第4讲 分式

第4讲 分式

,知识清单梳理)

分式的概念

1．分式：形如__A

B __(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．

2．与分式有关的结论

(1)分式A

B 无意义的条件是__B ＝0__．

(2)分式A

B 有意义的条件是__B ≠0__．

(3)分式A

B

值为0的条件是__A ＝0且B ≠0__．

分式的性质

1．分式的基本性质

分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变.A B ＝A·M

B·M ，

A B ＝A÷M

B÷M

(其中M 是不等于零的整式)． 2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的__公因式__约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．

3．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__同分母__的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．

分式的计算

分式的运算法则

(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． (2)分式的加减法：同分母加减法，__分母不变，分子相加减__；异分母加减法，__先通分，后加减__．

(3)分式的乘除法：a b ·c d ＝__ac bd __；a b ÷c d ＝__ad

bc __．

(4)分式的乘方：(a b )n ＝__a n

b n __．

,云南省近五年高频考

点题型示例)

分式的概念

【例1】(2016曲靖压轴试卷)下列式子是分式的是( ) A .x 2 B .x x ＋1

C .x 2＋y

D .x 3 【解析】如果A ，B(B ≠0)表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A

B 叫做分式．

【答案】B

分式有意义及值为零的条件

【例2】(2016云南一模)要使分式x ＋1

x －2有意义，则x 的取值应满足( )

A ．x ≠2

B ．x ≠－1

C ．x ＝2

D ．x ＝－1

【解析】分式有意义的条件：分母不为0，即x －2≠0. 【答案】A

1．(2014曲靖一模)若分式x 2－1

x －1的值为零，则x 的值为( C )

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．±1

2．(2013曲靖一模)已知分式x －3

x 2－5x ＋a

，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝__6__．

分式的加、减、乘、除混合运算

【例3】(2016云南中考)有一列按一定顺序和规律排列的数： 第1个数是1

1×2；

第2个数是1

2×3；

第3个数是1

3×4；

…

对任何正整数n ，第n 个数与第(n ＋1)个数的和等于2

n ×（n ＋2）

.

(1)经过探究，我们发现：11×2＝11－12；12×3＝12－13；13×4＝13－1

4.设这列数的第5个数

为a ，那么a ＞15－16，a ＝15－16，a ＜15－1

6

，哪个正确？请你直接写出正确的结论；

(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n 个数(即用正整数n 表示第n 个数)，并且证明你的猜想满足“第n 个数与第(n ＋1)个数的和等于2

n ×（n ＋2）

”；

(3)设M 表示112，122，132，…，12 0162，这2 016个数的和，即M ＝112＋122＋132＋…＋1

2 0162， 求证：2 0162 017＜M ＜4 0312 016

.

【解析】(1)由已知规律可得；(2)先根据已知规律写出第n 、n ＋1个数，再根据分式的运算化简可得；(3)将每个分式根据1n －1n ＋1＝1n （n ＋1）＜1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1

n ，展开后

再全部相加可得结论．

【答案】解：(1)由题意知第5个数a ＝15×6＝15－1

6

；

(2)∵第n 个数为1n （n ＋1），第(n ＋1)个数为1

（n ＋1）（n ＋2），

∴

1n （n ＋1）＋1（n ＋1）（n ＋2）

＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋2 ＝1n ＋1×n ＋2＋n n （n ＋2） ＝1n ＋1×2（n ＋1）n （n ＋2） ＝

2

n （n ＋2）

，

即第n 个数与第(n ＋1)个数的和等于2

n ×（n ＋2）；

(3)∵1－12＝11×2＜1

12＝1，

12－13＝12×3＜122＜11×2＝1－12， 13－14＝13×4＜132＜12×3＝12－13， …

12 015－12 016＝12 015×2 016＜12 0152＜12 014×2 015＝12 014－12 015， 12 016－12 017＝12 016×2 017＜12 0162＜12 015×2 016＝12 015－12 016， ∴1－12 017＜112＋122＋132＋…＋12 0152＋12 0162＜2－12 016， 即2 0162 017＜112＋122＋132＋…＋12 0152＋12 0162＜4 031

2 016， ∴

2 0162 017＜M ＜4 0312 016

.