第13讲：等腰三角形

内容

基本要求

略高要求

较高要求

轴对称 了解图形的轴对称，理解对应点所连

的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称

能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形的轴对称性及其相关性质

能运用轴对称进行图案设计

【例1】 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，求三角形三个内角的度数．

【例2】 已知A B C ∆中，90A ∠=︒，67.5B ∠=︒.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请

你利用下面给出的备用图，画出两种．．

不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.

C

B

A C

B A

【例3】 在A B C ∆中，A B A C =．若过A B C ∆一个顶点的直线可将A B C ∆分成两个等腰三角形，求A B C ∆各

内角的度数．

中考要求

例题精讲

等腰三角形

【例4】 M O N ∠是一个钢架，10M O N ∠=︒，在其内部添加一些钢管BC ，C D ，D E ，EF ，F G ，…添加

的钢管长度都与O B 相等．

（1）当添加到第五根钢管时，求F G M ∠的度数．

（2）假设O M 、O N 足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?

D

N

M

F

E

O

C

B G

【巩固】 如图，A B C ∆中，30A ∠=︒，C D 是B C A ∠的平分线，ED 是C D A ∠的平分线，EF 是DEA ∠的平分

线，DF FE =，求B ∠.

A

B

C

D

E

F

【例5】 A B C ∆中，AM AN =，C N C P =，AB AQ =，C B C G =．试比较M N P ∠与GBQ ∠的大小．

R

P

N M G C

Q

B

A

【例6】 在正方形ABC D 所在平面上找一点P ，使APB ∆是等腰直角三角形，这样的点P 你能发现几个?请作

出这些点．

（P 6）（P 5）

P 4

P 3

P 2

B C P 1

D

A

【例7】 如图，在正方形ABC D 所在平面上找点P ,使PAB ∆、P B C ∆、P C D ∆、PDA ∆同时为等腰三角形，

这样的点P 你能发现几个?请作出这些点．

P 2

B

C

P 1D

A

【例8】 把正方形改成正三角形．已知如图，在正A B C ∆所在平面上找点P 使PAB ∆、P B C ∆、PC A ∆同时为

等腰三角形，作出这些点．

P 3

P 2A

B C P 1

【例9】 已知菱形ABC D 中，72A ∠=︒，请设计两种不同的分法，将菱形ABC D 分割成四个三角形，使得分

割成的每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，例如第20题图，不要求写出画法，不要求证明.）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.

36︒36︒

36

︒

18︒18

︒

54︒

72︒72︒

72︒

第20题图

54︒

D

C

B

A

A

分

A B

C D

分法2

A B

C D 分法1

【例10】

A B C ∆中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，D F AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ．求证：EG EC =．

G

F

E D C

B A

【巩固】 如图，直角△ABC 中，90BAC AB AC BD ∠=︒=，，平分ABC ∠交A C 于D ，作C E BD ⊥交BD 延长

线于E ，作AH BC ⊥于H ，交BD 于M ，则B M 与C E 的大小关系是什么？

B

M

H

E

D

C

A

【例11】 如图所示，在直角梯形ABC D 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，AB BC =，E 是AB 的中点，C E BD ⊥．

⑴ 求证：BE AD =； ⑵ 求证：A C 是线段ED 的垂直平分线； ⑶ D BC ∆是等腰三角形吗？请说明理由．

E D

C B

A

A B C D

E

M

【例12】 如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE C A ⊥的延长线于点E ，PF BC

⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?

A

B

C

E

D

P F

【例13】 如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，

AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、P G 、AD 之间存在怎样的数量关系?

A B

C

D

E

G P

F

【巩固】 点P 为正三角形ABC 外的一点，且PE AC ⊥于点E ，

PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD BC ⊥