配方法把二次型化为标准形
举例说明将二次型化成标准型的方法
举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。
2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。
3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。
正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。
4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。
正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。
7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。
主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。
10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。
化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。
11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。
用配方法将二次型化为标准型
用配方法将二次型化为标准型首先，我们来回顾一下二次型的定义。
对于n元变量x1, x2, ..., xn，二次型可以表示为。
Q(x) = x^T A x。
其中，A是一个n阶对称矩阵，x是一个n维列向量，x^T表示x的转置。
二次型的标准型是一个比较特殊的形式，可以通过合适的线性变换将任意的二次型化为标准型。
具体来说，标准型可以表示为。
Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2。
其中，λ1, λ2, ..., λn是二次型的特征值，y1, y2, ..., yn是对应的特征向量。
接下来，我们将介绍用配方法将二次型化为标准型的步骤。
设给定的二次型为。
Q(x) = x^T A x。
我们的目标是通过合适的线性变换，将其化为标准型。
首先，我们需要求出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
然后，我们将特征值和特征向量构成对角矩阵和正交矩阵，利用这两个矩阵进行相似变换，最终将二次型化为标准型。
具体的步骤如下：1. 求出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
设特征值为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
2. 将特征值和特征向量构成对角矩阵D和正交矩阵P。
其中，D的对角线元素为特征值，P的列向量为特征向量。
3. 进行相似变换。
设矩阵B = P^T A P，则二次型可以表示为。
Q(x) = x^T B x。
4. 化为标准型。
将矩阵B对角化，即将其化为对角矩阵，对角线元素为特征值。
设B的对角线元素为λ1, λ2, ..., λn，则二次型化为标准型。
Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2。
其中，y = P x。
通过以上步骤，我们可以将任意给定的二次型通过配方法化为标准型。
这样做的好处在于，标准型更容易进行分析和运算，可以更清晰地展现二次型的特性和规律。
在实际问题中，通过将二次型化为标准型，我们可以更方便地求出极值、进行分类讨论等。
6_2 配方法化二次型为标准形
②将x1, x2,…, xn正交化标准 化为h1, h2,…, hn，令 P=(h1, h2,…, hn), 仍有 P -1AP= 正交必无关 , 即有 P TAP= 因为PT=P -1.
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作业：
P128页 习题四 8， 9
《线性代数》
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现将X=PY代入二次型，得
f ( X ) X T AX
X PY
( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
d1 0 0 y1 0 d 0 y2 2 T yn Y Y , 0 0 d y n n
2
(1)就是相应的满秩线性变换，其中的 满秩方阵 P 为
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P 0 0
1 0
结束
2 3 1
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
解：f 中不含变量的平方项，但f 中含乘积项x1x2，为使f 出现平 方项可作下列变换：
上式右端除第一外，已不再含x1 ，继续对x２配方得： 4 2 y1 x1 x2 x3 f 2( x1 x2 x3 ) 2 3( x2 x2 x3 ) 3 x3 3 2 2 2 5 2 令 y2 x2 x3 2 3 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 x3 y3
第 6章
二次型
一、二次型与二次型的化简 *二、配方法化二次型为标准形 *三、合同变换法化二次型为标准形 四、正交变换化二次型为标准形 五、惯性定律与正定二次型
配方法化二次型为标准型
1
12
2
3
23
（x1 x2）2 x22 5x32 4x2 x3
（yx21xy2）22（yx22 2x3）2 x32
1
2
3
y1 x1 x2 ,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 y2 2 y3,
1 1 2
x2 y2 2y3,
C 0 1 2.
x3 y3.
0 0 1
例2
:
设二次型f
(x , 1
x, 2
x) 3
x2 1
x2 2
8x 2 3
4x x 13
4x2x3,
1.求一可逆变换将该二次型化为标准形;
2. f (x1, x2, x3) 1是什么曲面?
1. f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 8x32 4x1x3 4x2x3 ( x1 2x3 )2 ( x2 2x3 )2 y12 y22.
y1 x1 2x3,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 2 y3 , x2 y2 2 y3 , x3 y3.
1 0 2
C
0 0
1 0
12 .
2.由 A E 0 A的特征值为1 0, 2 1,3 9.
在正交变换下，可将 f 1化为 y 2 9y 2 1. 为椭圆
2
3
柱面。
正交变换保持向量长度不变,只有在正交变换下将二次 型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型。 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有
||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：
§62 二次型化为标准型的三种方法
2 n n n
2
a 12 a 1n a 11 x 1 x 2 ... xn a 11 a 11 1 a 12 x 2 a 13 x 3 ... a 1n x n a 11
2 2 a 22 x 2 ... 2a 2 n x n 2 ...... a nn x n
2 1
y 的 系 数 2 a 0 , 再 用 ( 1 ) 化 简 . 1 2
反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型 化为标准形. y=Dz,|D|≠0 因为 x=Cy, |C|≠0 则 x=(CD)z, |CD|=|C||D|≠0 也是非退化线性替换.
以上做法中,每一步都是非退化线性替换.
2 2 2 x 2 x x 2 x x 2 x 5 x 6 x x 1 12 13 2 3 2 3 2 2 2 去掉配方后多出来的项 x x x x 4 x 4 xx 1 2 3 2 3 23 2 2 2 2 2 x x 2 x x 2 3 2 3 x x x x 4 x 4 x x
g ( y , y , , y ) d y d y d y ,
2 n n
上 式 称 为 f 的 标 准 型 .
(2)如果存在，如何求C?
问 题 ： ( 1 ) 非 退 化 得 线 性 替 换 X C Y 是 非 存 在 ？
定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性 替换 化为标准形。
' 2 ay n nn
当aii'不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2)
(2)若a ii=0 (i=1,2,…,n),但至少有一个aij≠0,
设a12≠0,则
f(x ,x ,...,x 1 2 n) 2 a xx a xx a xx 1 2 1 2 2 1 3 1 3 ...2 1 n 1 n 2 a xx a xx 2 3 2 3 ...2 2 n 2 n ...... 2 a x x n 1 , n n 1 n
正交变换法和配方法化二次型标准形
正交变换法和配方法化二次型标准形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣研究摘要二次型的研究起源于解析几何，在平面解析几何中，通常需要把二次曲线与二次曲面方程化为标准方程．从代数学的观点看，这种变化过程就是通过变量的线性替换化简一个二次多项式，使之只含有各个变量的平方项的过程．这类问题在数学的各个分支及物理、力学和网络计算中都有重要应用.本文在对二次型概念的理解基础上，将二次型化为标准形的方法进行归纳整理，并做进一步的研究与讨论．总结出正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣之处.关键词：二次型；标准形；配方法；正交变换法AbstractQuadratic study originated in analytic geometry. In graphic analytic geometry, usually need to second curve and surface equation into standard equation. From the point of view of algebra, the change process of replacement is through simplifying linear variable, a quadratic multinomial only contains the square of variables. This kind of question in each branch of mathematics, physics,mechanics and network computing have important applications.Based on the understanding of quadratic basis, induce the method of transform quadratic form into standard form, and further generalization of the research and discussion. Summarize the advantage and disadvantage of orthogonal transformation method and the method of completing square.Keywords: Quadratic form; Standard form; Method of completing square; Method of orthogonal transformation目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)目录 (Ⅲ)1．引言 (1)2．定义 (1)3．定理及其证明 (2)4．方法步骤及例题 (5)配方法化二次型标准形 (5)正交变换法化二次型标准形 (7)两种方法的比较研究 (9)5．小结 (10)致谢 (12)参考文献 (13)1. 引言线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域.二次型理论在线性代数中占有举足轻重的地位,从对平方数的注意到对特殊二次型的研究，再到对一般二次型的探索与发展，中间经历了一个漫长曲折的历史过程,而实二次型的标准形与代数数论、数的几何等都有密切的联系，利用二次型可以把任何一个方阵JORDAN标准化,对研究矩阵是非常有用的，因此讨论化二次型为标准形的问题就成为教学的一个很重要的内容.文献[1]-[3]具体介绍了二次型的定义以及对二次型的研究情况，提出了化二次型为标准型的重要性.文献[4]-[6]提出了用正交变换法化二次型标准形的步骤及应用．文献[7]-[8]提出了用配方法化二次型标准形的步骤及应用.本文对化二次型为标准形的方法进行了归纳和总结，并做进一步的研究与讨论，这在理论上和应用上都有着十分重要的意义.2. 定 义定义 1：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式()n x x x f ,,,21 =11a 21x +22112x x a +…+2n n x x a 11+2222x a +…2n n x x a 22+…2n nn x a称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义 2：设n x x ,,1 ；n y y ,,1 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x22112222211212121111(1)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，简称线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么，线性替换(1)就称为非退化的.定义 3：在n 维欧式空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.3. 定理及其证明定理 1：数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化线性替换变成平方和2222211n n x d x d x d +++ 的形式.证明：对变量的个数n 作归纳法.对于n=1，二次型就是()21111x a x f =，已经是平方和了，现假定对n-1元的二次型，定理的结论成立.再设()∑∑===ni nj j i ij n x x a x x x f 2221,,, （ji ij a a =）分三种情形来讨论：1）ij a （n i ,,2,1 =）中至少有一个不为零，例如011≠a ，这时()n x x x f ,,,21 =∑∑∑∑====+++ni nj j i ij ni i i nj j j x x a x x a x x a x a 222112112111=∑∑∑===++n i nj j i ij n j j j x x a x x a x a 2221121112= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a -221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a +∑∑==n i n j j i ij x x b 22这里 ∑∑==ni nj j i ij x x b 22=-221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22是一个n x x x ,,,32 的二次型. 令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=∑=-n n nj jj x y x y x a a x y 222111111即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=∑=-n n nj jj x y x y x a a y x 222111111 这是一个非退化线性替换，它使()n x x x f ,,,21 =∑∑==+ni nj j i ij y y b y a 222111由归纳法假定，对∑∑==n i nj j i ij y y b 22有非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c z y c y c y c z y c y c y c z 33223333232323232222能使它变成平方和2233222n n z d z d z d +++于是非退化线性变换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==nnn n n nn y c y c z y c y c z y z 222222211就使()n x x x f ,,,21 变成()n x x x f ,,,21 =22222111n n z d z d z a +++ ， 即变成平方和了.根据归纳法原理，定理得证.2）所有0=ii a ，但是至少有一01≠j a （j>1）,不失普遍性，设012≠a令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=nn z x z x z z x z z x 33212211它是非退化线性变换，且使 ()n x x x f ,,,21 = +21122x x a=()() +-+2121122z z z z a= +-2212211222z a z a ， 这时上式右端是n z z z ,,,21 的二次型，且21z 的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.3)011211====n a a a由于对称性，有013121====n a a a这时()n x x x f ,,,21 =∑∑==ni nj j i ij x x a 22是n-1元二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.定理2：对于任一个n 级实对称矩阵A ，都存在正交矩阵Q ，使得AQ Q 1-=AQ Q '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.定理 3：对于n 维欧式空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，使L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，n i ,,2,1 =.证明：设n εεε,,,21 是一组基，我们来逐个地求出向量n ηηη,,,21 . 首先，可取1111εεη=.一般地，假定已经求出m ηηη,,,21 ，它们是单位正交的，具有性质 L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，m i ,,2,1 =.下一步求1+m η因为L ()m εεε,,,21 =L ()m ηηη,,,21 ，所以1+m ε不能被m ηηη,,,21 线性表出. 作向量()∑=+++-=mi i i m m m 1111,ηηεεξ.显然，01≠+m ξ，且()0,11=+ηξm ，m i ,,2,1 =令 111+++=m m m ξξη ，121,,,,+m m ηηηη 就是一单位正交向量组. 同时 L ()121,,,+m εεε =L ()121,,,+m ηηη 由归纳法原理，定理得证.定理 4：任意一个n 元二次型()n x x x f ,,,21 =AX X '(A 实对称)，总可以经过正交变换QY X =（Q 为正交矩阵）化为标准形2222211n n y y y f λλλ+++= ，式中，n λλλ,,,21 是矩阵A =(ij a )的全部特征值，2222211n n y y y f λλλ+++= 称为二次型在正交变换下的标准形.证明：因为矩阵A 是实对称阵，由定理4可知，一定存在正交矩阵Q ，使得 AQ Q 1-=AQ Q '=A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是矩阵A 的全部特征值.作正交变换QY X =,则()n x x x f ,,,21 =AX X '=()Y AQ Q Y ''=AY Y '=2222211n n y y y λλλ+++4. 方法步骤及例题配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=nn n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。
配方法化二次型为标准型
配方法化二次型为标准型方法化二次型为标准型的步骤如下：1. 首先，判断二次型的矩阵是否为对称矩阵。
若不是对称矩阵，则进行对称化处理。
2. 对称化处理：对于二次型$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsym bol{x}$，若矩阵$\boldsymbol{A}$不是对称矩阵，则可以构造对称矩阵$\boldsymbol{B}$，使得$\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^T)$。
这样，二次型可表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T(\frac{1}{2}\boldsymbol {B}+\frac{1}{2}\boldsymbol{B}^T)\boldsymbol{x}$。
3. 根据对称性质，可以知道对称矩阵可以进行正交对角化，即存在正交矩阵$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{D}$。
这里，$\boldsymbol{D}$为对角矩阵，其对角元素为特征值，即$\boldsymbol{D}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$。
4. 将二次型进行变量替换，令$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}$，则有$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$，代入二次型得到$Q(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})\boldsymbol{y}=\boldsymbol {y}^T\boldsymbol{D}\boldsymbol{y}$。
用配方法化二次型为标准型
令
或
y1 x1 x2 x3 y2 x2 x3 y x 2 3 x1 y1 y2 x2 y3 x y y 2 3 3
把f(x1,x2,x3)化为标准形: f= y122y222y32
1 1 0 ,detC= 1≠0,C可逆. 所用的变换x=Cy,其中 C 0 0 1 0 1 1
湖北科技职业学院
例13 化二次型f2x1x22x1x36x2x3为规范形,并求所 用的变换矩阵 解 由于f 不含平方项,可令
x1 y1 y2 x2 y1 y2 x3 y3
若记x=C1y,则
1 1 0 C1 1 1 0 0 0 1
记y=C2z,则
1 0 1 C2 0 1 2 0 0 1
则有标准形ห้องสมุดไป่ตู้
f2z122z226z32
湖北科技职业学院
C C1C2 1 1 0 1 0 1 1 1 3 1 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 3 detC= 1 1 1 2 0 0 0 1
第五章 相似矩阵与二次型
第六节 用配方法化二次型为标准形
应用中学代数配平方的方法,可以逐次消去二次型的交 叉项,最后只剩下平方项,从而化为标准型. 例12 化二次型x122x1x22x1x3+ x222x2x3x32为标准 形,并求所用的变换矩阵.(同例11) 解 先对x1配方消去所有含x1的交叉项x1x2, x1x3,则 f(x1,x2,x3)= (x1x2x3)24x2x32x32 再对x3配方消去所有含x3的交叉项x2x3,则 f(x1,x2,x3) = (x1x2x3)22( x322x2x3x22)2x22 = (x1x2x3)22(x2x3) 22x22
线性代数14.配方法化二次型、正定二次型
1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有： （1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型， 并称 A 为正定矩阵； （2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵； （3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型， 并称 A 为负定矩阵； （4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，
线代课件§6用配方法化二次型成标准形
4. 配方
最后，我们对每一项进行 配方，得到 $(x-g)^2 = D - g^2$，$(y-f)^2 = D f^2$ 和 $(z-h)^2 = D h^2$。
证明步骤详解
1. 引入配方法
2. 展开式子
这一步是为了将二次型转化为一个更易于处 理的形式，通过引入 $g, f, h$ 和 $D$，使得 二次型可以更容易地被配方。
证明结论总结
• 通过上述的证明过程，我们证明了二次型 $f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2gx + 2fy + 2fz$ 可以被配方法化为标准形 $f(x,y,z) = a(x-g)^2 + b(y-f)^2 + c(z-h)^2 + D$。
05
配方法化二次型成标准形的应 用
配方法简介
01
配方法的定义：通过配方将二次型转化为完全平方的形式 ，从而将其化为标准形的方法。
02
配方法的步骤
03
1. 将二次型中的每一项写成平方项与线性项之和。
04
2. 将二次型中的平方项组合成完全平方项。
05
3. 将二次型中的线性项与完全平方项相加，得到标准形 。
06
配方法的适用范围：适用于任何实数域上的二次型，尤其 在实数域上的一元二次方程求解中有广泛应用。
理解了二次型标准形在解决实际问题 中的应用价值。
对未来研究的展望
深入研究其他化二次型为标准形 的方法，如三角分解法、正交变
换法等。
探索二次型标准形在各个领域的 应用，如物理学、工程学、经济
学等。
进一步研究二次型标准形与矩阵 理论之间的关系，以及其在矩阵 分解和特征值计算等领域的应用。
线性代数C第6章二次型4讲2
2 0 0 1 0 0 A − 2 E = 0 1 1 ~ 0 1 1 0 1 1 0 0 0
0 0 的基础解系为 ξ1 = 1 ， 单位化得 P = 1 1 ; 1 2 −1 −1
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§2 用配方法将二次型化为标准形
用正交变换法化二次型为标准形，具有保持几何形状 不变的优点.如果不限于正交变换，还可以用其他方法将二 次型化成标准形.本节将介绍拉格朗日(Lagrange)配平方法. 用此方法时，二次型大致分为两类，各种二次型都可化成 这两类二次型来解决.
1 1 −1 1 CT = 1 −1 −1 1
0 0 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 0 0 , C = . 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 0 2
作可逆变换x=Cy,即 x1 1 −1 1 −1 y1 x 1 1 −1 1 y 2 = 2, x3 0 0 1 1 y3 x4 0 0 0 2 y4
f =y +y .
2 1 2 2
例2.2 用配方法化二次型 f = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3 成标准型，并求出所用的可逆的线性变换. 解 在f中不含有平方项，由于含有x1,x2的乘积项，故令 x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , x = y3 , 3
x1 = y1 − y2 + y3, y2 − 2y3, x2 = x = y3. 3
所用的线性变换为
线性代数 用配方法化二次型为标准型
y1 y2
y3
2Eyv3 aluation
only.
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22z30z30, 4-20即11yyA12spos10e
思考题解答
解 由于所给二次型不含平方项,故令
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为标C准op形y？right 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
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第六节 用配方法化二次型成标准形
第六节 用配方法化二次型成标准形例1 化二次型2332223121212224x x x x x x x x x f -+++-=为标准形,并求所用的变换矩阵. 2332223121212224x x x x x x x x x f -+++-=）（解 233222322322232122)44)2(x x x x x x x x x x x -+++--+-=（ 2332222321363)2(x x x x x x x -+-+-= 2322321)(3)2(x x x x x --+-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=3332232112x y x x y x x x y 令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232112y x y y x y y y x 即就把 f 化成标准形,32221y y f -=所用线性变换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110121C例2 化二次型3231213x x x x x x f ++=解 令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x代入，再配方可得322231213y y y y y y f --+=32222323149)23(y y y y y y ---+= 232323223149)41)21(()23(y y y y y y --+-+= 232322312)21()23(y y y y y -+-+= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=333223112123y z y y z y y z 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=333223112123z y z z y z z y 即 .2232221z z z f --=就有所用变换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011121110021102301100011011C第七节 正定二次型定理 11 设实二次型 f = x T Ax 的秩为 r , 若有实可逆变换 x = Cy 及 x = Pz 使),0(2222211≠+++=r r r k y k y k y k f 和 ),0(2222211≠+++=r r r z z z f λλλλ则k 1 ,k 2 ,…, k r 中正数的个数与 r λλλ,,,21 中正数的个数相等．定义 9 实二次型 f = x T Ax 称为正定二次型，如果对任何x ≠0 , 都有x T Ax ＞0 . 正定二次型的矩阵称为正定矩阵.定理 12 n 元实二次型 f = x T Ax 为正定的充分必要条件是：它的标准形的n 个系数全为正.证 设可逆变换 x = Cy 使2222211)()(nn y k y k y k Cy f x f +++== 先证充分性 .设 k i > 0 , i = 1 ,2 ,…, n . 任给 x ≠ 0 , 因为 C 是可逆矩阵, ,01≠=-x C y 所以故0)()(2222211>+++==n n y k y k y k Cy f x f 即二次型为正定的. 再证必要性.用反证法. 假设有 k s ≤0 , 则当 y = e s 时，)(s Ce f ,0≤=s k 其中e s 是第 s 个分量为 1 其余分量都为 0 的 n 维向量. ,0≠s Ce 显然这与 f 为正定相矛盾．因而 k i > 0 , i = 1 ,2 ,…, n .推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正．定理13 对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正. 即.0,,0,011112221121111>=>>nn n n a a a a A a a a a a 例 判别二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性.解 f 的矩阵为,402062225⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A各阶顺序主子式,080,0266225,052221121111<-=>=--=<-=A a a a a a故f 是负定二次型.例 设U 为可逆矩阵, ,U U A T =证明AX X f T =是正定二次型. 证 显然,A A T =即.实对称A 令,1Y U X -=则,)()(Y Y UX UX UX U X AX X f T T T T T ====对任,0≠X 因U 可逆,所以,0≠Y故,022221>+++==n T y y y Y Y f即AX X f T =是正定二次型.。
拉格朗日配方法(将二次型转化为标准型)
通过配方的方法，将二次型转化为完 全平方的形式，便于求解。
配方步骤
1 2
写出二次型的矩阵形式
将二次型表示为矩阵形式，便于后续操作。
求出矩阵的特征值和特征向量
通过求解矩阵的特征值和特征向量，得到二次型 的标准型。
3
进行配方
利用特征值和特征向量进行配方，将二次型转化 为标准型。
示例解析
示例一
简单二次型的配方。例如，将二次型$f=x^2+2xy+y^2$转化为标准型。首先，我们可以将其表示为矩阵形式， 然后求出矩阵的特征值和特征向量，最后进行配方，得到标准型$f=(x+y)^2$。
05
拉格朗日配方法优缺点分 析
优点总结
适用性广
01
拉格朗日配方法适用于任何二次型，无论其是否正定或负定。
简化计算
02
通过配方，可以将二次型转化为标准型，从而简化后续的计算
过程。
保持对称性
03
在转化过程中，拉格朗日配方法保持了二次型的对称性，使得
转化后的标准型具有更好的性质。
缺点剖析
计算量较大
相比于其他方法，如特征值分解或正交变换，拉格朗日配方法的 计算量相对较大。
• 将特征向量正交化并单位化：由于这两个特征向量已经正交，直接单位化即可， 得到$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$ 和$\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$。
拓展拉格朗日配方法的应用领域
目前，拉格朗日配方法主要应用于二次型的标准型转化等领域。未来研究可探索该方法在更多领域的应用，如优化问 题、控制论等，进一步挖掘其潜在价值。
二次型正定惯性指数
y1 2 3 y2 2 y3 3
1 3
二次型化为
2 2 2 即f y1 y2 10 y3
1.正交替换法求二次型标 准形的步骤：
10 写出二次型矩阵 A, A为实对称矩阵； 20 求出A的全部特征值和对应的 特征向量；
每个特征向量
将f ( x1 , x2 , x3 )
2 2 2 x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3化为标准形. 2 2 2 [ x1 2 x1 ( x2 x3 )] 2 x2 5 x3 6 x2 x3 2 2 ( x1 x2 x3 )2 ( x2 4 x3 4 x2 x3 )
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2
y x x x 1 1 2 3 令 y2 x 2 2 x 3 y3 x 3
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) y1 y2
x1 y1 y2 y3 x 2 y2 2 y 3 x y 3 3
2 2 E A 2 5 4 2
2
2 4 ( 1) ( 10)
2
1
5
4 特征值： 1 2 1, 3 10 5
1 3 10 : 3 2 2
再将 1 , 2 , 3 单位化,得 2 2 2 1 3 5 5 3 5 2 4 1 4 2 4 x 4 3 5 x 3 x 1 1 1 3 1 2 2 1 1 1 2 5 5 5 2 0 5 3 0 1 3 对应于10 将1,2正交化得
二次型的标准型和规范型
小结: 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P 1 A P为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q 1 A Q为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
பைடு நூலகம்
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
方法： A 对等的初等行、列变换 对角矩阵
E 同样 的初等列变换 C CT AC为对角矩阵 . 作线性变换 x Cy,则可将二次型 f (x) xT Ax化为标准形 g( y) yT (CT AC) y.
例4 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3化为标准形. 例5 将二次型f (x1, x2 , x3) 2x1x2 2x1x3 6x2 x3化为标准形.
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始