中科大课件-地震学原理及应用-Chapter4

地震学原理与应用

第四章

地球内部物理性质和化学成分

的研究

一、密度分布

1.原理

*“地球自由振荡”中已介绍过用“穷举法”研究地球的密度分布，解不唯一，且繁琐。

*地震体波速度也含有密度分布的信息。

如设完全弹性，则： 。，ρ

μβρ2μλα2

2

=+=a 和b 可实测，三个未知分布函数，只有两个方程，不能确定。 *从天文学及其它测量中可以得到：地球的总质量M 和转动惯量I 。它们都是r (r)的某种积分。因此，有可能利用这些实测

值、实测的分布函数和有关物理定律求出r (r)。 约束条件

(1)地球介质为完全弹性介质

有： 2.简化假设

。

，ρ

μβρ2μλα2

2

=+=(2)地球具有球对称性 f = f (r)，r (r)=r (r)。

(3)地球内部由于介质抗剪强度远小于自重引起的静压。而

且地球内部高温高压是个长期的状态，不是突然的加载。因此，可以视为处于流体静压状态：

2

r

2

r

dr ρr π4G ρg ρdr dp ;dr ρg dp ⎰

-=-=-=(4)假定地球介质在化学成分上是分区均匀的(比例恒定的混合

物) r =r (p, T, {n i }, {q i }), i=1, 2, ⋯, N

即，r 为压力、温度和标志化学组成的参数(n i ：组成；q i ：相态)的函数。

3.密度函数方程的导出

(1)已设化学均一，选用p, s 描述系统，则有：

方程和约束条件

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=(b)

dr

ds s T dr dp p T dr dT (a)dr

ds

s ρdr dp p ρdr d ρp s p s 全微分 0

dr

dq q ρdr

dn n ρi

i i i

i i =∂∂=

∂∂∑

∑

(2)地球中实际温度与绝热温度梯度是存在差别的。令：偏差

(c)

dr

ds

s T dz ds s T dz dp p T dz dT τp p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=由(b)： *由恒压下的热膨胀系数定义：

p p p p

T s s ρρ1T ρρ1T Θα⎪

⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=p p

s ρρα1s T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂代入(c)，得到：

由定义： V V

Δlim

Θ0V →=质量元M ：

'

ρ,V'ρV,⇒r V=r ’V’

同减 V r ’：

r V -V r ’=-V Dr r ’V’-V r ’=r ’D V

ρ

ρ

ΔV V ΔΘ-≈≈

dr

ds s ρρα1τp ⎪

⎭⎫ ⎝⎛∂∂=αρτdr

ds

s ρp =⎪

⎭⎫ ⎝⎛∂∂代入(a)

(3)由不可压缩性的定义

体积模量 (d)

k ρ

p ρρp ρρΔρp Θp k s

s s s

V

V Δs s s =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=而 )

β(αρμλk 2

3

423

2

s -=+=令 2

3

4

2

βα-=φ，则 (e)

1

ρρp ρs

φ

=φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂

(4) (e)代入(a)，并考虑假设 g

ρdr

dp

-=)δ(1g ρ

τραg ρdr d ρ-φ-=+φ-=，其中 g

ταδφ=* 忽略温度梯度偏差，t ＝0，则：

2(r)r

(r)

ρGm(r)g ρdr d ρφ-=φ-=即：密度函方程(Williamson - Adams 方程)，求积分

得r (r)方程

* 求导： （dm(r)=4p r 2r (r)dr ）

0Q(r)ρdr

d ρP(r)dr d ρρ1dr ρd 2

2

22

=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-其中： 。

φ

=φφ+=G π4Q(r),dr d 1r 2P(r)

4. Bullen 模型“A”的建立 (1)约束条件：合理的密度分布必须满足：

R ＝6371km ，M ＝5,974×1027g ，I ＝8.025×1044g ⋅cm 2 解不唯一

*力学稳定性要求(特别是液核)深部的密度大。

均匀球的转动惯量系数 ，故应满足 。 0.3308MR

I(R)Y(R)2

==0.4Mr

I(r)

Y(r)2

<=*由实测的φ(r)和W-A 方程约束分层的密度分布函数的形态。实测数据的约束如能满足，较为可信。 (W -A 方程可信吗？) *试算中得到的一些结果 (陨石的参数作参考)：

r 6371=r 0=r (G)6371 对密度分布的影响不大敏感。改变5g/cm 3才对地核和地幔分别影响0.04和0.03g/cm 3。

F 区和

G 区只占地球总体积的1%。 (从12.3−22.3g/cm 3)