60BCD BDC ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，分30CED ∠=︒和30∠=︒CDE 两种情况，利用等边三角形的性质，结合锐角三角形和勾股定理求解即可．【详解】解：如图，当30CED ∠=︒时，∵在ABC 中，90C ∠=︒，=60B ∠︒，∴9030BAC B ∠=︒-∠=︒，又2BC =，∴24AB BC ==，AC ==，∵D 为AB 的中点，∴122CD BD AD AB ====，∴BCD △为等边三角形，∴60BCD BDC ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，∵90DCE ∠=︒，2DC =，∴9060ACE ACD ∠=︒-∠=︒，CE AC ===，∴ACE △是等边三角形，∴AE AC ==；如图，当30∠=︒CDE 时，∵60BDC ∠=︒，∴90ADE BDC CDE ∠=∠+∠=︒在Rt DCE V 中，2DC =，则cos30DC DE ==︒在Rt ADE △中，2AD =，则AE ==，综上，满足条件的线段AE的长为AE=AE=【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形和直角三角形的相关性质是解答的关键．24. 第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A．“龙江奶”；B．“龙江肉”；C．“龙江米”；D．“龙江杂粮”；E．“龙江菜”；F．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：（1）本次参与调查的居民有多少人？（2）补全条形统计图，在扇形统计图中C类的百分比是______；（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？【答案】（1）本次参与调查的居民有200人；（2）补全条形统计图见解析，30%；（3）关注“龙江杂粮”的居民有920人；【解析】【分析】（1）根据E项关注的人数为34人，E项关注占总人数的百分数为17%即可解答；、、、、、各项的关注人数，再根据总人数为200即可（2）根据条形统计图和扇形统计图可知A B C D E F解答；（3）抽样调查中D项关注人数为46人，抽样调查中的总人数为200人即可解答．【小问1详解】解：∵E项关注的人数为34人，E项关注占总人数的百分数为17%，÷=（人），∴本次参与调查的总人数有3417%200【小问2详解】解：∵本次参与调查的总人数是200人，B 项关注人数所占百分数为15%，∴B 项关注的人数为20015%30⨯=（人），∴C 项关注的人数为200301846341260-----=（人），∴C 项所占百分数为60100%30%200⨯=；∴如图所示，故答案为30%；【小问3详解】解：∵D 项关注人数为46人，本次调查的总人数为200人，∴该社区关注关注“龙江杂粮”的居民有464000920200⨯=（人）；【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计整体，读懂条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键．25. 在一条高速公路上依次有A ，B ，C 三地，甲车从A 地出发匀速驶向C 地，到达C 地休息1h 后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B 地，甲车从A 地出发1.5h 后，乙车从C 地出发匀速驶向A 地，两车同时到达目的地．两车距A 地路程km y 与甲车行驶时间h x 之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是_____km /h ，乙车行驶的速度是_____km /h ．（2）求图中线段MN 所表示的y 与x 之间的函数解析式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km ？请直接写出答案．【答案】（1）120，80（2）()804801.56y x x =-+≤≤（3）2.5h 或4.1h 【解析】【分析】（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度；（2）利用待定系数法求函数解析式；（3）先求得点E 、F 坐标，然后分情况列方程求解．【小问1详解】解：由图可得()3,360D ，即甲出发3时后与A 地相距360km ，∴甲车行驶速度为360120km /h 3=；由题意可得()1.5,360M ，()3,240G ，即乙车出发3 1.5 1.5h -=行驶360240120km -=，∴乙车行驶速度为12080km /h 1.5=，故答案为：120，80；【小问2详解】解：设线段MN 所在直线的解析式为()0y kx b k =+≠．将()1.5,360，()3,240代入y kx b =+，得 1.53603240k b k b +=⎧⎨+=⎩．解得80480k b =-⎧⎨=⎩．∴线段MN 所在直线的解析式为()804801.56y x x =-+≤≤．【小问3详解】解：在()804801.56y x x =-+≤≤中，当0y =时，6x =，∴()6,0N ，由（1）可得乙车行驶速度为80km /h ，甲车行驶速度为120km /h 且两车同时到达目的地，则乙到达目的地时，甲距离A 地的距离为()()360120631120km -⨯--=，∴()6,120F ，()4,360E ，设乙车出发t 时，两车距各自出发地路程的差是160km ，当0 1.5t <≤时，此时甲在到达C 地前，由()80120 1.5160t t -+=，解得10.5t =-，28.5t =-（不合题意，舍去）；当1.5 2.5t <≤时，此时甲在C 地休息，则80360160t -=，解得1 2.5t =，2 6.5t =（不合题意，舍去）；当2.5 4.5t <≤时，此时甲在返回B 地中，则()802360120 1.51160t t -⨯-⨯+-=⎡⎤⎣⎦解得1 4.1t =，2 2.5t =（不合题意，舍去）综上，乙车出发2.5h 或4.1h ，两车距各自出发地路程的差是160km ．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义．26. ABCD Y 中，AE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ，将ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到EF ，连接BF ．（1）当点E 在线段BC 上，=45ABC ∠︒时，如图①，求证：AE EC BF +=；（2）当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC ∠︒时，如图②：当点E 在线段CB 延长线上，135ABC ∠=︒时，如图③，请猜想并直接写出线段AE ，EC ，BF 的数量关系；（3）在（1）、（2）的条件下，若3BE =，5DE =，则CE =_______．【答案】（1）见解析（2）图②：AE EC BF -=，图③：EC AE BF -= （3）1或7【解析】【分析】（1）求证BEF AED ∠=∠，AE BE =，得()BEF AED SAS △≌△，所以BF AD =，进而AD BC BF ==，所以AE CE BE CE BC BF +=+==；（2）如图②，当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC ∠︒时，同（1），()BEF AED SAS △≌△，得AD BF =，结合平行四边形性质，得AD BC BF ==，所以AE EC BF -=；如图③，当点E 在线段。
黑龙江省大庆市2021年中考数学真题试题(Word+答案+解析)
∴ 的图像经过第一，二，四象限，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
7.一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图， 是线段 上除端点外的一点，将 绕正方形 的顶点 顺时针旋转 ，得到 ．连接 交 于点 ．下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（ ）
A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；
【详解】解：选项A： 是无理数，不符合题意；
选项B： 是分数，不符合题意；
选项C： 是负整数，符合题意；
选项D： 是分数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键．
2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2021年大庆市初中升学考试
数学
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）
1.在 ， ， ， 这四个数中，整数是（ ）
A. B. C. D.
2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B.
（1）证明：四边形 矩形；
（2）求四边形 的面积．
25.某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：
2023年黑龙江省大庆市中考数学真题 (解析)
2023年大庆市初中升学考试数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1.【答案】B【解析】解：2023的相反数是2023-，故选：B ．2.【答案】C【解析】A 选项，不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；B 选项，不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；C 选项，是中心对称图形，此选项符合题意；D 选项，不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；故答案为：C ．3.【答案】A【解析】解：数字1268000000用科学记数法表示为：91.26810⨯，故选：A ．4.【答案】A【解析】解：该几何体的俯视图是，故选：A ．5.【答案】D【解析】解： 0ab >，∴a b 、同号，0a b +>，00a b ∴>>，，A 选项，()a b ，在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；B 选项，()a b -，在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；C 选项，()--，a b 在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；D 选项，()a b -，在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；故选：D ．6.【答案】B【解析】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，出现次数最多的数是9，所以众数为9，位于中间位置的数是9，所以中位数是9，平均数为7899108.65++++=故选：B ．7.【答案】C【解析】解：A 选项，一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；B 选项，有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；C 选项，两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；D 选项，一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；故选：C ．8.【答案】A【解析】解：设粽子的成本为a （a 是常数且0a >）元，设降价幅度为x ，则()()125%1a x a +⨯-≥，解得20%x ≤，即为了不亏本，降价幅度最多为20%．故选：A ．9.【答案】D【解析】解：根据题意可得：FBG DAB α∠=∠=，四边形ABCD 为菱形，AD BC ABD CBD αβ∴∠=∠=+∥，，180DAB ABC ∴∠+∠=︒，22ABC ABD CBD αβαβαβ∠=∠+∠=+++=+ 22180ααβ∴++=︒，3902βα∴=︒-，故选：D ．10.【答案】C【解析】解：根据题意可得：BC =，AP t BQ ==，，设m AB a =，则m BC =，作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E ，作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，，120ABC ∠=︒ ，60ABF ∴∠=︒，33m 22AF AB a ∴==，()()333m 222PE PB AB PA a t ==-=-，()2221133333222444216PBQa S BQ PE a t t at t a ⎛⎫∴=⋅⋅=⋅-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ，由图象可得PBQ S 的最大值为3，23316a ∴=，解得：4a =或4a =-（舍去），4a ∴=，4m AB BC AF ∴===，，，∴平行四边形ABCD 的面积为：224m BC AF ⋅==，故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.【答案】抽样调查【解析】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查．12.【答案】100π【解析】解：∵圆锥的底面半径为5，高为12，∴它的体积215121003ππ=⨯⨯⨯=，故答案为：100π．13.【答案】MCB△【解析】解： 四边形ABCD 是矩形，90A D C ∴∠=∠=∠=︒，90DNM DMN ∴∠+∠=︒，由折叠的性质可得：90BMN A ∠=∠=︒，180NMD BMN BMC ∠+∠+∠=︒ ，90NMD BMC ∴∠+∠=︒，DNM BMC ∴∠=∠，NDM MCB ∴ ∽，故答案为：MCB △．14.【答案】1-，1，3【解析】解：∵()121x x +-=，当10x +=时，=1x -；当21x -=时，3x =；当21x -=-时，1x =，此时12x +=，等式成立；故答案为：1-，1，3．15.【答案】16【解析】解：根据题意列出表格如下：思想政治地理化学生物思想政治思想政治，地理思想政治，化学思想政治，生物地理地理，思想政治地理，化学地理，生物化学化学，思想政治化学，地理化学，生物生物生物，思想政治生物，地理生物，化学由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果，∴某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为：21126=，故答案为：16．16.【答案】32a -≤<-【解析】解：解不等式3(1)6x x ->-，得： 1.5x >-，解不等式8220x a -+≥，得：4x a ≤+，不等式组有三个整数解，∴不等式组的整数解为1-，0、1，则142a ≤+<，解得32a -≤<-．故答案为：32a -≤<-．17.【答案】21【解析】根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1，系数和：515101051322+++++==，()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，系数和：61615201561642++++++==，()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，系数和：71721353521711282+++++++==，故答案为：128．18.【答案】①②③【解析】解：延长B A '，并截取AE AB =，连接C E '，如图所示：∵180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴360180180a b +=︒-︒=︒，∵180BAE a +∠=︒，∴BAE β∠=，∴BAC CAE CAE EAC '∠+∠=∠+∠，∴BAC EAC '∠=∠，根据旋转可知，AC AC '=，AB AB '=，∵AB AE =，∴ABC AEC ' ≌，∴BC C E '=，ABC AEC S S '= ，∵AB AB '=，AB AE =，∴AE AB ='，∴AB C AEC S S '''= ，∴ABC AB C S S ''=△△，即ABC 与AB C ''△面积相同，故①正确；∵AE AB ='，B D C D '='，∴AD 是B C E ''△的中位线，∴12AD C E '=，∵BC C E '=，∴2BC AD =，故②正确；当AB AC =时，AB AB AC AC ''===，∴AB B ABB ''∠=∠，AB C AC B ''''∠=∠，AC C ACC ''∠=∠，A ABC CB =∠∠，∵360AB B ABB AB C AC B AC C ACC ABC ACB ''''''''∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴180ABB ABC AC B AC C AB B ACB AB C ACC ''''''''∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，即180B BC CC B '''∠+∠=︒，故③正确；∵6BC =，∴根据②可知，132AD BC ==，∵当AB AC =时，4AB AB AC AC ''====，AD 为中线，∴AD B C ''⊥，∴90ADB '∠=︒，∴2222437B D AB AD ''=-=-=，∴27B C B D '''==综上分析可知，正确的是①②③．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.【答案】1【解析】解：原式＝﹣2﹣2×22+2＝﹣22=1．20.【答案】2x x +，13【解析】解：224224x x x x x x -++--()()242222x x x x x x x =-++-+-()()()()()()()()2224222222x x x x x x x x x x x -+=-++-+-+-()()22242422x x x x x x x ---+=+-()()2222x x x x -=+-()()()222x x x x -=+-2x x =+，当1x =时，原式11123==+．21.【答案】30．【解析】设第一批足球单价为x 元，则第二批足球单价为()2x -元，由题意得：800156022x x ⨯=-，解得：80x =，经检验：80x =是原分式方程的解，且符合题意，则第二批足球单价为：280278x -=-=，∴该学校两批共购买了8001560308078+=，答：该学校两批共购买了30个．22.【答案】垂直高度PC 约为204米【解析】解：过点B 作BD PC ⊥于D ，作BE AC ⊥于E ，则四边形DCEB 为矩形，∴DC BE =，在Rt ABE △中，15A ∠=︒，sin BE A AB=，则sin 4000.259103.6BE AB A =⋅≈⨯=（米），∴103.6DC BE ==米，在Rt PBD △中，30PBD ∠=︒，200BP =米，则11002PD BP ==米，100103.6204PC PD DC ∴=+=+≈米．答：垂直高度PC 约为204米．23.【答案】（1）40，25（2）7（3）我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人【解析】（1）解：根据题意可得：本次接受调查的学生人数为：481510340++++=（人），扇形统计图中的m 的值为：100102037.57.525----=，故答案为：40，25；（2）解：根据题意可得：所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为：546871581093740⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（次）；（3）解：根据题意得：()37.5%25%7.5%1000700++⨯=（人），答：我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人．24.【答案】（1）证明，见解析（2）45【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAF AFC ∠=∠，ADC DCF ∠=∠，∵E 为线段CD 的中点，∴DE CE =，∴ADE FCE ≅△△，∴AE EF =，∴四边形ACFD 是平行四边形，∵90ACF ∠=︒，∴平行四边形ACFD 是矩形．（2）过点E 作EG AC ⊥于点G ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∵四边形ACFD 是矩形，∴AD CF =，∴5AD BC CF ===，∵13CD =，∴12DF ==，∴四边形ABCE 的面积等于ABC AEC S S + ，∵111253022ABC S AC BC =⨯⨯=⨯⨯= ，12ACE S AC GE =⨯⨯ ，∵点E 是对角线的中心，∴1522GE AD ==，∴1151215222ACE S AC GE =⨯⨯=⨯⨯= ，∴平行四边形ABCD 的面积为：301545+=．25.【答案】（1）一次函数的解析式为3y x =-+，反比例函数的解析式为2y x=（2）32（3）0t <或12t <<【解析】（1）解：把()1，2A 代入一次函数y x m =-+，得12m -+=，解得：3m =，∴一次函数的解析式为：3y x =-+，把()1，2A 代入反比例函数k y x=，得21k =，解得：2k =，∴反比例函数的解析式为：2y x=；（2）解：联立32y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，()21B ∴，，令直线AB 与x 交于点C，如图，，当0y =时，30x -+=，解得：3x =，()30C ∴，，11113323122222AOB AOC BOC A B S S S OC y OC y ∴=-=⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯-⨯⨯= （3）解：由图象可得：，当M 在N 的上方时，t 的取值范围为：0t <或12x <<．26.【答案】（1）173240817x y x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）当87x =时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为327．【解析】（1）∵四边形BCDE 是矩形，∴BC DE ∥，∵BE IJ MN CD ∥∥∥，∴BE IJ MN CD y ====．∵AB AC =，F 是边BC 的中点，∴2BC DE x ==，AFBC ⊥，∵:3:4AF BF =，∴34x AF =，∴54x AB AC ===．∵点G 、H 、F 分别是边AB 、AC 的中点，∴1528x FG FH AB ===，∴5534162222844x x x y x =-⨯-⨯-⨯-，∴174162x y =-，∴1748x y =-，∵174080x x ⎧->⎪⎨⎪>⎩，∴32017x <<，∴173240817x y x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭；（2）设面积为S ，则1713242824x x S x x ⎛⎫=-+⨯⨯ ⎪⎝⎭2782x x =-27832277x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当87x =时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为327．27.【答案】（1）证明，见解析（2）证明，见解析（3）5AH FH =【解析】（1）连接OC∵AC 平分DAB ∠，∴DAC CAB ∠=∠，∵OA OC =，∴CAB OCA ∠=∠，∴DAC OCA ∠=∠，∴AD OC ∥，∵CD AD ⊥，∴90D OCE ∠=∠=︒，∴CD 是O 的切线．（2）证明，如下：由（1）得，90OCE ∠=︒，∵DAC CAB ∠=∠，∵FG AB ⊥，∴90FGA ∠=︒，∴90AHF CAB ∠=∠+︒，∵90ACE OCA ∠=∠+︒，∴ACE AHF ∽，∴AC AE AH AF=，∴AC AF AE AH ⋅=⋅．（3）∵4sin 5DEA ∠=，∴45OC OE =，设O 的半径为4x ，∴5OE x =，∴3CE x ==，∵9AE OA OE x =+=，∴436955AD x x =⨯=，275DE x ==，∵DE DC CE =+，∴125DC x =，∵22222361255AC AD DC ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12105AC x =，∵ACE AHF ∽，∴1210410535AH FH x AC CE x ===．28.【答案】（1）2=23y x x --（2（3）513t -<≤且0t ≠或43t =-【解析】（1）解：由表格可知，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0-，()0,3-，()1,4-，代入2y ax bx c =++得到034a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数2y ax bx c =++的表达式为2=23y x x --；（2）如图，连接PR ，QR ，过点R 作RM PQ ⊥交PQ 的延长线于点M，∵点Q 的横坐标为m ，∴()2,23Q m m m --，∵()222314y x x x =--=--，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点P 与点Q 关于直线1x =对称，设点()2,23P n m m --，则11m n -=-，解得2n m =-，∴点P 的坐标为()22,23m m m ---，当x m =+时，((()222323221y x x m m m m =-=+-+--=+--，即()(221R m m m +--，则()223M m m m +--，∴()()2221232R m m m m M +----+=-=-，()222PM m m m =+-=+，∴22tan m RM RPQ PM ∠====即tanRPQ ∠的；（3）由表格可知点()1,0A -、()3,0B ，将线段AB 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到()0,3A '、()4,3B '，由题意可得，二次函数()2211(3)421y x x x t t t =--=--，与线段A B ''只有一个交点，当0t >时，抛物线()2211(3)421y x x x t t t =--=--开口向上，顶点41,t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在A B ''下方，当4x =时，21(3)2B x x y t '--≥，即33t -<，解得53t ≤，∴53t ≤，当0x =时，21(3)2A x x y t '--<，即33t -<，解得1t >-，∴503t <≤，此时满足题意，当0t <时，抛物线()2211(3)421y x x x t t t =--=--开口向下，顶点41,t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在A B ''上时，43t -=，解得43t =-，此时满足题意，将点()0,3A '代入21(3)2y x x t -=-得到33t =-，解得1t =-，将点()4,3B '代入21(3)2y x x t -=-得到13(1683)t =--，解得53t =，∴10t -<<，此时满足题意，综上可知，513t-<≤且0t≠或43t=-．。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年大庆市初中升学统一考试数学试题（考试时间120分钟，总分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1 B．0 C．π D．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×10103．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣14．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．47．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：99．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n 的值为（）A．10+或5+2B．15 C．10+D．15+310．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH 的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）11．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．12．分解因式：a3﹣4a＝．13．一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝．15．两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．18．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．21．（5分）解方程：﹣1＝．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A 作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D 作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1 B．0 C．π D．【知识考点】算术平方根；实数大小比较．【思路分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解题过程】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜＜π，∴在这四个数中，最大的数是π．故选：C．【总结归纳】此题考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：2900000000用科学记数法表示为2.9×109，故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1【知识考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【思路分析】利用非负数的性质得出x，y的值，代入计算得出答案．【解题过程】解：∵|x+2|+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，故x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．4．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解题过程】解：根据题意可得：2x≥0，解得：x≥0，故选：C．【总结归纳】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【知识考点】正比例函数的性质；反比例函数的性质．【思路分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1•k2的正负情况，从而可以解答本题．【解题过程】解：①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意；②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意；③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意；④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】正方体相对两个面上的文字．【思路分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解题过程】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．故选：B．【总结归纳】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差【知识考点】算术平均数；中位数；极差；方差；统计量的选择．【思路分析】根据中位数的实际意义，通过比较去掉最高分和最低分前后的数据变化进行判断即可．【解题过程】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变，故选：C．【总结归纳】本题考查中位数、众数、平均数、极差的意义，理解各个概念的意义和计算方法是正确判断的前提．8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，然后利用圆锥和圆柱的体积公式计算．【解题过程】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，所以圆锥与圆柱的体积的比＝（×πr2×h）：（πr2×3h）＝1：9．故选：D．【总结归纳】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱．9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n 的值为（）A．10+或5+2B．15 C．10+D．15+3【知识考点】勾股定理；相似三角形的性质．【思路分析】直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案．【解题过程】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，故m+n＝10+；故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．10．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH 的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或【知识考点】三角形的面积；正方形的性质；平移的性质．【思路分析】分两种情形：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．如图2中，当点A在正方形外部时，分别求解即可解决问题．【解题过程】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB 交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．【总结归纳】本题考查正方形的性质，平移变换，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）11．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．【知识考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【思路分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答．【解题过程】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【总结归纳】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标．解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征，关于y轴对称的两个点纵坐标不变，横坐标变成相反数．12．分解因式：a3﹣4a＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解题过程】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）【总结归纳】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．【知识考点】三角形中位线定理．【思路分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．即可求得结果．【解题过程】解：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE＝BC．同理可得：DF＝AC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝16＝8（cm）．则三条中位线构成的三角形的周长为8cm．故答案为：8．【总结归纳】本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝．【知识考点】余角和补角．【思路分析】根据∠COD＝90°，∠AOD＝108°，进而得出∠AOC的度数，根据∠COB＝∠AOB﹣∠AOC即可得出结论．【解题过程】解：∵∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠AOD＝108°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝108°﹣90°＝18°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣18°＝72°．故答案为：72°．【总结归纳】本题考查了角的计算及直角三角形，熟知角的和差计算方法是解答此题的关键．15．两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两数的绝对值相等的结果数，然后根据概率公式求解．【解题过程】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，所以两人所写整数的绝对值相等的概率＝．故答案为．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．【知识考点】规律型：图形的变化类．【思路分析】观察图形可得前几个图需要黑色棋子的个数，发现规律即可得第20个图需要黑色棋子的个数．【解题过程】解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3＝1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8＝2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15＝3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24＝4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2）；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）＝440．故答案为：440．【总结归纳】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．【知识考点】根的判别式；根与系数的关系．【思路分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．【解题过程】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴△＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．则有32﹣6﹣a＜0，∴a＞3，故④正确，故答案为3．【总结归纳】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．【知识考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轨迹．【思路分析】根据已知条件证明△ABD≌△BCE，再得∠AFB＝120°，可得点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，此时∠AOB＝120°，OA＝，根据弧长公式即可得点F的运动路径的长度．【解题过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．【总结归纳】本题考查了轨迹、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【思路分析】原式第一项绝对值计算，第二项利用零指数幂的法则计算，第三项利用负指数幂的法则计算，计算即可得到结果．【解题过程】解：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1＝5﹣1+3＝7．【总结归纳】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可．【解题过程】解：原式＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4＝2x2﹣1，当x＝时，原式＝2（）2﹣1＝5．【总结归纳】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值进行计算．21．（5分）解方程：﹣1＝．【知识考点】解分式方程．【思路分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【解题过程】解：方程的两边同乘x﹣1，得：2x﹣x+1＝4，解这个方程，得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，∴原方程的解是x＝3．【总结归纳】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，在Rt△AME中，根据正弦函数求得AE，在Rt△AEC中，根据正弦函数求得AC．【解题过程】解：∵AB⊥BD，∠BAM＝45°，∴∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BAM，∴AB＝BM＝20，∴在Rt△ABM中，AM＝20，作AE⊥MC于E，由题意得∠ACM＝45°，∠CAM＝75°，∴∠AMC＝60°，∴在Rt△AME中，AM＝20，∵sin∠AME＝，∴AE＝sin60°•20＝×20＝10，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝10，∴sin∠ACE＝，∴AC＝＝＝20≈35（米），答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）【知识考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．【思路分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可得问题中的总体和样本容量；（2）根据表格所给数据先求出50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，再根据a+b＝20，2a＝3b，即可求出a，b的值；（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人．【解题过程】解：（1）1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，样本容量是：40；（2）由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，∴a+b＝40﹣4﹣16＝20，∵2a＝3b，∴解得a＝12，b＝8，（3）1000×＝200（人），答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．【总结归纳】本题考查了频数分布直方图、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，解决本题的关键是综合运用以上知识．24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．【知识考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．【思路分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求DM的长．【解题过程】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．【总结归纳】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，根据总价＝单价×数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数可得出最多购买甲种笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解题过程】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，依题意，得：，解得：．答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，依题意，得：（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）≤250×90%，解得：m≤21，又∵m为正整数，∴m可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w元，则w＝（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）＝4m+140，∵k＝4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝21时，w取得最大值，最大值＝4×21+140＝224．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，。
2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷正式版含答案解析
绝密★启用前2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−38的相反数为( )A. −38B. 38C. −83D. 832.剪纸是我国最古老的民间艺术之一.下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3.2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m.将10909用科学记数法表示为( )A. 1.0909×104B. 10.909×103C. 109.09×102D. 0.10909×1054.三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是( )A.B.C.D.5.方程1x−4=3x+2的解是( )A. x=0B. x=−5C. x=7D. x=16.二次函数y=2(x+1)2+3的最小值是( )A. −1B. 1C. 2D. 37.如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子( )A. 16枚B. 20枚C. 24枚D. 25枚8.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AB上，EF//AD交CD于点F，若AE：BE=1：2，DF=3，则FC的长为( )A. 6B. 3C. 5D. 99.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B=50°，则∠DAC=( )A. 20°B. 50°C. 30°D. 80°10.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，当x=9min时，y=( )A. 36LB. 38LC. 40LD. 42L第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷含答案解析(word版)
2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3.00分）﹣的绝对值是（）A．B．C．D．2．（3.00分）下列运算一定正确的是（）A．（m+n）2=m2+n2B．（mn）3=m3n3C．（m3）2=m5D．m•m2=m23．（3.00分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3.00分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）A．B．C．D．5．（3.00分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O 于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3 C．6 D．96．（3.00分）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+37．（3.00分）方程=的解为（）A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=18．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan ∠ABD=，则线段AB的长为（）A．B．2 C．5 D．109．（3.00分）已知反比例函数y=的图象经过点（1，1），则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（3.00分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD 上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3.00分）将数920000000科学记数法表示为．12．（3.00分）函数y=中，自变量x的取值范围是．13．（3.00分）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是14．（3.00分）不等式组的解集为．15．（3.00分）计算6﹣10的结果是．16．（3.00分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为．17．（3.00分）一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．18．（3.00分）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．19．（3.00分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为．20．（3.00分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM 交BD于点N，FN=，则线段BC的长为．三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分)21．（7.00分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°．22．（7.00分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D 均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．23．（8.00分）为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？24．（8.00分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍．25．（10.00分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？26．（10.00分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．27．（10.00分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD 为菱形．（1）如图1，求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3.00分）﹣的绝对值是（）A．B．C．D．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：||=，故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．2．（3.00分）下列运算一定正确的是（）A．（m+n）2=m2+n2B．（mn）3=m3n3C．（m3）2=m5D．m•m2=m2【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、（m+n）2=m2+2mn+n2，故此选项错误；B、（mn）3=m3n3，正确；C、（m3）2=m6，故此选项错误；D、m•m2=m3，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．（3.00分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．【解答】解：A、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，此选项不符合题意；B、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意；D、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键．4．（3.00分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2．【解答】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．5．（3.00分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O 于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3 C．6 D．9【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【解答】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=3，∴AO=3，则OP=6，故BP=6﹣3=3．故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．6．（3.00分）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．【解答】解：将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=﹣5（x+1）2﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．7．（3.00分）方程=的解为（）A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+3=4x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选：D．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．8．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan ∠ABD=，则线段AB的长为（）A．B．2 C．5 D．10【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD==，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．9．（3.00分）已知反比例函数y=的图象经过点（1，1），则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，1），∴代入得：2k﹣3=1×1，解得：k=2，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据已知得出关于k的方程是解此题的关键．10．（3.00分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD 上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=，=，∴==．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出==是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3.00分）将数920000000科学记数法表示为9.2×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：920000000用科学记数法表示为9.2×108，故答案为；9.2×108【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3.00分）函数y=中，自变量x的取值范围是x≠4．【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x﹣4≠0，解得，x≠4，故答案为：x≠4．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式分母不为0是解题的关键．13．（3.00分）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是x（x+5）（x﹣5）【分析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x3﹣25x=x（x2﹣25）=x（x+5）（x﹣5）．故答案为：x（x+5）（x﹣5）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14．（3.00分）不等式组的解集为3≤x＜4．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≥3，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为3≤x＜4，故答案为；3≤x＜4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．15．（3.00分）计算6﹣10的结果是4．【分析】首先化简，然后再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=6﹣10×=6﹣2=4，故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．16．（3.00分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为（﹣2，4）．【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【解答】解：∵y=2（x+2）2+4，∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，4），故答案为：（﹣2，4）．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．17．（3.00分）一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6，故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是：=．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．18．（3.00分）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是6πcm2．【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．【解答】解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm2），故答案为：6π．【点评】本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．19．（3.00分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为130°或90°．【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，故答案为：130°或90°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．20．（3.00分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM 交BD于点N，FN=，则线段BC的长为4．【分析】设EF=x，根据三角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【解答】解：设EF=x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD=2x，AD∥EF，∴∠CAD=∠CEF=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2x，∴∠ACB=∠CAD=45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM=45°，连接BE，∵AB=OB，AE=OE∴BE⊥AO∴∠BEM=45°，∴BM=EM=MC=x，∴BM=FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN=MN=x，BN=FN=，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，∴，x=2或﹣2（舍），∴BC=2x=4．故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分)21．（7.00分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【解答】解：当a=4cos30°+3tan45°时，所以a=2+3原式=•==【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．22．（7.00分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D 均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用数形结合的思想解决问题即可；【解答】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）如图△ABE即为所求；【点评】本题考查作图﹣应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．23．（8.00分）为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？【分析】（1）由“诗词”的人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数减去其他种类的人数求得“书法”的人数即可补全条形图；（3）用总人数乘以样本中“国画”人数所占比例．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷20%=120人；（2）“书法”类人数为120﹣（24+40+16+8）=32人，补全图形如下：（3）估计该中学最喜爱国画的学生有960×=320人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（8.00分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍．【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，=AE•DE=•2a•a=a2，∴S△ADE∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；则S△ADC在△ADE和△BGE中，∵，∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE=AE=2a，=AE•BE=•（2a）•2a=2a2，∴S△ABES△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2，S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2，综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．25．（10.00分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？【分析】（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题；（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．【解答】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：，解得：，答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180，解得：x≤35，答：最多可以购买35个A型放大镜．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．26．（10.00分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．【分析】（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，根据题意确定出△BEP≌△HKM，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到△BED≌△DFB，得到BE=DF=3a，过H作HS⊥BD，垂足为S，根据△BER的面积与△DHK的面积的差为，求出a的值，即可确定出BR的长．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=90°，∵∠F=∠A=90°，∴∠F=∠ABC，∵DA平分∠EDF，∴∠ADE=∠ADF，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABE=∠ADF，∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF，∴∠CBE=∠DHG；（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，∵∠F=90°，∴HF⊥FD，∵DA平分∠EDF，∴HM=FH，∵FH=BP，∴HN=BP，∵KH∥BN，∴∠DKH=∠DLN，∴∠ELP=∠DLN，∴∠DKH=∠ELP，∵∠BED=∠A=90°，∴∠BEP+∠LEP=90°，∵EP⊥BN，∴∠BPE=∠EPL=90°，∴∠LEP+∠ELP=90°，∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，∵HM⊥KD，∴∠KMH=∠BPE=90°，∴△BEP≌△HKM，∴BE=HK；（3）解：如图3，连接BD，∵3HF=2DF，BP=FH，∴设HF=2a，DF=3a，∴BP=FH=2a，由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°，∵∠F=∠A=90°，∴tan∠HDM=tan∠FDH，∴==，∴DM=3a，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°﹣∠ABF，∠BDE=45°﹣∠ADE，∴∠DBF=∠BDE，∵∠BED=∠F，BD=BD，∴△BED≌△DFB，∴BE=FD=3a，过H作HS⊥BD，垂足为S，∵tan∠ABH=tan∠ADE==，∴设AB=3m，AH=2m，∴BD=AB=6m，DH=AD﹣AH=m，∵sin∠ADB==，∴HS=m，∴DS==m，∴BS=BD﹣DS=5m，∴tan∠BDE=tan∠DBF==，∵∠BDE=∠BRE，∴tanBRE==，∵BP=FH=2a，∴RP=10a，在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD，∴△BET≌△HKD，∴∠BTE=∠KDH，∴tan∠BTE=tan∠KDH，∴=，即PT=3a，∴TR=RP﹣PT=7a，∵S△BER﹣S△DHK=，∴BP•ER﹣HM•DK=，∴BP•（ER﹣DK）=BP•（ER﹣ET）=，∴×2a×7a=，解得：a=（负值舍去），∴BP=1，PR=5，则BR==．【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．27．（10.00分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD 为菱形．（1）如图1，求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长即可解决问题；（2）如图2中，连接CE、CF．想办法证明△CEF是等边三角形，AF⊥CF即可解决问题；（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．想办法证明△APF是等边三角形，AT⊥PB即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵y=﹣x+，∴B（，0），C（0，），∴BO=，OC=，在Rt△OBC中，BC==7，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=7，∴OA=AB﹣OB=7﹣=，∴A（﹣，0）．（2）如图2中，连接CE、CF．∵OA=OB，CO⊥AB，∴AC=BC=7，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠AOB=60°，∴∠APB=∠ACB，∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB，∴∠PAG=∠CBG，∵AE=BF，∴△ACR≌△BCF，∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠CFE=60°，EF=FC，∵∠AFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49，∴AF2+EF2=49．（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．∵△CEF是等边三角形，∴∠CEF=60°，EC=CF，∵∠AFE=30°，∠CEF=∠H+∠EFH，∴∠H=∠CEF﹣∠EFH=30°，∴∠H=∠EFH，∴EH=EF，∴EC=EH，∵PE=AE，∠PEC=∠AEH，∴△CPE≌△HAE，∴∠PCE=∠H，∴PC∥FH，∵∠CAP=∠CBT，AC=BC，∴△ACP≌△BCT，∴CP=CT，∠ACP=∠BCT，∴∠PCT=∠ACB=60°，∴△CPT是等边三角形，∴CT=PT，∠CPT=∠CTP=60°，∵CP∥FH，∴∠HFP=∠CPT=60°，∵∠APB=60°，∴△APF是等边三角形，∴∠CFP=∠AFC﹣∠∠AFP=30°，∴∠TCF=∠CTP﹣∠TFC=30°，∴∠TCF=∠TFC，∴TF=TC=TP，∴AT⊥PF，设BF=m，则AE=PE=m，∴PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m，在Rt△APT中，AT==m，在Rt△ABT中，∵AT2+TB2=AB2，∴（m）2+（2m）2=72，解得m=或﹣（舍弃），∴BF=，AT=，BP=3，sin∠ABT==，∵OK=PQ=BP•sin∠PBQ=3×=3，BQ==6，∴OQ=BQ﹣BO=6﹣=，∴P（﹣，3）【点评】本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2024年黑龙江省绥化市中考数学试题(含答案)
二〇二四年绥化市初中毕业学业考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B 铅笔将你的选项所对应的方框涂黑1.实数12025-的相反数是（）A.2025B.2025- C.12025-D.12025【答案】D 【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．【详解】解：实数12025-的相反数是12025，故选：D ．2.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.【详解】A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.辨别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；.辨别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（）A.5个B.6个C.7个D.8个【答案】A 【解析】【分析】此题主考查了三视图，由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．【详解】解：由三视图易得最底层有3个正方体，第二层有2个正方体，那么共有325+=个正方体组成．故选：A ．4.23m -有意义，则m 的取值范围是（）A.23m ≤B.32m ≥-C.32m ≥D.23m ≤-【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得230m -≥，即可求解．23m -有意义，∴230m -≥，解得：32m ≥，故选：C ．5.下列计算中，结果正确的是（）A.()2139--=B.()222a b a b +=+C.93=± D.()3263x y x y -=【答案】A 【解析】【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解．【详解】解：A.()2139--=，故该选项正确，符合题意；B.()2222a b a ab b +=++，故该选项不正确，不符合题意；C.3=，故该选项不正确，不符合题意；D.()3263x y x y -=-，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．6.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2-和5-．则原来的方程是()A.2650x x ++=B.27100x x -+=C.2520x x -+=D.26100x x --=【答案】B 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1；∴12617x x +=+=，又∵写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2-和5-．∴1210x x =A.2650x x ++=中，126x x +=-，125x x =，故该选项不符合题意；B.27100x x -+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C.2520x x -+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D.26100x x --=中，126x x +=，1210x x =-，故该选项不符合题意；故选：B ．7.某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：鞋码3637383940平均每天销售量/双1012201212如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差【分析】此题主要考查统计的有关知识，了解平均数、中位数、众数、方差的意义；平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数．故选：C ．8.一艘货轮在静水中的航速为40km /h ，它以该航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km 所用时间相等，则江水的流速为（）A.5km /hB.6km /hC.7km /hD.8km /h【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．【详解】解：设江水的流速为km/h x ，根据题意可得：120804040x x=+-，解得：8x =，经检验：8x =是原方程的根，答：江水的流速为8km/h ．故选：D ．9.如图，矩形OABC 各顶点的坐标分别为()0,0O ，()3,0A ，()3,2B ，()0,2C ，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B 在第一象限对应点的坐标是（）A.()9,4 B.()4,9 C.31,2⎛⎫⎪⎝⎭D.21,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意B 的坐标乘以13，即可求解．【详解】解：依题意，()3,2B ，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B 在第一象限对应点的坐标是21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D ．10.下列叙述正确的是（）A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B.平分弦的直径垂直于弦C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【答案】C 【解析】【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．【详解】A.顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．11.如图，四边形ABCD 是菱形，5CD =，8BD =，AE BC ⊥于点E ，则AE 的长是（）A.245B.6C.485D.12【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得OC ，进而得出6AC =，进而根据等面积法，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，5CD =，8BD =，∴142DO BD ==，AC BD ⊥，5BC CD ==，在Rt CDO △中，3CO ==，∴26AC OC ==，∵菱形ABCD 的面积为12AC BD BC AE ⨯=⨯，∴18624255AE ⨯⨯==，故选：A ．12.二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，则下列结论中：①0b c>②2am bm a b +≤-（m 为任意实数）③31a c +<④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤-．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，20b a =<即可判断①，=1x -时，函数值最大，即可判断②，根据1x =时，0y <，即可判断③，根据对称性可得122x x +=-即可判段④，即可求解．【详解】解：∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线=1x -，∴12bx a=-=-∴20b a =<∵抛物线与y 轴交于正半轴，则0c >∴0bc<，故①错误，∵抛物线开口向下，对称轴为直线=1x -,∴当=1x -时，y 取得最大值，最大值为a b c -+∴2am bm c a b c ++≤-+（m 为任意实数）即2am bm a b +≤-，故②正确；∵1x =时，0y <即0a b c ++<∵2b a =∴20a a c ++<即30a c +<∴31a c +<，故③正确；∵()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，∴,M N 关于=1x -对称，∴1212x x +=-即122x x +=-故④不正确正确的有②③故选：B二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内13.中国的领水面积约为370000km 2，将数370000用科学记数法表示为：__________．【答案】3.7×105【解析】【详解】科学记数法是指：a ×10n ，且1≤a ＜10，n 为原数的整数位数减一，370000=3.7×510．故答案为：3.7×105．14.分解因式：2228mx my -=______．【答案】()()222m x y x y +-【解析】【分析】本题考查了因式分解，先提公因式2m ，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．【详解】解：2228mx my -=()2224m x y -=()()222m x y x y +-故答案为：()()222m x y x y +-．15.如图，AB CD ∥，33C ∠=︒，OC OE =．则A ∠=______︒．【答案】66【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得33E C ∠=∠=︒，根据三角形的外角的性质可得66DOE ∠=︒，根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵OC OE =，33C ∠=︒，∴33E C ∠=∠=︒，∴66DOE E C ∠=∠+∠=︒，∵AB CD ∥，∴66A DOE =∠=︒∠，故答案为：66．16.如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A 测得该楼顶部点C 的仰角为60︒，测得底部点B 的俯角为45︒，点A 与楼BC 的水平距离50m AD =，则这栋楼的高度为______m （结果保留根号）．【答案】(50+##()50+【解析】【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得456050m BAD CAD AD ∠=︒∠=︒=，，，然后利用三角函数求解即可．【详解】解：依题意，456050m BAD CAD AD ∠=︒∠=︒=，，．在Rt △ABD 中，tan 4550150m BD AD =⋅︒=⨯=，在Rt ACD △中，tan 6050CD AD =⋅︒==，∴(m 50BC BD CD =+=+．故答案为：(50+．17.计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭_________．【答案】1x y-【解析】【分析】本题考查了分式的混合运算．先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．【详解】解：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭222x y x xy y x x--+=÷2()x y x x x y -=-1x y=-，故答案为：1x y-．18.用一个圆心角为126︒，半径为10cm 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______cm ．【答案】72【解析】【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解．【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为cm R ，由题意得，12610π2π180R ⨯⨯=解得：7cm 2R =故答案为：72．19.如图，已知点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，在平行四边形ABCO 中，它的对角线OB 与反比例函数()0ky k x=≠的图象相交于点D ，且:1:4OD OB =，则k =______．【答案】15-【解析】【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点,B D ，作x 的垂线，垂足分别为,F E ，根据平行四边形的性质得出()2410B -，，证明ODE OBF △∽△得出6OE =，2.5DE =，进而可得()6,2.5D -，即可求解．【详解】如图所示，分别过点,B D ，作x 的垂线，垂足分别为,F E ，∵四边形AOCB 是平行四边形，点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，∴7OA BC ==，∴24x =-，即()2410B -，，则24OF =，10BF =∵DE x ⊥轴，BF x ⊥轴，∴DE BF∥∴ODE OBF △∽△∴14OE OD DE OF OB BF ===∴6OE =， 2.5DE =∴()6,2.5D -∴6 2.515k =-⨯=-故答案为：15-．20.如图，已知50AOB ∠=︒，点P 为AOB ∠内部一点，点M 为射线OA 、点N 为射线OB 上的两个动点，当PMN 的周长最小时，则MPN ∠=______．【答案】80︒##80度【解析】【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作关于OA ，OB 的对称点12P P ，．连接12OP OP ，．则当M ，N 是12PP 与OA ，OB 的交点时，PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：150OPM OPM ∠=∠=︒，12OP OP OP ==，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：作P 关于OA ，OB 的对称点12P P ，．连接12OP OP ，．则当M ，N 是12PP 与OA ，OB 的交点时，PMN 的周长最短，连接12PO P O 、，1PP 关于OA 对称，∴11112POP MOP OP OP PM PM OPM OPM ∠=∠==∠=∠，，，同理，222P OP NOP OP OP ∠=∠=，，12122(210)0POP POP P OP MOP NOP AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，12OP OP OP ==，∴12POP △是等腰三角形．∴2140OP N OPM ∠=∠=︒，∴2180MPN MPO NPO OP N OPM ∠=∠+∠=∠+∠=︒故答案为：80︒．21.如图，已知(11,A ，(23,A ，()34,0A ，()46,0A ，(5A ，(6A ，()710,0A ，(811,A …，依此规律，则点2024A 的坐标为______．【答案】(2891,【解析】【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，7n A 的坐标为()10,0n ，据此可求得2024A 的坐标．【详解】解：∵(11,A ，(23,A ，()34,0A ，()46,0A ，(5A ，(6A ，()710,0A ，(811,A …，，∴可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，7n A 的坐标为()10,0n ，(71101,n A n ++∵202472891÷=⋅⋅⋅，∴2023A 的坐标为()2890,0．∴2024A 的坐标为(2891,故答案为：(2891,．22.在矩形ABCD 中，4cm AB =，8cm BC =，点E 在直线AD 上，且2cm DE =，则点E 到矩形对角线所在直线的距离是______cm ．【答案】255或655或25【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设,AC BD 交于点O ，点1E 在线段AD 上，2E 在AD 的延长线上，过点AC 作AC ，BD 的垂线，垂足分别为123,,F F F ，进而分别求得垂线段的长度，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，4AB =，8BC =，∴8AD BC ==，4CD AB ==，∴22224845AC AD CD =+=+=∴45sin 545CD CAD AC ∠===，825cos 545CAD ∠==，41tan 82CAD ∠==如图所示，设,AC BD 交于点O ，点1E 在线段AD 上，2E 在AD 的延长线上，过点AC 作AC ，BD 的垂线，垂足分别为123,,F F F ∵AO DO=∴OAD ODA∠=∠当E 在线段AD 上时，∴1826AE AD DE =-=-=在11Rt AE F 中个，111565sin 655E F AE CAD =⋅∠==∵OAD ODA∠=∠在12Rt E F D 中，12112525sin 255E F DE E DF =∠=⨯=；当E 在射线AD 上时，在2Rt DCE 中，221tan 42DCE ∠==∴CAD DCE∠=∠∴90DCE DCA ∠+∠=︒∴2E C AC⊥∴2E C ===在23Rt DE F中，232232sin 55E F DE E DF DE =⨯∠=⨯=综上所述，点E 到对角线所在直线的距离为：255或5或或655或三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内23.已知：ABC．（1）尺规作图：画出ABC 的重心G ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，连接AG ，BG ．已知ABG 的面积等于25cm ，则ABC 的面积是______2cm ．【答案】（1）见解析（2）15【解析】【分析】本题考查了三角形重心的性质，画垂线；（1）分别作,BC AC 的中线，交点即为所求；（2）根据三角形重心的性质可得23ABG ABD S S = ，根据三角形中线的性质可得2215cm ABC ABD S S == 【小问1详解】解：作法：如图所示①作BC 的垂直平分线交BC 于点D②作AC 的垂直平分线交AC 于点F③连接AD 、BF 相交于点G④标出点G ，点G 即为所求【小问2详解】解：∵G 是ABC 的重心，∴23AG AD =∴23ABG ABD S S = ∵ABG 的面积等于25cm ，∴27.5cm ABD S = 又∵D 是BC 的中点，∴2215cmABC ABD S S == 故答案为：15．24.为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．【答案】（1）60（2）30%，作图见解析（3）1 6【解析】【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率；（1）根据D组的人数除以占比得出总人数；（2）根据总人数求得A组的人数，进而求得占比，以及补全统计图；（3）根据列表法或画树状图法求概率，即可求解．【小问1详解】解：参加本次问卷调查的学生共有1220%60÷=（人）；【小问2详解】解：A组人数为6020101218---=人A组所占的百分比为：18100%30% 60⨯=补全统计图如图所示，【小问3详解】画树状图法如下图列表法如下图A B C DA(),B A(),C A(),D AB(),A B(),C B(),D BC(),A C(),B C(),D CD(),A D(),B D(),C D由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．∴P（选中的2个社团恰好是B和C）21 126 ==．25.为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间minx之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为1y；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为2y．请根据函数图象信息解决下列问题．①小刘每天早上需要骑行A 种电动车或B 种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m /min （每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km ，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写A 或B ）．②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x 的值______．【答案】（1）A 、B 两种电动车的单价分别为1000元、3500元（2）当购买A 种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元（3）①B②5或40【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；（1）设A 、B 两种电动车的单价分别为x 元、y 元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解；（2）设购买A 种电动车m 辆，则购买B 种电动车()200m -辆，根据题意得出m 的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解；（3）①根据函数图象，即可求解；②分别求得12,y y 的函数解析式，根据214y y -=，解方程，即可求解．【小问1详解】解：设A 、B 两种电动车的单价分别为x 元、y 元由题意得，258030500060120480000x y x y +=⎧⎨+=⎩解得10003500x y =⎧⎨=⎩答：A 、B 两种电动车的单价分别为1000元、3500元【小问2详解】设购买A 种电动车m 辆，则购买8种电动车()200m -辆，由题意得:()12002m m ≤-解得：2003m ≤设所需购买总费用为w 元，则()100035002002500700000w m m m =+-=-+25000-< ，w 随着m 的增大而减小，m 取正整数66m ∴=时，w 最少∴700000250066535000w =-⨯=最少(元)答：当购买A 种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元【小问3详解】解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为300m /min ，小刘家到公司的距离为8km ，∴所用时间为80002263003=分钟，根据函数图象可得当20x >时，21y y <更省钱，∴小刘选择B 种电动车更省钱，故答案为：B ．②设11y k x =，将()20,8代入得，1820k =解得：25k =∴125y x =；当010x <≤时，26y =，当10x >时，设222y k x b =+，将()10,6，()20,8代入得，2222610820k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：22154k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴2145y x =+依题意，当010x <<时，214y y -=即2645x -=解得：5x =当10x >时，214y y -=即124455x x +-=解得：0x =（舍去）或40x =故答案为：5或40．26.如图1，O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的O 与AD 相切于点E ，与AC 相交于点F ．（1）求证：AB 与O 相切．（2）若正方形ABCD 1，求O 的半径．（3）如图2，在（2）的条件下，若点M 是半径OC 上的一个动点，过点M 作MN OC ⊥交 CE 于点N ．当:1:4CM FM =时，求CN 的长．【答案】（1）证明见解析（2（3）2105【解析】【分析】（1）方法一：连接OE ，过点O 作OG AB ⊥于点G ，四边形ABCD 是正方形，AC 是正方形的对角线，得出OE OG =，进而可得OG 为O 的半径，又OG AB ⊥，即可得证；方法二：连接OE ，过点O 作OG AB ⊥于点G ，根据正方形的性质证明()AAS AOE AOG ≌得出OE OG =，同方法一即可得证；方法三：过点O 作OG AB ⊥于点G ，连接OE ．得出四边形AEOG 为正方形，则OE OG =，同方法一即可得证；（2）根据O 与AD 相切于点E ，得出90AEO ∠=︒，由（1）可知AE OE =，设AE OE OC OF R ====，在Rt AEO △中，勾股定理得出AO =，在Rt ADC 中，勾股定理求得AC ，进而根据OA OC AC +=建立方程，解方程，即可求解．（3）方法一：连接ON ，设CM k =，在Rt OMN △中，由勾股定理得：2MN k =，在Rt CMN 中，由勾股定理得：CN =，结合题意522FC k R ====得出225k =，即可得出CN =；方法二：连接FN ，证明CNM CFN ∽△△得出2CN CM CF =⋅，进而可得12255CM CF ==，同理可得CN方法三：连接FN ，证明CNM CFN ∽△△得出2NC MC FC =⋅，设CM k =，则5FC k =，进而可得NC =，进而同方法一，即可求解．【小问1详解】方法一：证明：连接OE ，过点O 作OG AB ⊥于点G ，O 与AD 相切于点E ，∴OE AD ⊥．四边形ABCD 是正方形，AC 是正方形的对角线，∴45BAC DAC ∠=∠=︒，∴OE OG =，OE 为O 的半径，OG ∴为O 的半径，OG AB ⊥，AB ∴与O 相切．方法二：证明：连接OE ，过点O 作OG AB ⊥于点G ，O 与AD 相切于点E ，∴OE AD ⊥，∴90AEO AGO ∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，∴45BAC DAC ∠=∠=︒，又 AO AO =，∴()AAS AOE AOG ≌，∴OE OG =，OE 为O 的半径，OG ∴为O 的半径，OG AB ⊥，AB ∴与O 相切．方法三：证明：过点O 作OG AB ⊥于点G ，连接OE ．AD 与O 相切，OE 为O 半径，∴OE AE ⊥，∴90AEO ∠=︒，OG AB ⊥，∴90AGO ∠=︒，又 四边形ABCD 为正方形，∴90BAD ∠=︒，∴四边形AEOG 为矩形，又AC 为正方形的对角线，∴45EAO GAO AOE ∠=∠=∠=︒，∴OE AE =，∴矩形AEOG 为正方形，∴OE OG =．又OE 为O 的半径，OG ∴为O 的半径，又 OG AB ⊥，AB ∴与O 相切．【小问2详解】解：AC 为正方形ABCD 的对角线，∴45DAC ∠=︒，O 与AD 相切于点E ，∴90AEO ∠=︒，∴由（1）可知AE OE =，设AE OE OC OF R ====，在Rt AEO △中，222AE EO AO +=，∴222AO R R =+，0R >，∴AO =，又 正方形ABCD 1．在Rt ADC 中，∴)1AC ==+，OA OC AC +=，∴)1R +=，∴R =．∴O 的半径为．【小问3详解】方法一：解：连接ON ，设CM k =，:1:4CM FM =，∴5CF k =，∴ 2.5OC ON k ==，∴ 1.5OM OC CM k =-=．在Rt OMN △中，由勾股定理得：2MN k =，在Rt CMN 中，由勾股定理得：CN =，又 522FC k R ====，∴225k =．∴55CN ==．方法二：解：连接FN ，CF 为O 的直径，∴90CNF ∠=︒，∴90FNM CNM ∠+∠=︒，MN AC ⊥，∴90NFM FNM ∠+∠=︒，∴NFM CNM ∠=∠，NCM FCN ∠=∠，∴CNM CFN ∽△△，∴2CN CM CF =⋅，:1:4CM FM =，5CF CM =，∴CN =， 22CF R ===∴12255CM CF ==，方法三：解：连接FN ，CF 为O 的直径，∴90CNF ∠=︒，∴90FNM CNM ∠+∠=︒，MN AC ⊥，∴90NFM FNM ∠+∠=︒，∴NFM CNM ∠=∠，NCM FCN ∠=∠，∴CNM CFN ∽△△，∴NCFCMC NC =，∴2NC MC FC =⋅，:1:4CM FM =，∴:1:5CM FC =，设CM k =，则5FC k =，∴25NC k k =⨯，∴NC =．又 522FC k R ====，∴225k =，【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．27.综合与实践问题情境在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片ABC 和DEF 满足90ACB EDF ∠=∠=︒，2cm AC BC DF DE ====．下面是创新小组的探究过程．操作发现（1）如图1，取AB 的中点O ，将两张纸片放置在同一平面内，使点O 与点F 重合．当旋转DEF 纸片交AC 边于点H 、交BC 边于点G 时，设()12AH x x =<<，BG y =，请你探究出y 与x 的函数关系式，并写出解答过程．问题解决（2）如图2，在（1）的条件下连接GH ，发现CGH 的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．拓展延伸（3）如图3，当点F 在AB 边上运动（不包括端点A 、B ），且始终保持60AFE ∠=︒．请你直接写出DEF 纸片的斜边EF 与ABC 纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．【答案】（1）()212y x x=<<，见解析；（2）2，见解析；（3）2+或2【解析】【分析】（1）根据题意证明AFH BGF ∽△△，得出关系式AH BG AF BF ⋅=⋅，进而求得AB AF BC ===，代入比例式，即可求解；（2）方法一：勾股定理求得GH ，将将（1）中2xy =代入得2GH x y =+-，进而根据三角形的周长公式，即可求解；方法二：证明AOH BGO ∽△△，HAO HOG ∽△△，过O 作OM AH ⊥交AH 于点M ，作OP HG ⊥交HG 于点P ，作ON GB ⊥交GB 于点N ．证明OMH OPH △≌△，OPG ONG △≌△，得出HG MH GN =+，得出112CM CN BC ===，进而根据三角形的周长公式可得CHG △的周长2212CM CN CM =+==⨯=．方法三：过O 作OM AH ⊥交AH 于点M ，作ON GB ⊥交GB 于点N ，在NB 上截取一点Q ，使NQ MH =，连接OC ．得出OMH ONQ △≌△，OHG OQG △≌△，则HG GQ GN MH ==+，同方法二求得112CM CN BC ===，进而即可求解；（3）分两种情况讨论，EF 于,AC BC 的夹角；①过点F 作FN AC ⊥于点N ，作FH 的垂直平分线交FN于点M ，连接MH ，在Rt MNH △中，设NH k =，由勾股定理得，(2FN MN MF k =+=+，进而根据正确的定义，即可求解；②过点F 作FN BC ⊥于点N ，作FG 的垂直平分线交BG 于点M ，连接FM ，在Rt FNM △中，设FN k =，同①即可求解．．【详解】操作发现解：（1）∵90ACB EDF ∠=∠=︒，且2cm AC BC DF DE ====．∴45A B DFE ∠=∠=∠=︒，∴135AFH BFG BFG FGB ∠+∠=∠+∠=︒，∴AFH FGB ∠=∠，∴AFH BGF ∽△△，∴AF AH BG BF=，∴AH BG AF BF ⋅=⋅．在Rt ACB △中，2AC BC ==，∴AB ===∵O 是AB 的中点，点O 与点F 重合，∴AF BF ==，∴xy =，∴()212y x x =<<．问题解决（2）方法一：解：CGH 的周长定值为2．理由如下：∵2AC BC ==，AH x =，BG y =，∴2CH x =-，2CG y =-，在Rt HCG 中，∴GH ===．将（1）中2xy =代入得：∴2GH x y ===+-．∵()22222244x y x y xy x y +=++=++≥，又∵12x <<，∴2x y +>，∴2GH x y =+-．∵CHG △的周长CH CG GH =++，∴CHG △的周长2222x y x y =-+-++-=．方法二：解：CGH 的周长定值为2．理由如下：∵ABC 和DEF 是等腰直角三角形，∴45A B E EOD ∠=∠=∠=∠=︒，∵180AOH BOG EOD ∠+∠+∠=︒，∴135AOH BOG ∠+∠=︒，在AOH △中，45A ∠=︒，∴135AOH AHO ∠+∠=︒，∴AHO BOG ∠=∠，∴AOH BGO ∽△△，∴AO OHAHBG OG OB ==，AOH OGB ∠=∠，AHO BOG ∠=∠，∵O 为AB 的中点，∴AO BO =，∴OH AHOG AO =，又∵45A EOD ∠=∠=︒，∴HAO HOG ∽△△，AHO OHG ∠=∠，OGB OGH ∠=∠，∴过O 作OM AH ⊥交AH 于点M ，作OP HG ⊥交HG 于点P ，作ON GB ⊥交GB 于点N ．∴OM OP ON ==．又∵OH OH =，OG OG =，∴OMH OPH △≌△，OPG ONG △≌△，∴HM PH =，PG NG =，∴HG MH GN =+．∵CHG △的周长CH CG GH CH CG MH GN CM CN =++=+++=+．又∵AO OB =，OM ON =，45A B ∠=∠=︒，∴AOM BON ≌，∴AM BN =，∵90C ∠=︒，90AMO ∠=︒，∴OM BC ∥，∵O 是AB 的中点，∴点M 是AC 的中点，同理点N 是BC 的中点．∴112CM CN BC ===，∴CHG △的周长2212CM CN CM =+==⨯=．方法三：解：CGH 的周长定值为2．理由如下：过O 作OM AH ⊥交AH 于点M ，作ON GB ⊥交GB 于点N ，在NB 上截取一点Q ，使NQ MH =，连接OC ．∵ABC 是等腰直角三角形，O 为AB 的中点，∴OC 平分ACB ∠，∴OM ON =，∴OMH ONQ △≌△，∴OH OQ =，MOH NOQ ∠=∠．∵45HOG Ð=°，90ACB ∠=︒，∴90MON ∠=︒，45MOH GON ∠+∠=︒，∴45GOQ ∠=︒，∴HOG GOQ ∠=∠，∵OG OG =，∴OHG OQG △≌△，∴HG GQ GN MH ==+，∴CHG △的周长CH CG GH CH CG MH GN CM CN =++=+++=+．又∵AO OB =，OM ON =，45A B ∠=∠=︒，∴AOM BON ≌，∴AM BN =．∵90C ∠=︒，90AMO ∠=︒，∴OM BC ∥．∵O 是AB 的中点，∴点M 是AC 的中点，同理点N 是BC 的中点．∴112CM CN BC ===，∴CHG △的周长2212CM CN CM =+==⨯=．拓展延伸（3）2+或2①解：∵60AFE ∠=︒，45A ∠=︒，∴75AHF ∠=︒，过点F 作FN AC ⊥于点N ，作FH 的垂直平分线交FN 于点M ，连接MH ，∴FM MH =，∵90FNH ∠=︒，∴15NFH ∠=︒，∵FM MH =，∴15NFH MHF ∠=∠=︒，∴=30NMH ∠︒，在Rt MNH △中，设NH k =，∴2MH MF k ==，由勾股定理得，MN ==，∴(2FN MN MF k =+=+，∴在Rt FNH △中，(2tan tan 752kFN FHNNHk +∠=︒===+②解：∵60AFE ∠=︒，45A ∠=︒，∴15FGB ∠=︒，过点F 作FN BC ⊥于点N ，作FG 的垂直平分线交BG 于点M ，连接FM ．∵GM MF =，∴15FGB GFM ∠=∠=︒，∴30FMB ∠=︒，在Rt FNM △中，设FN k =，∴2GM MF k ==，由勾股定理得，MN ==，∴(2GN GM MN k =+=+，∴在Rt FNG △中，tan tan152FN FGN GN ∠=︒===-．∴tan 2FHN ∠=+或tan 2FGN ∠=．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质与判定，解直角三角形是解题的关键．28.综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与直线相交于A ，B 两点，其中点()3,4A ，()0,1B ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）过点B 作BC x ∥轴交抛物线于点C ，连接AC ，在抛物线上是否存在点P 使1tan tan 6BCP ACB ∠=∠．若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到()2111110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点E 为原抛物线对称轴上的一点，F 是平面直角坐标系内的一点，当以点B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F 的坐标．【答案】（1）241y x x =-++（2）存在，点P 坐标为1111,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，215,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，补图见解析（3）()11,3F -、(23,4F -、(33,4F +、()41,2F -【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据平行线的性质可得2141c y x x ==-++，求得()4,1C ，进而分别求得()3,4A ，()3,1Q ，根据1tan tan 6BCP ACB ∠=∠可得1tan 2BCP ∠=，设直线CP 交y 轴于点M ，则()10,3M ，()20,1M -．进而可得1C M ，2CM 的解析式为1132CM y x =-+，2112CM y x =-，连接1C M 交抛物线于1P ，连接2CM 交抛物线于2P ，进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解．（3）①以BD 为对角线，如图作BD 的垂直平分线1ME 交BD 于点M 交直线2x =于1E ，设()12,E y ，根据两点距离公式可得2y =，根据中点坐标公式可得()11,3F -，②以BD 为边，如图以B 为圆心，BD 为半径画圆交直线2x =于点2E ，3E ；连接2BE ，3BE ，根据勾股定理求得2,BD BE ，进而得出(22,1E ，(32,1E +，根据平移的性质得出(23,4F ，(33,4F +，③以BD 为边，如图以点D 为圆心，BD 长为半径画圆交直线2x =于点4E 和5E ，连接4DE ，5DE ，则45DE DE BD ===，过点D 作45DH E E ⊥于点H ，则1DH =，在4Rt DHE △和5Rt DHE △中，由勾股定理得453HE HE ==，则()42,1E 、()52,7E ，根据45tan tan 3DBE E DH ∠=∠=，可得45DBE E DH ∠=∠，过点B 作44BF DE ∥，过4E 作44E F BD ∥，4BF 和44E F 相交于点4F ，4BE 的中点()1,1G ．根据中点坐标公式可得()41,2F -；【小问1详解】解：∵把点()3,4A ，()0,1B 代入2y x bx c =-++得9341b c c -++=⎧⎨=⎩，解得41b c =⎧⎨=⎩，∴241y x x =-++．【小问2详解】存在．理由：∵BC x ∥轴且()0,1B ，∴2141c y x x ==-++，∴10x =（舍去），24x =，∴()4,1C ．过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，在Rt ACQ 中，∵()3,4A ，∴()3,1Q ，∵1tan tan 6BCP ACB ∠=∠，∴111tan 3662AQ BCP CQ ∠=⨯=⨯=．设直线CP 交y 轴于点M ，4BC =，90CBM ∠=︒，∴()10,3M ，()20,1M -．连接1C M 交抛物线于1P ，连接2CM 交抛物线于2P ，∴1C M ，2CM 的解析式为1132CM y x =-+，2112CM y x =-，∴1213241CM y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，解得()12124x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩舍去，或2211241CM y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=-++⎩，解得()34124x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩舍去．∴把112x =，312x =-代入241y x x =-++得1114y =，354y =-，∴1111,24P ⎛⎫⎪⎝⎭，215,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上所述，满足条件的点P 坐标为1111,24P ⎛⎫⎪⎝⎭，215,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【小问3详解】()11,3F -、(23,4F、(33,4F +、()41,2F -．方法一：①以BD 为对角线，如图作BD 的垂直平分线1ME 交BD 于点M 交直线2x =于1E ∵()0,1B ，()1,4D ，∴15,22M ⎛⎫⎪⎝⎭．设()12,E y ，∵11DE BE =，∴()()22221421y y +-=+-，∴2y =，∴()12,2E ，∵M 是11E F 的中点，∴()11,3F -．。
黑龙江省龙东地区2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列各运算中，计算正确的是（）A. a2⋅2a2=2a4B. x8÷x2=x4C. (x−y)2=x2−xy+y2D. (−3x2)3=−9x6【答案】A【考点】同底数幂的乘法，单项式乘单项式，完全平方公式及运用，积的乘方【解析】【解答】A．a2⋅2a2=2a4，符合题意；B．x8÷x2=x8−2=x6，故B选项不符合题意；C．(x−y)2=x2−2xy+y2，故C选项不符合题意；D．(−3x2)3=−27x6，故D选项不符合题意，故答案为：A．【分析】根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可．2.下列图标中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故答案为：B．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；故答案为：B．【分析】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．4.一组从小到大排列的数据: a,3,4,4,6( a为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是（）A. 3.6或4.2B. 3.6或3.8C. 3.8或4.2D. 3.8或4.2【答案】B【考点】平均数及其计算，众数【解析】【解答】∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，∴a=1或2，当a=1时，平均数为1+3+4+4+65=3.6；当a=2时，平均数为2+3+4+4+65=3.8；故答案为：C.【分析】根据众数的定义得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得.5.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A. k<14B. k≤14C. k>4D. k≤14且k≠0【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴△=b2−4ac≥0,∵a=1,b=−(2k+1),c=k2+2k,∴[−(2k+1)]2−4×1×(k2+2k)≥0,∴−4k≥−1,∴k≤14.故答案为：B．【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．6.如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B(−1,1)，∠ABC=120°，则k的值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴BA=AD，AC⊥BD，∵∠ABC=120 °，∴∠ABO=60 °，∵点B（-1，1），∴OB= √12+12=√2，∵tan60°=AO，OB∴AO= √2tan60°=√6，作BF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，∵点B（-1，1），∴OF=BF=1，∴∠FOB=∠BOF=45 °，∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90 °，∴∠AOE=∠BOF=45 °，∴△AOE为等腰直角三角形，∵AO =√6，∴AE=OE=AO ⋅cos45°=√6×√2=√3，2∴点A的坐标为（√3，√3），∵点A在反比例函数y=k的图象上，x∴k=xy=3，故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OB的长，利用三角函数得到OA的长，求得∠AOE=∠BOF=45 °，继而求得点A的坐标，即可求解．7.已知关于x的分式方程xx−2−4=k2−x的解为正数，则c的取值范围是（）A. −8<k<0B. k>−8且k≠−2C. k>−8D. k<4且k≠−2【答案】B【考点】分式方程的解及检验，解一元一次不等式【解析】【解答】方程两边同时乘以x−2得，x−4(x−2)+k=0，解得：x=8+k3．∵x为正数，∴8+k3>0，解得k>−8，∵x≠2，∴8+k3≠2，即k≠−2，∴k的取值范围是k>−8且k≠−2．故答案为：B．【分析】先解分式方程利用l表示出x的值，再由x为正数求出k的取值范围即可．8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为（）A. 4B. 5C. √13D. 6【答案】A【考点】菱形的性质，直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= AC×BD2=48，∴BD=8，∵DH⊥AB，BO=DO=4，∴OH= 12BD=4．故答案为：A．【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A 种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A. 12种B. 15种C. 16种D. 14种【答案】 D【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得10x+20y+30z=200，即x+2y+3z=20，由题意得x,y,z均为正整数．①当z=1时，x+2y=17∴x=17−y2，∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；②当z=2时，x+2y=14∴x=14−y2，∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；综上所述：共有8+6=14种购买方案．故答案为：D【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得10x+20y+30z=200，化简后根据x,y,z均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．10.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：① ∠ECF=45°；② ΔAEG的周长为(1+√22)a；③ BE2+DG2=EG2；④ ΔEAF的面积的最大值是18a2；⑤当BE=13a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ②④⑤C. ①③④D. ①④⑤【答案】 D【考点】三角形全等及其性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH= √2BE，∵AF= √2BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①符合题意，如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③不符合题意，∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故②不符合题意，设BE= x，则AE= a−x，AF= √2x，∴S△AEF= 12(a−x)x=−12x2+12ax=−12(x−12a)2+18a2，∵−12<0，∴当x=12a时，，△AEF的面积的最大值为18a2，故④符合题意；如图3，延长AD到H，使得DH=BE，同理：EG=GH，∵BE=13a，则AE=23a，设AG= y，则DG= a−y，∴EG=GH = a−y+13a=43a−y，在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，即(23a)2+y2=(43a−y)2，解得：y=12a，∴当BE=13a时，G是线段AD的中点，故⑤符合题意；综上，①④⑤符合题意，故答案为：D．【分析】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可判断①符合题意；如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可判断②③不符合题意；设BE=x，则AE=a-x，AF= √2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④符合题意；设AG= y，利用前面所证EG=GH，在Rt△AEG中，利用勾股定理求得y=12a，即可判断⑤符合题意．二、填空题（共10题；共10分）11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为________.【答案】3×108【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：300000000的小数点向左移动8位得到3，所以300000000用科学记数法表示为3×108。
2024年黑龙江省龙东地区中考数学真题卷及答案解析
黑龙江省龙东地区2024年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列计算正确的是（）A.326a a a ⋅= B.()527a a = C.()339328a b a b -=- D.()()22a b a b a b -++=-2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A.3B.4C.5D.64.一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A.1B.0.8C.0.6D.0.55.关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A.4m ≤ B.4m ≥ C.4m ≥-且2m ≠ D.4m ≤且2m ≠6.已知关于x 的分式方程2333x xkx -=--无解，则k 的值为（）A.2k =或1k =- B.2k =- C.2k =或1k = D.1k =-7.国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A .5B.4C.3D.28.如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（）A.4.5B.3.5C.3D.2.59.如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（）A.B.455C.355D.10.如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sin 10NBC ∠=；④BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（）A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11.国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为________．12.在函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是________．13.已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件_________________可使菱形ABCD 成为正方形．14.七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是________．15.关于x 的不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．16.如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠________︒．17.若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________︒．18.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，1AD =，线段AD 绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是________．19.矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为________．20.如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→ ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，3A 的坐标是313,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是________．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭，其中cos60m =︒．22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,3B -，()5,2C -．（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；（2）画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）23.如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()1,0B ，()0,3C ．（1）求抛物线的解析式．（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得APC △的面积最大．若存在，请直接写出点P 坐标和APC △的面积最大值；若不存在，请说明理由．24.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：组别分组（cm ）频数A 50100x <≤3B 100150x <≤m C 150200x <≤20D 200250x <≤14E250300x <≤5（1）频数分布表中m =，扇形统计图中n =．（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别．（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm 为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？25.甲、乙两货车分别从相距225km 的A 、B 两地同时出发，甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，乙货车沿同一条公路从B 地驶往A 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，结果比甲货车晚半小时到达B 地．如图是甲、乙两货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是km/h ，乙货车的速度是km/h ；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B 地的过程中，甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．26.已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，12MAN BAC ∠=∠，MAN ∠在BAC ∠的内部，点M 、N 在BC 上，点M 在点N 的左侧，探究线段BM NC MN 、、之间的数量关系．（1）如图①，当90BAC ∠=︒时，探究如下：由90BAC ∠=︒，AB AC =可知，将ACN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABP ，则CN BP =且90PBM ∠=︒，连接PM ，易证AMP AMN △≌△，可得MP MN =，在Rt PBM △中，222BM BP MP +=，则有222BM NC MN +=．（2）当60BAC ∠=︒时，如图②：当120BAC ∠=︒时，如图③，分别写出线段BM NC MN、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．27.为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？28.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，OA 的长度是一元二次方程2560x x --=的根，动点P 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA AB -运动，动点Q 从点O 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB BA -运动，P 、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒（0 3.6t <<），OPQ △的面积为S ．（1）求点A 的坐标；（2）求S 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S =M 在y 轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．黑龙江省龙东地区2024年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列计算正确的是（）A.326a a a ⋅= B.()527a a = C.()339328a b a b -=- D.()()22a b a b a b -++=-【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可．【详解】解：A 、3256a a a a ⋅=≠，故选项A 计算错误，此选项不符合题意；B 、()52107a a a =≠，故选项B 计算错误，此选项不符合题意；C 、()339328a b a b -=-，此选项计算正确，符合题意；D 、()()()()22a b a b b a b a b a -++=-+=-，故选项D 计算错误，此选项不符合题意；故选：C ．2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：B．3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．故选B．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．4.一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A.1 B.0.8C.0.6D.0.5【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．【详解】平均数为：()233443+++÷=方差为：()()()()222221233333434S ⎡⎤=⨯-+-+-+-⎣⎦()110014=⨯+++0.5=故选：D ．5.关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A.4m ≤B.4m ≥C.4m ≥-且2m ≠D.4m ≤且2m ≠【答案】D 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-的意义得到20m -≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有实数根，20m ∴-≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．6.已知关于x 的分式方程2333x xkx -=--无解，则k 的值为（）A.2k =或1k =-B.2k =- C.2k =或1k = D.1k =-【答案】A 【解析】【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．【详解】解：去分母得，2(3)3kx x --=-，整理得，(2)9k x -=-，当2k =时，方程无解，当2k ≠时，令3x =，解得1k =-，所以关于x 的分式方程2333x xkx -=--无解时，2k =或1k =-．故选：A ．7.国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，利用总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，再结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，依题意得：3228x y +=，3142y x ∴=-．又x ，y 均为正整数，∴211x y =⎧⎨=⎩或48x y =⎧⎨=⎩或65x y =⎧⎨=⎩或82x y =⎧⎨=⎩，∴共有4种不同的购买方案．故选：B ．8.如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（）A.4.5B.3.5C.3D.2.5【答案】A 【解析】【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明AFE ODE ∽，有AF AE EFOD OE DE==，根据E 为AO 的中点，可得AF OD =，EF DE =，进而有1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a===，可得6B y OD a ==，2B x a =，则有32BE BD DE a =-=，问题随之得解．【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫⎪⎝⎭，0a >，∵BD y ⊥轴，AF BD ⊥，∴AF y ∥轴，DF a =，∴AFE ODE ∽，∴AF AE EFOD OE DE==，∵E 为AO 的中点，∴AE OE =，∴1AF AE EFOD OE DE===，∴AF OD =，EF DE =∴1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===，∵B OD y =，∴6B y OD a==，∴2B x a =，∴2B BD x a ==，∴32BE BD DE a =-=，∴116394.52222ABES AF BE a a =⨯⨯=⨯⨯== ，故选：A ．9.如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（）A.B.455C.355D.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．先由菱形性质可得对角线AC 与BD 交于点O ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得2OA OC OM ===，进而由菱形对角线求出边长，由sin sin 5MAC OBC ∠=∠=解三角形即可求出45sin 5MC AC MAC =∠=，35tan 5MN BM OBC =∠=．【详解】解：连接AC ，如图，∵菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，又∵点O 是BD 的中点，∴A 、O 、C 三点在同一直线上，∴OA OC =，∵2OM =，AM BC ⊥，∴2OA OC OM ===，∵8BD =，∴142OB OD BD ===，∴BC ===，21tan 42OC OBC OB ===∠，∵90ACM MAC ∠+∠=︒，90ACM OBC ∠+∠=︒，∴MAC OBC ∠=∠∴5sin sin5OC MAC OBC BC ∠=∠==，∴sin 5MC AC MAC =∠=，∴456555BM BC MC =-==，∴65135tan 525MN BM OBC =∠=⨯=，故选：C ．10.如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则10sin 10NBC ∠=；④BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（）A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤【答案】A 【解析】【分析】连接DG，可得BDAB=AC 垂直平分BD ，先证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，即可判断①；根据AC 垂直平分BD ，结合互余可证明DG FG =，即有DG FG BG ==，则可判断②正确；证明ABM DBN ∽，即有BN BDBM AB==，可判断④；根据相似有212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，根据12AH D H =可得3AH AD =，再证明AHM CBM ∽，可得13AHM ABM S HM S BM == ，即可判断⑤；根据点H 是AD 的中点，设2AD =，即求出BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，可得23BM BH ==，即可得BN ==，进而可判断③．【详解】连接DG ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BDC BAC ADB ∠=∠=∠=︒，2BDAB=90BAD ADC ∠=∠=︒，AC 垂直平分BD ，∴90CDP ∠=︒，∵DF 平分CDP ∠，∴1452CDF CDP CDB ∠=∠=︒=∠，∴90BDF CDF CDB ∠=∠+∠=︒，∵90BHF BDF ∠=︒=∠，∴点B 、H 、D 、F 四点共圆，∴45HFB HDB ∠=∠=︒，DHF DBF ∠=∠，∴18045HBF HFB FHB ∠=︒-∠-∠=︒，故①正确，∵AC 垂直平分BD ，∴BG DG =，∴BDG DBG ∠=∠，∵90BDF ∠=︒，∴90BDG GDF DBG DFG ∠+∠=︒=∠+∠，∴GDF DFG ∠=∠，∴DG FG =，∴DG FG BG ==，∴点G 是BF 的中点，故②正确，∵90BHF BAH ∠=︒=∠，∴90AHB DHF AHB ABH ∠+∠=︒=∠+∠，∴DHF ABH ∠=∠，∵DHF DBF ∠=∠，∴ABH DBF ∠=∠，又∵45BAC DBC ∠=∠=︒，∴ABM DBN ∽，∴BN BDBM AB==∴BN =，故④正确，∴212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，若12AH D H =，则()1122AH HD AD AH ==-，∴3AH AD =，∴13=AH AD ，即13H H A A BC AD ==，∵AD BC ∥，∴AHM CBM ∽，∴13HM AH BM BC ==，∴13AHM ABM S HM S BM == ，∴3ABM AHM S S = ，∵12ABM DBN S S = ，∴26BND ABM AHM S S S == △，故⑤错误，如图，③若点H 是AD 的中点，设2AD =，即2AB BC AD ===，∴112AH AD ==，∴BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，∴12HM AH BM BC ==，∴32HM BM BHBM BM +==，∴23BM BH ==，∵BN =，∴BN ==，∵2BC =，∴在Rt BNC △中，23NC ==，10sin 10NC NBC BN ∠==，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A ．【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，ABM DBN ∽，是解答本题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11.国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为________．【答案】121.390810⨯【解析】【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．【详解】1 亿81.010=⨯，13908亿48121.39081010 1.390810=⨯⨯=⨯故答案为：121.390810⨯12.在函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是________．【答案】3x ≥##3x ≤【解析】【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，30x -≥，且20x +≠，解得，3x ≥，故答案为：3x ≥．13.已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件_________________可使菱形ABCD 成为正方形．【答案】AC BD =或AB BC ⊥【解析】【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可.【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC BD =；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB BC ⊥；故添加的条件为：AC BD =或AB BC ⊥．14.七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是________．【答案】35【解析】【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：123205=，故答案为：35．15.关于x 的不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．【答案】102a -≤<【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，即可得到关于a 的不等式组，然后求解即可．【详解】解：由420-≥x ，得：2x ≤，由102x a ->，得：2x a >， 不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，∴这3个整数解是0，1，2，120a ∴-≤<，解得102a -≤<，故答案为：102a -≤<．16.如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠________︒．【答案】65【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵ABC 内接于O ，AD 是直径，∴=90ACD ∠︒，∵ AC AC=,25B ∠=︒，∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒-︒=︒，故答案为：65．17.若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________︒．【答案】90【解析】【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式πS rl =求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【详解】根据圆锥侧面积公式：πS rl =，可得π336πl ⨯⨯=解得：12l =，2π1236π360n ⨯∴=，解得90n =，∴侧面展开图的圆心角是90︒．故答案为：90．18.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，1AD =，线段AD 绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是________．【答案】12+【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出BP 取最大值时B 、P 、M 三点的位置关系．取AC 的中点M ，连接PM 、BM ，利用解三角形求出BM ==形中位线定理推出1122PM AD ==，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值．【详解】解：取AC 的中点M ，连接PM 、BM ．∵90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，∴124tan 2BC AC BAC ==÷=∠，∴122AM CM AC ===，∴BM ===∵P 、M 分别是CD AC 、的中点，∴1122PM AD ==．如图，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值，最大值为12BM MP +=+，故答案为：12．19.矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为________．【答案】52或72或10【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC 即可．【详解】解：①点B 的对称点落在矩形对角线BD 上，如图1，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，由折叠性质可知：BB AP '⊥，∴BAP BPA BPA CBD∠+∠=∠+∠∴=BAP CBD∠∠∴3tan =tan =4CD BAP CBD BC ∠∠=，∴39tan 642BP AB BAP =∠=⨯=∴97822PC BC BP =-=-=；②点B 的对称点B '落在矩形对角线AC 上，如图2，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BCACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴532B C AC AB ''=-=-=∴452cos 52B CPC ACB '==÷=∠；③点B 的对称点B '落在矩形对角线CA 延长线上，如图3，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BCACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴538B C AC AB ''=+=+=∴4810cos 5B C PC ACB '==÷=∠；综上所述：则PC 长为52或72或10．故答案为：52或72或10．20.如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→ ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，3A 的坐标是313,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是________．【答案】()1,3【解析】【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A 的对应点1A ，2A ， ，12A 的坐标，发现规律即可解决问题．【详解】解： 正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，3OM MN NP OP ∴====,OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，∴等边三角形高为2，由题知，1A 的坐标是()2,0；2A 的坐标是()2,0；3A 的坐标是13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；继续滚动有，4A 的坐标是()3,2；5A 的坐标是()3,2；6A 的坐标是53,322⎛- ⎝⎭；7A 的坐标是()1,3；8A 的坐标是()1,3；9A 的坐标是35,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；10A 的坐标是()0,1；11A 的坐标是()0,1；12A 的坐标是13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；13A 的坐标是()2,0； 不断循环，循环规律为以1A ，2A ， ，12A ，12个为一组， 2024121688÷= ，∴2024A 的坐标与8A 的坐标一样为()1,3，故答案为：()1,3．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭，其中cos60m =︒．【答案】1m -+，12【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可．【详解】解：原式()()()()21111m m m m m m-+=⋅+--1m =-+，当1cos 602m =︒=时原式12=．22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,3B -，()5,2C -．（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；（2）画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）【答案】（1）作图见解析，()12,3B （2）作图见解析，()23,0B -（3）π2【解析】【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据题意画出即可；关于y 轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B 、C 以点A 为旋转中心逆时针旋转90︒后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出AB =90︒，利用弧长公式即可求出．【小问1详解】解：如图，111A B C △为所求；点1B 的坐标为()2,3，【小问2详解】如图，22AB C 为所求；()23,0B -，【小问3详解】AB ==点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长90551802=．23.如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()1,0B ，()0,3C ．（1）求抛物线的解析式．（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得APC △的面积最大．若存在，请直接写出点P 坐标和APC △的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+（2）存在，点P 的坐标是315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，APC △的面积最大值是278【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：（1）将B ，C 两点坐标代入函数解析式，求出b ，c 的值即可；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，根据APC APE AOC PCOE S S S S =+- 梯形可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.【小问1详解】解：将()1,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =-++得，103b c c -++=⎧⎨=⎩解得：23b c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=--+【小问2详解】解：对于223y x x =--+，令0,y =则2230,x x --+=解得，123,1x x =-=，∴()3,0A -，∴3,OA =∵()0,3C ，∴3OC =，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，如图，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，∴,3,OE x AE x =-=+∴APC APE AOC PCOE S S S S =+- 梯形()111222AE PE OC PE OE OA OC =⨯++⨯-⨯()()()()2211132332333222x x x x x x =+--++--+--⨯⨯23327228x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵302-<，∴S 有最大值，∴当32x =-时，S 有最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭24.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：组别分组（cm ）频数A50100x <≤3B100150x <≤m C150200x <≤20D 200250x <≤14x<≤5E250300（1）频数分布表中m=，扇形统计图中n=．（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别．（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？【答案】（1）8，40（2）C（3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，（1）用A组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B组的人数，用C组的人数除以总人数即可求解；（2）根据中位数的求法，即可求解；（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解．【小问1详解】÷=(人)解：被抽取的学生数为：36%50m=----=（人），故503201458n=，n=÷=，即40%205040%故答案为：8，40；【小问2详解】解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，382526，5142526+<<，+<<∴把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组，答案为：C；【小问3详解】解：14560022850+⨯=（人）答：该校立定跳远成绩合格的男生有228人．25.甲、乙两货车分别从相距225km 的A 、B 两地同时出发，甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，乙货车沿同一条公路从B 地驶往A 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，结果比甲货车晚半小时到达B 地．如图是甲、乙两货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是km/h ，乙货车的速度是km/h ；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B 地的过程中，甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．【答案】（1）30，40（2）EF 的函数解析式是()802154 5.5y x x =-≤≤（3）经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，乙货车到达配货站路程为120km ，到达后返回，所用时间为6h ，根据速度=距离÷时间即可得；（2）甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象结合已知条件可知(4,105)E 和点(5.5,225)F ，再利用待定系数法求出y 与x 的关系式即可得答案；（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地后、甲。
2023年黑龙江省大庆市中考数学真题 (原卷)
2023年大庆市初中升学考试数学考生注意：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答．在草稿纸、试题卷上作答无效．3．考试时间120分钟．4．全卷共28小题，总分120分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1.2023的相反数是（）A.12023 B.2023- C.2023 D.12023-2.搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F 遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A. B. C.D.3.大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（）A.91.26810⨯ B.81.26810⨯ C.71.26810⨯ D.61.26810⨯4.一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A. B. C. D.5.已知0a b +>，0ab >，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A.()a b ，B.()a b -，C.()--，a bD.()a b -，6.某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（）A .9，9，8.4 B.9，9，8.6C.8，8，8.6D.9，8，8.47.下列说法正确的是（）A.一个函数是一次函数就一定是正比例函数B.有一组对角相等的四边形一定是平行四边形C.两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等D.一组数据的方差一定大于标准差8.端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（）A.20% B.25% C.75% D.80%9.将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若BAD ∠=α，CBE β∠=，则β=（）A.1452α︒+B.3452α︒+C.1902α︒-D.3902α︒-10.如图1，在平行四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，已知点P 在边AB 上，以1m /s 的速度从点A 向点B 运动，点Q 在边BC 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P ，Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点C 处，此时两点都停止运动．图2是BPQ V 的面积()2m y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（）A.212mB.23mC.224mD.2243m 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）．12.一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为________．13.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD 如图所示，点N 在边AD 上，现将矩形折叠，折痕为BN ，点A 对应的点记为点M ，若点M 恰好落在边DC 上，则图中与NDM 一定相似的三角形是________．14.已知()121x x +-=，则x 的值为_____．15.新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________．16.若关于x 的不等式组3(1)68220x x x a ->-⎧⎨-+≥⎩有三个整数解，则实数a 的取值范围为________．17.1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为____．18.如图，在ABC 中，将AB 绕点A 顺时针旋转α至AB '，将AC 绕点A 逆时针旋转β至0180,01()80AC αβ'︒<<︒︒<<︒，得到AB C ''△，使180BAC B AC ''∠+∠=︒，我们称AB C ''△是ABC 的“旋补三角形”，AB C ''△的中线AD 叫做ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________．①ABC 与AB C ''△面积相同；②2BC AD =；③若AB AC =，连接BB '和CC '，则180B BC CC B '''∠+∠=︒；④若AB AC =，4AB =，6BC =，则10B C ''=．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：1112cos 452-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭．20.先化简，再求值：224224x x x x x x -++--，其中1x =．21.为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球22.某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268︒≈）23.为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为________，扇形统计图中的m =________；（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．24.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为线段CD 的中点，连接AC ，AE ，延长AE ，BC 交于点F ，连接DF ，90ACF ∠=︒．（1）求证：四边形ACFD 是矩形；（2）若13CD =，5CF =，求四边形ABCE 的面积．25.一次函数y x m =-+与反比例函数k y x=的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为()12，．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求OAB 的面积；（3）过动点()0T t ，作x 轴的垂线l ，l 与一次函数y x m =-+和反比例函数k y x=的图象分别交于M ，N 两点，当M 在N 的上方时，请直接写出t 的取值范围．26.某建筑物的窗户如图所示，上半部分ABC 是等腰三角形，AB AC =，:3:4AF BF =，点G 、H 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点；下半部分四边形BCDE 是矩形，BE IJ MN CD ∥∥∥，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF x =米，BE y =米．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当x 为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．27.如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上的一点，CD AD ⊥于点D ，AD 交O 于点F ，连接AC ，若AC 平分DAB ∠，过点F 作FG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，延长AB ，DC 交于点E ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：AF AC AE AH ⋅=⋅；（3）若4sin 5DEA ∠=，求AH FH的值．28.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，且自变量x 的部分取值与对应函数值y 如下表：x L1-01234L y L 03-4-3-05L备用图（1）求二次函数2y ax bx c =++的表达式；（2）若将线段AB 向下平移，得到的线段与二次函数2y ax bx c =++的图象交于P ，Q 两点（P 在Q 左边），R 为二次函数2y ax bx c =++的图象上的一点，当点Q 的横坐标为m ，点R 的横坐标为m +求tan RPQ ∠的值；（3）若将线段AB 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数21()y ax bx c t =++的图象只有一个交点，其中t 为常数，请直接写出t 的取值范围．。
黑龙江省龙东地区中考数学试卷及答案(Word解析版)
黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、填空题（每题3分，共30分）1．（3分）（•黑龙江）“大美大爱”的龙江人勤劳智慧，全省粮食总产量达到1152亿斤，夺得全国粮食总产第一，广袤的黑土地正成为保障国家粮食安全的大粮仓，1152亿斤用科学记数法表示为 1.152×1011斤．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将1152亿用科学记数法表示为1.152×1011．故答案为：1.152×1011．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（•黑龙江）在函数中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．解答：解：根据题意得：x+1≥0且x≠0 解得：x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．（3分）（•黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：AD=DC，使得平行四边形ABCD为菱形．考点：平行四边形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的定义得出答案即可．解答：解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；故答案为：AD=DC．点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．4．（3分）（•黑龙江）风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为．考点：概率公式．分析：由风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，∴选出一人担任班长，则组长是男生的为：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（•黑龙江）若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=﹣2．考点：一元二次方程的解．分析：先把x=1代入x2+3mx+n=0，得到3m+n=﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．解答：解：把x=1代入x2+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=﹣1，则6m+2n=2（3m+n）=2×（﹣1）=﹣2；故答案为：﹣2．点评：此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求m．n的值，要以整体的形式出现．6．（3分）（•黑龙江）二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．考点：二次函数的性质分析：因为顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标．解答：解：∵二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3是顶点式，∴顶点坐标为（5，3）．故答案为：（5，3）．点评：此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．7．（3分）（•黑龙江）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为2 cm．考点：圆锥的计算．分析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥高满足勾股定理，据此即可求得圆锥的高．解答：解：设圆锥底面的半径是r，则2πr=4π，则r=2．则圆锥的高是：=2cm．故答案是：2．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8．（3分）（•黑龙江）李明组织大学同学一起去看电影《致青春》，票价每张60元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了1200元，他们共买了20或25张电影票．考点：一元一次方程的应用．专题：分类讨论．分析：本题分票价每张60元和票价每张60元的八折两种情况讨论，根据数量=总价÷单价，列式计算即可求解．解答：解：①1200÷60=20（张）；②1200÷（60×0.8）1200÷48=25（张）．答：他们共买了20或25张电影票．故答案为：20或25．点评：考查了销售问题，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系．．9．（3分）（•黑龙江）梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若=2，则=或．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：分类讨论．分析：根据已知分别根据F在线段AB上后在AB的延长线上，进而利用平行线的分线段成比例定理得出的值．解答：解：如图1：∵AB=3，=2，∴AF=2，BF=1，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==；如图2：∵AB=3，=2，∴AF=6，BF=3，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==．故答案为：或．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论得出两种不同图形是解题关键．10．（3分）（•黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB n C n的面积为（）n．考点：等边三角形的性质专题：规律型．分析：由AB1为边长为2等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB n C n的面积．解答：解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；依此类推，第n个等边三角形AB n C n 的面积为（）n．故答案为：（）n点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3分）（•黑龙江）下列运算中，计算正确的是（）A．（x3）2=x5B．x2+x2=2x4C．（﹣2）﹣1=﹣D．（a﹣b）2=a2﹣b2考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．分析：A、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．解答：解：A、（x3）2=x6，本选项错误；B、x2+x2=2x2，本选项错误；C、（﹣2）﹣1=﹣，本选项正确；D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，本选项错误，故选C点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．12．（3分）（•黑龙江）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．析：解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．13．（3分）（•黑龙江）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（）A．4B．5C．6D．7考点：由三视图判断几何体．分析：易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，相加即可．解答：解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为4+2=6个．故选C．点评：考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．14．（3分）（•黑龙江）下表是我市某中学九年级（1）班右眼视力的检查结果：视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 5 4 3 6 1 1 5 9 6 根据表中提供的信息，这43名同学右眼视力的众数和中位数分别是（）A．4.9，4.6 B．4.9，4.7 C．4.9，4.65 D．5.0，4.65考点：众数；中位数．分析：根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．解答：解：视力为4.9的学生人数最多，故众数为4.9；共43为学生，中位数落在第22为学生处，故中位数为4.6．故选A．点评：本题考查了众数及中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．15．（3分）（•黑龙江）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着扇形AOB上OA →→BO的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：根据当爸爸在半径AO上运动时，离出发点距离越来越远；在弧BA上运动时，距离不变；在BO上运动时，越来越近，即可得出答案．解答：解：利用图象可得出：当爸爸在半径AO上运动时，离出发点距离越来越远；在弧AB上运动时，距离不变；在OB上运动时，越来越近．故选：C．点评：此题考查了函数随自变量的变化而变化的问题，能够结合图形正确分析距离y与时间x之间的大小变化关系，从而正确选择对应的图象．16．（3分）（•黑龙江）已知关于x 的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a≤1且a≠﹣2 D．a≤1考点：分式方程的解．分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围．解答：解：去分母，得a+2=x+1，解得，x=a+1，∵x≤0且x+1≠0，∴a+1≤0且a+1≠﹣1，∴a≤﹣1且a≠﹣2，∴a≤﹣1且a≠﹣2．故选B．点评：本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方．17．（3分）（•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3B．2C．3D．2考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系．分析：首先根据AB=BC，∠ABC=120°，求出∠C的度数，然后根据圆周角定理可知：∠D=∠C，又直径AD=6，易求得AB的长度．解答：解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠BAC=∠C=30°，∵AD为直径，AD=6，∴∠ABD=90°，∵∠D=30°，∴AB=AD=3．故选A．点评：本题考查了圆周角定理，难度一般，关键是掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角相等．18．（3分）（•黑龙江）如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y=的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC=90°，∠ACB=30°，OC=4，连接OA，∠ACO=60°，则k的值是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2考点：反比例函数综合题．分析：根据三角形外角性质得∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°，易得OA=OC=4，然后再Rt△AOB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=OC=2，AB=OB=2，则可确定C点坐标为（﹣2，2），最后把C点坐标代入反比例函数解析式y=中即可得到k的值．解答：解：∵∠ACB=30°，∠ACO=60°，∴∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°，∴∠OAC=∠ACO，∴OA=OC=4，在△AOB中，∠ABC=90°，∠AOB=60°，OA=4，∴∠OAB=30°，∴OB=OC=2，∴AB=OB=2，∴C点坐标为（﹣2，2），把C（﹣2，2）代入y=得k=﹣2×2=﹣4．故选B．点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；熟练运用含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．19．（3分）（•黑龙江）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种考点：二元一次方程的应用．分析：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，就可以得出7x+5y≤50，x≥3，y≥3，根据解不定方程的方法求出其解即可．解答：解：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得7x+5y≤50，∵x≥3，y≥3，∴当x=3，y=3时，7×3+5×3=36＜50，当x=3，y=4时，7×3+5×4=41＜50，当x=3，y=5时，7×3+5×5=46＜50，当x=3，y=6时，7×3+5×6=51＞50舍去，当x=4，y=3时，7×4+5×3=43＜50，当x=4，y=4时，7×4+5×4=4＜50，当x=4，y=5时，7×4+5×5=53＞50舍去，当x=5，y=3时，7×5+5×3=50=50，综上所述，共有6种购买方案．故选D．点评：本题考查了列二元一次不等式解实际问题的运用，分类讨论思想在解实际问题中的运用，解答时根据条件建立不等式是关键，合理运用分类是难点．20．（3分）（•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．三、简答题（满分60分）21．（5分）（•黑龙江）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x=2sin45°+1．考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值．分析：先通分，再把除法转化成乘法，然后约分，最后求出x的值，再把它代入原式，进行计算即可．解答：解：（1﹣）÷=•=，当x=2sin45°+1=2×+1=+1时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是分式的化简步骤和特殊角的三角函数值，关键是把分式化到最简，然后代值计算．22．（6分）（•黑龙江）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．分析：（1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．解答：解：（1）如图所示：A1的坐标为：（﹣3，6）；（2）如图所示：∵BO==，∴==π．点评：此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换，根据已知得出对应点位置是解题关键．23．（6分）（•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式．（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF 的面积．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，∴，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）根据题意得：，解得：，，∴D（4，5），对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E（0，﹣3），∴EF=4，过点D作DM⊥y轴于点M．∴S△DEF=EF•DM=8．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出D，E，F点坐标是解题关键．24．（7分）（•黑龙江）在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市八年级部分同学1分钟跳绳的次数，将抽查结果进行统计，并绘制两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共抽查了多少名学生？（2）请补全频数分布直方图空缺部分，直接写出扇形统计图中跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数．（3）若本次抽查中，跳绳次数在125次以上（含125次）为优秀，请你估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀？（4）请你根据以上信息，对我市开展的学生跳绳活动谈谈自己的看法或建议．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）利用95≤x＜115的人数是8+16=24人，所占的比例是12%即可求解；（2）求得范围是115≤x＜145的人数，扇形的圆心角度数是360度乘以对应的比例即可求解；（3）首先求得所占的比例，然后乘以总人数8000即可求解；（4）根据实际情况，提出自己的见解即可，答案不唯一．解答：解：（1）抽查的总人数：（8+16）÷12%=200（人）；（2）范围是115≤x＜145的人数是：200﹣8﹣16﹣71﹣60﹣16=29（人），则跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数是：360×=81°．；（3）优秀的比例是：×100%=52.5%，则估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀人数是：8000×52.5%=4200（人）；（4）全市达到优秀的人数有一半以上，反映了我市学生锻炼情况很好．点评：本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．25．（8分）（•黑龙江）秋季，某省部分地区遭受严重的雨雪自然灾害，兴化农场34800亩的农作物面临着收割困难的局面．兴华农场积极想办法，决定采取机械收割和人工收割两种方式同时进行抢收，工作了4天，由于雨雪过大，机械收割被迫停止，此时，人工收割的工作效率也减少到原来的，第8天时，雨雪停止附近的胜利农场前来支援，合作6天，完成了兴化农场所有的收割任务．图1是机械收割的亩数y1（亩）和人工收割的亩数y2（亩）与时间x（天）之间的函数图象．图2是剩余的农作物的亩数w（亩）与时间x天之间的函数图象，请结合图象回答下列问题．（1）请直接写出：A点的纵坐标600．（2）求直线BC的解析式．（3）第几天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据题意可知a=8，再根据图2求出4到8天时的人工收割量，然后求出前4天的人工收割的量即可得到点A的纵坐标；（2）先求出点B、C的坐标，再设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后列出方程求解，再求出直线EF 的解析式，根据10倍关系列出方程求解，从而最后得解．解答：解：（1）由题意可知，a=8，所以，第4到8的人工收割作物：26200﹣25800=400（亩），所以，前4天人工收割作物：400÷=600（亩），故点A的纵坐标为600；（2）∵600+400=1000，∴点B的坐标为（8，1000），∵34800﹣32000=2800，∴点C的坐标为（14，2800），设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线BC的解析式为y=300x﹣1400；（3）设直线AB的解析式为y=k1x+b1，∵A（4，600），B（8，1000），∴，解得，所以，y=100x+200，由题意得，10（100x+200）=8000，解得x=6；设直线EF的解析式为y=k2x+b2，∵E（8，8000），F（14，32000），∴，解得，所以，直线EF的解析式为y=4000x﹣24000，由题意得，4000x﹣24000=10（300x﹣1400），解得x=10．答：第6天和第10天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，题目信息量较大，理解两个图象并准确获取信息，确定出题目中的数量关系是解题的关键．26．（8分）（•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．考点：正方形的性质；矩形的性质；旋转的性质专题：证明题．分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．解答：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，∴AF+BF=2OE；（2）图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：AF﹣BF=2OE．对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，∴AF﹣BF=2OE；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．27．（10分）（•黑龙江）为了落实提出的“惠民政策”，我市今年计划开发建设A、B两种户型的“廉租房”共40套．投入资金不超过200万元，又不低于198万元．开发建设办公室预算：一套A型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元．（1）请问有几种开发建设方案？（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金．每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案．考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）设建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据投入资金不超过200万元，又不低于198万元列出不等式组，求出不等式组的解集，再根据x是正整数解答；（2）设总W元，建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据总等于A、B两个型号的之和列式函数关系式，再根据一次函数的增减性解答；（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，根据再建设的两种户型的资金等于（2）中方案节省的资金列出二元一次方程，再根据a、b都是正整数求解即可．解答：解：（1）设建设A型x套，则B型（40﹣x）套，根据题意得，，解不等式①得，x≥15，解不等式②得，x≤20，所以，不等式组的解集是15≤x≤20，∵x为正整数，∴x=15、16、17、18、19、20，答：共有6种方案；（2）设总W万元，建设A型x套，则B型（40﹣x）套，W=5.2x+4.8×（40﹣x）=0.4x+192，∵0.4＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=15时，W最小，此时W最小=0.4×15+192=198万元；（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，则（5.2﹣0.7）a+（4.8﹣0.3）b=15×0.7+（40﹣15）×0.3，整理得，a+b=4，a=1时，b=3，a=2时，b=2，a=3时，b=1，所以，再建设方案：①A型住房1套，B型住房3套；②A型住房2套，B型住房2套；③A型住房3套，B型住房1套．点评：本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理清题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键，（2）利用一次函数的增减性求最值要注意自变量的取值范围．28．（10分）（•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．。
2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题(解析版)
2023黑龙江省哈尔滨市中考数学真题一、选择题（每小题3分，共计30分）1.110-的绝对值是()A.110 B.10 C.110- D.10-【答案】A【解析】【分析】根据“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”求解即可．【详解】解：因为110-为负数，所以110-的绝对值为110，故选A ．【点睛】本题主要考查求绝对值，掌握“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”是解题的关键．2.下列运算一定正确的是（）A.()222ab a b -=- B.326a a a ⋅= C.()437a a = D.2222b b b +=【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方、同类项的定义、幂的乘方和平方差公式逐一判断即可．【详解】A ．()222ab a b -=，故本选项原说法错误；B ．325a a a ⋅=，故本选项原说法错误；C ．()434123a a a ⨯==，故本选项原说法错误；D ．2222b b b +=，故本选项正确．故选D ．【点睛】此题考查的是幂的运算性质和整式的运算，掌握积的乘方、合并同类项和幂的乘方是解决此题的关键．3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称是旋转180 后与原图重合的图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了判断轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题的关键．4.七个大小相同的正方体搭成的几间体如图所示，其俯视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：这个组合体的俯视图如下：故选：C．【点睛】本题考查了画小立方块堆砌图形的三视图，掌握从上边看得到的图形是俯视图是解题的关键．5.如图，AB 是O 的切线，A 为切点，连接OA ﹐点C 在O 上，OC OA ⊥，连接BC 并延长，交O 于点D ，连接OD ．若65B ∠=︒，则DOC ∠的度数为（）A.45︒B.50︒C.65︒D.75︒【答案】B【解析】【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到90OAB ∠=︒和=90AOC ∠︒，再利用四边形的内角和为360︒进而可求得65OCD ∠=︒，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．【详解】解：OC OA ⊥Q ，90AOC ∴∠=︒，又AB 是O 的切线，OA AB ∴⊥，90OAB ︒∴∠=，又65B ∠=︒ ，360115OCB OAB AOC B ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，18065OCD OCB ∴∠=︒-∠=︒，又OC OD = ，65ODC OCD ∴∠=∠=︒，180250DOC ODC ∴∠=︒-∠=︒，故选B ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和是360︒，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握其基本知识是解题的关键．6.方程231x x =+的解为（）A.1x = B.=1x - C.2x = D.2x =-【答案】C【解析】【分析】方程两边同时乘以()1x x +，化为整式方程即可求解．【详解】解：231x x =+程两边同时乘以()1x x +得，()213x x+=解得：2x =经检验，2x =是原方程的解，故选：C ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．7.为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x 米，根据题意，所列方程正确的是（）A.()6720x x -= B.()6720x x += C.()6360x x -= D.()6360x x +=【答案】A【解析】【分析】根据矩形面积公式，可得()6720x x -=，即可解答．【详解】解：根据题意可得矩形空地的宽为()6x -米，可列方程()6720xx -=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系，列出方程是解题的关键．8.将10枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（）A.15 B.13 C.12 D.23【答案】D【解析】【分析】取出的棋子是黑棋子的概率：+黑棋子数黑棋子数白棋子数，据此即可求解．【详解】解：由题意得：取出的棋子是黑棋子的概率为：1021053=+故选：D【点睛】本题考查概率的计算．熟记概率公式是解题关键．9.如图，AC ，BD 相交于点O ，AB DC ∥，M 是AB 的中点，MN AC ∥，交BD 于点N ．若:1:212DO OB AC ==，，则MN 的长为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根据AB DC ∥可得DCO BAO ，从而得到12CO OA =，再根据MN AC ∥得到BNM BOA ，从而得到12MN OA =，最后得到MN CO =即可求解．【详解】解：AB DC ∥，DCO BAO ∴ ，12DO CO BO AO ∴==，12CO OA ∴=，13CO AC ∴=，MN AC ∥ ，BNM BOA ∴ ，BM MN BA OA∴=，M 是AB 的中点，1=2BM MN BA OA ∴=，12MN OA \=，MN CO ∴=，1112433MN AC ∴==⨯=，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键．10.一条小船沿直线从A 码头向B 码头匀速前进，到达B 码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A 码头．在整个过程中，这条小船与B 码头的距离x （单位：m ）与所用时间t （单位：min ）之间的关系如图所示，则这条小船从A 码头到B 码头的速度和从B 码头返回A 码头的速度分别为（）A.15m/min 25m/min， B.25m/min 15m/min ， C.25m/min 30m/min ， D.30m/min 25m/min，【答案】D【解析】【分析】根据路程除以时间结合函数图象即可求解．【详解】解：依题意，小船从A 码头到B 码头的速度为150030(m/min)50=，从B 码头返回A 码头的速度为150025(m/min)160100=-，故选：D ．【点睛】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共计30分）11.船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为_______千克．【答案】58.6710⨯【解析】【分析】把一个数写成10n a ⨯的形式(110a ≤<，n 是正整数)，这种形式的记数方法叫做科学记数法．根据科学记数法的定义写出答案．【详解】科学记数法就是把一个数写成10n a ⨯的形式(110a ≤<，n 是整数)，58670008.6710∴=⨯，故答案为：58.6710⨯．【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的记数方法是解题的关键．12.在函数28y x =-中，自变量x 的取值范围是_________．【答案】8x ≠【解析】【分析】根据分母不能为0求出自变量x 的取值范围．【详解】 分式中分母不能为0，80x ∴-≠，8x ∴≠，故答案为：8x ≠．【点睛】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．13.已知反比例函数14y x=的图像经过点(),7a ，则a 的值为_________．【答案】2【解析】【分析】将点的坐标代入函数解析式即可．【详解】解：将(),7a 代入14y x=得：147a =，解得：2a =，故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数值求自变量是解题的关键．14.计算-的结果是___________．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解．77=⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．15.把多项式216xy x -分解因式的结果是______．【答案】()()44x y y +-【解析】【分析】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，先正确找出公因式，在根据平方差公式()()22a b a b a b -=+-进行因式分解即可．【详解】解：216xy x-()216x y =-()()44x y y =+-，故答案为：()()44x y y +-．16.抛物线()226y x =-++与y 轴的交点坐标是_________．【答案】(0,2)【解析】【分析】与y 轴的交点的特点为0x =，令0x =，求出y 的值，即可求出抛物线与y 轴的交点坐标．【详解】令抛物线()226y x =-++中0x =，即2(02)6y =-++，解得2y =，故与y 轴的交点坐标为(0,2)，故答案为：(0,2)．【点睛】本题主要考查了抛物线与y 轴的交点坐标，解题的关键是令0x =，求出y 的值．17.不等式组()231122x x x ⎧+>-⎨-≤⎩的解集是_________________．【答案】14x >【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤即可求解．【详解】解：()231122x x x ⎧+>-⎨-≤⎩①②解①得：14x >解②得：21x ≥-故该不等式组的解集为：14x >故答案为：14x >【点睛】本题考查求解一元一次不等式组，掌握求解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．注意计算的准确性．18.一个扇形的圆心角是150︒，弧长是5πcm 2，则扇形的半径是_________cm ．【答案】3【解析】【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．【详解】解：设扇形的半径是R ，则π15018520R π=解得：3R =．故答案为3．【点睛】题主要考查了扇形的弧长，正确理解公式是解题的关键．19.矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 在矩形ABCD 边上，连接OF ．若38ADB ∠=︒，30BOF ∠=︒，则AOF ∠=_________．【答案】46︒或106︒【解析】【分析】根据题意画出图形，分点F 在AB 上和BC 上两种情况讨论即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OD =，∴ADO OAD ∠=∠，∵38ADB ∠=︒，∴38ADO OAD ∠=∠=︒∴76AOB ADO OAD ∠=∠+∠=︒，如图所示，当F 点在AB 上时，∵30BOF ∠=︒，∴763046AOF AOB BOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒如图所示，当点F 在BC 上时，∵30BOF ∠=︒，∴7630106AOF AOB BOF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：46︒或106︒．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．20.如图在正方形ABCD 中，点E 在CD 上，连接AE ，BE ，F 为BE 的中点连接CF ．若29322DE CF EC ==，，则AE 的长为_________．【答案】34【解析】【分析】根据正方形的性质得到AD CD BC ==，90D BAD BCD ∠=∠=∠=︒，设5AD CD BC a ===，根据勾股定理求出a 的值，再根据勾股定理即可求出AE 的长．【详解】解： 正方形ABCD∴AD CD BC ==，90D BAD BCD ∠=∠=∠=︒F 为BE 的中点，292=CF 2922292BE CF ∴==⨯=设5AD CD BC a===32DE EC = 3DE a ∴=，2CE a=在Rt BEC △中，222BE BC CE =+即222(5)(2)a a =+解得1a =故5AD CD BC ===，3DE =∴在Rt AED △中222225334AE AD DE =+=+=解得AE =（负值舍去）【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题（共60分）21.先化简，再求代数式211212244x x x x x x -⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭的值，其中2cos 451x =︒-．【答案】21x +【解析】【分析】先根据分式混合运算法则代简，再将2cos4512112x =︒-=⨯-=-代入代简式计算即可．【详解】解：211212244x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭()()211=21441x x x x x ⎡⎤--÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()()22211=442121x x x x x x ⎡⎤+--÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()()2411=121x x x x +-⋅-+2=1x +，当22cos4512112x =︒-=⨯-=时，原式==．【点睛】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．22.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB 和线段CD 的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出ABE ，且AB BE ABE =∠，为钝角（点E 在小正方形的顶点上）；（2）在方格纸中将线段CD 向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN （点C 的对应点是点M ，点D 的对应点是点N ），连接EN ，请直接写出线段EN 的长．【答案】（1）画图见解析（2）画图见解析，EN =【解析】【分析】（1）找到13⨯的格点的E ，使得BE AB =，且90ABE ∠>︒，连接,AE BE ，则ABE 即为所求；（2）根据平移画出MN ，连接EN ，勾股定理即可求解．【小问1详解】解：如图所示，ABE 即为所求；【小问2详解】解：如图所示，MN ，EN 即为所求；22112EN =+=【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23.军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课，编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹任课的学生共有多少名．【答案】（1）50（2）见解析（3）480【解析】【分析】根据最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20%，用1020%即可求解；（2）根据总人数减去其他类型的人数，即可得出最喜欢编织课的学生人数进而补全统计图；（3）根据最喜欢烹任课的学生的占比乘以1200，即可求解．【小问1详解】解：最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20%，∴这次调查中，一共抽取了105020%=名学生【小问2详解】解：最喜欢编织课的学生人数为501510205---=人，补全统计图如图所示，【小问3详解】解：估计该中学最喜欢烹任课的学生共有20120048050⨯=名【点睛】本题考查了条形统计图，样本估计总体，从统计图中获取信息是解题的关键．24.已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 在对角线BD 上，点F 在边BC 上，连接AE ，EF ，DE BF BE BC ==，．（1）如图①，求证AED EFB ≌△△；（2）如图②，若AB AD AE ED =≠，，过点C 作CH AE ∥交BE 于点H ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（BAE ∠除外），使写出的每个角都与BAE ∠相等．【答案】（1）见解析；（2）BEA EFC DCH DHC BAE ∠∠∠∠∠====，理由见解析．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD BC BE ==，BC AD ∥，进而有ADE EBF ∠=∠，从而利用SAS 即可证明结论成立；（2）先证四边形ABCD 是菱形，得AB BC BE CD AD ====，又证()AAS ABE CDH ≌ ，得BAE DCH BEA DHC ∠∠∠∠===，由（1）得()SAS AED EFB ≌ 得AED EFB ∠=∠，根据等角的补角相等即可证明．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，BE BC=∴AD BC BE ==，BC AD ∥，∴ADE EBF ∠=∠，∵DE BF =，ADE EBF ∠=∠，AD BE=∴()SAS AED EFB ≌ ；【小问2详解】解：BEA EFC DCH DHC BAE ∠∠∠∠∠====，理由如下：∵AB AD =，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，BC AD ∥，AB CD∴AB BC BE CD AD ====，ADE EBF ∠=∠，ABE CDH ∠∠=，∴BEA BAE ∠=∠，∵CH AE ∥，∴BEA DHC ∠∠=，∴()AAS ABE CDH ≌ ，∴BAE DCH BEA DHC ∠∠∠∠===，由（1）得()SAS AED EFB ≌ ，∴AED EFB ∠=∠，∵180AED BEA EFB EFC ∠∠∠∠+=+=︒，∴BEA EFC DCH DHC BAE ∠∠∠∠∠====．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．25.佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A ，B 两种不同款式的服装，每套A 款服装所用布料的米数相同，每套B 款服装所用布料的米数相同，若1套A 款服装和2套B 款服装需用布料5米，3套A 款服装和1套B 款服装需用布料7米．（1）求每套A 款服装和每套B 款服装需用布料各多少米；（2）该中学需要A ，B 两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B 款服装？【答案】（1）每套A 款服装用布料1.8米，每套B 款服装需用布料1.6米（2）服装厂需要生产60套B 款服装【解析】【分析】（1）每套A 款服装用布料a 米，每套B 款服装需用布料b 米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设服装厂需要生产x 套B 款服装，则生产()100x -套A 款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【小问1详解】解：每套A 款服装用布料a 米，每套B 款服装需用布料b 米，根据题意得，2537a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得： 1.81.6a b =⎧⎨=⎩，答：每套A 款服装用布料1.8米，每套B 款服装需用布料1.6米；【小问2详解】设服装厂需要生产x 套B 款服装，则生产()100x -套A 款服装，根据题意得，()1.8100 1.6168x x -+≤，解得：60x ≥，∵x 为正整数，∴x 的最小值为60，答：服装厂需要生产60套B 款服装．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键．26.已知ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．（1）如图①，求证2BC OH =；（2）如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；（3）如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若FR C M AT ==，，求AB 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，易证AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【小问1详解】证明：如图，连接OC ，N Q 为 AC 的中点，»»AN CN\=，AON CON ∴∠=∠，OA OC = ，AH HC ∴=，OA OB = ，OH ∴是ABC 的中位线，2BC OH \=；【小问2详解】证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，BD DC = ，DO DO =，OB OC =，DOB DOC \≌V V ，12BDO CDO BDC a \Ð=Ð=Ð=，OB OD = ，DBO BDO a \Ð=Ð=，ACD ABD a Ð=Ð=Q ，CDO ACD \Ð=Ð，DO AC \∥；【小问3详解】解：连接AD ，FG OD ^Q ，90DGF ∴∠=︒，90CHE ∠=︒ ，DGF CHE \Ð=Ð，FDG ECH Ð=ÐQ ，DG CH =，DGF CHE \≌V V ，DF CE ∴=，AH CH = ，OH AC \^，CE AE DF \==，EAC ECA a Ð=Ð=Q ，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，BDC AED ∴∠=∠，DF AE ∴∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，90EFD ∴∠=︒，3tan 2EF EDF FD \Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，sin AS AES AE\Ð=，FR DC ^Q ，sin FR FDR FD \Ð=，FD AE ∥ ，FDR AES \Ð=Ð，sin sin FDR AES \Ð=Ð，FR AS \=，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90BCE ACS \Ð+Ð=°，90ASC ∠=︒ ，90CAS ACS \Ð+Ð=°，BCE CAS \Ð=Ð，BCE TCM Ð=ÐQ ，CAS TCM \Ð=Ð，TM DC ^Q ，90TMC \Ð=°，TMC ASC \Ð=Ð，FR CM =Q ，AS CM \=，CAS TCM \≌V V ，CT AC \=，1809090ACT Ð=°-°=°Q ，45CAT CTA \Ð=Ð=°，sin sin 454AC AT CTA \===，EDF BAC ∠=∠ ，3tan tan 2EDF BAC \Ð=Ð=，32BC AC \=，6BC ∴=，AB \=【点睛】本题是圆的综合题，考查圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、垂径定理、三角函数、勾股定理、圆周角定理等知识，构造辅助线解决问题是解题关键．27.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y ax bx =++x 轴交于点()6,0A -，()8,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求a ，b 的值；（2）如图①，E 是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE ，CE ，设点E 的横坐标为t ，OCE △的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图②，在（2）的条件下，当S =连接BE 交y 轴于点R ，点F 在y 轴负半轴上，连接BF ，点D 在BF 上，连接ED ，点L 在线段RB 上（点L 不与点B 重合），过点L 作BR 的垂线与过点B 且平行于ED 的直线交于点G ，M 为LG 的延长线上一点，连接BM ，EG ，使12GBM BEG ∠=∠，P 是x 轴上一点，且在点B 的右侧，12PBM GBM FRB DEG ∠-∠=∠+∠，过点M 作MN BG ⊥，交BG 的延长线于点N ，点V 在BG 上，连接MV ，使12BL NV BV -=，若EBF VMN ∠=∠，求直线BF 的解析式．【答案】（1）38a =-，4b =（2）S =-（3）38355y x =-【解析】【分析】（1）把点()6,0A -，()8,0B代入抛物线解析式2y ax bx =++得方程组36606480a b a b ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，求出a ，b 的值即可；（2）过点E 作EW y ⊥轴，垂足为W ，由（1）知，抛物线的解析式是23384y x x =++，得OC =，根据“E 是第二象限抛物线上的一个动点，点E 的横坐标为t ”，得EW t =-，根据12S OC EW =⋅，代入整理即可得到S 关于t 的函数解析式；（3）以BM 为一边作MBT MBN ∠=∠，MBT ∠的另一边BT 交LM 的延长线于点T ；作MK BT ⊥，垂足为K ；作FS BE ⊥，垂足为S ；作⊥EQ x 轴，垂足为Q ；根据S =S =-，求出(E -，根据“∥ED BG ，12GBM BEG ∠=∠，12PBM GBM FRB DEG ∠-∠=∠+∠，180RBO EBT TBP ∠︒+∠+∠=”推理出60EBT ∠=︒，30T =︒∠，得到12BL BT =，结合12BL NV BV -=，推理出NV KT =，用AAS 证MNB MKB ≌，用HL 证Rt Rt NMV KMT ≌，推理出60EBF ∠=︒，根据“()8,0B，(E -”，得出8OB =，EQ =，10QB =，代入tan EQ OR EBQ BQ OB ∠==，求出OR ，勾股定理算出BR，根据“tan 3FS OB FRB RS OR ∠===，tan tan 60FS FBS BS∠=︒=”，设FS =，则3RS m =，2BS m =，代入RS BS BR +=，算出m，运用勾股定理计算RF =，计算OF RF OR =-，结合点F 在y轴负半轴上，得0,5F ⎛- ⎝⎭，设直线BF 的解析式为y kx c =+，把()8,0B，0,5F ⎛- ⎝⎭代入求出完整解析式即可．【小问1详解】点()6,0A -，()8,0B在抛物线2y ax bx =++上，36606480a b a b ⎧-+=⎪∴⎨++=⎪⎩，解得：84a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，38a ∴=，4b =【小问2详解】由（1）知，抛物线的解析式是23384y x x =++，C 是抛物线与y 轴的交点，0x ∴=时，y =，(C ∴，OC ∴=如下图，过点E 作EW y ⊥轴，垂足为W ，E 是第二象限抛物线上一点，点E 的横坐标为t ，EW t ∴=-，()1122S OC EW t ∴=⋅=⨯-=-【小问3详解】如下图，以BM 为一边作MBT MBN ∠=∠，MBT ∠的另一边BT 交LM 的延长线于点T ；作MK BT ⊥，垂足为K ；作FS BE ⊥，垂足为S ；作⊥EQ x 轴，垂足为Q ，63S = ，由（2）知33S t =-，3363t ∴-=2t ∴=-，()()23322635384y ∴=⨯-+⨯-+=，(2,53E ∴-，ED BG ∥ ，DEB EBG ∴∠=∠，12GBM BEG ∠=∠ ，即2GEB GBM ∠=∠，GEB GBT ∴∠=∠，DEB GEB EBG GBT ∴∠+∠=∠+∠，DEG EBT ∴∠=∠，12PBM GBM FRB DEG ∠-∠=∠+∠ ，PBM GBM PBM MBT TBP ∠-∠=∠-∠=∠，90ROB ∠=︒，90FRB RBO ∴∠=︒-∠，1902TBP RBO EBT ∴∠=︒-∠+∠，又180RBO EBT TBP ︒∠+∠+∠= ，60EBT ∴∠=︒，LG EB ⊥ ，90GLB ∴∠=︒，30T ∴∠=︒，12BL BT ∴=，MK BT ⊥ ，MN BG ⊥，90MKT MNB MKB ︒∴∠=∠=∠=，在MNB 和MKB 中，MNB MKB MBN MBK MB MB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS MNB MKB ∴ ≌，NB BK ∴=，MN MK =，12BL NV BV -= ，22BL NV BV ∴-=，BT NV BV NV BN BK ∴-=+==，BT BK NV KT ∴-==，()Rt Rt HL NMV KMT ∴ ≌，30T NVM ︒∴∠=∠=，60NMV ︒∴∠=，EBF VMN ∠=∠ ，60EBF ∴∠=︒，FS BE ⊥ ，⊥EQ x 轴，90EQB RSF BSF ∴∠=∠=∠=︒，()8,0B ，8OB ∴=，(E -，EQ ∴=，10QB =，tan EQ OR EBQ BQ OB∠== ，53108OR ∴=，OR ∴=BR ∴=，tan 3FS OB FRB RS OR ∠====，tan tan 60FS FBS BS ∠=︒=，∴设FS =，则3RS m =，2BS m =，RS BS BR +=，32m m ∴+=475m ∴=，5RF ===，5OF RF OR ∴=-=，又 点F 在y轴负半轴上，0,5F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，设直线BF 的解析式为y kx c =+，把()8,0B，0,5F ⎛- ⎝⎭代入，得：580c k c ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得：55k c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线BF的解析式为55y x =-【点睛】本题是二次函数综合题，难度大，结合全等三角形、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，综合运用知识、画出辅助线、数形结合、分析与计算是解题的关键．。
2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试题(含解析)
数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟；2．全卷共三道大题，总分120分；3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A.32622a a a ⋅= B.331(2)8a b a b-÷⨯=-C.()322aa a a a a++÷=+ D.2233aa -=3.由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（）A.1种B.2种C.3种D.4种4.某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（）A.16B.18C.14D.235.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，若20BEC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A.100︒B.110︒C.120︒D.130︒6.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A.20%B.22%C.25%D.28%7.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）A.2022B.2023C.2024D.20258.矩形OBAC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数ky x=的图象与AB 边交于点D ，与AC 边交于点F ，与OA 交于点E ，2OE AE =，若四边形ODAF 的面积为2，则k 的值是（）A.25B.35C.45D.859.小明同学手中有一张矩形纸片ABCD ，12cm AD =，10cm CD =，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把ADN △沿AN 折叠得到AD N '△，AD '交折痕MN 于点E ，则线段EN 的长为（）A.8cmB.169cm 24C.167cm 24D.55cm 810.在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，()()3,0,1,0A B -，与y 轴交点C 的纵坐标在3-～2-之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx -=-且12x x ≠，则122x x +=-；④直线56y cx c =-+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）11.函数3x y x=中，自变量x 的取值范围是______________．12.如图，ABC 中，D 是AB 上一点，CF AB ∥，D 、E 、F 三点共线，请添加一个条件______，使得AE CE =．（只添一种情况即可）13.将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,-，则637a b --=______．14.如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点E ，6,1CD BE ==，则弦AC 的长为______．15.已知一组正整数a ，1，b ，b ，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为______．16.若分式方程311x mx x x=---的解为正整数，则整数m 的值为______．17.矩形ABCD 的面积是90，对角线AC BD ，交于点O ，点E 是BC 边的三等分点，连接DE ，点P 是DE 的中点，3OP =，连接CP ，则PC PE +的值为______．18.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 分别交BD CD 、于点F 、M ，过点F 作NP AE ⊥，分别交AD 、BC 于点N 、P ，连接MP ．下列四个结论：①AM PN =；②DM DN +=；③若P 是BC 中点，3AB =，则EM =④BF NF AF BP ⋅=⋅；⑤若PM BD ∥，则CE =．其中正确的结论是______．三、解答题（共66分）19.先化简，再求值：2669x x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并从1-，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．20.如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC ，对垂直于地面CD 的建筑物AD 的高度进行测量，BC CD ⊥于点C ．在B 处测得A 的仰角=45ABE ∠︒，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG 处，FG CD ⊥于点G ，测得A 的仰角58AFE ∠=︒，BF 的延长线交AD 于点E ，求建筑物AD 的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin580.85,cos580.53,tan58 1.60︒≈︒≈︒≈）21.某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A 为“非常了解”，B 为“了解较多”，C 为“基本了解”，D 为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了______名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．22.在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，12BC =，8AC =，以BC 为边向ACB △外作有一个内角为60︒的菱形BCDE ，对角线BD CE ，交于点O ，连接OA ，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出AOC 的面积．23.如图，二次函数212y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0-，点C 的坐标为()0,3-，连接BC ．（1）求该二次函数的解析式；（2）点P 是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当BCP 的面积最大时，BC 边上的高PN 的值为______．24.一条公路上依次有A 、B 、C 三地，甲车从A 地出发，沿公路经B 地到C 地，乙车从C 地出发，沿公路驶向B 地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早27小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程km y 与两车行驶时间h x 的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是_____km/h ，并在图中括号内填上正确的数；（2）求图中线段EF 所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B 地的路程是甲车距B 地路程的3倍．25.数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt ABC △中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点D 在直线BC 上，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，过点E 作EF BC ∥，交直线AB 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上时，如图①，求证：BD EF AB +=；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD AE =构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取AM EF =，连接DM ，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，如图②：当点D 在线段CB 的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD ，EF ，AB 之间的数量关系；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若63=AC 2CD BD =，则EF =______．26.牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a （a 为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．27.如图，在平面直角坐标系中，直线y x b =+与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点D ，点B 在x 轴的正半轴上，四边形ABCD 是平行四边形，线段OA 的长是一元二次方程24120x x --=的一个根．请解答下列问题：（1）求点D 的坐标；（2）若线段BC 的垂直平分线交直线AD 于点E ，交x 轴于点F ，交BC 于点G ，点E 在第一象限，32AE =，连接BE ，求tan ABE ∠的值；（3）在（2）的条件下，点M 在直线DE 上，在x 轴上是否存在点N ，使以E 、M 、N 为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出EMN 的个数和其中两个点N 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）1.【答案】C【解析】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C ．2.【答案】D【解析】解：A 、32522a a a ⋅=，故该选项是错误的；B 、33218(2)a a b b b-÷⨯=-，故该选项是错误的；C 、()3221a a a a a a ++÷=++，故该选项是错误的；D 、2233aa -=，故该选项是正确的；故选：D ．3.【答案】C【解析】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，故选：C ．4.【答案】A【解析】解：列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是21126=．故选：A ．5.【答案】B【解析】解：如图，连接AC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵20BEC ∠=︒，∴20CAB BEC ∠=∠=︒∴9070ABC BAC ∠=︒-∠=︒∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180110ADC ABC ∠=︒-∠=︒，故选：B 6.【答案】C【解析】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x -=，解得：121725%,44x x ===（舍去）；故选C ．7.【答案】B【解析】解：第1个图案有4个三角形，即4311=⨯+，第2个图案有7个三角形，即7321=⨯+，第3个图案有10个三角形，即10331=⨯+，…，按此规律摆下去，第n 个图案有()31n +个三角形，则第674个图案中三角形的个数为：367412023⨯+=（个）．故选：B ．8.【答案】D【解析】过点E 作EM OC ⊥，则EM AC ，∴OME OCA ∽，∴OM EM OE OC AC OA==设k E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵2OE AE=∴23OM EM OC AC ==，∴3322k OC a AC a ==⋅，∴3322O OBD DAF OCF OBAC k S S S S a a=++=⋅⋅ 矩形四边形即3322222k k k a a ++=⋅⋅，解得：85k =故选D9.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴10cm AB CD ==，由折叠可得：15cm 2AM AB ==，12cm AD AD '==，MN AB ⊥，DAN D AN '∠=∠，∴四边形AMND 是矩形，∴12cm MN AD MN AD == ，，∴DAN ANM ∠=∠，∴ANM D AN '∠=∠，∴EA EN =，设cm EA EN x ==，则()12cm EM x =-，在Rt AME △中，根据勾股定理可得：222AM ME AE +=，即()222512x x +-=，解得：16924x =，即169cm 24EN =，故选：B ．10.【答案】A【解析】解：设抛物线的解析式为：()()23123y a x x ax ax a =+-=+-，∴2b a =，3c a =-，∴()22423180abc a a a a =⋅⋅-=>，故①正确；∵点C 的纵坐标在3-～2-之间，∴332a -<-<-，即4223a <<，∴423b <<，故②正确；∵221122ax bx ax bx -=-，∴22112222ax ax ax ax -=-，即221122220x x x x --+=，∴()()121220x x x x +--=，又∵12x x ≠，∴122x x +=，故③错误；∵令y 相等，则256cx c ax bx c -+=++∴253232ax a ax ax a -=+-，解得10x =（舍），112x =，∴12m =，故④正确；故选A ．二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）11.【答案】x ≥-3且x ≠0【解析】解：根据题意得：x +3≥0且x ≠0，解得x ≥-3且x ≠0．故答案为：x ≥-3且x ≠0．12.【答案】DE EF =或AD CF =（答案不唯一）【解析】解：∵CF AB∥∴A ECF ∠=∠，ADE CFE ∠=∠，∴添加条件DE EF =，可以使得()AAS ADE CFE ≌，添加条件AD CF =，也可以使得()ASA ADE CFE ≌，∴AE CE =；故答案为：DE EF =或AD CF =（答案不唯一）．13.【答案】2【解析】解：抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后得到22352y ax bx ax bx =++-=+-，把点()24,-代入得到，()24222a b =⨯---，得到23a b -=，∴()6373273372a b a b --=--=⨯-=，故答案为：214.【答案】【解析】解：∵,6AB CD CD ⊥=，132CE ED CD ∴===，设O 的半径为r ，则1OE OB EB r =-=-，在Rt OED 中，由勾股定理得：222OE DE OD +=，即222(1)3r r -+=，解得：=5r ，5,4OA OE ∴==，9AE OA OE ∴=+=，在Rt AEC 中，由勾股定理得：AC ===故答案为：．15.【答案】5【解析】解：∵这组数据有唯一众数8，∴b 为8，∵中位数是5，∴a 是5，∴这一组数据的平均数为1358855++++=，故答案为：5．16.【答案】1-【解析】解：311x mx x x=---，化简得：311x mx x x =+--，去分母得：()31x x mx =-+，移项合并得：()23m x +=，解得：32x m=+，由方程的解是正整数，得到x 为正整数，即21m +=或23m +=，解得：1m =-或1m =（舍去，会使得分式无意义）．故答案为：1-．17.【答案】13【解析】解：当CE BE >时，如图，∵矩形ABCD ，∴点O 是BD 的中点，∵点P 是DE 的中点，∴26BE OP ==，CP PE PD ==，∵点E 是BC 边的三等分点，∴212CE BE ==，318BC BE ==，∵矩形ABCD 的面积是90，∴90BC CD ⨯=，∴5CD =，∴DE 13==，∴13PC PE DE +==；当CE BE <时，如图，∵矩形ABCD ，∴点O 是BD 的中点，∵点P 是DE 的中点，∴26BE OP ==，CP PE PD ==，∵点E 是BC 边的三等分点，∴132CE BE ==，369BC =+=，∵矩形ABCD 的面积是90，∴90BC CD ⨯=，∴10CD =，∴DE ==，∴PC PE DE +==故答案为：1318.【答案】①②③⑤【解析】解：∵正方形ABCD ，∴90ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，45ADB ABD CBD CDB ∠=∠=∠=∠=︒，如图1，作PG AD ⊥于G ，则四边形ABPG 是矩形，∴PG AB AD ==，∵90GPN GNP GNP DAM ∠+∠=︒=∠+∠，∴GPN DAM ∠=∠，又∵PG AD =，90PGN ADM ∠=︒=∠，∴()ASA PGN ADM ≌，∴AM PN =，①正确，故符合要求；如图2，作HF DF ⊥交AD 于H ，连接CF ，∴45DHF ADB ∠=︒=∠，∴DF HF =，∵AB BC =，45ABF CBF ∠=∠=︒，BF BF =，∴()SAS ABF CBF ≌，∴AF CF =，BAF BCF ∠=∠，∵360180BPF BAF ABP AFP ∠+∠=︒-∠-∠=︒，180BPF FPC ∠+∠=︒，∴BAF FPC ∠=∠，∴BCF FPC ∠=∠，∴PF CF AF ==，∴PN PF AM AF -=-，即FN FM =，∵90HFN NFD DFM NFD ∠+∠=︒=∠+∠，∴HFN DFM ∠=∠，∵HF DF =，HFN DFM ∠=∠，FN FM =，∴()SAS HFN DFM ≌，∴=HN DM ，由勾股定理得，DH ==，∵DH HN DN DM DN =+=+，∴DM DN +=，②正确，故符合要求；∵P 是BC 中点，3AB =，∴32BP CP ==，如图3，连接AP ，由勾股定理得，2AP ==，2AP ===，解得，3104PF =，设EM x =，则32PE x =+，3BE x =+，由勾股定理得，AE ==∵sin PF AB E PE AE∠==，∴310432x =+，整理得，22240x x --=，解得，6x =或4x =-（舍去），∴AE =，9BE =，∵cos CE BE E EM AE∠==，∴6EM =解得，EM =由题意知，90BPF ∠>︒，∴BPF NFA 、不相似，BF NF AF BP ⋅≠⋅，④错误，故不符合要求；∵PM BD ∥，∴45CPM CBD ∠=∠=︒，45CMP CDB ∠=∠=︒，设PC CM a ==，BC CD AD AB b ====，CE c =，则DM b a =-，BE b c =+，PE a c=+，cos 45PC PM ==︒，∵90AF PF AFN PFM FN FM =∠=︒=∠=，，，∴()SAS AFN PFM≌，∴AN PM ==，∵90ADM ECM ∠=︒=∠，AMD EDC ∠=∠，∴AMD EDC ∽，∴AD DM CE CM =，即b b a c a-=，解得，bc a b c =+，同理，ANF EPF ∽，∴AN FN PE PF =，即2a FN a c PF=+，同理，DMF BAF ∽，∴DM FM FN AB AF PF ==，即b a FN b PF-=，∴2b a a b a c-=+，将bc a b c =+代入2b a a b a c -=+得，bc b b c b c bc b c b c-++=++2b c +=+，解得，c b =∴CE =，⑤正确，故符合要求；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（共66分）19.【答案】23x -，取=1x -，原式12=-【解析】解：2669x x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭22669x x x x xx ⎛⎫--=÷- ⎪⎝⎭22669x x x x x--+=÷()223(3)x x x x -=⋅-23x =-．0x ≠ 且3x ≠，1x ∴=-或1x =或2x =．当=1x -时，原式21132==---．或当1x =时，原式2113==--．或当2x =时，原式2223==--．20.【答案】17.5米【解析】解：根据题意可知四边形BEDC 是矩形，1.5m DE BC ∴==．如图，45,58ABE AFE ∠=︒∠=︒．tan ,tan AE AE ABE AFE BE EF∠=∠= ，tan 45,tan58AE AE BE BE EF ∴=⋅︒==︒．BE EF BF =+ ，6tan58AEAE ∴=+︒16AE ∴≈．17.5AD AE DE ∴=+=（米）答：建筑物AD 的高度约为175.米．21.【答案】（1）50（2）36︒，图形见详解（3）480名【解析】【小问1详解】解：这次被调查的学生人数为：()()208513450++÷-=％（名）；【小问2详解】“了解较少”所对应的圆心角度数为：53603650︒⨯=︒，503417⨯=％（人）补全图形如下：【小问3详解】20120048050⨯=（名），估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有480名．22.【答案】图形见解析，AOC 的面积为12或36．【解析】解：当60CBE ∠=︒时，所作图形如图，作OF BC ⊥，垂足为F ，∵菱形BCDE ，60CBE ∠=︒，∴90COB ∠=︒，30CBO ∠=︒，60OCB ∠=︒，∵12BC =，∴162OC BC ==，∵60OCB ∠=︒，∴30COF ∠=︒，∴132CF OC ==，∴AOC 的面积为183122⨯⨯=；当60BCD ∠=︒时，所作图形如图，作OF BC ⊥，垂足为F ，∵菱形BCDE ，60BCD ∠=︒，∴90COB ∠=︒，30BCO ∠=︒，∵12BC =，∴162OB BC ==，2263OC BC OB =-=，∴1332OF OC ==，229CF OC OF =-=，∴AOC 的面积为189362⨯⨯=；综上，AOC 的面积为12或36．23.【答案】（1）215322y x x =--（2）955【解析】【小问1详解】解：把()1,0-和()0,3-代入得：1023b c c ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩，解得523b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式为215322y x x =--；【小问2详解】解：令0y =，则2150322x x =--，解得：11x =-，26x =，∴点B 的坐标为()6,0，∴22223635BC OB OC =+=+=设直线BC 的解析式为y mx n =+，代入得：360n m n =-⎧⎨+=⎩，解得123m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为132y x =-，过点P 作PD x ⊥轴交BC 于点D ，设点P 的坐标为215,322x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则点D 的坐标为1,32x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴2211513332222PD x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭，∴()2211132763322222PBC S PD OB x x x ⎛⎫=⋅=⨯-+=--+ ⎪⎝⎭，∴PBC 最大为272，∴2955PBC S PN BC ===．24.【答案】（1）70，300（2）120300y x =-（3）5h 8或25h 13【解析】【小问1详解】解：由图可知，甲车27小时行驶的路程为()200180km -，∴甲车行驶的速度是()()2200180=70km/h 7-÷，∴A 、C 两地的距离为：()2470300km 7⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：70；300；【小问2详解】解：由图可知E ，F 的坐标分别为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,180，设线段EF 所在直线的函数解析式为y kx b =+，则5024180k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得120300k b =⎧⎨=-⎩，∴线段EF 所在直线的函数解析式为120300y x =-；【小问3详解】解：由题意知，A 、C 两地的距离为：()2470300km 7⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，乙车行驶的速度为：()53007050km/h 2÷-=，C 、B 两地的距离为：()504200km ⨯=，A 、B 两地的距离为：()300200100km -=，设两车出发x 小时，乙车距B 地的路程是甲车距B 地路程的3倍，分两种情况，当甲乙相遇前时：()20050310070x x -=-，解得58x =；当甲乙相遇后时：()20050370100x x -=-，解得2513x =；综上可知，两车出发5h 8或25h 13时，乙车距B 地的路程是甲车距B 地路程的3倍．25.【答案】（1）见解析；（2）图②：AB BD EF =-，图③：AB EF BD =-；（3）10或18【解析】（1）证明：在AB 边上截取AM EF =，连接DM ．在Rt ABC △中，90903060B BAC ∠=︒-∠=︒-︒=︒．EF BC ，60EFB B ∴∠=∠=︒．又60EAD ︒∠= ，EFB EAD ∴∠=∠．又BAD EAD EAF ∠=∠-∠ ，AEF EFB EAF ∠=∠-∠，BAD AEF ∴∠=∠．又,AD AE AM EF == ，()SAS DAM AEF ∴ ≌．AF DM ∴=．180********AMD EFA EFB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．180********BMD AMD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．60B ∠=︒ ，BMD B BDM ∴∠=∠=∠．BMD ∴ 是等边三角形．BD BM DM ∴==，AB AM BM =+ ，AB EF BD ∴=+；（2）图②：当点D 在线段BC 的延长线上时，AB BD EF =-，证明如下：如图所示，在BD 上取点H ，使BH AB =，连接AH 并延长到点G 使AG AF =，连接DG ，∵60ABC ∠=︒，∴ABH 是等边三角形，∴60BAH ∠=︒，∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，∴60DAE ∠=︒，AE AD =，∴BAH DAE ∠=∠，∴BAH EAH DAE EAH ∠-∠=∠-∠，即BAE HAD ∠=∠，又∵AG AF =，∴()SAS FAE GAD ≌，∴EF DG =，AFE G ∠=∠，∵BD EF ∥，∴60ABC F G ∠=∠=∠=︒，∵60DHG AHB ∠=∠=︒，∴DHG △是等边三角形，∴DH DG EF ==，∴AB BH BD DH BD EF ==-=-；图③：当点D 在线段CB 的延长线上时，AB EF BD =-，证明如下∶如图所示，在EF 上取点H 使AH AF =，∵EF BC ∥，∴60F ABC ∠=∠=︒，∵AH AF =，∴AHF △是等边三角形，∴60AHF HAF ∠=∠=︒，∴120AHE ∠=︒，∵将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，∴AD AE =，60DAE ∠=︒，∴18060DAB EAH EAD HAF ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∵60D DAB ABC ∠+∠=∠=︒，∴D EAH ∠=∠，∵180120DBA ABC EHA ∠=︒-∠=︒=∠，又∵AD AE =，∴()AAS EAH ADB ≌，∴BD AH =，AB EH =，∵AH FH =，∴BD HF =，∴AB EH EF FH EF BD ==-=-；（3）如图所示，∵30BAC ∠=︒，90C ∠=︒，∴2AB BC =，222AB BC AC =+，∴()(2222BC BC =+，∴6BC =，∴212AB BC ==，∵2CD BD =，BC BD CD =+，∴123CD BC ==，由（1）可知，BD EF AB +=，∴12210EF AB BD =-=-=；如图所示，当点D 在线段BC 的延长线上时，∵CD BD <，与2CD BD =矛盾，∴不符合题意；如图所示，当点D 在线段CB 的延长线上时，∵2CD BD BD BC ==+，6BC =，∴6BD BC ==，由（2）可知，AB EF BD =-，∵212AB BC ==，∴12618EF AB BD =+=+=．综上所述，10EF =或18．26.【答案】（1）特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元（2）有3种方案，详见解析（3）特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱【解析】【小问1详解】解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x 元和y 元，则3242045910x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：40150x y =⎧⎨=⎩，故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；【小问2详解】解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m 箱，则购进特级干品猴头菇()80m -箱，则()()()50408018015015608040m m m ⎧-+--≥⎨-≤⎩，解得：4042m ≤≤，∵m 为正整数，∴40,41,42m =，故该商店有三种进货方案，分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；【小问3详解】解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：根据题意得()()()()4015040401180150504018015015771010a a ⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯-+⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：9a =；当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：根据题意得()()()()4115040391180150504018015015771010a a ⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯-+⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：9.9a ≈（是小数，不符合要求）；当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：根据题意得()()()()4215040381180150504018015015771010a a ⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯-+⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：10.7a ≈（不符合要求）；故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．27.【答案】（1）()0,6D -（2）13（3）存在，12个，()()()()()241350,0,8,0,10,0,12,0,18,0N N N N N 【解析】【小问1详解】解：解方程24120x x --=得16x =，22x =-，∴6OA =，即点A 的坐标为()6,0，把()6,0代入y x b =+得6b =-，∴6y x =-，点D 的坐标为()0,6-；【小问2详解】解：过点E 作EH AB ⊥于点H ，∵6OA OD ==，∴45OAD ODA EAH ∠=∠=∠=︒，AD ===∴2tan 32AH EH AE EAH ==⋅∠==，又∵ABCD 是平行四边形，∴BC AD ==，AE BC ，∵GE 是BC 的垂直平分线，∴12BG BC AE ===，∵AE BC ，∴EAF GBF ∠=∠，90AEF FGB ∠=∠=︒，∴AEF BGF ≌，∴26BF AF AH ===，∴6639BH AF FB AH =+-=+-=，∴1tan 3EH ABE BH ∠==；【小问3详解】如图，当90MEN ∠=︒时，有4个，解：∵145EAN ∠=︒，∴132EN EA ==，由（2）得16AN =，6OA =，∴112ON =，∴点N 得坐标为()12,0；当90ENM ∠=︒时，有4个，如图，当90EMN ∠=︒时，有4个，如图，∵9945N AM ∠=︒，∴99991322N M M A EM EA ====，∴()()2222999932326N A M A N M =+=+，∴点9N 与O 重合，故点9N 得坐标为()0,0，综上所述，点EMN 的个数为12个，和点N 的坐标为()0,0或()12,0．【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．。
黑龙江省大庆市中考数学试卷及答案(Word解析版)
黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）（•大庆）下列运算结果正确的是（）A．B．a2•a3=a6C．a2•a3=a5D．a2+a3=a6考点：二次根式的性质与化简；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据二次根式的化简、合并同类项、同底数幂的乘法分别进行计算，即可得出答案．解答：解：A、=a，（a≥0），故本选项错误；B、a2•a3=a5，故本选项错误；C、a2•a3=a5，故本选项错误；D、a2+a3=a6，同类项，不能合并，故本选项错误．故选C．点评：此题考查了二次根式的化简、合并同类项、同底数幂的乘法，记准法则是解题的关键，注意同底数幂的乘法与幂的乘方很容易混淆．2．（3分）（•大庆）若实数a满足a﹣|a|=2a，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0考点：绝对值．分析：先求出|a|=﹣a，再根据绝对值的性质解答．解答：解：由a﹣|a|=2a得|a|=﹣a，∴a≤0．故选D．点评：本题考查了绝对值的性质，比较简单，熟记绝对值的性质是解题的关键．3．（3分）（•大庆）已知两圆的半径分别是3和6，若两圆相交，则两圆的圆心距可以是（）A．2B．5C．9D．10考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的数量关系进行解答．解答：解：∵半径分别为3和6的两圆相交，又∵3+6=9，6﹣3=3，∴这两圆的圆心距d的取值范围是3＜d＜9．只有B选项符合．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解此题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．4．（3分）（•大庆）对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（﹣1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x＞1时，y＜0 D．y的值随x值的增大而增大考点：一次函数的性质．分析：根据一次比例函数图象的性质可知．解答：解：A、将点（﹣1，3）代入原函数，得y=﹣3×（﹣1）+1=4≠3，故A错误；B、因为k=﹣3＜0，b=1＞0，所以图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故B，D错误；C、正确；D、当x=1时，y=﹣2＜0，故C正确．故选C．点评：本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．（3分）（•大庆）若不等式组的解集为0＜x＜1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4考点：解一元一次不等式组．分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可得出方程，求出方程的解即可．解答：解：∵解不等式①，得x＞，解不等式②，得x＜，∴原不等式组的解集为：＜x＜，∵不等式组的解集为0＜x＜1，∴=0，=1，解得：a=1，故选A．点评：本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式组的解集得出关于a的方程．6．（3分）（•大庆）已知梯形的面积一定，它的高为h，中位线的长为x，则h与x的函数关系大致是（）A．B．C．D．考点：梯形中位线定理；反比例函数的图象；反比例函数的应用．分析：根据梯形的中位线定理和梯形的面积的计算方法确定两个变量之间的函数关系，然后判断其图象即可．解答：解：梯形的面积=×梯形上、下底之和×高，符合k=hx，故h=（x＞0，h＞0）所以是反比例函数．故选D．点评：本题考查了反比例函数的图象及反比例函数的应用，解题的关键是根据实际问题列出函数关系式．7．（3分）（•大庆）已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）A．﹣4 B．0C．2D．3考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题．分析：根据函数图象得到﹣3＜x＜1时，y＜0，即可作出判断．解答：解：令y=0，得到x2+2x﹣3=0，即（x﹣1）（x+3）=0，解得：x=1或x=﹣3，由函数图象得：当﹣3＜x＜1时，y＜0，则m的值可能是0．故选B．点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的思想，求出x的范围是解本题的关键．8．（3分）（•大庆）图1所示的几何体，它的俯视图为图2，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据图示几何体和俯视图可知该几何体底面一层有三个正方形，上面一层有一个正方形，然后找到从左面看到的图形即可．解答：解：由图示几何体和俯视图可知该几何体底面一层有三个正方形，上面一层有一个正方形，则从左面看易得图形：．故选D．点评：本题考查了三视图的知识，注意左视图是从物体的左面看得到的视图．9．（3分）（•大庆）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（）A．B．C．D．考点：等边三角形的判定与性质分析：依题意画出图形，过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，构造出边长为1的小正三角形△AA1D；由AC1=2，AD=1，得点D为AC1中点，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D=；同理求出S△CC1B1=S△BB1A1=；最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得结果．解答：解：依题意画出图形，如下图所示：过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，易知△AA1D是边长为1的等边三角形．又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1，∴点D为AC1的中点，∴S△AA1C1=2S△AA1D=2××12=；同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=，∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1=×32﹣3×=．故选B．点评：本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．本题入口较宽，解题方法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法．10．（3分）（•大庆）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形考点：菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：根据平行四边形、菱形的判定与性质分别判断得出即可．解答：解：A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误；故选C．点评：此题主要考查了菱形的判定以及矩形和正方形的判定，熟练掌握相关判定是解题关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）（•大庆）计算：sin260°+cos60°﹣tan45°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可．解答：解：原式=（）2+﹣1=+﹣1=．故答案为：．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值．12．（3分）（•大庆）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣．考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，即2x+1≥0．解答：解：依题意，得2x+1≥0，解得x≥﹣．点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．13．（3分）（•大庆）地球的赤道半径约为6 370 000米，用科学记数法记为 6.37×106米．考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将6 370 000用科学记数法表示为：6.37×106．故答案为：6.37×106．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（3分）（•大庆）圆锥的底面半径是1，侧面积是2π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为180°．考点：圆锥的计算分析：根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．解答：解：∵侧面积为2π，∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×1×l=2π，解得：l=2，∴扇形面积为2π=，解得：n=180，∴侧面展开图的圆心角是180度．故答案为：180°．点评：此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．15．（3分）（•大庆）某品牌手机降价20%后，又降低了100元，此时售价为1100元，则该手机的原价为1500元．考一元一次方程的应用．点：分析：首先假设原价为x元，根据降价20%后应为（1﹣20%）x，再根据又降低了100元，此时售价为1100元得出等式求出即可．解答：解：设原价为x元，根据题意得出：（1﹣20%）x﹣100=1100解得：x=1500．故答案为：1500．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用；得到第二次降价后的价格的等量关系是解决本题的关键．16．（3分）（•大庆）袋中装有4个完全相同的球，分别标有数字1、2、3、4，从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余3个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于30的概率为．考点：列表法与树状图法分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与所得的两位数大于30的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所得的两位数大于30的有6种情况，∴所得的两位数大于30的概率为：=．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）（•大庆）已知…依据上述规律计算的结果为（写成一个分数的形式）考点：规律型：数字的变化类分析：根据已知得出原式=×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]进而求出即可．解答：解：∵…∴=×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=×（1﹣）=．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．18．（3分）（•大庆）如图，三角形ABC是边长为1的正三角形，与所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为．考点：扇形面积的计算；等边三角形的性质．分析：设与相交于点O，连OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，得到它的面积等于△ABC面积的三分之一，利用等边三角形的面积公式：×边长2，即可求得阴影部分的面积．解答：解：如图，设与相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一，∴S阴影部分=××12=．故答案为：．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等边三角形的面积公式：×边长2．三、解答题（共10小题，满分46分）19．（•大庆）计算：﹣++（π﹣3）0．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、立方根、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=0.5﹣++1=0.5﹣2++1=1．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、负指数幂、立方根、二次根式化简等考点的运算．20．（•大庆）已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．考点：因式分解的应用．分析：由a+b=﹣3，ab=2，可得a2+b2=10，因为（a2+b2）ab=a3b+ab3，所以a3b+ab3=﹣30．解答：解：∵a+b=2，∴（a+b）2=4，∴a2+2ab+b2=4，又∵ab=﹣3，∴a2+b2=10，∴（a2+b2）ab=a3b+ab3=﹣30．点评：本题为代数式求值题，主要考查整体思想，是一道比较基础的题目，要认真掌握，并确保得分．21．（•大庆）如图，已知一次函数y=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=（k2≠0）的图象在第一象限的交点为C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，若OA=OB=OD=2．（1）求一次函数的解析式；（2）求反比例函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）由OA与OB的长，确定出A与B的坐标，代入一次函数解析式中求出k1与b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）由OD的长，确定出D坐标，根据CD垂直于x轴，得到C与D横坐标相同，代入一次函数解析式求出C的纵坐标，确定出C坐标，将C坐标代入反比例解析式中求出k2的值，即可确定出反比例解析式．解答：解：（1）∵OA=OB=2，∴A（﹣2，0），B（0，2），将A与B代入y=k1x+b得：，解得：，则一次函数解析式为y=x+2；（2）∵OD=2，∴D（2，0），∵点C在一次函数y=x+2上，且CD⊥x轴，∴将x=2代入一次函数解析式得：y=2+2=4，即点C坐标为（2，4），∵点C在反比例图象上，∴将C（2，4）代入反比例解析式得：k2=8，则反比例解析式为y=．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（•大庆）某班同学在一次综合实践活动中，对本县居民参加“全民医保”情况进行了调查，同学们利用节假日随机调查了3000人，对调查结果进行了统计分析，绘制出两幅不完整的统计图：[注：图中A表示城镇职工基本医疗保险；B表示城镇居民基本医疗保险；C表示“新型农村合作医疗”；D表示其他情况]（1）补全条形统计图；（2）在本次调查中，B类人数占被调查人数的百分比为25%；扇形统计图中D区域所对应的圆心角的大小为36°．（3）据了解，国家对B类人员每人每年补助210元．已知该县人口数约为100万，请估计该县B类人员每年享受国家补助共多少元？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图分析：（1）“新型农村合作医疗”的人数=这次调查的总人数×45%，“城镇职工基本医疗保险”的人数=2000﹣B表示的人数﹣C表示的人数﹣D表示的其他情况的人数．（2）用B表示的“城镇居民基本医疗保险”的人数÷这次调查的总人数可得B类人数占被调查人数的百分比．（3）该县B类人员每年享受国家补助的总钱数=国家对B类人员每人每年补助的钱数×100×B类人员所占的百分比．解答：解：（1）如下图．（2）500÷2000=25%，即在本次调查中，B类人数占被调查人数的百分比为25%．D区域区域的圆心角为：=36°；（3）210×100×25%=5250（万元）．答：该县B类人员每年享受国家补助共5250万元．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（6分）（•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．解答：（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．24．（6分）（•大庆）如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．考点：垂径定理；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连结AC，过点C作CM⊥x轴于点M，根据垂径定理得MA=MB；由C点坐标得到OM=2，CM=，再根据勾股定理可计算出AM，可可计算出OA、OB，然后写出A，B两点的坐标；（2）利用待定系数法求二次函数的解析式．解答：解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如图∵点C的坐标为（2，），∴OM=2，CM=，在Rt△ACM中，CA=2，∴AM==1，∴OA=OM﹣AM=1，OB=OM+BM=3，∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；（2）将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得，解得．所以二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理和待定系数法求二次函数的解析式．25．（8分）（•大庆）如图所示，AB是半圆O的直径，AB=8，以AB为一直角边的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC与半圆交于点D，过点D作BC的垂线DE，垂足为E．（1）求DE的长；（2）过点C作AB的平行线l，l与BD的延长线交于点F，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）先由圆周角定理得出∠ADB=90°，再解Rt△ABD，得出BD=4，然后解Rt△BDE，即可求出DE的长；（2）先由DE⊥BC，AB⊥BC，得出DE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出=，则DA=3CD，再证明△FCD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值．解答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，AB=8，∴BD=AB=4．在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=30°，BD=4，∴DE=BD=2；（2）∵DE⊥BC，AB⊥BC，∴DE∥AB，∴===，∴CA=4CD，∴DA=3CD．∵CF∥AB，∴∠FCD=∠BAD，∠DFC=∠DBA，∴△FCD∽△BAD，∴===．点评：本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度适中，求出DE的长，进而得到DA=3CD是解题的关键．26．（8分）（•大庆）随机抛掷图中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）．（1）求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；（2）设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2+3x+=0有实数根的概率．考点：列表法与树状图法；根的判别式．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由根的判别式得出方程ax2+3x+=0有实数根的所有情况，利用概率公式求解即可求得答案．解答：解；（1）画树状图得出：总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的有3种情况，故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率为：；（2）∵方程ax2+3x+=0有实数根的条件为：9﹣ab≥0，∴满足ab≤9的结果共有14种：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）∴关于x的方程ax2+3x+=0有实数根的概率为：=．点评：此题主要考查了根的判别式和树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．27．（9分）（•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．考点：特殊角的三角函数值；一元二次方程的解专题：新定义．分析：（1）按照题目所给的信息求解即可；（2）分三种情况进行分析：①当∠A=30°，∠B=120°时；②当∠A=120°，∠B=30°时；③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可．解答：解：（1）由题意得，sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=﹣，sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=；（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0，经检验﹣是方程4x2﹣1=0的根，∴m=0符合题意；②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0，经检验不是方程4x2﹣1=0的根．综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．28．（9分）（•大庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S1，S2，S3．（1）设AF=x，试用x表示S1与S3的乘积S1S3，并求S1S3的最大值；（2）设=t，试用t表示EF的长；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，=4S1S3．考相似形综合题．点：专题：探究型．分析：（1）直接根据三角形的面积公式解答即可；（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，根据=t，可知AF=tFB，再由BM=MC=AD=1可得出====，所以NE=，根据EF=FN+NE即可得出结论；（3）根据AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=，故可得出AF=tFB=，根据三角形的面积公式可用t表示出S1，S3，S2，由s22=4S1S3．即可得出t的值．解答：解：（1）∵S1=AD•AF=x，S3=BC•BF=×2×（3﹣x）=3﹣x，∴S1S3=x（3﹣x）=（﹣x2+3x）=[﹣（x﹣）2+]=﹣（x﹣）2+（0＜x＜3），∴当x=时，S1S3的最大值为；（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，∵=t，∴AF=tFB，∵BM=MC=AD=1，∴====，∴NE=，∴EF=FN+NE=1+=；（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，∴FB=，∴AF=tFB=，∴S1=AD•AF=×=，S3=BC•FB=×2×=；S2=AB•FE=×3×=，∴S1S3=，S22=，∴=4×，即4t2﹣4t+1=0，解得t=．点评：本题考查的是相似形综合题，熟知三角形的面积公式、二次函数的最值问题等相关知识是解答此题的关键．。
2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题及答案(Word版)(1)
哈市2021年初中升学考试数学试卷第一卷 选择题（共30分）（涂卡）一、选择题（每小题3分，共计30分）1．某年哈尔滨市一月份的平均气温为－18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比 一月份的平均气温高（）．（A ）16℃ （B ）20℃ （C ）一16℃ （D ）一20℃2．下列运算中，正确的是（ ）．（A ）x 3·x 2＝x 5 （B ）x ＋x 2＝x 3 （C ）2x 3÷x 2＝x （D ）2x 2x 33 ）（ 3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）．4．在抛物线y ＝x 2－4上的一个点是（ ）．（A ）（4，4） （B ）（1，一4） （C ）（2，0） （D ）（0，4）5．一个袋子里装有8个球，其中6个红球2个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全 相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（ ）．（A ） 81 （B ）61 （C ）41 （D ）43 6．下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）．7．反比例函数y ＝x3-k 的图象，当x ＞00时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ）． （A ）k ＜3 （B ）k ≤3 （C ）k ＞3 （D ）k ≥38．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为（ ）．（A ） 7sin35° （B ）035cos 7 （C ）7cos35° （D ）7tan35° 9．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．（A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）5310．小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20分到达距离家800米的公园，他在公园休息了10分，然后用30分原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离S （单位：米）与离家的时间t （单位：分）之间的函数关系图象大致是（ ）．第二卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共计30分）11．地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约 为 千米．12．函数y ＝2x 1x ++的自变量x 的取值范围是 ． 13．化简：16＝ ．14．把多项式2a 2－4ab ＋2b 2分解因式的结果是 。
2023年黑龙江省绥化市中考数学真题(解析版)
二〇二三年绥化市初中毕业学业考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．本试题共三道大题，28个小题3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内一、单选题1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不符合题意；C 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C 选项合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．2. 计算052-+的结果是（ ）A. 3- B. 7 C. 4- D. 6【答案】D【解析】【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂进行计算即可求解．【详解】解：052-+516=+=，故选：D ．.的【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂是解题的关键．3. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据左视图的意义判断即可．【详解】根据题意，该几何体的左视图为：，故选B ．【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键．4. 纳米是非常小的长度单位，1nm 0.000000001m =，把0.000000001用科学记数法表示为（ ）A. 9110-´ B. 8110-´ C. 8110´ D. 9110´【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为10n a -´，其中110a £<，n 为整数．【详解】解：90.000000001110-=´．故选：A ．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为10n a -´，其中110a £<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a 与n 的值是解题的关键．5. 下列计算中，结果正确的是（ ）A. 333()pq p q -= B. 3228x x x x x ×+×= C. 5=± D. ()326a a =【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解．【详解】解：A. 333()pq p q =--，故该选项不正确，不符合题意；B. 43222x x x x x ×+×=，故该选项不正确，不符合题意；C. 5=，故该选项不正确，不符合题意；D. ()326a a =，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．6. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，125Ð=°，230Ð=°，则3Ð的度数为（ ）A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解．【详解】解：依题意，190345Ð+°=Ð+°，∵125Ð=°，∴370Ð=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．7. 下列命题中叙述正确的是（ ）A. 若方差22s s >乙甲，则甲组数据的波动较小B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上【答案】D【解析】【分析】根据方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 若方差22s s >乙甲，则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意；B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符合题意；C. 三角形三条中线交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意；D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．8. 绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（ ）组别参赛者成绩A7080x £<B8090x £<C90100x £<D100110x £<E 110120x £<A. 该组数据的样本容量是50人的B. 该组数据的中位数落在90~100这一组C. 90~100这组数据的组中值是96D. 110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51°【答案】B【解析】【分析】根据C 组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得8090x £<的人数为15，进而根据中位数的定义，即可判断B 选项，根据组中值为901002+=95，即可判断C 选项，根据110~120的占比乘以360°，即可判断D 选项．【详解】解：A 、 该组数据的样本容量是1224%50¸=，故该选项不正确，不符合题意；B 、8090x £<的人数为：5041212715----=，41525+<，4151225++>，该组数据的中位数落在90~100这一组，故该选项正确，符合题意；C 、 90~100这组数据的组中值是95，故该选项不正确，不符合题意；D 、 110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为736050.450´°=°，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了样本的容量，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求扇形统计图的圆心角的度数，求频数分布直方图组中值，从统计图表中获取信息是解题的关键．9. 在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，AC 平行于x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，2BC =，点D 在AC 上，且其横坐标为1，若反比例函数k y x=（0x >）的图像经过点B ，D ，则k 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 32【答案】C 【解析】【分析】设()3,B m ，则()()3,2,1,2C m D m ++根据反比例函数的性质，列出等式计算即可．【详解】设()3,B m ，∵点B ，C 的横坐标都是3，2BC =，AC 平行于x 轴，点D 在AC 上，且其横坐标为1，∴()()3,2,1,2C m D m ++，∴32m m =+，解得1m =，∴()3,1B ，∴313k =´=，故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是解题的关键．10. 某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程，正确的是（ ）A. 11142x += B. 11111424x æö++=ç÷èøC. 1111142x æö++=ç÷èø D.11111442x æö++=ç÷èø【答案】B【解析】【分析】设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列出分式方程即可求解．【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程11111424x æö++=ç÷èø，故选：B ．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．11. 如图，在菱形ABCD 中，60A Ð=°，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN V 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接BD ，过点B 作BE AD ^于点E ，根据已知条件得出ABD △是等边三角形，进而证明AMN ABE V ∽得出90ANM AEB Ð=Ð=°，当04t <<时，M 在AB 上，当48t £<时，M 在BC 上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接BD ，过点B 作BE AD ^于点E ，当04t <<时，M 在AB 上，菱形ABCD 中，60A Ð=°，4AB =，∴AB AD =，则ABD △是等边三角形，∴122AE ED AD ===，BE ==∵2,AM x AN x ==，∴2AM AB AN AE==，又A A Ð=Ð∴AMN ABEV ∽∴90ANM AEB Ð=Ð=°∴MN ==，∴212y x x =当48t £<时，M 在BC 上，∴1122y AN BE x =´=´=，综上所述，04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当48t £<时，函数图象是直线的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．12. 如图，在正方形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF AE ^于点F ，连接BD 交AE 于点G ，FH 平分BFG Ð交BD 于点H ．则下列结论中，正确的个数为（ ）①2AB BF AE =×；②:2:3BGF BAF S S =△△；③当AB a =时，22BD BD HD a -×=A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】【分析】①根据题意可得90ABF BAF DAE Ð=°-Ð=Ð，则cos cos ABF EAD Ð=Ð，即BF AD AB AE=，又AB AD =,即可判断①；②设正方形的边长为a ，根据勾股定理求得AF ，证明GAB GED V V ∽，根据相似三角形的性质求得GE ，进而求得FG ，即可判断②；过点H 分别作,BF AE 的垂线，垂足分别为,M N ，根据②的结论求得BH ，勾股定理求得BD ，即可判断③．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ADE Ð=Ð=°，AB AD=∵BF AE^∴90ABF BAF DAEÐ=°-Ð=Ð∴cos cos ABF EADÐ=Ð即BF AD AB AE=，又AB AD =,∴2AB BF AE =×，故①正确；设正方形的边长为a ，∵点E 为边CD 的中点，∴2a DE =,∴1tan tans 2ABF EAD Ð=Ð=,在Rt ABE △中，AB a ===，∴AF =在Rt ADE △中，AE ==∴EF AE AF =-==，∵AB DE∥∴GAB GEDV V ∽∴2AG AB GE DE==∴13GE AE ==∴FG AE AF GE =--=-=∴32AF FG ==∴:2:3BGF BAF S S =△△，故②正确；∵AB a =，∴22222BD AB AD a =+=,如图所示，过点H 分别作,BF AE 的垂线，垂足分别为,M N ，又∵BF AE ^，∴四边形FMHN 是矩形，∵FH 是BFG Ð的角平分线，∴HM HN =，∴四边形FMHN 是正方形，∴FN HM HN ==∵2,BF AF FG ===∴13MH FG BM BF ==设MH b =，则34BF BM FM BM MH b b b =+=+=+=在Rt BMH V中，BH ==，∵BF a =4b =解得：b =∴BH ==，∴2222B a D BD HD a a =-×=，故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题13. 因式分解：2x xy xz yz +--=_______．【答案】()()x y x z +-【解析】【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．【详解】解：2x xy xz yz +--=()()()()x x y z x y x y x z +-+=+-，故答案为：()()x y x z +-．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．14. x 的取值范围是_______．【答案】5x ³-且0x ¹##0x ¹且5x ³-【解析】【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．有意义，∴50x +³且0x ¹，∴5x ³-且0x ¹，故答案为：5x ³-且0x ¹．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．15. 在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4，从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，123411 1 1=1213142221=212=232142=33 3 1=32313=344441=4 2 2=43414=共有16种等可能结果，符合题意的有8种，∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是81162=，故答案为：12．【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．16. 已知一元二次方程256x x x +=+的两根为1x 与2x ，则1211+x x 的值为_______．【答案】23-【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出121246x x x x +==-，，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程256x x x +=+，即2460x x --=，的两根为1x 与2x ，∴121246x x x x +==-，，∴1211+x x 12124263x x x x +===--，故答案为：23-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17. 化简：2222142442x x x x x x x x x+--æö-¸=ç÷--+-èø_______．【答案】12x -##12x-+【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：2222142442x x x x x x x x x+--æö-¸ç÷--+-èø()()()()()2221242x x x x x x x x x +----=´--()()2222442x x x x x x x x ---+=´--12x =-；故答案为：12x -．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．18. 如图，O e 的半径为2cm ，AB 为O e 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留p 与根号）【答案】22πcm3æ-çè【解析】【分析】根据折叠性质得出AOC V 是等边三角形，则60AOC Ð=°，1OD CD ==，根据阴影部分面积AOC AOC S S =-V 扇形即可求解．【详解】解：如图所示，连接,OA OC ，设,AB CO 交于点D∵将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC AO =，OC AB ^又OA OC =∴OA OC AC ==，∴AOC V 是等边三角形，∴60AOC Ð=°，1OD CD ==，∴AD ==,∴阴影部分面积)226012π22πcm 36023AOC AOC S S =-=´-´=V 扇形故答案为：22πcm 3æ-çè．19. 如图，在平面直角坐标系中，ABC V 与AB C ¢¢△的相似比为12∶，点A 是位似中心，已知点(2,0)A ，点(,)C a b ，90C Ð=°．则点C ¢的坐标为_______．（结果用含a ，b 的式子表示）【答案】(62,2)a b --【解析】【分析】过点,C C ¢分别作x 轴的垂线,CD C D ¢¢垂足分别为,D D ¢，根据题意得出2AD AD ¢=，则的2,AD a CD b =-=，得出()224,0D a ¢-+，即可求解．【详解】解：如图所示，过点,C C ¢分别作x 轴的垂线,CD C D ¢¢垂足分别为,D D ¢，∵ABC V 与AB C ¢¢△的相似比为12∶，点A 是位似中心，(2,0)A ∴2AD AD ¢=∵(,)C a b ，∴2,AD a CD b =-=,∴24,2A D a C D b ¢¢¢=-=，∴()224,0D a ¢-+∴C ¢(62,2)a b --故答案为：(62,2)a b --．【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．20. 如图，ABC V 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则CDF V 周长的最小值是______．【答案】3+3+【解析】【分析】根据题意，证明CBE CAF V V ≌，进而得出F 点在射线AF 上运动，作点C 关于AF 的对称点C ¢，连接DC ¢，设CC ¢交AF 于点O ，则=90AOC а，则当,,D F C ¢三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ¢¢¢¢+=+=，进而求得C D ¢，即可求解．【详解】解：∵E 为高BD 上的动点．∴1302CBE ABC Ð=Ð=°∵将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．ABC V 是边长为6的等边三角形，∴,60,CE CF ECF BCA BC AC =Ð=Ð=°=∴CBE CAF V V ≌∴30CAF CBE Ð=Ð=°，∴F 点在射线AF 上运动，如图所示，作点C 关于AF 的对称点C ¢，连接DC ¢，设CC ¢交AF 于点O ，则=90AOC а在Rt AOC V 中，30CAO Ð=°，则132CO AC ==，则当,,D F C ¢三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ¢¢¢¢+=+=∵6CC AC ¢==，ACO C CD ¢Ð=Ð，CO CD =∴ACO C CD ¢V V ≌∴90C DC AOC ¢Ð=Ð=°在C DC ¢V 中，C D ¢===,∴CDF V 周长的最小值为3CD FC CD CD DC ¢++=+=+故答案为：3+【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．21. 在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050´=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= _______．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -##22n n -+【解析】【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===×××=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．22. 已知等腰ABC V ，120A Ð=°，2AB =．现将ABC V 以点B 为旋转中心旋转45°，得到A BC ¢¢△，延长C A ¢¢交直线BC 于点D ．则A D ¢的长度为_______．【答案】44+-【解析】【分析】根据题意，先求得BC =，当ABC V 以点B 为旋转中心逆时针旋转45°，过点B 作BE A B ¢^交A D ¢于点E ，当ABC V 以点B 为旋转中心顺时针旋转45°，过点D 作DF BC ¢^交BC ¢于点F ，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AM BC ^于点M ，∵等腰ABC V ，120BAC Ð=°，2AB =．∴30ABC ACB Ð=Ð=°，∴112AM AB ==，BM CM ===∴BC =，如图所示，当ABC V 以点B 为旋转中心逆时针旋转45°，过点B 作BE A B ¢^交A D ¢于点E ，∵120BAC Ð=°，∴60DA B ¢Ð=°，30A EB ¢Ð=°，在Rt A BE ¢V 中，24A E A B ¢¢==，BE ==∵等腰ABC V ，120BAC Ð=°，2AB =．∴30ABC ACB Ð=Ð=°，∵ABC V 以点B 为旋转中心逆时针旋转45°，∴45ABA ¢Ð=°，∴180********DBE Ð=°-°-°-°=°，1804530105A BD ¢Ð=°-°-°=°在A BD ¢V 中，1801806010515D DA B A BD Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=¢¢°,∴D EBD Ð=Ð，∴EB ED ==∴4A D A E DE ¢¢=+=+如图所示，当ABC V 以点B 为旋转中心顺时针旋转45°，过点D 作DF BC ¢^交BC ¢于点F ，在BFD △中，45BDF CBC Т=Ð=°，∴DF BF=在Rt DC F ¢V 中，30C ¢Ð=°∴'DF FC =∴BC BF =+=∴3DF BF ==-∴26DC DF ¢==-∴624A D C D A C ¢¢¢¢=-=-=-，综上所述，A D ¢的长度为4-或4+，故答案为：4-或4+．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题23. 已知：点P 是O e 外一点．（1）尺规作图：如图，过点P 作出O e 的两条切线PE ，PF ，切点分别为点E 、点F ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点D 在O e 上（点D 不与E ，F 两点重合），且30EPF Ð=°．求EDF Ð的度数．【答案】（1）见解析 （2）75EDF Ð=°或105°【解析】【分析】（1）①连接PO ，分别以点,P O 为圆心，大于12PO 的长为半径画圆，两圆交于点,M N 两点，作直线MN 交OP 于点A ，②以点A 为圆心，OA 为半径画圆，与O e 交于,E F 两点，作直线,PE PF ，（2）根据切线的性质得出90PEO PFO Ð=Ð=°，根据四边形内角和得出150EOF Ð=°，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．【小问1详解】解：如图所示，①连接PO ，分别以点,P O 为圆心，大于12PO 的长为半径画弧，两弧交于点,M N 两点，作直线MN 交OP 于点A ，②以点A 为圆心，OA 为半径画圆，与O e 交于,E F 两点，作直线,PE PF ，则直线,PE PF 即为所求；【小问2详解】如图所示，点D 在O e 上（点D 不与E ，F 两点重合），且30EPF Ð=°，∵,PE PF 是O e 的切线，∴90PEO PFO Ð=Ð=°，∴360909030150EOF Ð=°-°-°-°=°，当点D 在优弧 E F 上时，1752EDF EOF Ð=Ð=°，当点D 在劣弧 E F 上时，18075105EDF Ð=°-°=°，∴75EDF Ð=°或105°．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．24. 如图，直线MN 和EF 为河的两岸，且MN EF ∥，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE 的B 点测得30CBE Ð=°，从B 点沿河岸FE 的方向走40米到达D 点，测得45CDE Ð=°．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D 点继续沿DE 的方向走12)+米到达P 点．求tan CPE Ð的值．【答案】（1）河两岸之间的距离是20米（2）5tan 2CPE Ð=【解析】【分析】（1）过点C 作CM EF ^于点M ，设CM a =米，在Rt MCB △中，MB =，在Rt MCD △中，MD MC a ==，根据40BD =，建立方程，解方程即可求解；（2）根据题意求得MP 的长，进而根据正切的定义，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，过点C 作CM EF ^于点M ，设CM a =米，∵30CBE Ð=°∴tan tan 30CM CBM PB Ð==°=，∴MB =，在Rt MCD △中，tan tan 451CM CDM MD Ð==°=，∴MD MC a==∴40BD MB MD a =-=-=解得：20a =+答：河两岸之间的距离是20米；【小问2详解】解：如图所示，依题意，4012)52PB BD DP =+=+=+，∴((20528MP MB PB =-=++=+在Rt CMP △中，5tan 2CM CPM MP Ð===，∴5tan 2CPE Ð=．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．25. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A 、B 两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A 型车每辆租金500元，B 型车每辆租金600元．若5辆A 型和2辆B 型车坐满后共载客310人；3辆A 型和4辆B 型车坐满后共载客340人．（1）每辆A 型车、B 型车坐满后各载客多少人？（2）若该校计划租用A 型和B 型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？（3）在这次活动中，学校除租用A 、B 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程s （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t 为何值时两车相距25千米．【答案】（1）每辆A 型车、B 型车坐满后各载客40人、55人（2）共有4种租车方案，租8辆A 型车，2辆B 型车最省钱（3）在甲乙两车第一次相遇后，当3t =小时或113小时时，两车相距25千米【解析】【分析】（1）设每辆A 型车、B 型车坐满后各载客x 人、y 人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10)m -辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出m 的值，设总租金为w 元，根据一次函数的性质即可求解；（3）设s kt =甲，1s k t b =+乙，由题意可知，甲车的函数图像经过(4,300)；乙车的函数图像经过(0.5,0)，(3.5,300)两点．求出函数解析式，进而即可求解．【小问1详解】解：设每辆A 型车、B 型车坐满后各载客x 人、y 人，由题意得5231034340x y x y +=ìí+=î解得4055x y =ìí=î答：每辆A 型车、B 型车坐满后各载客40人、55人．【小问2详解】设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10)m -辆，由题意得()()500600105500405510420m m m m ì+-£ïí+-³ïî 解得：2583m ££ m Q 取正整数，\5m =，6，7，8\共有4种租车方案设总租金为w 元，则500600(10)1006000w m m m =+-=-+Q 1000-<w \随着m 的增大而减小\8m =时，w 最小\租8辆A 型车，2辆B 型车最省钱．【小问3详解】设s kt =甲，1s k t b =+乙．由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)；乙车的函数图象经过(0.5,0)，(3.5,300)两点．∴75s t =甲，10050s t =-乙25s s -=乙甲，即100507525t t --=解得3t =或3007525t -=解得113t =所以，在甲乙两车第一次相遇后，当3t =小时或113小时时，两车相距25千米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键．26. 已知：四边形ABCD 为矩形，4AB =，3AD =，点F 是BC 延长线上的一个动点（点F 不与点C 重合）．连接AF 交CD 于点G ．（1）如图一，当点G 为CD 的中点时，求证：ADG FCG @△△．（2）如图二，过点C 作CE AF ^，垂足为E ．连接BE ，设BF x =，CE y =．求y 关于x 的函数关系式．（3）如图三，在（2）的条件下，过点B 作BM BE ^，交FA 的延长线于点M ．当1CF =时，求线段BM 的长．【答案】（1）见解析 （2）y =y =）（3【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BF ∥，则D DCF Ð=Ð，根据题意得出DG CG =，即可证明(ASA)ADG FCG △≌△；（2）在Rt ABF V中，AF ==，证明CEF ABF △∽△，根据相似三角形的性质即可求解；（3）过点E 作EN BF ^于点N ，得出ABF △，CEF △为等腰直角三角形，在Rt BNE V 中，勾股定理求得BE ，证明BAM BCE △∽△，根据相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD BF ∥，∴D DCF Ð=Ð，∵G 为CD 中点，∴DG CG =，在ADG △和△FCG 中D GCF DG CGAGD FGC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî， ∴(ASA)ADG FCG △≌△；【小问2详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴90ABC Ð=°，∵CE AF ^，∴90CEF ABC Ð=°=Ð，∵F F Ð=Ð，∴CEF ABF △∽△， ∴CE CF AB AF=，∵4AB =，BF x =，∴在Rt ABF V 中，AF ==， ∵CE y =，∴4y =，∴y =y =；【小问3详解】过点E 作EN BF ^于点N ，∵四边形ABCD 为矩形，且3AD =，∴3AD BC ==，∵4AB =，1CF =，∴AB BF =，∴ABF △为等腰直角三角形，∴45CFE BAF Ð=Ð=°，∵CE AF ^，∴CEF △为等腰直角三角形，∴45ECF Ð=°，∵EN CF ^，∴EN 平分CF ，∴12CN NF NE ===，在Rt BNE V 中，∵222BE ，∴BE ==，∵45ECF BAF °Ð=Ð=，∴135BAM BCE Ð=Ð=°，∵BM BE ^，∴90MBA ABE Ð+Ð=°，∵90ABE EBC Ð+Ð=°，∴MBA EBC Ð=Ð，∴BAM BCE △∽△，∴43BM BA BE BC ==，43=，∴BM =．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列函数关系式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．27. 如图，MN 为⊙O 的直径，且15MN =，MC 与ND 为圆内的一组平行弦，弦AB 交MC 于点H ．点A 在¼MC上，点B 在»NC 上，90OND AHM Ð+Ð=°．（1）求证：MH CH AH BH ×=×．（2）求证： AC BC=．（3）在⊙O 中，沿弦ND 所在的直线作劣弧 ND的轴对称图形，使其交直径MN 于点G ．若3sin 5CMN Ð=，求NG 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）215【解析】【分析】（1）证明AMH CBH V V ∽即可；（2）连接OC ，交AB 于点F ，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可；（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可．【小问1详解】Q ABC Ð和AMC Ð是 AC 所对的圆周角，\ABC AMC Ð=Ð，Q AHM CHB Ð=Ð，∴AMH CBH V :V ，∴AH MH CH BH=，∴MH CH AH BH ×=×．【小问2详解】连接OC ，交AB 于点F ，Q MC 与ND 为一组平行弦，即：MC ND ∥，\OND OMC Ð=Ð，Q OM OC =，\OMC OCM Ð=Ð，Q 90OND AHM Ð+Ð=°，\90OCM AHM OCM CHB Ð+Ð=Ð+Ð=°，\90HFC Ð=°，\OC AB ^，\OC 是AB 的垂直平分线，\ =AC BC．【小问3详解】连接DM 、DG ，过点D 作DE MN ^，垂足为E ，设点G 的对称点G ¢，连接G D ¢、G N ¢，Q DG DG ¢=，G ND GND ¢Ð=Ð，∴ 'DMDG =n ，\DG DM ¢=，\DG DM =，\DGM V 是等腰三角形，Q DE MN ^，\GE ME =，Q DN CM ∥，\CMN DNM Ð=Ð，Q MN 为直径，\90MDN Ð=°，\90MDE EDN Ð+Ð=°，Q DE MN ^，\90DEN Ð=°，\90DNM EDN Ð+Ð=°，\3sin sin sin 5EDM DNM CMN Ð=Ð=Ð=，在Rt MND △中，15MN =，\3sin 5MD DNM MN Ð==，\3155MD =，\9MD =，在Rt MED V 中，3sin 5ME EDM MD Ð==，\395ME =\275ME =，\2721215255NG MN MG MN ME =-=-=-´=\215NG =故答案为：215．【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形．28. 如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A -，(2,0)B -，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．（1）求抛物线和一次函数的解析式．（2）点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．（3）将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ^于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？【答案】（1）211462y x x =++，36y x =+ （2）满足条件的E 、F 两点存在，1(8,2)E -，2(4,2)E -，3(4,4)E -（3）当133m =时，12CD PD +【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①当BC 为正方形的边长时，分别过B 点C 点作12E E BC ^，12F F BC ^，使12E B E B BC ==，12CF CF BC ==，连接11E F 、22E F ，证明11(AAS)BE H CBO △≌△，得出112E H BO ==，16H B OC ==，则1(8,2)E -同理可得，2(4,2)E -；②以BC 为正方形的对角线时，过BC 的中点G 作33E F BC ^，使33E F 与BC 互相平分且相等，则四边形33E BF C 为正方形，过点3E 作3E N y ^轴于点N ，过点B 作3BM E N ^于点M ，证明33(AAS)CE N E BM △≌△，得出3E B =，在3Rt E NC △中，22233E C CN E N =+，解得2CN =或4，进而即可求解；（3）得出CON V 是等腰直角三角形，HPD V是等腰直角三角形，则HD DP ==，点P 在抛物线2y 上，且横坐标为m ，得出(,6)H m m -+，进而可得22132HD DP m m ö==-+=÷ø，则12CD PD+2133m ö=-+÷ø根据二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：把(6,0)A -，(2,0)B -，(0,6)C 代入21y ax bx c =++得36604206a b c a b c c -+=ìï-+=íï=î解得1246a b c ì=ïï=íï=ïî∴211462y x x =++ 把(2,0)B -代入6y kx =+得3k =∴36y x =+【小问2详解】满足条件的E 、F 两点存在，1(8,2)E -，2(4,2)E -，3(4,4)E -解：①当BC 为正方形的边长时，分别过B 点C 点作12E E BC ^，12F F BC ^，使12E B E B BC ==，12CF CF BC ==，连接11E F 、22E F .过点1E 作11E H x ^轴于1H .∵1111,90BE CB BOC E H B E BC =Ð=Ð=°=Ð，又111190BE H E BH CBO Ð=°-Ð=Ð，∴11(AAS)BE H CBO △≌△，∴112E H BO ==，16H B OC ==∴1(8,2)E -同理可得，2(4,2)E -②以BC 为正方形的对角线时，过BC 的中点G 作33EF BC ^，使33E F 与BC 互相平分且相等，则四边形33E BF C 为正方形，过点3E 作3E N y ^轴于点N ，过点B 作3BM E N ^于点M∵3333,90CE BE CNE E MB =Ð=Ð=°，又33390BE M CE N E CNÐ=°-Ð=Ð∴33(AAS)CE N E BM △≌△∴3CN E M =，3BM E N=∵BC =∴3E G BG ==∴3E B =在3Rt E NC △中，22233E C CN E N=+∴222(6)CN CN =+-解得2CN =或4当4CN =时，3(2,2)E ，此时点E 在点F 右侧故舍去；当2CN =时，3(4,4)E -.综上所述：1(8,2)E -，2(4,2)E -，3(4,4)E -【小问3详解】∵211462y x x =++向右平移8个单位长度得到抛物线()()22184862y x x =-+-+当20y =，即()()21848602x x -+-+=解得：122,6x x ==∴(2,0)M ，(6,0)N ∵2y 过M ，N ，C 三点∴221462y x x =-+ 在直线NC 下方的抛物线2y 上任取一点P ，作PH x ^轴交NC 于点H ，过点H 作HG y ^轴于点.G∵(6,0)N ，(0,6)C ∴ON OC=∴CON V 是等腰直角三角形∵45CHG Ð=°，90GHP Ð=°∴45PHD Ð=°又PD CN^∴HPD V 是等腰直角三角形∴HD DP HP ==∵点P 在抛物线2y 上，且横坐标m∴CG GH m==∴CH =∵6CN y x =-+为∴(,6)H m m -+∴2211646322HP m m m m m æö=-+--+=-+ç÷èø∴22132HD DP m m ö==-+=÷ø∴211332222CD PD CH HD PD CH PD æö+=++=+=++ç÷ç÷èø2133m ö=-÷ø∴当133m =时，12CD PD +．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学(word版有解析)
黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣7的倒数是（）A．7 B．﹣7 C．D．﹣【解析】乘积是1的两个数互为倒数，﹣7的倒数是﹣，故选：D．2．下列运算正确的是（）A．a6÷a3=a2B．2a3+3a3=5a6C．（﹣a3）2=a6D．（a+b）2=a2+b2【解析】A、原式=a3，不符合题意；B、原式=5a3，不符合题意；C、原式=a6，符合题意；D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意，故选C3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．4．抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（）A．（，﹣3）B．（﹣，﹣3）C．（，3）D．（﹣，3）【解析】y=﹣（x+）2﹣3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣，﹣3）．故选B．5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．【解析】从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，故选：C．6．方程=的解为（）A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5【解析】去分母，2（x﹣1）=x+3，去括号，2x﹣2=x+3，移项，合并同类项，x=5，令x=5代入（x+3）（x﹣1）≠0，故选C.7．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A．43°B．35°C．34°D．44°【解析】∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，故选B．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（）A．B．C．D．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，∴BC==，则cosB==，故选A.9．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=【解析】（A）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；（B）∵DE∥BC，∴，故B错误；（C）∵DE∥BC，，故C正确；（D）∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴=，故D错误；故选C.10．周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（）A．小涛家离报亭的距离是900mB．小涛从家去报亭的平均速度是60m/minC．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/minD．小涛在报亭看报用了15min【解析】A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意；B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意；C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000，当y=1200时，x=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意；D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．将57600000用科学记数法表示为 5.67×107．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．57600000=5.67×107，故答案为：5.67×107．12．函数y=中，自变量x的取值范围是x≠2．【解析】由x﹣2≠0得，x≠2，故答案为x≠2．13．把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是a（2x+3y）（2x﹣3y）．【解析】原式=a（4x2﹣9y2）=a（2x+3y）（2x﹣3y），故答案为：a（2x+3y）（2x﹣3y）14．计算﹣6的结果是．【解析】原式=33﹣6×33=33﹣23=3故答案为：315．已知反比例函数y=的图象经过点（1，2），则k的值为1．【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（1，2），∴2=3k﹣1，解得k=1．故答案为：1．16．不等式组的解集是2≤x＜3．【解析】，由①得：x≥2，由②得：x＜3，则不等式组的解集为2≤x＜3．故答案为2≤x＜3．17．一个不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为．【解析】∵不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，∴摸出的小球是红球的概率为；故答案为：．18．已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的圆心角为90°．【解析】设扇形的圆心角为n°，则=4π，解得，n=90，故答案为：90°．19．四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC 上，若OE=3，则CE的长为43或23．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=6，∴OB=BD=3，∴OC=OA==33，∴AC=2OA=63，∵点E在AC上，OE=3，∴CE=OC+3或CE=OC﹣3，∴CE=43或CE=23；故答案为：43或23．20．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．三、解答题（本大题共60分）21．先化简，再求代数式÷﹣的值，其中x=4sin60°﹣2．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解】÷﹣===，当x=4sin60°﹣2=4×=﹣2时，原式=．22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC，且点C在小正方形的顶点上；（2）在图中画出平行四边形ABDE，且点D和点E均在小正方形的顶点上，tan∠EAB=，连接CD，请直接写出线段CD的长．【分析】（1）因为AB为底、面积为12的等腰△ABC，所以高为4，点C在线段AB的垂直平分线上，由此即可画出图形；（2）扇形根据tan∠EAB=的值确定点E的位置，由此即可解决问题，利用勾股定理计算CD的长；【解】（1）△ABC如图所示；（2）平行四边形ABDE如图所示，CD==26．23．随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已成为人们的一种生活时尚，洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动，围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中，你最喜欢哪一个？（必选且只选一个）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图求出总人数即可；（2）根据题意作出图形即可；（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解】（1）10÷20%=50（名），答：本次调查共抽取了50名学生；（2）50﹣10﹣20﹣12=8（名），补全条形统计图如图所示，答：估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名．24．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解】（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）25．威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？【分析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解就可以了．【解】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意，得，解得：答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得200a+100（34﹣a）≥4000，解得：a≥6答：威丽商场至少需购进6件A种商品．26．已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．（1）如图1，求证：AD=BD；（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°；2-1-c-n-j-y（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=，求的值．【分析】（1）如图1，连接OA，利用垂径定理和圆周角定理可得结论；（2）如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT，由圆周角定理可得∠BPT=90°，易得∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，利用切线的性质定理和垂径定理可得∠ABO=∠OMB，等量代换可得∠ABO=∠APT，易得结论；（3）如图3，连接MA，利用垂直平分线的性质可得MA=MB，易得∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，易得△APM≌△BNM，由全等三角形的性质可得AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，易得四边形APBK是平行四边形，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，易得∠NBP=∠KBP，可得△PBN≌△PBK，PN=2PH，利用三角函数的定义可得sin∠PMH=，sin∠ABO=，设DP=3a，则PM=5a，可得结果．【解】（1）证明：如图1，连接OA，∵C是的中点，∴，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，∴OD⊥AB，AD=BD；（2）证明：如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT∵BT是⊙O的直径∴∠BPT=90°，∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，∵BM是⊙O的切线，∴OB⊥BM，又∠OBA+∠MBA=90°，∴∠ABO=∠OMB又∠ABO=∠APT∴∠APB﹣90°=∠OMB，∴∠APB﹣∠OMB=90°；（3）解：如图3，连接MA，∵MO垂直平分AB，∴MA=MB，∴∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，则∠AMP=∠BMN，∴△APM≌△BNM，∴AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，∴四边形APBK是平行四边形；AP∥BK，∴∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，∴∠APB+∠MBA=180°∴∠PBK=∠MBA，∴∠MBP=∠ABK=∠PAB，∴∠MAP=∠PBA=∠MBN，∴∠NBP=∠KBP，∵PB=PB，∴△PBN≌△PBK，∴PN=PK=2PD，过点M作MH⊥PN于点H，∴PN=2PH，∴PH=DP，∠PMH=∠ABO，∵sin∠PMH=，sin∠ABO=，∴，∴，设DP=3a，则PM=5a，∴MQ=6DP=18a，∴．27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据S△ABC =S△AMC+S△AMB，由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式；（3）如图2，由抛物线对称性可得D（2，﹣3），过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，可得四边形OCKB为正方形，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I 交BK于点R，可得四边形OHQI为矩形，可证△OBQ≌△OCH，△OSR≌△OGR，得到tan ∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，可得SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在Rt△SKR中，根据勾股定理求得m，可得tan∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，得到P（t，﹣t﹣3），可得﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，求得t，再根据MN=d求解即可．【解】（1）∵直线y=x﹣3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，﹣3），∵y=x2+bx+c经过B、C两点，∴，解得，故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，y=x2﹣2x﹣3，y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴∠ABC=45°，AC=，AB=4，∵PE⊥x轴，∵点P的横坐标为1，∴EM=EB=3﹣t，连结AM，=S△AMC+S△AMB，∵S△ABC∴AB•OC=AC•MN+AB•EM，∴×4×3=×d+×4（3﹣t），∴d=t；（3）如图2，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为x=1，∴由抛物线对称性可得D（2，﹣3），∴CD=2，过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，∴四边形OCKB为正方形，∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3，∴DK=1，∵BQ⊥CP，∴∠CQB=90°，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，∴四边形OHQI为矩形，∵∠OCQ+∠OBQ=180°，∴∠OBQ=∠OCH，∴△OBQ≌△OCH，∴QG=OS，∠GOB=∠SOC，∴∠SOG=90°，∴∠ROG=45°，∵OR=OR，∴△OSR≌△OGR，∴SR=GR，∴SR=CS+BR，∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°，∴∠BOR=∠TBK，∴=，∴BR=TK，∵∠CTQ=∠BTK，∴∠QCT=∠TBK，∴tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，∴SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在Rt△SKR中，∵SK2+RK2=SR2，∴（2m+1）2+（2﹣m）2=（3﹣m）2，解得m1=﹣2（舍去），m2=；∴ST=TD=，TK=，∴tan∠TBK==÷3=，∴tan∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，∵CF′=OE′=t，∴PF′=t，∴PE′=t+3，∴P（t，﹣t﹣3），∴﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，解得t1=0（舍去），t2=．∴MN=d=t=×=．。
2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷(附答案)
2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷（附答案）一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（）A．|﹣2024|和﹣2024B．2024和C．|﹣2024|和2024D．﹣2024和【答案】A．2．（3分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（）A．1.56×10﹣5B．0.156×10﹣5C．1.56×10﹣6D．15.6×10﹣7【解答】解：0.00000156＝1.56×10﹣6，故选：C．3．（3分）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾B．有害垃圾C．其他垃圾D．可回收物【答案】B．4．（3分）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（）A．B．C．D．【答案】B．5．（3分）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（）A．B．C．D．【答案】D．6．（3分）下列说法正确的是（）A．若＞2，则b＞2aB．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形【答案】D．7．（3分）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（）A．纸带①、②的边线都平行B．纸带①、②的边线都不平行C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行【解答】解：对于纸带①，∵∠1＝∠2＝59°，∴∠1＝∠ADB＝59°，∴∠DBA＝180°﹣∠ADB﹣∠2＝62°，由翻折的性质得：∠ABC＝∠DBA＝62°，∴∠DEB＝180°﹣∠ABC﹣∠DBA＝56°，∴∠1≠∠DEB，∴AD与EB不平行．对于纸带②中，由翻折的性质得：∠CGH＝∠DGH，∠EHG＝∠FHG，又∵C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上∴∠CGH+∠DGH＝180°，∠EHG+∠FHG＝180°，∴∠CGH＝∠DGH＝90°，∠EHG＝∠FHG＝90°，∴∠CGH+∠EHG＝180°，∴CD∥EF．综上所述：纸带①边线不平行，纸带②的边线平行．故选：D．8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与y＝的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：将x＝1代入y＝kx﹣k得，y＝k﹣k＝0，所以函数y＝kx﹣k过定点（1，0）．故B选项不符合题意．当k＞0时，函数y＝kx﹣k中y随x的增大而增大．因为当k＞0时，y＝＞0，所以此函数的图象都在x轴的上方，所以AD不符合题意，C符合题意．故选：C．9．（3分）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（）A．小庆选出四个数字的方差等于4.25B．小铁选出四个数字的方差等于2.5C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5D．小萌选出四个数字的极差等于4【分析】根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可．【答案】A．【点评】本题考查了方差，算术平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（）A．15B．5+5C．10+5D．18【解答】解：过点N′作EF∥AB，交AD、BC于E、F，过点M作MG⊥EF于点G，∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，∴∠A＝∠MGN＝90°，由旋转的性质得∠NMN'＝90°，MN＝MN′，∴∠AMN＝90°﹣∠NMG＝∠GMN′，∴△AMN≌△GMN′（AAS），∴MG＝AM，∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，作点M关于直线EF的对称点M，连接MB交直线EF于点N′，此时△MBN′周长取得最小值，最小值为BM+BM′，∵BM＝AB＝5，MM′＝5+5＝10，∴，故选：B．二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。
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黑龙江省中考数学试题（实验区）
黑龙江省课改实验区初中升学统一考试
〖本卷满分1考试时间1〗
一、填空题(每小题3分，满分36分)
1. 中国的互联网上网用户数居世界第二位，用户已超过7800万，用科学记数法表示7800万这个数据为 _________ 万.
2. 函数x
=3中，自变量x的取值范围是
y-
3. 如图, E、F是
□ABCD对角线BD上的两
点，请你添加一个适当
的条件: ___________ ，
使四边形AECF是平行四边形.
4．已知∠α与∠β互余，且∠a=400，则∠β的补角为 _________ 度．
5．已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点(1，2)与
(-l，4)，则a+c的值是
6. 如图，有6张牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是 ________
7. 有6个数，它们的平均数是12，再添加一个数5，则这7个数的平均数是
8. 小华的妈妈为爸爸买了一件衣服和一条裤子，共用306元. 其中衣服按标价打七折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价为 ________ 元.
9. 如图，AB是半圆的
直径，O是圆心，C是
半圆上一点, E是弧AC
的中点，OE交弦AC于D. 若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为 _________ cm
10. 在同一平面内，△ABC与△A1B1C1关于直线m对称, △A1B1C1与△A2B2C2关于直线n对称，且有m∥n, 则△ABC可以通过一次 ________ 变换直接得到△A2B2C2
11. 已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=3
2，那么AP的长为 _________
12. 一次函数y=kx+3的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为 ________
二、单项选择题(每小题3分，满分24分)
13. 李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平
面的是
① ② ③ ④ ( )
A. ①②④
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②③
14. 若梯形的上底长为4，中位线长为6，则此梯形的下底长为
A.5
B.8
C.12
D.16
15. 在下面图形中， 每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分
面积最大的是 ( ) A. B. C. D.
16. 在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于x 轴的对称点在 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
17. 如图①是一个正方形毛坯， 将其沿一组对面的对角线切去一半，得到一个工件如图②，
对于这个工件，左视图、俯视图正确的一组的是
( )
① ②
A.a 、b
B.b 、d
C.a 、c
D.a 、d
18. 在相同时刻的物高与影长成比例，小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同
时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为( )
A. 60米
B. 40米
C. 30米
D. 25米
19. 不等式组⎩
⎨⎧>--≥-01125x x 的解集是 ( ) A. x ≤3 B. 1<x ≤3
C. x ≥3
D. x>1
甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运
动员，那么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有
( )
A.3种
B.4种
C.6种
D.12种
三、解答题(满分60分)
21．(本题5分) 先化简，再求值：2422-+-x x x ，其中23-=x
22．(本题6分)
如图网格中有一个四边形和两个三角形.
(1) 请你画出三个图形关于点O 的中心对称图形;
(2) 将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数;
这个整体图形至少旋转多少度与自身重合
23．(本题6分)
王叔叔家有一块等腰三角形的菜地， 腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这
条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，
请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
24．(本题7分)
为了了解业余射击队队员的射击成绩，对某次射击比赛中每一名队员的平均成绩(单位：
环，环数为整数)进行了统计．分别绘制了如下统计表和频率分布直方图，请你根据统计表
(1) 参加这次射击比赛的队员有多少名?
(2) 这次射击比赛平均成绩的中位数落在频率分布直方图的哪个小组内?
(3) 这次射击比赛平均成绩的众数落在频率分布直方图的哪个小组内?
25．(本题8分)
某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
(1) 分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式；
(2) 求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3) 求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．
26．(本题8分)
已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在图1中的位置时，则有结论：S △PBC =S △PAC +S △PCD 理由：过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．
图l
∵ S △PBC +S △PAD =21BC ·PF+2
1AD ·PE =21BC （PF+PE ）=21BC ·EF=2
1S 矩形ABCD 又∵ S △PAC +S △PCD +S △PAD =2
1S 矩形ABCD ∴ S △PBC +S △PAD = S △PAC +S △PCD +S △PAD ．
∴ S △PBC =S △PAC +S △PCD ．
请你参考上述信息，当点P 分别在图2、图3中的位置时，S △PB C 、S △PAC 、S PCD 又有怎样的数量关系? 请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．
图2 图3
27．(本题10分)
某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于万元，
(1) (2) 该公司如何建房获得利润最大?
(3) 根据市场调查，每套B 型住房的售价不会改变，每套A 型住房的售价将会提高a 万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大? 注：利润=售价-成本
28．(本题10分)
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边AB 在x 轴上，AB=25，顶点C 在y 轴的负半轴
上，4
3tan =∠ACO ，点P 在线段OC 上，且PO 、PC 的长(PO<PC)是关于x 的方程x 2-(2k+4)x+8k=O 的两根．
(1) 求AC 、BC 的长；
(2) 求P 点坐标；
(3) 在x 轴上是否存在点Q ，使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是梯形? 若存在，请直接写出直线PQ 的解析式；若不存在，请说明理由．。