江苏省苏州新区实验中学2019~2020高一上学期10月月考数学试卷附答案
2020-2021学年江苏省苏州中学高一上学期月考数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省苏州中学高一上学期月考数学试题一、填空题1．如果全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,5,8}A =，{1,3,5,7}B =，那么()UA B ⋂等于________. 【答案】{}1,3,7【分析】由全集U 和补集的定义求出UA ，再由交集的运算求出()U AB ⋂.【详解】解：∵全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,5,8}A =， ∴{1,3,4,6,7}UA =，又{1,3,5,7}B =得，(){}1,3,7U A B =，故答案为：{}1,3,7.2．设集合{12}A xx =<<∣，{}B x x a =<∣满足A B ，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a【分析】根据真子集的定义､以及A ､B 两个集合的范围，求出实数a 的取值范围. 【详解】由于集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，且满足A B ， ∴2a ， 故答案为：2a .3．函数1()3f x x=+-的定义域为________. 【答案】[)()1,33,-⋃+∞【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可. 【详解】解：由题意得：1030x x +⎧⎨-≠⎩，解得：1x ≥-且3x ≠，故函数的定义域是：[)()1,33,-⋃+∞， 故答案为：[)()1,33,-⋃+∞.4．满足条件，{1,2,3} M {1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数为________. 【答案】6【分析】根据题意得M 中必须有1，2，3这三个元素，因此M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数.【详解】根据题意：M 中必须有1，2，3这三个元素， 则M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数，因为集合{4,5,6}的非空真子集有{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6}，共6个. 故答案为：6【点睛】结论点睛：如果一个集合有n 个元素，则它的子集的个数为2n 个，它的真子集个数为2 1.n -5．函数1,0(),00,0x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则((1))f f -=________.【答案】π【分析】求出(1)0f -=，从而((1))(0)f f f -=，由此能求出结果.【详解】∵函数1,0(),00,0x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，∴(1)0f -=，((1))(0)f f f π-==故选：π6．已知{44}A xa x a =-<<+∣，{1B x =<-∣或5}x >，且A B R =，则实数a 的取值范围为_________(用区间表示). 【答案】(1,3)【分析】由已知结合两集合端点值间的关系列不等式组求得答案. 【详解】解：∵{44}A xa x a =-<<+∣，{1B x =<-∣或5}x >， 若A B R =，则4145a a -<-⎧⎨+>⎩， 即13a <<.∴实数a 的取值范围为(1,3). 故答案为：(1,3).7．如图所示的对应中，能构成A 到B 的映射的序号是________.【答案】（2）（3）【分析】由题意利用映射的定义，判断各个选项是否符合条件，从而得出结论. 【详解】按照映射的定义，集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的象，而对于选项（1），集合A 中的元素b 在集合B 中没有象，故排除选项（1）；显然，（2）（3）满足条件；选对于项（4），集合A 中的元素2在B 中有2个元素b ､c 和它对应，故排除选项（4）， 故答案为：（2）（3）.8．已知集合01P x y x ⎧==⎨+⎩∣，集合{}24Q y y x ==-+∣，则P Q =________. 【答案】(1,2)(2,4]-⋃【分析】可以求出集合P ，Q ，然后进行交集的运算即可. 【详解】∵{12P xx =-<<∣或2}x >，{4}Q y y =∣， ∴(1,2)(2,4]P Q ⋂=-⋃. 故答案为：(1,2)(2,4]-⋃.9．下列函数中，表示同一函数的是________. （1）()||f x x =，2()g x x =（2）2()f x x =2()g x x =；（3）21()1x f x x -=-，()1g x x =+；（4）()11f x x x =+-2()1g x x =-【答案】（1）【分析】根据两函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同，对选项进行逐一判断..【详解】解：（1）()||f x x =，2()||g x x x ==，函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同的函数.（2）()f x =R ，2()g x =的定义域是[)0,+∞；两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数.（3）21()1x f x x -=-的定义域是{}|1x R x ∈≠，()1g x x =+的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数；（4）()f x =[)1,+∞，()g x =(][),11,-∞-+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数.故答案为： （1） 10．已知(21)f x -=()f x =________.)0x ≥ 【分析】求出函数(21)f x -定义域为12xx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣，令21(0)t x t =-，代入(21)f x -=.【详解】解：函数(21)f x -定义域为12xx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣， 令21(0)t x t =-，代入(21)f x -=得()0)f t t =≥，所以()0)f x x ==≥.)0x ≥. 11．若实数,x y 满足2244x y x +=，则22S x y =+的取值范围是________.【答案】[]0,16【分析】把S 表示为关于变量x 的二次函数，由20y可求得x 的范围，在x 的取值范围内利用二次函数的性质即可求得其最值，从而得其范围.【详解】由2244x y x +=，得()22144y x x =-， 由()221404y x x =-，解得04x ， 代入22Sx y =+得，()222213321444433S x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+- ⎪⎝⎭，[0,4]x ∈，由于函数S 在[]0,4上单调递增，当0x =时S 取得最小值为0；当4x =时S 取得最大值为16， 故S 的取值范围为[]0,16. 故答案为：[]0,16.【点睛】易错点睛：解答本题时，学生容易漏掉求x 的范围，从而得出错误的结论.利用函数的思想研究数学问题时，一定要注意求函数的自变量的取值范围，即遵循“函数问题定义域优先”的原则.二、解答题12．已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，求实数a 的值. 【答案】32-【分析】根据题意，可得23a +=或223+=a a ，然后根据结果进行验证即可. 【详解】由题可知：集合{}22,2A a a a =++，3A ∈ 所以23a +=或223+=a a ，则1a =或32a =-当1a =时，222a a a +=+，不符合集合元素的互异性， 当32a =-时，1,32⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A ，符合题意 所以32a =-【点睛】本题考查元素与集合的关系求参数，考查计算能力，属基础题.13．已知{}2320A xx mx m =-+<∣. （1）若3A ∈，求m 的取值范围； （2）若0A ∈且1A ∈，求m 的取值范围. 【答案】（1）(27,)+∞；（2）(,3)-∞-.【分析】（1）根据3A ∈，可得出27320m m -+<，解出m 的范围即可； （2）根据0A ∈且1A ∈，可得出20320m m m <⎧⎨-+<⎩，解出m 的范围即可.【详解】解：（1）由3A ∈，所以27320m m -+<，解得27m >， 所以m 的取值范围为(27,)+∞； （2）由0A ∈，且1A ∈， 所以20320m m m <⎧⎨-+<⎩，解得3m <-.所以m 的取值范围为(,3)-∞-. 14．求下列函数的值域：（1）223y x x =+-，[2,2]x ∈-；（2）2y x=-，[1,0)(0,2)x ∈-⋃. 【答案】（1）[4,5]-；（2）(,1)[[2,)-∞-⋃+∞. 【分析】（1）22 23(1)4y x x x =+-=+-，结合定义域，求出y 的最大值和最小值即可；（2）分[1,0)x ∈-和(0,2)x ∈两段，根据反比例函数2y x=-的单调性即可得值域. 【详解】（1）2223(1)4y x x x =+-=+-， ∵[2,2]x ∈-，∴当1x =-时，y 取得最小值4-； 当2x =时，y 取得最大值5， ∴函数的值域为[4,5]-. （2）当[1,0)x ∈-时，2y x=-单调递增，[2,)y ∈+∞； 当(0,2)x ∈时，2y x=-单调递增，(,1)y ∈-∞-， ∴函数的值域为(,1)[[2,)-∞-⋃+∞. 15．作出函数21()1x f x x +=-的图象，并直接作答下列问题：（1）()f x 的图象与x 轴的交点坐标为________，与y 轴的交点坐标为________； （2）不等式()3f x <的解集为_________.【答案】图象答案见解析；（1）102⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()0,1-；（2）(,1)(4,)-∞⋃+∞.【分析】直接作出函数的图象（1）由()0f x =可得图象与x 轴的交点坐标，由(0)1f =-，可得与y 轴的交点坐标， （2）由()3f x <，即2131x x +<-，结合函数图象可得答案. 【详解】图象如图所示：（1）令()0f x =，即2101x x +=-，解得12x =-，令0x =，则(0)1f =-，故()f x 的图象与x 轴的交点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，与y 轴的交点坐标为()0,1-； （2）不等式()3f x <，即2131x x +<-，结合图象可得解集为(,1)(4,)-∞⋃+∞， 故答案为：（1）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,1)-；（2）(,1)(4,)-∞⋃+∞.16．（1）已知二次函数()f x ，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 的表达式；（2）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x 的表达式.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）1()23f x x =-或()21f x x =-+. 【分析】（1）设()f x 的表达式为2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)1f =，可得1c =，由(1)()2f x f x x +-=，可列出关于a 和b 的方程组，解之即可；（2）设()f x 的表达式为()(0)f x kx m k =+≠，由(())41f f x x =-，可列出关于k 和m 的方程组，解之即可.【详解】解：（1）设()f x 的表达式为2()(0)f x ax bx c a =++≠，∵(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，∴1c =，()22(1)(1)2a x b x c ax bx c x ⎡⎤++++-++=⎣⎦，化简得，22ax a b x +-=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴2()1f x x x =-+.（2）设()f x 的表达式为()(0)f x kx m k =+≠，∵(())41f f x x =-，∴()41k kx m m x ++=-，即2(1)41k x m k x ++=-，∴24(1)1k m k ⎧=⎨+=-⎩，解得213k m =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k m =-⎧⎨=⎩， ∴1()23f x x =-或()21f x x =-+. 17．（1）求函数1y x =-+的值域；（2）求函数21()()12f x x m =--+在[]1,2上的最大值()g m . 【答案】（1）9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）221(1)1,12()1,121(2)1,22m m g m m m m ⎧--+<⎪⎪=⎨⎪⎪--+>⎩. 【分析】（1）利用换元法，令0t =≥，则23x t =-，故22y t t =-++，再结合配方法即可得解；（2）分1m <，12m 和2m >三类，讨论()f x 在[]1,2上的单调性，从而得解.【详解】解：（1）令0t =≥，则23x t =-，∴ 2221931224y t t t t t ⎛⎫=--+=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵ 0t ≥， ∴ 当12t =时，y 取得最大值94，∴函数的值域为9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）21()()12f x x m =--+的开口方向向下， 对称轴为x m =，当1m <时，()f x 在[]1,2上单调递减，21()(1)(1)12g m f m ==--+；当12m 时，()f x 在[)1,m 上单调递增，在(,2]m 上单调递减，()()1g m f m ==；当2m >时，()f x 在[]1,2上单调递增，21()(2)(2)12g m f m ==--+.综上，221(1)1,12()1,121(2)1,22m m g m m m m ⎧--+<⎪⎪=⎨⎪⎪--+>⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查利用换元法求函数值域和二次函数的动轴定区间问题，讨论对称轴与区间端点的大小是解决本题的关键.。
2019-2020年高一上学期10月月考数学试卷含解析 (III)
2019-2020年高一上学期10月月考数学试卷含解析(III)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题卡相应横线上）1．已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），则A∪B=__________．2．U={1，2}，A={x|x2+px+q=0}，∁U A={1}，则p+q=__________．3．若集合P={x|2x﹣a＜0}，Q={x|3x﹣b＞0}，a，b∈N，且P∩Q∩N={1}，则满足条件的整数对（a，b）的个数为__________．4．设函数f（n）=k（n∈N*），k是π的小数点后的第n位数字，π=3.1415926535…，则f（f （f[f（10）））=？=__________．5．函数的定义域为__________．6．若函数y=mx2+（m﹣1）x+3在[﹣1，+∞）上为减函数，则实数m的取值范围为__________．7．设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f （x）＜0的解集是__________．8．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2﹣a），则实数a的取值范围是__________．9．定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2＞（x﹣2）sgnx的解集是__________．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+3x﹣1，则当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=__________．11．若函数f（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，则k的取值范围是__________．12．已知函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣2.1]=﹣3，[﹣2]=﹣2，[2.2]=2，如果x∈[﹣2，0]，那么y=f（x）的值域为__________．13．设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是__________．14．已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分，应写出必要的文字说明和解题步骤）15．（14分）（1）已知P={x|x2﹣3x+2=0}，Q={x|ax﹣2=0}，Q⊆P，求a的值．（2）已知A={x|2≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+5}，B⊆A，求m的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=2，f（2）=．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当0＜x＜1时，用函数单调性的定义研究函数f（x）的单调性．17．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．18．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=x2+（4﹣2a）x+a2+1．（1）若f（x+2）是偶函数，求a的值；（2）设P=[f（x1）+f（x2）]，Q=f（），且x1≠x2，试比较P与Q的大小；（3）是否存在实数a∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．20．（16分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R．（1）当a=2时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值；（2）试讨论f（x）的奇偶性；（3）当x∈R时．求f（x）的最小值．2014-2015学年江苏省苏州五中高一（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题卡相应横线上）1．已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），则A∪B=（﹣2，2）．【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），根据并集的定义进行求解．【解答】解：∵集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），A∪B=（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．【点评】本题主要考查并集及其运算，一般在高考题中出现在前三题的位置中，属于基础题目．2．U={1，2}，A={x|x2+px+q=0}，∁U A={1}，则p+q=0．【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】根据全集U及A的补集，确定出A，求出p与q的值，即可求出p+q的值．【解答】解：∵U={1，2}，A={x|x2+px+q=0}，∁U A={1}，∴A={2}，即方程x2+px+q=0有两个相等根2，∴﹣p=2+2，q=2×2，即p=﹣4，q=4，则p+q=0．故答案为：0【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的运算是解本题的关键．3．若集合P={x|2x﹣a＜0}，Q={x|3x﹣b＞0}，a，b∈N，且P∩Q∩N={1}，则满足条件的整数对（a，b）的个数为6．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由集合P={x|x＜}，Q={x|x＞}，得P∩Q={x|＞x＞}，由P∩Q∩N={1}，a，b∈N，可得1＜≤2，1＞≥0，故a=3或4，b=0，1，2．【解答】解：∵集合P={x|2x﹣a＜0}={x|x＜}，Q={x|3x﹣b＞0 }={x|x＞}，a，b∈N，且P∩Q∩N={1}，∴P∩Q={x|＞x＞}，∴1＜≤2，1＞≥0，∴2＜a≤4，0≤b＜3，∴a=3或4，b=0，1，2，故满足条件的整数对（a，b）的个数为6，故答案为6．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，解不等式，求得a=3或4，b=0，1，2，是解题的关键．4．设函数f（n）=k（n∈N*），k是π的小数点后的第n位数字，π=3.1415926535…，则f（f （f[f（10）））=？=1．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先由题设条件推导出f（f（f[f（10）））=1，由此可以推导出的值．【解答】解：∵f（f（f（f（10））））=f（f（f（5）））=f（f（9））=f（3）=1．∴=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要结合题设条件，注意公式的合理选用．5．函数的定义域为（﹣2，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据影响函数定义域的因素为分母不为零和偶次被开方式非负，即可得到不等式﹣x2+x+6＞0，借此不等式即可求得结果．【解答】解：要是函数有意义，须﹣x2+x+6＞0，解得﹣2＜x＜3，∴函数的定义域为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）【点评】本题考查已知函数的解析式求函数的定义域问题，判断影响函数定义域的因素列出不等式（组）是解题的关键，属基础题．6．若函数y=mx2+（m﹣1）x+3在[﹣1，+∞）上为减函数，则实数m的取值范围为[﹣1，0]．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】当m=0时，满足条件；当m＞0时，y=mx2+（m﹣1）x+3开口向上，在[﹣1，+∞）上不为减函数，不成立；当m＜0时，求出y=mx2+（m﹣1）x+3的对称轴x=，结合抛物线的开口方向和单调性可知，由此能够求出实数m的取值范围．【解答】解：当m=0时，y=﹣x+3在R上是减函数，满足条件．当m＞0时，抛物线y=mx2+（m﹣1）x+3开口向上，在[﹣1，+∞）上不为减函数，∴m＞0不成立．当m＜0时，抛物线y=mx2+（m﹣1）x+3开口向下，对称轴为x=，由函数y=mx2+（m﹣1）x+3在[﹣1，+∞）上为减函数，可知，解得﹣1≤m＜0．综上所述，m∈[﹣1，0]．故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查函数的单调性及其应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f （x）＜0的解集是[﹣5，﹣2）∪（0，2）．【考点】函数的图象．【专题】图表型；数形结合；数形结合法．【分析】本题是一个研究奇函数对称性及函数图象的位置与函数值符号对应关系的题，可先补全函数在定义域上的图象，再由图象观察出不等式的解集，给出正确答案【解答】解：由于奇函数关于原点对称，故函数（x）在定义域为[﹣5，5]的图象如右图由图象知不等式f（x）＜0的解集是[﹣5，﹣2）∪（0，2）故答案为：[﹣5，﹣2）∪（0，2）【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是理解函数图象的数字特征，本题的重点是利用函数的图象解不等式，难点是根据函数的奇函数的性质作出对称区间上的函数的图象来，对函数图象的考查是新教材实验区高考考试的热点，近几年明显加强了对图形的考查，学习时要注意归纳此类题的解题规律8．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2﹣a），则实数a的取值范围是a≥1．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先根据偶函数在其对称的区间上单调性相反求出函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，然后根据f（x）=f（﹣x）=f（|x|）将f（a）≤f（2﹣a）转化成f（|a|）≤f（|2﹣a|），根据单调性建立关系式，解之即可求出a的范围．【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（x）=f（﹣x）=f（|x|）∵f（a）≤f（2﹣a），∴f（|a|）≤f（|2﹣a|），根据函数y=f（x）在（0，+∞）上是减函数，则|a|≥|2﹣a|，解得a≥1故答案为a≥1【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，解题的关键将f（a）≤f（2﹣a）转化成f（|a|）≤f（|2﹣a|）进行求解，属中档题．9．定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2＞（x﹣2）sgnx的解集是（﹣，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；新定义；分类讨论．【分析】根据题中已知的符号函数的定义可分x大于0，等于0，小于0三种情况考虑sgnx 的值，分别代入到不等式，分别求出解集，然后求出各解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：当x＞0时，f（x）=sgnx=1，不等式x+2＞（x﹣2）sgnx变为x+2＞x﹣2，解得x为全体实数，则不等式的解集为：x＞0；当x=0时，f（x）=sgnx=0，不等式x+2＞（x﹣2）sgnx变为x+2＞1，解得x＞﹣1，所以不等式的解集为：x=0；当x＜0时，f（x）=sgnx=﹣1，x+2＞（x﹣2）sgnx变为x+2＞（x﹣2）﹣1，即（x+2）（x﹣2）＜1，化简得x2＜5，解得﹣＜x＜．综上，不等式的解集为：（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）【点评】本题考查不等式的解法，分类讨论思想及新定义的运用，是基础题．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+3x﹣1，则当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=f（x）=﹣x2+3x+1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，﹣x＞0，由已知表达式可求得f（﹣x），由奇函数的性质可得f（x）与f（﹣x）的关系，从而可求出f（x）．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2+3（﹣x）﹣1=x2﹣3x﹣1．又f（x）是R上的奇函数，所以当x＜0时f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+3x+1．故答案为：f（x）=﹣x2+3x+1．【点评】本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．11．若函数f（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，则k的取值范围是[0，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的单调性的性质进行求解即可．【解答】解：若f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，则满足2+k≥1+1，即k≥0，故答案为：[0，+∞）【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣2.1]=﹣3，[﹣2]=﹣2，[2.2]=2，如果x∈[﹣2，0]，那么y=f（x）的值域为{0，1，2，3，4}．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】利用题中条件：“[x]表示不超过x的最大整数”，对区间[﹣2，0]中的x进行分类讨论，从而求出相应的函数值即可．【解答】解析：x=0时，[0]=0，f（x）=0；﹣1＜x＜0时，[x]=﹣1，0＜x[x]＜1，所以f（x）=[x[x]]=0；x=﹣1时，[x]=﹣1，所以f（x）=[x[x]]=1；同理，﹣1.5＜x＜﹣1时，f（x）=2；﹣2＜x≤﹣1.5时，f（x）=3；x=﹣2时，f（x）=4．故答案为：{0，1，2，3，4}．【点评】本小题主要考查整数、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力、创新能力．属于基础题．13．设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】首先由函数单调性定义，判断f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增；然后把a分成a≤2与a＞2两种情况分别进行检验；最后得到只有a≤2时，才满足f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增的结论．【解答】解：由题意知f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增．（1）当a≤2时，若x∈[2，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，此时＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；（2）当a＞2时，①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；②若x∈[2，a），则f（x）=x（a﹣x）=﹣x2+ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[，a）上是递减的，因此f（x）在[2，a）上必有递减区间．综上可知a≤2．故答案为（﹣∞，2]．【点评】本题考查了函数单调性的定义，同时考查了分类讨论的思想方法．14．已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】压轴题．【分析】本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，解得t=1或5，当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，解得t=1或﹣3，当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．综上t=1时故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化．二、解答题（本大题共6小题，共90分，应写出必要的文字说明和解题步骤）15．（14分）（1）已知P={x|x2﹣3x+2=0}，Q={x|ax﹣2=0}，Q⊆P，求a的值．（2）已知A={x|2≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+5}，B⊆A，求m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出集合P，讨论a=0与a≠0两种情形，根据集合Q是集合P的子集，建立等式关系，求出a即可；（2）讨论m+1与2m+5的大小关系，然后根据集合B是集合A的子集，建立等式关系，求出满足条件的m即可．【解答】解：（1）由已知得P={1，2}．当a=0时，此时Q=∅，符合要求当a≠0时，由得a=2；..由得a=1，所以a的取值分别为0、1、2..（2）①当m+1＞2m+5时B=∅，符合要求，此时m＜﹣4当B≠∅时，②当m+1=2m+5时，求得m=﹣4，此时B=﹣3，与B⊆A矛盾，舍去；③当m+1＜2m+5由题意得m+1≥2且2m+5≤3解得m为∅，（13分）综上所述，所以m的取值范围是（﹣∞，﹣4）..（14分）【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．16．（14分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=2，f（2）=．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当0＜x＜1时，用函数单调性的定义研究函数f（x）的单调性．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（x）为奇函数，容易得出c=0，而根据便可建立关于a，b的二元一次方程组，从而可以解得a=b=1，从而得出f（x）的表达式；（2）先得到f（x）=x，根据单调性的定义，设任意的x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，然后作差，是分式的通分，并且提取公因式x1﹣x2，这样便可判断f（x1）与f（x2）的关系，从而得出f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（x）是奇函数；∴；∴c=﹣c；∴c=0；∴，；∴；∴a=1，b=1；∴；（2）；设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2则：=；∵x1，x2∈（0，1），且x1＜x2；∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，1；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，1）上单调递减．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差比较f（x1），f（x2）的方法，作差后，是分式的要通分，并且一般需提取公因式x1﹣x2．17．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；作差法．【分析】（1）利润=年销售收入﹣固定成本﹣产品成本﹣特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义域；（2）计相关方案．作差法比较年利润y1，y2的大小，设确定【解答】解：（1）y1=10x﹣=（10﹣m）x﹣20，0＜x≤200，且x∈Ny2=18x﹣（8x+40）﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40，0＜x≤120且x∈N（2）∵6≤m≤8∴10﹣m＞0∴y1=（10﹣m）x﹣20为增函数又0≤x≤200，x∈N∴x=200时，生产A产品有最大利润（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（万美元）y2=﹣0.05x2+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）2+4600≤x≤120，x∈N∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）（y1）max﹣（y2）max=1980﹣200m﹣460=1520﹣200m当6≤m＜7.6时，（y1）max﹣（y2）max＞0当m=7.6时，（y1）max﹣（y2）max=0当7.6＜m≤8时，（y1）max﹣（y2）max＜0∴当6≤m＜7.6投资A产品200件可获得最大利润当7.6＜m≤8投资B产品100件可获得最大利润m=7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润．【点评】考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题．18．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）∴对称轴为x=1又最小值为1设f（x）=a（x﹣1）2+1又f（0）=3∴a=2∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1∴（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立化简得m＜x2﹣3x+1设g（x）=x2﹣3x+1则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1∴m＜﹣1【点评】本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化．属简单题19．（16分）已知函数f（x）=x2+（4﹣2a）x+a2+1．（1）若f（x+2）是偶函数，求a的值；（2）设P=[f（x1）+f（x2）]，Q=f（），且x1≠x2，试比较P与Q的大小；（3）是否存在实数a∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）先求出f（x+2）的解析式，根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出P﹣Q的表达式，变形整理成完全平方式，从而判断出结论；（3）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而判断出函数的单调性，得到函数的最小值的表达式，解出a的值即可．【解答】解：（1）f（x+2）=（x+2）2+（4﹣2a）（x+2）+a2+1=x2+（8﹣2a）x+a2﹣4a+13，若f（x+2）是偶函数，则8﹣2a=0，解得：a=4；（2）P﹣Q=[f（x1）+f（x2）﹣f （）=[x12+（4﹣2a）x1+a2+1+x22+（4﹣2a）x2+a2+1]﹣[+（4﹣2a）（x1+x2）+a2+1] =＞0，∴P＞Q．（3）设存在这样的a，由于0≤a≤8，∴﹣2≤a﹣2≤6，①若﹣2≤a﹣2＜0，即0≤a＜2，则f（x）在[0，4]上为增函数，∴f（0）=a2+1=7，解得：a=；②若0≤a﹣2≤4，即2≤a≤6，则f（a﹣2）=（a﹣2）2+（4﹣2a）（a﹣2）+a2+1=7，化简得4a﹣11=0，解得a=，综上，存在a=﹣1满足条件，③若4＜a﹣2≤6，即6＜a≤8，则f（x）在[0，4]为减函数，∴f（4）=16+4（4﹣2a）+a2+1=7，无解，综上，存在实数a=或∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的奇偶性、单调性问题，考查分类讨论思想，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．20．（16分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R．（1）当a=2时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值；（2）试讨论f（x）的奇偶性；（3）当x∈R时．求f（x）的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）当a=2时，f（x）=x2+|x﹣2|+1=，从而判断函数的奇偶性及求函数的最小值；（2）可知f（﹣x）=x2+|x+a|+1，从而可知若函数为偶函数，则|x+a|=|x﹣a|，从而解得，不说明a≠0时的情况即可；（3）化简f（x）=；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最小值．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2+|x﹣2|+1=，∵f（﹣2）=9，f（2）=5；∴函数f（x）是非奇非偶函数；当x≤2时，x=时有最小值f（）=；当x＞2时，f（x）＞f（2）=5；故函数的最小值为．（2）∵f（x）=x2+|x﹣a|+1，∴f（﹣x）=x2+|x+a|+1，若函数为偶函数，|x+a|=|x﹣a|，解得，a=0；当a≠0时，x2+|x﹣a|+1≠x2+|x+a|+1，故函数为非奇非偶函数；综上所述，当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数；（3）f（x）=；①当a＜时，f（x）在（﹣∞，a）上是减函数，故f（x）＞f（a）=a2+1；在（a，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数；故f（x）在（﹣∞，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数；故f（x）有最小值f（﹣）=﹣a+；②当﹣≤a≤时，f（x）在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数；故f（x）有最小值f（a）=a2+1；③当a＞时，f（x）在（﹣∞，）上是减函数，在[，+∞）上是增函数；故f（x）有最小值f（）=a+；综上所述，当a＜时，f（x）有最小值f（﹣）=﹣a+；当﹣≤a≤时，f（x）有最小值f（a）=a2+1；当a＞时，f（x）有最小值f（）=a+．【点评】本题考查了绝对值函数与分段函数的综合应用及分类讨论的思想应用，化简与判断都比较困难，属于难题．。
2019-2020学年江苏省苏州实验中学高二(上)10月月考数学试卷 试题含解析
2019-2020学年江苏省苏州实验中学高二（上）10月月考数学试卷一．选择题（60分＝12题*5分）1．观察下列各数：1，2，2，4，8，32⋯，则该数列的第8项可能等于( ) A ．256B ．1024C ．4128D ．81922．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10(a = ) A ．172B ．192C ．10D ．123．已知等比数列{}n a 满足114a =，3544(1)a a a =-，则2(a = ) A ．2B ．1C ．12 D ．184．已知数列{}n a 满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……若135a =，则2019(a = ) A ．15B ．25C ．35D ．455．设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形6．已知不等式20ax bx c ++…的解集为1|23x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭剟，则不等式20cx bx a ++<的解集为()A ．1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1|23x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或C ．1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．1|32x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或7．已知数列{}n a 中，376a =，71514a =，且1{}1n a -是等差数列，则5(a = )A ．109B ．1110C ．1211D ．13128．已知函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…，若数列{}n a 满足()(n a f n n N =∈﹡)，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．9[4，3)B ．9(4，3)C ．(2,3)D ．(1,3)9．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1(1)n n n a a n ++-=，则40(S = )A ．420B ．780C ．390D ．8010．已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩…，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +…在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47[16-，2] B ．47[16-，39]16C．[-2] D．[-39]1611．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)n n n S n a ++=+，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．3(1)n +B ．2(21)n +C ．28nD ．2(21)1n +-12．如图所示，点列{}n A 满足：1||1OA =，1||2||1i i OA OA +=+，i A 均在坐标轴上*()i N ∈，则向量122014(OA OA OA ++⋯+= )A ．2014(21-，0)B ．2016(21-，201521)-C ．201421(5-，20143(21))5- D ．201621(5-，201523)5- 二．填空题（20分＝4题*5分）13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369a a =-，则8S = ． 14．不等式2||20x x -++<的解集是 ．15．已知正项等比数列{}n a 的公比1q >，且满足26a =，1324352900a a a a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式1n n a S λ+…对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为 ． 16．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a ，j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ．三．解答题（70分＝10分+10分+12分+12分+12分+14分） 17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ． 18．已知2()3(6)6f x x a a x =-+-+． （Ⅰ）解关于a 的不等式f （1）0>；（Ⅱ）若不等式()f x b >的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28a =，440S =．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设,,n n na nb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数ð，求数列{}n ð的前21n +项和21n P +．20．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为1500(1)2n+万元(n 为正整数）． （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元（须扣除技术改造资金），求n A 、n B 的表达式； （Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S a =-，数列{}n b 满足：对任意*n N ∈有11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）记nn nb a =ð，数列{}n ð的前n 项和为n T ，证明：当6n …时，|2|1n n T -<． 22．设数列{}n a 的前n 项和0n S >，11a =，23a =，且当2n …时，11()n n n n n a a a a S ++=-． （1）求证：数列{}n S 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，说明理由．2019-2020学年江苏省苏州实验中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（60分＝12题*5分）1．观察下列各数：1，2，2，4，8，32⋯，则该数列的第8项可能等于( ) A ．256B ．1024C ．4128D ．8192【解答】解：观察知，各式的值构成数列1，2，2，4，8，⋯，其规律为：从第三项起，每一项都等于其前相邻两项的积，继续写出此数列为1，2，2，4，8，32，256，8192，⋯，第八项为8192． 故选：D ．2．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10(a = ) A ．172B ．192C ．10D ．12【解答】解：{}n a 是公差为1的等差数列，844S S =， 118743814(4)22a a ⨯⨯∴+⨯=⨯+， 解得112a =． 则101199122a =+⨯=． 故选：B ．3．已知等比数列{}n a 满足114a =，3544(1)a a a =-，则2(a = ) A ．2B ．1C ．12 D ．18【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 114a =，3544(1)a a a =-， ∴26311()4(1)44q q ⨯=-， 化为38q =，解得2q = 则211242a =⨯=． 故选：C ．4．已知数列{}n a 满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……若135a =，则2019(a = ) A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：数列{}n a 满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，135a =， 可得：215a =，325a =，445a =，535a =，所以数列的周期为4， 201950443325a a a ⨯+===． 故选：B ．5．设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解答】解：ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列， 60B ∴∠=︒，120A C ∠+∠=︒①；又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 23sin sin sin 4B AC ∴==，② 由①②得：sin sin(120)A A ︒- sin (sin120cos cos120sin )A A A=︒-︒ 11cos 2222AA -=+112cos 244A A =-+ 11sin(230)24A =-︒+ 34=， sin(230)1A ∴-︒=，又0120A ︒<∠<︒ 60A ∴∠=︒．故选：D ．6．已知不等式20ax bx c ++…的解集为1|23x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭剟，则不等式20cx bx a ++<的解集为()A ．1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1|23x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或C ．1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．1|32x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【解答】解：由题意得05323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩，故不等式20cx bx a ++<化为22530x x +-<，解得132x -<<， ∴不等式20cx bx a ++<的解集为1{|3}2x x -<<，故选：C ．7．已知数列{}n a 中，376a =，71514a =，且1{}1n a -是等差数列，则5(a = ) A ．109B ．1110C ．1211 D ．1312【解答】解：设等差数列1{}1n a -的公差为d ，则7311411d a a =+--， ∴11415711146d =+--， 解得2d =． ∴531121011d a a =+=--， 解得51110a =． 故选：B ．8．已知函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…，若数列{}n a 满足()(n a f n n N =∈﹡)，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．9[4，3)B ．9(4，3)C ．(2,3)D ．(1,3)【解答】解：根据题意，6(3)3,7(),7n n a n n a f n a n ---⎧==⎨>⎩…；要使{}n a 是递增数列，必有86301(3)73a a a a -->⎧⎪>⎨⎪-⨯-<⎩；解可得，23a <<； 故选：C ．9．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1(1)n n n a a n ++-=，则40(S = ) A ．420B ．780C ．390D ．80【解答】解：由*1(1)()n n n a a n n N ++-=∈， 所以当2n k =时，有2122k k a a k ++=，① 当21n k =-时，有22121k k a a k --=-，② 当21n k =+时，有222121k k a a k ++-=+，③ ①-②得，21211k k a a +-+=， ①+③得，22241k k a a k ++=+， 212212242k k k k a a a a k -++∴+++=+，40(119)104(1319)204204202S +⨯=++⋯++=⨯+=． 故选：A ．10．已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩…，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +…在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47[16-，2] B ．47[16-，39]16C．[-2] D．[-39]16【解答】解：当1x …时，关于x 的不等式()||2xf x a +…在R 上恒成立， 即为22332xx x a x x -+-+-+剟，即有22133322x x a x x -+--+剟， 由2132y x x =-+-的对称轴为114x =<，可得14x =处取得最大值4716-；由2332y x x =-+的对称轴为314x =<，可得34x =处取得最小值3916， 则47391616a-剟① 当1x >时，关于x 的不等式()||2xf x a +…在R 上恒成立， 即为22()2x x a x x x -+++剟，即有322()22x x a x x-++剟，由32()232y x x x =-+-=-…（当且仅当1)x =>取得最大值- 由1222y x x x x=+=…（当且仅当21)x =>取得最小值2．则2a -② 由①②可得，47216a -剟． 另解：作出()f x 的图象和折线||2xy a =+ 当1x …时，23y x x =-+的导数为21y x '=-， 由1212x -=-，可得14x =，切点为1(4，45)16代入2x y a =--，解得4716a =-；当1x >时，2y x x =+的导数为221y x'=-， 由22112x -=，可得2(2x =-舍去）， 切点为(2,3)，代入2xy a =+，解得2a =． 由图象平移可得，47216a -剟． 故选：A ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)n n n S n a ++=+，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．3(1)n +B ．2(21)n +C ．28nD ．2(21)1n +-【解答】解：当2n …时，24(1)(1)(2)n n n S n a ++=+⋯① 2114(1)(1)n n n S n a --+=+，⋯②①-②可得221(2)(1)41n n n n n a a a n n -++=-+． ⇒221(1)1n n n n a a n n -+=+． ⇒331(1)n n a n a n -+= ⇒333332433331231234(1)123n n a a a a n a a a a n -+⋯=⋯．⇒3(1)n a n =+．故选：A ．12．如图所示，点列{}n A 满足：1||1OA =，1||2||1i i OA OA +=+，i A 均在坐标轴上*()i N ∈，则向量122014(OA OA OA ++⋯+= )A ．2014(21-，0)B ．2016(21-，201521)-C ．201421(5-，20143(21))5- D ．201621(5-，201523)5- 【解答】解：点列{}n A 满足：1||1OA =，1||2||1i i OA OA +=+， 设||n i a OA =，则11a =，121n n a a +=+，化为112(1)n n a a ++=+， ∴数列{1}n a +是等比数列，∴111(1)22n n n a a -+=+=． ∴21n n a =-．由于i A 均在坐标轴上*()i N ∈，且43n A -，42n A -，41n A -，4n A ，分别在y 轴的正半轴，x 轴的正半轴，y 轴的负半轴，x 轴的负半轴．∴向量122014OA OA OA ++⋯+的横坐标2468201020122014a a a a a a a =-+-+⋯+-+2468201020122014(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)=---+---+⋯+---+-246820102012201422222221=-+-+⋯+-+-10074[(4)1]141--=---2016215-=．同理可得向量122014OA OA OA ++⋯+的纵坐标2015135720112013235a a a a a a +-=-+-+⋯+-=．∴向量201620151220142123(,)55OA OA OA --++⋯+=．故选：D ．二．填空题（20分＝4题*5分）13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369a a =-，则8S = 36 ． 【解答】解：由题意可得369a a +=， 由等差数列的性质可得189a a += 故8188()49362S a a =+=⨯=故答案为：36．14．不等式2||20x x -++<的解集是 {|2x x <-或2}x > ．【解答】解：0x …时：220x x -++<，解得：2x >或1x <-（舍)； 0x <时：220x x --+<，解得：1x >（舍)或2x <-；故答案为：{|2x x <-或2}x >．15．已知正项等比数列{}n a 的公比1q >，且满足26a =，1324352900a a a a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式1n n a S λ+…对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为3． 【解答】解：正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，1324352900a a a a a a ++=，可得222242222900a a q a q ++=， 241225q q ∴++=解得2q =， 13a ∴=11132n n n a a q --∴==⨯，3(12)32312n n n S -==⨯--，不等式1n n a S λ+…对一切*n N ∈恒成立，1132232n n n n S a λ-+⨯-∴=⨯…，1224223233n ---=⨯…，则实数λ的最大值为：43． 故答案为：43． 16．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a ，j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = 1009 ．【解答】解：递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =， 122016201701a a a a ∴<<<⋯<<=，若10a <，则111a ->，20172016201720152017101a a a a a a ∴<-<-<⋯<-<，且上述每项均在数列{}n a 中， 201720161a a a ∴-=， 201720152a a a -=，⋯，201712016a a a -=．即20161201521201620171a a a a a a a +=+=⋯=+==． 数列{}n a 的各项和2017220171S =+． 20171009S =．故答案为：1009．三．解答题（70分＝10分+10分+12分+12分+12分+14分） 17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ． 【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，32a =，前3项和392S =． 122a d ∴+=，19332a d +=，解得11a =，12d =．111(1)22n n a n +∴=+-=． 11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得2q =．{}n b ∴前n 项和212121n n n T -==--． 18．已知2()3(6)6f x x a a x =-+-+． （Ⅰ）解关于a 的不等式f （1）0>；（Ⅱ）若不等式()f x b >的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值． 【解答】解：（Ⅰ）2()3(6)6f x x a a x =-+-+，f （1）0>3(6)60a a ∴-+-+> 2630a a ∴--<∴33a -<<+∴不等式的解集为{|33a a -<<+（Ⅱ）不等式()f x b >的解集为(1,3)-，23(6)6x a a x b ∴-+-+>的解集为(1,3)-，1∴-，3是方程23(6)60x a a x b ---+=的两个根 ∴(6)1336(1)33a a b -⎧-+=⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩∴33a b ==-19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28a =，440S =．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设,,n n na nb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数ð，求数列{}n ð的前21n +项和21n P +．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得144a d =⎧⎨=⎩，4n a n ∴=；230n n T b -+=，∴当2n …时，11230n n T b ---+=， 两式相减，得12n n b b -=，(2)n … 又当1n =时，13b =， 则数列{}n b 为等比数列， ∴132n n b -=；（Ⅱ）1432n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 211321242()()n n n P a a a b b b ++∴=++⋯++++⋯+44(21)6(14)(1)214n n n ++-=++-2122482n n n +=+++．20．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为1500(1)2n+万元(n 为正整数）． （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元（须扣除技术改造资金），求n A 、n B 的表达式； （Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【解答】解：（Ⅰ）依题设，2(50020)(50040)(50020)49010n A n n n =-+-+⋯+-=-； 2111500500[(1)(1)(1)]6005001002222n n n B n =++++⋯++-=--．（Ⅱ）2500(500100)(49010)2n n n B A n n n -=----250050101010010[(1)10]22n n n n n n =+--=+--． 因为函数50(1)102n y x x =+--在1(2，)+∞上为增函数， 当13n 剟时，5050(1)101210028n n n +----<…； 当4n …时，5050(1)1020100216n n n +---->…． ∴仅当4n …时，n n B A >． 答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润． 21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S a =-，数列{}n b 满足：对任意*n N ∈有11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）记nn nb a =ð，数列{}n ð的前n 项和为n T ，证明：当6n …时，|2|1n n T -<． 【解答】解：（1）当1n =时，112(1)S a =-，所以12a =，当1n >时，112(1)2(1)n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，2142a a ==，数列{}n a 是等比数列，2n n a =，211(11)222a b =-+=，11b =，当2n …时，11122112211()[(1)22][(2)22]2n n nn n n n nn a b a b a b a b a b a b a b nn n +--=++⋯+-++⋯+=-+--+=．验证首项满足，于是n b n =． 数列{}n b 的通项公式：n b n =． （2）证明：1221212222n n n n b b b nT a a a =++⋯+=++⋯+，所以2311122222n n n T +=++⋯+，错位相减得23111111222222n n n n T +=+++⋯+-，所以222n n n T +=-，即2|2|2n n n T +-=，下证：当6n …时，(1)12n n n +<，令(2)()2nn n f n +=， 211(1)(3)(2)3(1)()222n n n n n n n n f n f n +++++-+-=-=当2n …时，(1)()0f n f n +-<，即当2n …时，()f n 单调减，又f （6）1<，所以当6n …时，()1f n <，即(2)12nn n +<，即当当6n …时，|2|1n n T -<． 22．设数列{}n a 的前n 项和0n S >，11a =，23a =，且当2n …时，11()n n n n n a a a a S ++=-． （1）求证：数列{}n S 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当2n …时，1n n n a S S -=-，11n n n a S S ++=-， 代入11()n n n n n a a a a S ++=-并化简得211(3)nn n S S S n -+=…，⋯ 11()n n n n n a a a a S ++=-，又由11a =，23a =得24S =，代入23322()a a a a S =-可解得312a =，11S ∴=，24S =，316S =，也满足211nn n S S S -+=，而n S 恒为正值，∴数列{}n S 是等比数列．⋯ （2）由（1）知14n n S -=．当2n …时，2134n n n n a S S --=-=⨯， 又111a S ==，∴21,134,2n n n a n -=⎧=⋯⎨⨯⎩… （3）当2n …时，234n n a -=⨯，此时221211993411(3)(3)(343)(343)4141n n n n n n n n n a b a a -----+⨯⨯===-++⨯+⨯+++，又111293(3)(3)8a b a a ==++∴213,1811,24141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩++…．⋯ 故1138T b ==， 当2n …时，222132313221131111111171()()()()8414141414141414184n n n nnnT ---------=+-+-+⋯+-+-=-+++++++++，⋯若1n =， 则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意；⋯若2n …，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，11154554141n n n λ---⨯==-++ λ是整数，141n -∴+必是5的因数，2n …时1415n -+… ∴当且仅当2n =时，1541n -+是整数，从而4λ=是整数符合题意．综上可知，当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立， 当4λ≠，Z λ∈时，不存在正整数n 使等式13758n n T a λ++=成立．。
江苏省苏州市2019学年高一10月月考数学试卷【含答案及解析】
江苏省苏州市2019学年高一10月月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二总分得分一、填空题1. 已知全集 U ，集合，，则全集 ____ ．2. 已知集合 M ＝｛ x ｜－1≤ x ＜3 ｝， N ＝｛ x ｜2＜x ≤5｝，则 =____ ．3. 函数的定义域是．4. 函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的函数解析式是 ____ ．5. 设集合，，若，则实数的范围是____________ ．6. 函数的值域是 ______________ ．7. 设函数为奇函数，则______________ .8. 设集合，集合，且，则a+b = _______ ．9. 集合用列举法表示 _______________________ ．10. 已知 ,求实数的值= ______________ ．11. 定义在实数集R上的奇函数 f ( x )，当时，，则当时，f ( x )的解析式为 f ( x )＝ ____ ．12. 已知在上单调递减，在上单调递增，则的范围 ____________ ．13. 已知函数 ,若，则 = ____________ ．14. 对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是 ___________ ．二、解答题15. 作出下列函数图象，并按照要求答题．(1) ； (2) ．写出(1)得值域；写出(2)单调增区间16. 已知集合，，且，求实数的取值范围．17. 已知函数．(Ⅰ) 求函数的定义域；(Ⅱ) 判断函数的奇偶性，并证明；(Ⅲ) 若，求的值．18. 已知函数 f ( x )= a－．(1)求证：不论 a 为何实数，函数 f ( x )总是为增函数；（2）当 f ( x )为奇函数时，求 f ( x )的值域．19. 心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定．分析结果和实验表明，设提出和讲述概念的时间为（单位：分），学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小；（3）若一个数学难题，需要56的接受能力以及12分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？20. 已知函数．（1）若方程有两个小于2的不等实根，求实数 a 的取值范围；（2）若不等式对任意恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）若函数在[0，2]上的最大值为4，求实数 a 的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
江苏省苏州市高一上学期数学10月月考试卷
江苏省苏州市高一上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高三上·江西月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）在区间上为增函数的是（）A .B .C .D .3. （2分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与4. （2分）已知则m等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·北京期中) 已知，，，那么A .B .C .D .6. （2分）已知f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，若x∈[ ，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A . [﹣2，2]B . [﹣2，0]C . [0，2]D . （﹣2，2）7. （2分） (2016高二下·九江期末) 设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，则满足f（x）=f（）的所有x之和为（）A . ﹣4031B . ﹣4032C . ﹣4033D . ﹣40348. （2分） (2016高一上·辽宁期中) 设函数f（x）= 则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A . （﹣3，1）∪（3，+∞）B . （﹣3，1）∪（2，+∞）C . （﹣1，1）∪（3，+∞）D . （﹣∞，﹣3）∪（1，3）9. （2分）设，则函数的值域是（）.A .B .C .D .10. （2分） (2020高二上·双峰月考) 已知函数的最大值为，最小值为，则（）A . 2B . 0C . 1D . -2二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2016高一下·惠州开学考) 计算÷ =________．12. （1分） (2019高一上·宁波期中) 函数（且）的图象恒过定点，则点坐标为________；若点在幂函数的图象上，则 ________.13. （1分） (2019高二下·绍兴期中) 函数的单调递增区间为________，值域为________ ．14. （1分） (2017高一上·洛阳期末) 若函数f（x）= ，则f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）=________．15. （1分） (2020高一上·天津期末) 已知函数是R上的奇函数，且当时，，则当时， ________．16. （1分）若关于x的不等式x2+mx+m﹣1≥0恒成立，则实数m=________17. （1分） (2019高一上·宜宾月考) 已知定义在上的函数，满足，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，恒成立，则不等式的解集为________.三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2019高一上·南充期中) 已知集合，，全集．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．19. （10分） (2016高一上·南京期中) 设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．20. （10分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．（1）求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式；（2）求当天的利润不低于750元的概率．21. （10分） (2019高二上·沭阳期中) 已知函数的值域为，记函数.（1）求实数的值；（2）存在使得不等式成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有5个不等的实数根，求实数的取值范围.22. （10分） (2019高三上·湖南月考) 已知函数 .（1）若对任意的，都有恒成立，求的最小值；（2）设，若为曲线上的两个不同的点，满足，且，使得曲线在点处的切线与直线平行，求证： .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
江苏省苏州新区实验中学2019~2020高一上学期10月月考数学试卷附答案
苏州新区实验中学数学高一上10月份月考试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.设{}(,)23A x y y x ==-，{}(,)2B x y y x ==-，则A B =____________.2.函数()f x =_____________. 3.函数()23f x x =+，()35g x x =-，则()()2f g =______________.4.已知集合使{}1A x x =>-，[),B a =+∞，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是____________.5.若函数2(2)61f x x =+为偶函数，则函数()f x 的解析式为_______________.6.函数1()1x f x x -=+的单调增区间是__________________. 7.函数221()1x f x x -=+的值域是___________-. 8.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2AB =，()(){1,9}U UC A C B =，(){4,6,8}U C A B =，则集合A =______________.9.函数|2||2|y x x =--+的图像关于______________对称. 10.函数()2214112x ax x f x a x x ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是_______________.11.建造一个容积为163m ，深2m 为的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为250元/3m 和100元/3m ，设水池底面一边的长为()x m ，为使总造价不超过5600元，则x 的最大值为____________.12.对于定义在R 上函数()f x ，有以下四个命题：（1）直线x a =与()y f x =的图像的公共点个数一定为1；（2）若()f x 在区间(],1-∞上单调增函数，在()1,+∞上也是单调增函数，则函数()f x 在R 上一定是单调增函数；（3）若()f x 为奇函数，则一定有()00f =；（4）若()()11f f -≠，则函数()f x 一定不是偶函数.其中正确的命题序号是_________________.（请写出所有正确命题的序号）13.设非空集合A Z ⊆，从A 到Z 的两个函数分别为2()21f x x x =++，2()34g x x x =++，若对于A 中的任意一个x ，都有()()f x g x ≤，则满足要求的集合A 有________________. 14.设函数2|1|202()122x x f x x x x -+≤≤⎧⎪=-⎨>⎪-⎩，若互不相同的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的取值范围是_______________.二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本大题14分）设全集为R ，集合{}36A x x x =-≥或，{}27B x x =<<.（1）求A B ，()U C A B ；（2）设{}|332C x m x m =-≤≤-时，若B C ⊆，求实数m 的取值范围.16.（本大题14分）若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且()0,x ∈+∞时，2()21f x x x =--. （1）求()f x 的表达式；（2）若(){}2A x Z f x =∈≤，求集合A .17.（本大题14分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是12,y y 万元，它们与投入资金x万元的关系分别为1y a =，2y bx =，（其中,,m a b 都为常数），函数12,y y 对应的曲线12,C C 如图所示. （1）求函数12,y y 的解析式；（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商品所获利润的最大值.18.（本大题16分）已知3()51f x x x =++（1）求(2019)(2018)(2017)(2017)(2018)(2019)f f f f f f -+-+-+++的值；（2）用单调性定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）解关于x 的不等式：()150f x ++>.19.已知函数221()x f x x+=. （1）证明：()f x 为偶函数；（2）设4()g x k x =-，若对任意的1,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围. （3）是否存在正实数,m n ，使得()f x 在区间[],m n 上的值域刚好是22,m n ⎡⎤⎣⎦，若存在，请写在所有满足条件的区间；若不存在，请说明理由.20.（本大题16分）已知二次函数2()2(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，且0a b c ++=.（1）定义：对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使()00f x x ≡，则称0x 是()f x 的一个不动点；a ）当1a =，1b =-时，求函数()f x 的不动点；b ）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（2）求()y f x =的图像在x 轴上截得的线段长的取值范围.参考答案一、填空题1.()1,1-2.[1,2)(2,)-+∞3. 54.(],1-∞-5.()2312f x x =+6.(,1)-∞-，(1,)-+∞7.[)1,1-8.{}2,3,5,79.零点 10.8,65⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 11. 2 12.（1）（3）（4）13. 63个 14.5210,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 二解答题15.（1）(](),32,A B =-∞-+∞ （2）[]3,5m ∈16.由题意，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，设(),0x ∈-∞，则2()2()1f x x x -=---，又由函数为奇函数，则()()f x f x -=-，则2()()21f x f x x x =--=--+， 则2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩（2）当0x >时，()221f x x x =--， 若()2f x ≤，即22212x x -≤--≤，解得：03x ≤<，当0x <时，()221f x x x =--+， 若()2f x ≤，即22212x x -≤--+≤，解得：10x -≤<，因为x Z ∈，所以{}1,0,1,2,3A =-17.（1）由函数图像坐标带入得145y =，215y x =. （2）设甲投入资金x ，则乙投入为4x -（3）带入方程（1）得41(4),(04)55y x x =+-≤≤用换元法令,(1t t =≤≤则有221411(2)1,(15555y t t t =-++=--+≤≤，函数当2t =时方程有最大值，213x t =-=.投入资金为3万元时候商场获得利润为1万元.18.（1）()315f x x x -=+是奇函数，所以()()110f x f x --+-=， ()()2f x f x -+=，所以(2019)(2018)(2017)(2017)(2018)(2019)6f f f f f f -+-+-+++=（2）证明：任取12,x x R ∈，当12x x <时()()()233221211221212351515024x f x f x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-=++---=-+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 因为当12x x <时，所以120x x -<，又2221235024x x x ⎡⎤⎛⎫+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()120f x f x -<，所以()f x 在R 上单调递增.（3）解：3515x x ++=-，解得1x =-.()()11f x f +>-，由于函数在R 上是单调递增的，所以11x +>-，2x >-.19.（1）证明：由题可知()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，22()1()()()x f x f x x ---==-，根据奇偶函数定义函数为偶函数. （2）因为()()f x g x ≤所以2214x k x x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，化简2141k x x ≥-+（1） 令11,,34t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，设221()41(2)5,,34h t t t t t ⎡⎤=-++=--+∈⎢⎥⎣⎦，2t =是方程有最大值5，2t =时12x =，带入（1）得到5K ≥ （3）假设存在因为 21()1f x x=-，因为,m n 是正实数，所以函数在区间[],m n 递增， 2i 2m n 1()()1f x f m m m ==-≠，2a 2m x 1()()1f x f n n n ==-≠ 假设不成立，所以不存在这个区间20.1（a ）分2000()2f x x x x =-=解得00x =，或03x =.（b ）22ax bx a b x +--=对任意实数，函数恒有两个相异的不动点2(21)4()0b a a b ∆=-++>恒成立，对于任意实数b 224(44)410b a b a +-++>()22(44)16410a a ∆=--+< 整理上式子解得23a <-或者0a > （2）2()2f x ax bx c =++ 则122b x x a +=-，12c x x a ⋅= 所以()()2221212122444b c x x x x x x a a--+-=- 又因为0a b c ++=，所以10b c a a ++= 设b t a=，则1c t a =-- 则()21244(1)x x t t -=---令22()44(1)444g t t t t t =---=++ 对称轴为：12t =-，所以()()04g t g >= 所以线段程度范围是()2,+∞.。
2019-2020学年江苏省苏州中学园区校高三(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年江苏省苏州中学园区校高三（上）10月月考数学试卷一、填空题1. 已知A={−1, 0, 1, 6}，B={x|x≤0}，则A∩B=________.【答案】{−1, 0}【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵A={−1, 0, 1, 6}，B={x|x≤0}，∴A∩B={−1, 0}.故答案为：{−1,0}.2. 若复数z满足i⋅z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的虚部为________．【答案】−1【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i⋅z=1+2i，得z=1+2ii =(1+2i)(−i)−i2=2−i，∴z的虚部为−1．故答案为：−1.3. 命题“∀x>1，x2≥3”的否定是________．【答案】∃x>1，x2<3【考点】命题的否定【解析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x>1，x2≥3”的否定是：∃x>1，x2<3.故答案为：∃x>1，x2<3.4. “x>1”是“x2≥x”的________条件．（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先解不等式“x2≥x”可得：x<0或x>1，再判断“x>1”与“x2≥x”的充要性即可．【解答】解：不等式“x2≥x”可得：x≤0或x≥1，又因为”x>1”能推出“x≤0或x≥1”，“x≤0或x≥1”不能推出”x>1”，即“x>1”是“x2≥x”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 若f(2x)=3x2+1，则函数f(x)的解析式是________．【答案】f(x)=34x2+1【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】直接利用配凑法求解函数的解析式即可．【解答】解：f(2x)=3x2+1=34(2x)2+1，可得f(x)=34x2+1．故答案为：f(x)=34x2+1．6. 函数y=√7−6x−x2的定义域是________.【答案】[−7, 1]【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：由函数y=√7−6x−x2，令7−6x−x2≥0，即x2+6x−7≤0，解得−7≤x≤1，所以函数y=√7−6x−x2的定义域是[−7, 1]．故答案为：[−7, 1].7. 函数f(x)=ln xx的单调递增区间是________．【答案】(0, e)利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数f(x)=ln xx的导数为y′的解析式，令y′>0求得x的范围，即可得到函数f(x)=ln xx的单调递增区间．【解答】解：由于函数f(x)=ln xx 的导数为y′=1−ln xx2，令y′>0可得ln x<1，解得0<x<e，故函数f(x)=ln xx的单调递增区间是(0, e).故答案为：(0, e).8. 函数y=3x3−9x+5在[−2, 2]的最大值与最小值之差为________.【答案】12【考点】利用导数研究函数的最值【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值和最小值，求和即可．【解答】解：∵y=3x3−9x+5，∴y′=9x2−9=0，解得：x1=1，x2=−1，令y′>0，解得：x>1或x<−1，令y′(x)<0，解得：−1<x<1，∴函数在[−2, −1)递增，在(−1, 1)递减，在(1, 2]递增，∴x=−1时，y取极大值，极大值是11，x=1时，y取极小值，极小值是−1，而x=−2时，y=−1，x=2时，y=11，函数的最大值为：11，最小值为：−1，故函数的最大值与最小值之差是12.故答案为：12.9. 水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为2.5m时，圆面积的膨胀率是________m2/s.【答案】2.5π【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据水波的速度，写出水波对于时间的函数表示式，求出导函数，计算水波半径是2.5时的时间，求出对应的导数即可．【解答】解：水波的半径以v=0.5m/s的速度向外扩张，则水波的面积为s =πr 2=π(vt)2=0.25πt 2，又水波面积的膨胀率为s ′=0.5πt ，所以当半径为2.5m 时，t =2.50.5=5(s)，此时s ′=0.5π×5=2.5π，即半径为2.5m 时，水波面积的膨胀率是2.5πm 2/s ．故答案为：2.5π.10. 设函数y =f(x)为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0]均有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)≤0，则满足f(x +1)<f(2x −1)的实数x 的范围是________.【答案】(−∞, 0)∪(2, +∞)【考点】一元二次不等式的解法函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据条件判断函数的单调性，结合函数单调性和奇偶性的关系进行转化求解即可．【解答】解：对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0]均有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)≤0，则当x ≤0时，函数f(x)为减函数，∵ f(x)是偶函数，∴ f(x)在[0, +∞)上是增函数，则f(x +1)<f(2x −1)等价为f(|x +1|)<f(|2x −1|)，即|x +1|<|2x −1|，平方得x 2+2x +1<4x 2−4x +1，即3x 2−6x >0，得x(x −2)>0，∴ x >2或x <0，即x 的取值范围是(−∞, 0)∪(2, +∞).故答案为：(−∞, 0)∪(2, +∞).11. 已知f(x)={2019x 2,x ≥0，ax 2,x <0是奇函数且f(3t −a)+4f(8−2t)≤0，则t 的取值范围是________.【答案】[2035, +∞)【考点】分段函数的应用【解析】解：因为当x ≥0时，f(x)＝2019x 2单调递增；且知f(x)={2019x 2,x ≥0ax 2,x <0 是奇函数且在x ＝0处连续；所以整个函数都是增函数；根据f(−x)＝−f(x)求解a 的值，由题意不难发现4f(x)＝f(2x)，那么4f(2t −8)＝f(4t −16)，利用单调性即可求解．【解答】解：因为当x ≥0时，f(x)=2019x 2单调递增，且知f(x)={2019x 2,x ≥0，ax 2,x <0是奇函数且在x =0处连续， 所以整个函数都是增函数.令x <0，−x >0，f(−x)=2019(−x)2=2019x 2，∵ f(x)是奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，∴ f(x)=−2019x 2，∴ a =−2019，∴ f(3t −a)+4f(8−2t)≤0⇒f(3t −a)≤−4f(8−2t)=4f(2t −8)=f(4t −16)，∴ 3t +2019≤4t −16，解得：t ≥2035．故答案为：[2035,+∞).12. 若f(x)=|x −2018|+2020|x −a|的最小值为1，则a =________.【答案】2017或2019【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由绝对值的几何意义|x −a|表示数轴上x 到a 的距离．【解答】解：由f(x)的几何意义为：在数轴上有三点，A 点坐标为−a ，B 点坐标为2018，X 点坐标为x ，f(x)表示X 到B 的距离加上2020倍X 到A 距离，即：f(x)=BX +2020AX ，当X 点与A 点重合时，取得最小值，此时f(x)min =|a −2018|=1，∴ a =2017或2019，即x =2017或2019时，两个距离之和最小为1.故答案为：2017或2019.13. 若方程3−b 2−2b cos x −2sin 2x =0(x ∈[−π2,π2])有两个不同的实数解，则b 的取值范围是________.【答案】45<b ≤2 【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】将化为2cos 2x −2b cos x +1−b 2=0，设cos x ＝t ∈[0, 1]，进一步将方程化为方程转化为 t 2−2bt +1−b 2=0 t ∈[0, 1]的根的问题；当x ∈[−π2,π2]，则 t ∈[0, 1]；而t ∈(0, 1)时，一个t 对应两个x ，转化为 t 2−2bt +1−b 2=0 t ∈(0, 1)只有一个实根，端点再单独讨论．【解答】解：方程3−b 2−2b cos x −2sin 2x =0在x ∈[−π2,π2]上有两个不同的实根可转化为： 方程2cos 2x −2b cos x +1−b 2=0有两个不同的实根.设t =cos x ，(x ∈[−π2,π2])，则 t ∈[0, 1]，方程转化为 t 2−2bt +1−b 2=0，t ∈[0, 1]的根的问题，若t =0，则b =2，此时方程的另一个根为t =2>1，b =2满足条件，若t =1显然不满足条件，若t ∈(0, 1)，则方程 t 2−2bt +1−b 2=0 在t ∈(0, 1)只有一个实数根， 所以 (1−b 2)(2−5b 2)<0，即 45<b <2. 故答案为:45<b <2.14. 在直角三角形ABC 中，∠A =π2,AB =6,AC =8，过三角形ABC 内切圆圆心O 的直线l 与圆相交于E ，F 两点，则AE →⋅BF →的取值范围是________．【答案】[−20, 4]【考点】点的极坐标不唯一平面向量数量积的性质及其运算律余弦函数的定义域和值域【解析】如图所示建立直角坐标系，A(0, 0)，B(6, 0)，C(0, 8)，通过面积求出r ＝2，圆心坐标(2, 2)，由圆的参数方程设E ，F 坐标，进而分析取值范围．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，A(0, 0)，B(6, 0)，C(0, 8)， 在Rt △ABC 中，BC =√AC 2+AB 2=√62+82=10，设内切圆的半径为r ，则S △ABC =12×AC ×AB =12(AC +AB +BC)×r ，所以12×6×8=12×(6+8+10)×r ，所以r =2，圆心坐标(2, 2)，圆的参数方程为{x =2+2cos θ,y =2+2sin θ,设E(2+2cos θ, 2+2sin θ)，F(2−2cos θ, 2−2sin θ)，(0≤θ<2π)，AE →⋅BF →=(2+2cos θ, 2+2sin θ)⋅(−4−2cos θ, 2−2sin θ)=−8−12cos θ (0≤θ<2π)，∴ AE →⋅BF →∈[−20, 4].故答案为：[−20,4].二、解答题已知函数f(x)=x 2+1，g(x)=4x +1的定义域都是集合A ，函数f(x)和g(x)的值域分别为S 和T .(1)若A =[1, 2]，求S ∩T ；(2)若A =[0, m]且S =T ，求实数m 的值；(3)若对于集合A 的任意一个数x 的值都有f(x)=g(x)，求集合A ．【答案】解：(1)若A =[1, 2]，则函数f(x)=x 2+1的值域是S =[2, 5]，g(x)=4x +1的值域T =[5, 9]，∴ S ∩T ={5}；(2)若A =[0, m]，则S =[1, m 2+1]，T =[1, 4m +1]，由S =T 得m 2+1=4m +1，解得m =4或m =0（舍去）；(3)若对于A 中的每一个x 值，都有f(x)=g(x)，即x 2+1=4x +1，∴ x 2=4x ，解得x =4或x =0，∴ 满足题意的集合是{0}，或{4}或{0, 4}．【考点】函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】①根据函数的定义域分别求出两个奇函数的值域，根据集合的基本运算求S ∩T ． ②根据条件A ＝[0, m]且S ＝T ，建立条件关系即可求实数m 的值．③根据条件f(x)＝g(x)建立条件关系即可求集合A ．【解答】解：(1)若A =[1, 2]，则函数f(x)=x 2+1的值域是S =[2, 5]，g(x)=4x +1的值域T =[5, 9]，∴ S ∩T ={5}；(2)若A =[0, m]，则S =[1, m 2+1]，T =[1, 4m +1]，由S =T 得m 2+1=4m +1，解得m =4或m =0（舍去）；(3)若对于A 中的每一个x 值，都有f(x)=g(x)，即x 2+1=4x +1，∴ x 2=4x ，解得x =4或x =0，∴ 满足题意的集合是{0}，或{4}或{0, 4}．已知α，β∈(0, π)，且tan α=2，cos β=−7√210． (1)求cos 2α的值；(2)求2α−β的值．【答案】解：(1)cos 2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tan α=2，所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos 2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tan α=2，所以α∈(0,π2)，又cos 2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin 2α=45. 因为β∈(0, π)，cos β=−7√210． 所以sin β=√210，β∈(π2,π)，所以sin (2α−β)=sin 2αcos β−cos 2αsin β=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22， 又2α−β∈(−π2,π2)，所以2α−β=−π4． 【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】（1）利用二倍角的余弦函数，通过分母“1＝sin 2α+cos 2α”的代换，然后化简分式2tan α的形式，代入数值全家健康．（2）通过α，β的范围求出sin 2α，sin β，通过二倍角的正弦函数，求出sin (2α−β)的值，结合角的范围求出角的大小即可．【解答】解：(1)cos 2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tan α=2，所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos 2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tan α=2，所以α∈(0,π2)， 又cos 2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin 2α=45.因为β∈(0, π)，cos β=−7√210． 所以sin β=√210，β∈(π2,π)，所以sin (2α−β)=sin 2αcos β−cos 2αsin β=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22， 又2α−β∈(−π2,π2)，所以2α−β=−π4．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足f(t)={60+t,1≤t ≤60,150−12t,61≤t ≤100(t ∈N )，价格为g(t)=200−t(1≤t ≤100, t ∈N )． (1)求该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t 的函数关系；(2)求t 为何值时，日销售额最大．【答案】解：(1)由题意知，当1≤t ≤60，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(60+t)⋅(200−t)=−t 2+140t +12000，当61≤t ≤100，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t 2−250t +30000，所以所求函数关系为ℎ(t)={−t 2+140t +12000,(1≤t ≤60,t ∈N )，12t 2−250t +30000,(61≤t ≤100,t ∈N ). (2)当1≤t ≤60，t ∈N 时，ℎ(t)=−t 2+140t +12000=−(t −70)2+16900，所以，函数ℎ(t)在[1, 60]上单调递增，故ℎ(t)max=ℎ(60)=16800（百元），当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=12t2−250t+30000=12(t−250)2−1250，所以函数ℎ(t)在[61, 100]上单调递减，故ℎ(t)max=ℎ(61)=16610.5（百元），因为16610.5<16800，所以当t为60时，日销售额最大．【考点】二次函数在闭区间上的最值根据实际问题选择函数类型分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）利用ℎ(t)＝f(t)⋅g(t)，通过t的范围求出函数的解析式．（2）利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：(1)由题意知，当1≤t≤60，t∈N时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(60+t)⋅(200−t)=−t2+140t+12000，当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t2−250t+30000，所以所求函数关系为ℎ(t)={−t2+140t+12000,(1≤t≤60,t∈N)，12t2−250t+30000,(61≤t≤100,t∈N).(2)当1≤t≤60，t∈N时，ℎ(t)=−t2+140t+12000=−(t−70)2+16900，所以，函数ℎ(t)在[1, 60]上单调递增，故ℎ(t)max=ℎ(60)=16800（百元），当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=12t2−250t+30000=12(t−250)2−1250，所以函数ℎ(t)在[61, 100]上单调递减，故ℎ(t)max=ℎ(61)=16610.5（百元），因为16610.5<16800，所以当t为60时，日销售额最大．已知函数f(x)=|1−1x|，(x>0)．(1)当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；(2)是否存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a, b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．(3)若存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域为[a, b]时，值域为[ma, mb](m ≠0)，求m 的取值范围． 【答案】(1)证明：∵ x >0， ∴ f(x)={1−1x,x ≥1，1x−1,0<x <1.∴ f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上是增函数． 由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得 0<a <1<b 和1a −1=1−1b ，即1a +1b =2． ∴ 2ab =a +b >2√ab ． 故√ab >1，即ab >1．(2)解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]， 则a >0，f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.①当a ，b ∈(0, 1)时，f(x)=1x−1在(0, 1)上为减函数， 故{f(a)=b ，f(b)=a ， 即{1a−1=b ，1b −1=a ，解得a =b ． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1, +∞)时，f(x)=1−1x 在(1, +∞)上是增函数．故{f(a)=a ，f(b)=b ， 即{1−1a =a ，1−1b=b ，此时a ，b 是方程x 2−x +1=0的根，此方程无实根， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈(0, 1)，b ∈[1, +∞)时，由于1∈[a, b]，而f(1)=0∉[a, b]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．(3)解：若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时， 值域为[ma, mb]，则a >0，m >0．①当a ，b ∈(0, 1)时，由于f(x)在(0, 1)上是减函数，故{1a −1=mb ，1b−1=ma ，此时刻得a ，b 异号，不符合题意，∴ a ，b 不存在． ②当a ∈(0, 1)或b ∈[1, +∞)时，由(2)知0在值域内， 值域不可能是[ma, mb]，∴ a ，b 不存在， 故只有a ，b ∈[1, +∞)．∵ f(x)=|1−1x |在[1, +∞)上是增函数， ∴ {f(a)=ma ，f(b)=mb ， 即{1−1a =ma ，1−1b =mb ，∴ a ，b 是方程mx 2−x +1=0的两个根，即关于x 的方程mx 2−x +1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1⋅x 2=1m ． ∴ {Δ>0，(x 1−1)+(x 2−1)>0，(x 1−1)(x 2−1)>0， 即{1−4m >0，1m−2>0，解得0<m <14．故m 的取值范围是0<m <14． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 函数单调性的判断与证明 函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 【解析】（I ）确定函数解析式，利用函数的单调性，可得1a+1b =2，利用基本不等式，即可得出结论；(II)分类讨论，若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]，从而可得结论；(III)分类讨论，若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y ＝f(x)的定义域为[a, b]时，值域为[ma, mb]，即可得出结论． 【解答】(1)证明：∵ x >0， ∴ f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.∴ f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上是增函数． 由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得0<a <1<b 和1a −1=1−1b ，即1a +1b =2． ∴ 2ab =a +b >2√ab ． 故√ab >1，即ab >1．(2)解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]， 则a >0，f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.①当a ，b ∈(0, 1)时，f(x)=1x −1在(0, 1)上为减函数， 故{f(a)=b ，f(b)=a ， 即{1a−1=b ，1b −1=a ，解得a =b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1, +∞)时，f(x)=1−1x 在(1, +∞)上是增函数．故{f(a)=a ，f(b)=b ， 即{1−1a=a ，1−1b=b ，此时a ，b 是方程x 2−x +1=0的根，此方程无实根， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈(0, 1)，b ∈[1, +∞)时，由于1∈[a, b]，而f(1)=0∉[a, b]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．(3)解：若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时， 值域为[ma, mb]，则a >0，m >0．①当a ，b ∈(0, 1)时，由于f(x)在(0, 1)上是减函数，故{1a −1=mb ，1b−1=ma ，此时刻得a ，b 异号，不符合题意，∴ a ，b 不存在．②当a ∈(0, 1)或b ∈[1, +∞)时，由(2)知0在值域内， 值域不可能是[ma, mb]，∴ a ，b 不存在， 故只有a ，b ∈[1, +∞)．∵ f(x)=|1−1x |在[1, +∞)上是增函数， ∴ {f(a)=ma ，f(b)=mb ， 即{1−1a=ma ，1−1b =mb ，∴ a ，b 是方程mx 2−x +1=0的两个根，即关于x 的方程mx 2−x +1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1⋅x 2=1m ． ∴ {Δ>0，(x 1−1)+(x 2−1)>0，(x 1−1)(x 2−1)>0， 即{1−4m >0，1m−2>0，解得0<m <14．故m 的取值范围是0<m <14．已知函数f(x)=a3x 3−12(a +1)x 2+x −13．(1)若函数f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线方程为9x −y +b =0，求实数a ，b 的值；(2)若a ≤0，求f(x)的单调减区间；(3)对一切实数a ∈(0, 1)，求f(x)的极小值的最大值． 【答案】解：(1)f ′(x)=ax 2−(a +1)x +1(a ∈R )，由f′(2)=9，得a=5，∴f(x)=53x3−3x2+x−13，∴f(2)=3，∴(2, 3)在直线9x−y+b=0上，∴b=−15．(2)①若a=0，f(x)=−12x2+x−13=−12(x−1)2+16，∴f(x)的单调减区间为(1, +∞)．②若a<0，则f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−1a)(x−1),x∈R，令f′(x)<0，得(x−1a)(x−1)>0，∴x<1a或x>1，∴f(x)的单调减区间为(−∞,1a)，(1, +∞)．(3)f′(x)=a(x−1)(x−1a)，0<a<1，列表：f(1a)=a3⋅1a3−12(a+1)1a2+1a−13=−16⋅1a2+12⋅1a−13=−16(1a−32)2+124．当a=23时，函数f(x)的极小值f(1a)取得最大值为124．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导函数，利用函数f(x)的图象在点（2, f(2)）处的切线方程为9x−y+b＝0，即可求实数a，b的值；（2）分类讨论，利用导数小于0，可得f(x)的单调减区间；（3）求导数，确定f(x)的极小值，对一切实数a∈(0, 1)，利用配方法，即可求f(x)的极小值的最大值．【解答】解：(1)f′(x)=ax2−(a+1)x+1(a∈R)，由f′(2)=9，得a=5，∴f(x)=53x3−3x2+x−13，∴f(2)=3，∴(2, 3)在直线9x−y+b=0上，∴b=−15．(2)①若a=0，f(x)=−12x2+x−13=−12(x−1)2+16，∴f(x)的单调减区间为(1, +∞)．②若a<0，则f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−1a)(x−1),x∈R，令f′(x)<0，得(x−1a)(x−1)>0，∴x<1a或x>1，∴f(x)的单调减区间为(−∞,1a)，(1, +∞)．(3)f′(x)=a(x−1)(x−1a)，0<a<1，列表：f(1a)=a3⋅1a3−12(a+1)1a2+1a−13=−16⋅1a2+12⋅1a−13=−16(1a−32)2+124．当a=23时，函数f(x)的极小值f(1a)取得最大值为124．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称数列{a n}为S数列．(1)S数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．(2)①是否存在等差数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．②是否存在正项递增等比数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵数列{a n}是S数列，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∴n≥2时，S n−1=a p(p∈N∗)，∴S n−S n−1=a m−a p，即a n=a m−a p，而n=1时，S2=a q，则a1=a q−a2，故S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；(2)①假设存在等差数列为S数列，设其首项为a1，公差为d，(i)当d=0时，若a1≠0，则对任意的正整数n，不可能存在正整数m，使得S n=a m，即na1=a1；(ii)当d=0且a1=0时，显然满足题意；(iii)当d≠0时，由S n=a m得，na1+n(n−1)2d=a1+(m−1)d，故m−1=(n−1)a1+n(n−1)2dd=(n−1)a1d+n(n−1)2∈Z，∵n(n−1)2∈Z，n=1时显然存在m=1满足上式，当n=2时，a1d+1≥0，∴a1d ≥−1,a1d∈Z，此时(n−1)a1d +n(n−1)2≥−n+1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意，综上，存在a1=kd，k∈Z，k≥−1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S数列，则a1>0，q>0，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∵S n+1S n =a1(1−q n+1)1−qa1(1−q n)1−q=q n+1−1 q n−1=q(q n−1)+q−1q n−1=q+q−1 q n−1<q+q−1 q+1q−1=q+q(q−1)=q2，∴q<S n+1S n<q2，即a m q<S n+1<a m q2，即a m+1<S n+1<a m+2，∵S n+1∈{a n}且{a n}单调递增，显然当n>logq(q+1)−1时，不存在t∈N∗，使得S n+1=a t，这与S数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．【考点】数列与函数最值问题数列的应用数列递推式【解析】（1）由数列前n项和与通项的关系，结合定义即可得出结论；（2）假设存在，分d＝0且a1≠0，d＝0且a1＝0及d≠0讨论得出结论；（3）运用反证法即可得出结论．【解答】解：(1)∵数列{a n}是S数列，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∴n≥2时，S n−1=a p(p∈N∗)，∴S n−S n−1=a m−a p，即a n=a m−a p，而n=1时，S2=a q，则a1=a q−a2，故S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；(2)①假设存在等差数列为S数列，设其首项为a1，公差为d，(i)当d=0时，若a1≠0，则对任意的正整数n，不可能存在正整数m，使得S n=a m，即na1=a1；(ii)当d=0且a1=0时，显然满足题意；(iii)当d≠0时，由S n=a m得，na1+n(n−1)2d=a1+(m−1)d，故m−1=(n−1)a1+n(n−1)2dd=(n−1)a1d+n(n−1)2∈Z，∵n(n−1)2∈Z，n=1时显然存在m=1满足上式，当n=2时，a1d+1≥0，∴a1d ≥−1,a1d∈Z，此时(n−1)a1d +n(n−1)2≥−n+1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意，综上，存在a1=kd，k∈Z，k≥−1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S数列，则a1>0，q>0，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∵S n+1S n =a1(1−q n+1)1−qa1(1−q n)1−q=q n+1−1 q n−1=q(q n−1)+q−1q n−1=q+q−1 q n−1<q+q−1 q+1q−1=q+q(q−1)=q2，∴q<S n+1S n<q2，即a m q<S n+1<a m q2，即a m+1<S n+1<a m+2，∵S n+1∈{a n}且{a n}单调递增，显然当n>logq(q+1)−1时，不存在t∈N∗，使得S n+1=a t，这与S数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．。
江苏省苏州中学2019-2020学年第一学期(10月月考)高三年级阶段性考试(一)数学试卷
苏州中学2020届高三年级阶段性考试(一)数学I一、填空题（本大题共14小题，每小題5分，共0分，请把答案案直接填写在答题卷相应的位置） 1．已知A ＝{﹣1，0，1，6}，B ＝{x |x ≤0}，则A ∩B ＝2．若复数z 满足i •z ＝1+2i ，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为 ． 3．命题“∀x ＞1，x 2≥3”的否定是 ． 4．“x ＞1”是“x 2＞x ”的 条件．5．若f （2x ）＝3x 2+1，则函数f （x ）的解析式是 ． 6．函数y =√7−6x −x 2的定义域是 7．函数f （x ）=lnxx的单调递增区间是 ． 8．函数y ＝3x 3﹣9x +5在[﹣2，2]的最大值与最小值之差为9．水波的半径以0.5m /s 的速度向外扩张，当半径为25m 时，圆面积的膨胀率是 ．10．设函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0]均有[f （x 1）﹣f （x 2）]．（x 1﹣x 2）≤0，则满足f （x +1）＜f （2x ﹣1）的实数x 的范围是11．已知f(x)={2019x 2，x ≥0ax 2，x ＜0是奇函数且f （3t ﹣a ）+4f （8﹣2t ）≤0，则t 的取值范围是12．若f （x ）＝|x ﹣2018|+2020|x ﹣a |的最小值为1，则a ＝13．若方程3−b 2−2bcosx −2sin 2x =0(x ∈[−π2，π2])有两个不同的实数解，则b 的取值范围是 14．在直角三角形ABC 中，∠A =π2，AB =6，AC =8，过三角形ABC 内切圆圆心O 的直线l 与圆相交于E 、F 两点，则AE →⋅BF →的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．已知函数f （x ）＝x 2+1，g （x ）＝4x +1，的定义域都是集合A ，函数f （x ）和g （x ）的值域分别为S 和T ，①若A ＝[1，2]，求S ∩T②若A ＝[0，m ]且S ＝T ，求实数m 的值③若对于集合A 的任意一个数x 的值都有f （x ）＝g （x ），求集合A ． 16．已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ=−7√210．（1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．17．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足f(t)={60+t，1≤t≤60150−12t，61≤t≤100（t∈N），价格为g（t）＝200﹣t（1≤t≤100，t∈N）．（1）求该种商品的日销售额h（t）与时间t的函数关系；（2）求t为何值时，日销售额最大．18．已知函数f(x)=|1−1x|，（x＞0）．（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求证：ab＞1；（Ⅰ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．（Ⅰ）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．19．已知函数f(x)=a3x3−12(a+1)x2+x−13．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x﹣y+b＝0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．20．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则称数列{a n}为S数列．（1）S数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．（2）①是否存在等差数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．②是否存在正项递增等比数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．一、填空题（本大题共14小题，每小題5分，共0分，请把答案案直接填写在答题卷相应的位置） 1． {﹣1，0}． 2．﹣1．3． ∃x ＞1，x 2＜3． 4．充分不必要． 5．f(x)=34x 2+1． 6． [﹣7，1]． 7．（0，e ）． 8． 12． 9． 25π．10．（﹣∞，0）∪（2，+∞） 11． [2035，+∞） 12． 2017或2019． 13．45＜b ≤2．14． [﹣20，4]．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（1）若A ＝[1，2]，则函数f （x ）＝x 2+1的值域是S ＝[2，5]， g （x ）＝4x +1的值域T ＝[5，9]， ∴S ∩T ＝{5}．（2）若A ＝[0，m ]，则S ＝[1，m 2+1]，T ＝[1，4m +1]， 由S ＝T 得m 2+1＝4m +1，解得m ＝4或m ＝0（舍去）． （3）若对于A 中的每一个x 值，都有f （x ）＝g （x ）， 即x 2+1＝4x +1， ∴x 2＝4x ， 解得x ＝4或x ＝0，∴满足题意的集合是{0]，或{4}或{0，4}．16．（1）cos2α＝cos 2α﹣sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tanα＝2，所以1−tan 2α1+tan α=1−41+4=−35，所以cos2α=−35．（2）因为α∈（0，π），且tanα＝2，所以α∈(0，π2) 又cos2α=−35，∴2α∈(π2，π)，sin2α=45， 因为β∈（0，π），cosβ=−7√210． 所以sinβ=√210，β∈(π2，π)，所以sin （2α﹣β）＝sin2αcosβ﹣cos2αsinβ =45×(−7√210)−(−35)×√210 =−√22，又2α−β∈(−π2，π2)， ∴2α﹣β=−π4． 17．（1）由题意知，当1≤t ≤60，t ∈N 时，h （t ）＝f （t ）•g （t ）＝（60+t ）•（200﹣t ）＝﹣t 2+140t +12000， 当61≤t ≤100，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t 2−250t +30000， 所以，所求函数关系为ℎ(t)={−t 2+140t +12000，(1≤t ≤60，t ∈N)12t 2−250t +30000，(61≤t ≤100，t ∈N)；（2）当1≤t ≤60，t ∈N 时，h （t ）═﹣t 2+140t +12000＝﹣（t ﹣70）2+16900， 所以，函数h （t ）在[1，60]上单调递增，故h （t ）max ＝h （60）＝16800（百元）， 当61≤t ≤100，t ∈N 时，ℎ(t)=12t 2−250t +30000=12(t −250)2−1250，所以，函数h （t ）在[61，100]上单调递减，故h （t ）max ＝h （61）＝16610.5（百元）， 因为16610.5＜16800，所以，当t 为60时，日销售额最大．18．（I ）证明：∵x ＞0，∴f(x)={1−1x ，x ≥11x−1，0＜x ＜1.∴f （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．由0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），可得 0＜a ＜1＜b 和1a−1=1−1b，即1a+1b=2．∴2ab ＝a +b ＞2√ab ．… 故√ab ＞1，即ab ＞1．…（II ）解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a ，b ]， 则a ＞0，f(x)={1−1x ，x ≥11x−1，0＜x ＜1.①当a ，b ∈（0，1）时，f(x)=1x −1在（0，1）上为减函数． 故{f(a)=b f(b)=a.，即{1a −1=b 1b −1=a.，解得a ＝b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．…（6分）②当a ，b ∈[1，+∞）时，f(x)=1−1x在（1，+∞）上是增函数． 故{f(a)=af(b)=b.，即{1−1a =a 1−1b =b.此时a ，b 是方程x 2﹣x +1＝0的根，此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．…③当a ∈（0，1），b ∈[1，+∞）时，由于1∈[a ，b ]，而f （1）＝0∉[a ，b ]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．…（III ）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]． 则a ＞0，m ＞0．①当a ，b ∈（0，1）时，由于f （x ）在（0，1）上是减函数，故{1a −1=mb 1b−1=ma.． 此时刻得a ，b 异号，不符合题意，所以a ，b 不存在．②当a ∈（0，1）或b ∈[1，+∞）时，由（ II ）知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb ]，所以a ，b 不存在．故只有a ，b ∈[1，+∞）．∵f(x)=|1−1x |在[1，+∞）上是增函数，∴{f(a)=ma f(b)=mb.，即{1−1a =ma 1−1b=mb.∴a ，b 是方程mx 2﹣x +1＝0的两个根，即关于x 的方程mx 2﹣x +1＝0有两个大于1的实根．… 设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1•x 2=1m ． ∴{△＞0(x 1−1)+(x 2−1)＞0(x 1−1)(x 2−1)＞0.，即{1−4m ＞01m −2＞0.解得0＜m ＜14．故m 的取值范围是0＜m ＜14．…19．（1）f ′（x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1（a ∈R ），…（1分） 由f ′（2）＝9，得a ＝5．，…（2分） ∴f(x)=53x 3−3x 2+x −13 ∴f （2）＝3，∴（2，3）在直线9x ﹣y +b ＝0上， ∴b ＝﹣15． …（2）①若a ＝0，f(x)=−12x 2+x −13=−12(x −1)2+16，∴f （x ）的单调减区间为（1，+∞）． …（6分） ②若a ＜0，则f′(x)=ax 2−(a +1)x +1=a(x −1a )(x −1)，x ∈R ， 令f ′（x ）＜0，得(x −1a )(x −1)＞0．∴x ＜1a ，或x ＞1． …（9分） ∴f （x ）的单调减区间为(−∞，1a )，（1，+∞）． … （3）f′(x)=a(x −1)(x −1a )，0＜a ＜1， 列表：x （﹣∞，1）1 （1，1a ）1a（1a，+∞）f ′（x ） + 0 ﹣ 0 + f （x ） ↗极大值↘极小值↗…∴f （x ） 的极小值为f(1a )=a3⋅1a 3−12(a +1)1a 2+1a −13=−16⋅1a 2+12⋅1a −13=−16(1a −32)2+124． … 当a =23时，函数f （x ）的极小值f （1a ）取得最大值为124．20．（1）∵数列{a n }是S 数列，∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ， ∴n ≥2时，S n−1=a p (p ∈N ⋅)， ∴S n ﹣S n ﹣1＝a m ﹣a p ，即a n ＝a m ﹣a p ， 而n ＝1时，S 2＝a q ，则a 1＝a q ﹣a 2， 故S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；（2）①假设存在等差数列为S 数列，设其首项为a 1，公差为d ，（i ）当d ＝0时，若a 1≠0，则对任意的正整数n ，不可能存在正整数m ，使得S n ＝a m ，即na 1＝a 1； （ii ）当d ＝0且a 1＝0时，显然满足题意； （iii ）当d ≠0时，由S n ＝a m 得，na 1+n(n−1)2d =a 1+(m −1)d ， 故m −1=(n−1)a 1+n(n−1)2d d =(n −1)a 1d +n(n−1)2∈Z ， ∵n(n−1)2∈Z ，n ＝1时显然存在m ＝1满足上式，n ＝2时，a 1d+1≥0，∴a 1d≥−1，a 1d∈Z ，此时(n −1)a 1d +n(n−1)2≥−n +1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意， 综上，存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；（3）假设存在正项递增等比数列为S 数列，则a 1＞0，q ＞0， ∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ， ∵S n+1S n=a 1(1−q n+1)1−q 1n 1−q=q n+1−1q −1=q(q n −1)+q−1q −1=q +q−1q −1＜q +q−1q+1q−1=q +q(q −1)=q 2，∴q ＜Sn+1S n＜q 2，即a m q ＜S n+1＜a m q 2，即a m +1＜S n +1＜a m +2，∵S n +1∈{a n }且{a n }单调递增，显然当n ＞log q （q +1）﹣1时，不存在t ∈N •，使得S n +1＝a t ，这与S 数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．。
江苏省苏州市张家港高级中学2019_2020学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)
江苏省苏州市张家港高级中学2019-2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1.设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 【答案】A【解析】 由题意{1,2,3,4}A B ⋃=，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2.集合｛1，2，3｝的子集共有（ ）A. 7个B. 8个C. 6个D. 5个 【答案】B【解析】集合｛1，2，3｝中共三个元素，子集个数为：328=.故选B.3.下列五个写法：①{}{}01,2,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅.其中错误写法的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，以及集合与集合的运算来判断出以上五个写法的正误.【详解】对于①，∈表示元素与集合之间的关系，故①错；对于②，∅是任何集合的子集，故②对；对于③，{}{}0,1,21,2,0=，{}{}0,1,21,2,0⊆成立，故③对；对于④，0∉∅，故④错； 对于⑤，表示的集合与集合的交集运算，故⑤错.故选C.【点睛】本题考查集合部分的一些特定的符号，以及集合与集合的关系、元素与集合的关系，考查对集合相关概念的理解，属于基础题.的值为（ ） A. 14a B. 25a C. 34a D. 58a 【答案】C【解析】【分析】依据根式与指数幂的转化关系逐步处理即可.1113322224a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】此题考查将根式转化成分数指数幂的形式，关键在于弄清根式与指数幂之间的转化关系和指数幂的运算法则.5.下列各组函数()()f x g x 与是同一函数的是（ ）A. 2(),()f x x g x ==B. 22(),()(1)f x x g x x ==+C. 0()1,()f x g x x ==D. (),()x f x x g x x⎧==⎨-⎩ (0)(0)x x ≥< 【答案】D【解析】 A 中()f x x =的定义域为R ，2()g x = 的定义域为[0,)+∞，不是同一函数； B 中 ()()()22,1f x x g x x ==+两个函数的对应法则不同，不是同一函数；C 中 ()1f x =的定义域为R ，0()g x x =的定义域为{}0x R x ∈≠，不是同一函数；D 中 ()(),x f x x g x x ⎧==⎨-⎩()0(0)x x ≥<，定义域、对应法则均相同，是同一函数，选D.6.函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x≤2的值域是（ ）A. RB. [3，6]C. [2，6]D. [2，＋∞）【答案】C【解析】试题分析：函数对称轴为x=1，当x=1时取得最小值2，当x=-1时取得最大值6，所以值域为[2,6]考点：二次函数值域 7.在函数22,?1{,?122,? 2x x y x x x x +≤-=-<<≥中，若()1f x =，则x 的值是（ ） A. 1 B. 312或 C. 1±【答案】C【解析】 试题解析：当1x ≤-时，211x x +=⇒=-当12x -<<时，211x x =⇒=当2x ≥时，1212x x =⇒=（舍） 考点：本题考查函数性质点评：解决本题的关键是理解函数值8.已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是 A. 13- B. 13 C. 12- D. 12【答案】B【解析】【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数，得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．9.已知17a a +=，则1122a a -+= A. 3B. 9C. –3D. 【答案】A【解析】【分析】令11220a a t -+=>，求出212729t a a =++=+=，从而可得结果. 【详解】令11220a at -+=> 那么212729t a a=++=+= 所以3t =即1122a a -+=3，故选A.【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题.10.已知()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)2f =，(3)3f =，那么(12)f =（ ）．A. 6B. 7C. 10D. 12【答案】B【解析】由()()()f ab f a f b =+，可得(12)(4)(3)f f =+，(4)(2)(2)f f f =+，∴(12)2(2)(3)437f f f =+=+=，故选B.11.()()()()314,1,1a x a x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是定义在(),-∞+∞上的减函数，则a 的范围是( ) A. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】【分析】由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到a 的范围.【详解】解：要使得()f x 在(),-∞+∞上是单调减函数需满足3100(31)141a a a a a -<⎧⎪-<⎨⎪-⋅+-⋅⎩，解得1183a < 故选:B.【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题.12.函数()f x 在R 上单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A. [2,2]-B. [1,1]-C. [0,4]D. [1,3]【答案】D【解析】【分析】根据奇函数()f x ，可得()()111f f -=-=，再由()f x 单调性，求得2x -的范围，解得x 的范围.【详解】因为()f x 为奇函数，且()11f =-，所以()()111f f -=-=，因为函数()f x 在R 上单调递减，所以1(2)1f x -≤-≤，可得121x -≤-≤，所以13x ≤≤，故满足要求的x 的取值范围为[]1,3.故选D.【点睛】本题考查奇函数的性质，根据函数的单调性解不等式，属于简单题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.函数01()(1)2f x x x=-+-的定义域为________． 【答案】[1,1)(1,2)(2,)-⋃⋃+∞【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于零，零指数幂底数不为零，分式的分母不为零列不等式组得出解集即可.【详解】由题：101020x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得：1x ≥-且1x ≠且2x ≠，所以函数的定义域为：[1,1)(1,2)(2,)-⋃⋃+∞.故答案为：[1,1)(1,2)(2,)-⋃⋃+∞【点睛】此题考查求函数定义域，关键在于准确解出不等式组的解集，易错点在于漏掉特殊情况和端点取值，以及结果的书写形式必须是集合或区间.14.已知2(1)23f x x x +=+-，则()f x =________．【答案】24x -【解析】【分析】利用配方法，22(1)23(1)4f x x x x +=+-=+-，即可得出解析式.【详解】由题22(1)23(1)4f x x x x +=+-=+-，所以2()4f x x =-.故答案为：24x -【点睛】此题考查函数解析式的求法，可用配凑法或换元法，平常学习可以积累求解析式的常见方法，解题能够事半功倍.15.已知函数7()2f x ax bx =+-，若(2019)10f =，则(2019)f -=________．【答案】14-【解析】【分析】7(2019)20192019210f a b =+-=，即72019201912a b +=，整体代入即可求出(2019)f -的值.【详解】由题：函数7()2f x ax bx =+-，7(2019)20192019210f a b =+-=， 所以72019201912a b +=，()()77(2019)201920192(20192019)214f a b a b -=-+--=-+-=-. 故答案为：14-【点睛】此题考查根据函数解析式求值，利用整体代入求值，可以结合奇偶性分析，也可依据指数幂的运算关系求值.16.定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数()f x ，若函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，则不等式()0f x x <的解集为______． 【答案】()()1,00,1-【解析】【分析】 不等式转化为()00x f x >⎧⎨<⎩ 或()00x f x <⎧⎨>⎩，再根据函数图象求不等式的解集.【详解】由题意得到()f x 与x 异号，故不等式()0f x x <可转化为：()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩， 根据题意可作函数图象，如图所示：由图象可得：当0x <时，()0f x >，10x -<<；当0x >时，()0f x <，01x <<， 则不等式()0f x x <的解集是()()1,00,1-．【点睛】本题考查利用函数性质和图象求解不等式的解集，意在考查数形结合分析问题的思想，属于基础题型.三、简答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）设集合{}2,1,3A a a =+-，{}23,21,1B a a a =--+，{3}A B ⋂=-，求实数a 的值；（2）若集合{1,3,}A x =，{}21,B x =，A B A ⋃=，求满足条件的实数x ．【答案】（1）1a =-；（2）3,0,3-.【解析】【分析】（1）{3}A B ⋂=-，对于集合B ，分类：33a -=-或213a -=-，检验即可；（2）A B A ⋃=，即B A ⊆，对元素进行讨论求解.【详解】（1）{3}A B ⋂=-，3B -∈，显然213a +≠-，当33a -=-时，0a =，此时{}0,1,3A =-，{}3,1,1B =--，{3,1}A B ⋂=-与题矛盾，舍去；当213a -=-时，1a =-，此时{}1,0,3A =-，{}4,3,2B =--，{3}A B ⋂=-符合题意，所以1a =-.（2）A B A ⋃=，即B A ⊆，{1,3,}A x =，{}21,B x =，根据集合中元素互异性：21,1x x ≠≠±且3x ≠当23x =，x ={A =，{}1,3B =，或{1,3,A =，{}1,3B =，均满足题意；当2x x =时，解得0x =或1x =（舍去）即{1,3,0}A =，{}1,0B =符合题意.综上：满足条件的实数x 为【点睛】此题考查通过集合间的关系及元素与集合的关系求解参数的值，需要注意求值中应该保证集合中元素的互异性进行检验，避免出现不合题意情况.18.已知集合{|16}=≤<A x x ，{|29}=<<B x x ．（1）分别求A B ，()C B A ⋃R ；（2）已知{|21}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】（1）{}26A B x x ⋂=<<，()C {6R B A x x ⋃=<或9}x ≥；（2）{|1}a a【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算法则结合数轴求解即可；（2）C B ⊆，先讨论当C =∅时，实数a 的取值，再结合数轴讨论C ≠∅时实数a 的取值，解不等式即可.【详解】（1）由题：{|16}=≤<A x x ，{|29}=<<B x x所以{}26A B x x ⋂=<<，C {2R B x x =≤或9}x ≥，()C {6R B A x x ⋃=<或9}x ≥.（2）由题：{|21}C x a x a =<<+，C B ⊆，当21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，符合题意；当C ≠∅时，212219a a a a <+⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩此时a 无解，所以实数a 的取值集合为{|1}a a【点睛】此题考查集合的交并补运算，根据集合的包含关系求解参数的范围，易漏点在于容易忽略掉子集为空集的情况.19.已知二次函数()y f x =，当2x =时，函数取最小值-1，且(1)(4)3f f +=．（1）求()f x 的解析式；（2）若()()g x f x kx =-在区间[1,4]上单调，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2k ≤-或4k ≥.【解析】【分析】(1)设二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++>，(2)1,2,(1)(4)32b f f f a=--=+=，解方程组即可得解；（2）写出()()g x f x kx =-的对称轴，区间[1,4]在对称轴的左侧或右侧即可.【详解】（1）设二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++>，(2)1,2,(1)(4)32b f f f a =--=+=， 即242116432a b c a b c a a b b c ++=-⎧⎪⎪⎨⎪+++++==⎩-⎪解得：413a c b =⎧==-⎪⎨⎪⎩，所以2()43f x x x =-+.（2）2()()(4)3g x f x kx x k x =-=-++，对称轴42k x +=在区间[1,4]上单调，即412k +≤或442k +≥， 解得：2k ≤-或4k ≥【点睛】此题考查利用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数在某区间的单调性求参数范围，体现出分类讨论的思想.20.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+．（1）求(1)f -的值；（2）求出函数()f x 的解析式；（3）画出函数()f x 的图象，并写出()f x 在区间[1,2]-上的最值． 【答案】（1）2-；（2）22,0(),0x x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩；（3）()f x 在区间[1,2]-上的最小值(1)2f -=-，最大值为(2)6f =【解析】【分析】（1）根据奇函数性质(1)(1)f f -=-即可求值；（2）根据函数的奇偶性补齐：(0)0f =，当0x <时，0x ->，()()f x f x =--得出解析式；（3）根据解析式先画出0x >时，()(1)f x x x =+的图象，再根据奇偶性作出剩余图象，由图像看出()f x 在区间[1,2]-上的最值【详解】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，(1)(1)2f f -=-=-；（2）()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f =，当0x >时，()(1)f x x x =+，当0x <时，0x ->，()2()()(1)f x f x x x x x =--=---=-+，所以22,0(),0x x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩； （3）作图如下：函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 在区间[1,2]-上的最小值(1)2f -=-，最大值为(2)6f =【点睛】此题考查根据函数奇偶性求函数值和解析式，根据函数解析式及奇偶性画出函数图象，根据图象或单调性求某一区间的最值，考查函数的综合应用.21.函数2()223f x x ax =-+在区间[－1,1]上的最小值记为()g a ．(1) 求()g a 的函数解析式；(2) 求()g a 的最大值．【答案】（1）g(a)＝2252{3222522.a a a a a a <≤≤>＋（－），－（－），－（）（2）g(a)max ＝3 【解析】(1)①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x ＝2a <－1，则g(a)＝f(－1)＝2a ＋5；②当－2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x ＝2a ∈[－1，1]，则g(a)＝f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3－22a ；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x ＝2a >1，则g(a)＝f(1)＝5－2a. 综上所述，g(a)＝2252{3222522.a a a a a a <≤≤>＋（－），－（－），－（） (2)①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1. 由①②③可得g(a)max ＝3.22.已知2()1x a f x x bx +=++是定义在[]1,1-上的奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2判断并证明()f x 的单调性；()3解不等式：()()10f x f x --<【答案】（1）()21x f x x =+（2）函数()f x 在[]1,1-上为增函数．证明见解析（3）102x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质()()f x f x -=-，列出方程求出a 、b 的值，代入解析式；（2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论．（3）根据函数的单调性即可得到关于x 的不等式组，解得即可．【详解】解：()()211x a f x x bx +=++是定义在[]1,1-上的奇函数， ()00f ∴=，即00,0001a a +=∴=++． 又()()()21111,,0,221x f f b f x b b x --=-∴=-∴=∴=-++． ()2函数()f x 在[]1,1-上为增函数． 证明如下，任取121211,11x x x x -≤<≤∴-≤<≤，121211,10x x x x -<<∴->()()()()()()1212121222221212101111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=<++++ ()()12f x f x ∴<()f x ∴为[]1,1-上的增函数．()()()310f x f x --<，即()()1f x f x <-，111111x x x x -≤≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102x ≤<， ∴解集为：102x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ 【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论． ()1根据奇函数的性质()()f x f x -=-，列出方程求出,a b 的值，代入解析式； ()2先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论;()3根据函数的单调性即可得到关于x 的不等式组，解得即可．。
江苏省苏州市高一上学期数学10月月考试卷
江苏省苏州市高一上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·衡阳期中) 已知命题p：，命题q：，则q是p成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则=（）A .B .C . -D . -3. （2分）已知集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={x|0＜|x|≤2，x∈Z}则下列结论正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·成都期中) 已知集合M={x∈N|x2-1=0}，则有（）A .B .C .D . 0，5. （2分） (2019高一上·杭州期中) 已知幂函数的图象过点，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·金山期中) 下列说法中，正确的是（）A . 命题“若am2＜bm2 ，则a＜b”的逆命题是真命题B . 命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”C . 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D . 已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件7. （2分） (2016高三上·巨野期中) 已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域（）A .B . [﹣1，4]C . [﹣5，5]D . [﹣3，7]8. （2分）若方程在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一上·林口期中) 下列图象中不能作为函数图象的是（）A .B .C .D .10. （2分）已知角α的终边过点P（﹣8sin390°，﹣6m），且，则m为（）A . ﹣B .C . ±D .11. （2分） (2017高一上·马山月考) 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为，则（）A .B .C .D . 112. （2分）(2017·济南模拟) 函数f（x）=axm（1﹣2x）n（a＞0）在区间[0， ]上的图象如图所示，则m、n的值可能是（）A . m=1，n=1B . m=1，n=2C . m=2，n=3D . m=3，n=1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·聊城期中) 已知复数，，且，则________．14. （1分） (2016高一上·锡山期中) 集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a 的最大值为________15. （1分）五人随机站成一排，则甲、乙不同时站两端的概率是________（用数字作答）16. （1分）(2020·宝山模拟) 已知方程（）的两个虚根为、，若，则 ________三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2018高一上·唐山月考) 设集合，或．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．18. （5分） (2017高一上·马山月考) 计算： .19. （5分）已知命题p：不等式a2﹣5a﹣3≥3恒成立，命题q：不等式x2+ax+2＜0有解；若p为真命题，q 为假命题，求a的取值范围．20. （5分）用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非负奇数组成的集合；②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；③所有周长等于10cm的三角形组成的集合；④方程x2+x+1=0的实数根组成的集合．21. （10分） (2018高三上·南阳期末) 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：① ．② ．③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望．22. （10分）(2020·新沂模拟) 如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省苏州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
江苏省苏州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知命题{}2|:32,360p x x x x x ∀∈-<<-<，则p ⌝是（ ）A ．{}232,3|60x x x x x ∀∈-<<-≥B ．{}232,3|60x x x x x ∃∈-<<-≥C ．{}232,3|60x x x x x ∀∉-<<-<D ．{}232,3|60x x x x x ∃∈-<<-<2．已知0m n <<，则下列不等式成立的是（ ）A ．n m m n >B ．2mn n <C ．11n m <D ．2m n > 3．已知,a b 为实数，则“1a b >>”是“()()110a b -->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和()b a b <，其全程的平均时速为v ，则（ ）A ．a v <<B 2a b v +<C ．2a b v +<<D v b < 5．已知命题{}|:12p x x x ∀∈≤≤，都有20x a -≥，命题:q 存在2000,220x x ax a ∈++-=R ，若p 与q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|2a a ≤-B ．{}|1a a ≤C ．{}2|1a a a ≤-=或D ．{}1|21a a a -<<>或6．已知集合{}()(){}221,2,|20A B x x ax x x b ==+++=，且()R A B ⋂=∅ð，则集合B 的子集个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．若{},,M x x b a b ==∈∈Z Z ∣，则下列结论中正确结论的个数为（ ）M ； ②M ⊆Z ；③若12,x x M ∈，则12x x M +∈；④若12,x x M ∈且20x ≠，则12x M x ∈； ⑤存在x M ∈且x ∉Z ，满足2022x M -∈.A ．2B ．3C ．4D ．5 8．关于x 的不等式()221ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．33,11,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．3443,,2332⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．33,11,22⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．3443,,2332⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题9．设{}2540A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B A =U ，则实数a 的值可以是（ ） A ．0 B ．14 C ．4 D ．110．若关于x 的不等式()2020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}|13x x -≤≤，则32a b c ++的值可以是（ ）A ．12B ．32C ．2D ．411．对任意,A B ⊆R ，记{},A B xx A Bx A B ⊕=∈⋃∉⋂，并称A B ⊕为集合,A B 的对称差．例如：若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则{}1,4A B ⊕=．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若,AB ⊆R 且A B B ⊕=，则A =∅B ．若,A B ⊆R 且A B ⊕=∅，则A B =C ．若,A B ⊆R 且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在,A B ⊆R ，使得A B A B ⊕≠⊕R R 痧三、填空题12．已知集合{},A m m =，若2A ∈，则m =．13．已知12,34a b a b ≤-≤≤+≤则93a b +的取值范围为．14．定义集合{|}P x a x b =≤≤的“长度”是b a -，其中a ，b ∈R ．已如集合1{|}2M x m x m =≤≤+，3{|}5N x n x n =-≤≤，且M ，N 都是集合{|12}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是；若65m =，集合M N ⋃的“长度”大于35，则n 的取值范围是.四、解答题15．求下列不等式的解集： (1)503x x ->+ (2)2223712x x x x +-≥-- (3)212x x -->．16．已知集合{}28150A x x x =++≤，{}3222B x m x m =-<<+. (1)若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围；(2)若将题干中的集合B 改为{}2132B x m x m =+≤≤-，是否有可能使命题p ：“x A ∀∈，都有x B ∈”为真命题，请说明理由.17．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S 平方米．（Ⅰ）试用x 表示S ．（Ⅱ）当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．18．已知函数()()2111y m x m x m =+--+-的图象为C ．(1)若图象C 恒在直线1y =下方（不包括直线1y =），求m 的取值范围；(2)求图象C 在直线()1y m x =+上以及直线上方的点的横坐标x 的取值范围（用m 表示）；(3)当自变量x 满足1122x -≤≤时，函数值0y ≥恒成立，求m 的取值范围． 19．已知集合{}12,,,n A x x x =L ，*N n ∈，3n ≥，若x A ∈，y A Î，x y A +∈或x y A -∈，则称集合A 具有“包容”性．(1)判断集合{}1,1,2,3-和集合{}1,0,1,2-是否具有“包容”性；(2)若集合{}1,,B a b =具有“包容”性，求22a b +的值；(3)若集合C 具有“包容”性，且集合C 的子集有64个，1C ∈，试确定集合C ．。
2021-2022学年江苏省苏州实验中学科技城校区高一(上)月考数学试卷(10月份)(附详解)
2021-2022学年江苏省苏州实验中学科技城校区高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 函数f(x)=√x +√4−x 2的定义域为( ) A. [−2,0)∪(0,2] B. [0,2] C. [−2,2] D. (0,2]2. 已知函数f(x)={x 2+2,x <12x +a 2,x ≥1，若f(f(0))=4a ，则实数a =( ) A. 12 B. 45 C. 2 D. 93. 与函数y =2x 表示同一函数是( )A. y =2(√x)2B. u =2√v 33C. y =2√x 2D. m =2n2n 4. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x]称为高斯函数．例如：[0.5]=0，[1.4]=1，已知函数f(x)=x −[x]，则下列选项中，正确的是( )A. f(x)区间[0,2]上的值域为[0,1)B. f(x)区间[0,2]上的值域为[0,1]C. f(x)区间[0,2]上的值域为(0,1]D. f(x)区间[0,2]上的值域为(0,1)5. “x 2+y 2≥4”是“x ≥2且y ≥2”的( )条件．A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要6. 若“∀x ∈[1,2]，x 2−ax +1≤0”为真命题，则实数a 的取值范围为( )A. a ≥2B. a ≥52C. a ≤52D. a ≤17. 已知集合A ={1,3,a}，B ={1,a +1}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 38. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买20g 黄金，售货员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g 砝码放在天平的右盘中，再取出一些黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客购得的黄金的重量满足( )A. 小于20gB. 等于20gC. 大于20gD. 无法确定二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列不等式中正确的是()A. 已知a<b，则有a<a+b2<bB. 已知a<b<0，c>d>0，m>0，则ma−c <mb−dC. 已知a>b>0，则ac2>bc2D. 已知a>0，b>0，则2aba+b≤√ab10.已知函数f(x)=2x−1，x∈[−2,2]，g(x)=x2+2x，x∈[−3,0]，则下列结论正确的是()A. ∀x∈[−2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,−5)B. ∃x∈[−2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,3)C. ∀x∈[−2,2]，∃t∈[−3,0]，f(x)=g(t)D. ∃x∈[−3,0]，g(x)=a，则实数a的取值范围是[−1,3]11.下列命题正确的是()A. 符号f(x)表示x对应的函数值B. 两个函数定义域相同、值域相同，则这两个函数相同C. “a=0”是“ab=0”的充分不必要条件D. “∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”12.江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有()A. 同时参加径赛和球类比赛的人数有3人B. 只参加球类一项比赛的人数有2人C. 只参加径赛一项比赛的人数为0人D. 只参加田赛一项比赛的人数为3人三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.写出一个值域为[1,+∞)且对称轴为x=1的f(x)=______．14.已知正实数a，b满足a+b=2，则2a +4ab的最小值是______．15.若“x2−x−6≤0”是“|x−1|≤m(m>0)”的必要不充分条件，则正实数m的取值范围是______．16. 设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a,b]上的两个函数，若函数y =f(x)−g(x)在x ∈[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“集团关联函数”，区间[a,b]称为“集团关联区间”.若f(x)=x 2−2x +m 与g(x)=−x 2−x −m 在[0,3]上是“集团关联函数”，则m 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)={4x −x 2,x ≥01+2x x−1,x <0． (1)求f(x)的零点；(2)求f(x)≥−12的解集．18. 在①A ∩B =A ；②“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件；③A ∩B =⌀这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A ={x|2m −1<x <2m +1}，B ={x|−2<x <4}．(1)当m =−1时，求A ∪B ；(2)若______，求实数m 的取值范围．19. 已知关于x 的不等式ax 2−4x +3>0的解集为(−∞,1)∪(b,+∞)，其中b >1．(1)求a ，b 的值；(2)当x >0，y >0，且满足a x +b y =1时，有2x +y ≥k 2+k +3+2√6恒成立，求k的取值范围．20.如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y(单位：元)，AD长为x(单位：m)．(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值．21.已知函数f(x)=x2−2x，g(x)=a|x−2|，F(x)=f(x)+g(x)．(1)a=2，求F(x)在x∈[0,3]上的值域；(2)a>2，求F(x)在x∈[0,3]上的值域．22.已知函数f(x)=√2mx2+x+1．(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)在[1,2]上有意义，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：使得函数f(x)=√x √4−x 2的表达式有意义，则x >0且4−x 2≥0，解得x ∈(0,2]．故选：D ．根据使得函数f(x)=√x √4−x 2的表达式有意义可解决此题．本题考查函数定义域求法，考查数学运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)={x 2+2,x <12x +a 2,x ≥1， f(0)=2，则f(f(0))=f(2)=4+a 2=4a ，变形可得：(a −2)2=0，解可得：a =2；故选：C ．根据题意，由函数的解析式可得f(f(0))=f(2)=4+a 2=4a ，变形解可得答案． 本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A ，函数y =2(√x)2=2x(x ≥0)，与函数y =2x(x ∈R)的定义域不同，不是同一函数；对于B ，函数u =2√v33=2v(v ∈R)，与函数y =2x(x ∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C ，函数y =2√x 2=2|x|(x ∈R)，与函数y =2x(x ∈R)的定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数；对于D ，函数m =2n 2n =2n(n ≠0)，与函数y =2x(x ∈R)的定义域不相同，不是同一函数．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同的函数．本题考查了判断两个函数的是否为同一函数的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由高斯函数的定义可得：当0≤x<1时，[x]=0，则x−[x]=x，当1≤x<2时，[x]=1，则x−[x]=x−1，当2≤x<3时，[x]=2，则x−[x]=x−2，当3≤x<4时，[x]=3，则x−[x]=x−3，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，所以f(x)在R上的值域为[0,1)，所以f(x)在[0,2]的值域也为[0,1)，故选：A．先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可．本题考查了分段函数的图象，画出图象是解答本类题的关键，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：①当x=4，y=0时，满足x2+y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，∴充分性不成立，②当x≥2且y≥2时，x2+y2≥4成立，∴必要性成立，∴x2+y2≥4是x≥2且y≥2的必要不充分条件，故选：A．利用举反例判断充分性，利用不等式的性质判断必要性即可．本题考查了充要条件的判定，不等式的性质，属于基础题．【解析】解：∵∀x ∈[1,2]，x 2−ax +1≤0为真命题，∴a ≥(x +1x)max ，x ∈[1,2]， ∵y =x +1x 在区间[1,2]上单调递增，∴(x +1x )max =2+12=52，即a ≥52， ∴实数a 的取值范围为[52,+∞)．故选：B ．利用参数分离法得到a ≥(x +1x )max ，x ∈[1,2]，再求出y =x +1x 在[1,2]上的最值即可．本题主要考查全称命题的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键． 7.【答案】C【解析】解：由A ={1,3,a}，B ={1,a +1}，B ⊆A ，可得a +1=3或a +1=a ，解得a =2，故选：C ．根据集合的包含关系，得到关于a 的方程，再求出a 的值即可．本题考查了集合间的包含关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设天平左臂长为x 1，右臂长为x 2，且x 1≠x 2，左盘放的黄金为a 1克，右盘放的黄金为a 2克，∴{10x 1=a 2x 2a 1x 1=10x 2， ∴{a 1=10x 2x 1a 2=10x 1x 2，∴a 1+a 2=10x 2x 1+10x 1x 2>2×10=20，故选：C ． 根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出．本题考查了合情推理，基本不等式的应用，学生的数学运算能力，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：对于A，因为a<b，则2a<a+b，所以a<a+b2，因为a<b，则a+b<2b，所以a+b2<b，则a<a+b2<b，故选项A正确；对于B，取a=−2，b=−1，c=4，d=2，m=1，则1−2−4>1−1−2，所以ma−c>mb−d，故选项B错误；对于C，当c=0时，ac2=bc2，故选项C错误；对于D，因为a>0，b>0，则2aba+b ≤2√ab=√ab，当且仅当a=b时取等号，所以2aba+b≤√ab，故选项D正确．故选：AD．利用不等式的性质，即可判断选项A，利用特殊值即可判断选项B，C，利用基本不等式，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：f(x)=2x−1，x∈[−2,2]，g(x)=x2+2x，x∈[−3,0]，对于A，∵f(x)=2x−1在区间[−2,2]上单调递增，∴∀x∈[−2,2]，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min=f(−2)=−5，则实数a的取值范围是(−∞,−5)，故A正确；对于B，∃x∈[−2,2]，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)max=f(2)=3，则实数a的取值范围是(−∞,3)，故B正确；对于C，若∀x∈[−2,2]，∃t∈[−3,0]，f(x)=g(t)，则f(x)的值域为g(x)的值域的子集，∵当x∈[−2,2]时，f(x)=2x−1∈[−5,3]；当t∈[−3,0]时，g(t)=t2+2t=(t+1)2−1∈[−1,3]，[−5,3]⊈[−1,3]，故C错误；对于D，若∃x∈[−3,0]，g(x)=a，则实数a的取值范围为g(x)的值域，由C知，g(x)∈[−1,3]，所以实数a的取值范围是[−1,3]，故D正确；故选：ABD．由f(x)=2x−1，x∈[−2,2]，g(x)=x2+2x，x∈[−3,0]，可分别求得f(x)与g(x)的值域，依题意，对四个选项逐一分析可得答案．本题考查了函数恒成立问题，考查了转化与化归思想以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．11.【答案】ACD【解析】解：符号f(x)表示x对应的函数值，满足函数的定义，所以A正确；两个函数定义域相同、值域相同，则这两个函数相同，不正确，反例f(x)=|x|与f(x)=x2，满足条件，但是不是相同函数．所以B不正确；“a=0”说明“ab=0”反之不成立，所以“a=0”是“ab=0”的充分不必要条件，所以C正确；“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，满足命题的否定形式，所以D正确；故选：ACD．利用函数的定义判断A；反例判断B；充要条件判断C；命题的否定判断D．本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定，函数的定义的应用，是基础题．12.【答案】CD【解析】解：设全班同学组成全集U，参加田赛的同学组成集合A，参加径赛的同学组成集合B，参加球类比赛的同学组成集合C，设同时参加径赛和球类比赛的人数为x，根据题意，画出韦恩图如图所示，则3+8+9+x+(13−8−x)+(19−9−x)=30，解得x=5，所以同时参加径赛和球类比赛的人数有5人，只参加球类一项比赛的人数有5人，只参加径赛一项比赛的人数为0人，只参加田赛一项比赛的人数为3人．故选：CD．设同时参加径赛和球类比赛的人数为x，利用韦恩图求解x的值，再逐一选项判断即可．本题主要考查了韦恩图表达集合的关系及运算，考查运算求解能力，属于基础题．13.【答案】x2−2x+2【解析】解：∵函数值域为[1,+∞)且对称轴为x=1，∴f(x)=(x−1)2+1，化简得：f(x)=x2−2x+2．故答案为：x2−2x+2．根据值域和对称轴可以写出函数(答案不唯一)．此题属于开放性问题，答案不唯一，关键点在于值域和对称轴，属于易做题．14.【答案】3+2√2【解析】解：因为a>0，b>0，且a+b=2，所以2a +4ab=a+ba+2(a+b)ab=1+ba+2b+2a=1+ba +a+bb+a+ba=3+2ba+ab≥3+2√2ba ⋅ab=3+2√2，当且仅当2ba =ab，即a=√2b=2√2−2时取“=”，所以2a +4ab 的最小值是3+2√2． 故答案为：3+2√2． 根据题意，可得2a +4ab =a+b a+2(a+b)ab，再利用基本不等式求出2a +4ab 的最小值．本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.【答案】[−1,2]【解析】解：x 2−x −6≤0⇔−2≤x ≤3， |x −1|≤m(m >0)⇔1−m ≤x ≤1+m ，若“x 2−x −6≤0”是“|x −1|≤m(m >0)”的必要不充分条件， 可得[m −1,m +1]⊊[−2,3]，可得{m −1≥−2m +1≤3(其中等号不同时取得)， 解得−1≤m ≤2， 则m 的取值范围是[−1,2]． 故答案为：[−1,2]．由绝对值不等式和二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，结合集合的包含关系，解不等式，可得所求范围．本题考查充分必要条件的判断和不等式的解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．16.【答案】[0,116)【解析】解：因为f(x)=x 2−2x +m ，g(x)=−x 2−x −m ，所以y =f(x)−g(x)=(x 2−2x +m)−(−x 2−x −m)=2x 2−x +2m ， 由题意可知函数y =f(x)−g(x)在x ∈[0,3]上有两个不同的零点，即2x 2−x +2m =0在[0,3]上有两个不同的根，也即y =2x 2−x 与y =−2m 在[0,3]上有两个不同的交点，作出y =2x 2−x ，x ∈[0,3]的图象，当x =14时，y =−18，由图象可知，−18<−2m ≤0， 解得0≤m <116， 故答案为：[0,116).表示出y =f(x)−g(x)的解析式，由题意可知函数在x ∈[0,3]上有两个不同的零点，转化为y =2x 2−x 与y =−2m 在[0,3]上有两个不同的交点，画出图形可得m 的取值范围． 本题考查了“集团关联函数“的定义，函数零点的求法以及数形结合的思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)函数f(x)={4x −x 2,x ≥01+2xx−1,x <0， 当x ≥0时，令f(x)=0，则4x −x 2=0，解得x =0或x =4； 当x >0时，令f(x)=0，则1+2xx−1=0，解得x =−12． 综上所述，f(x)的零点为−12,0,4；(2)当x ≥0时，则f(x)≥−12，即4x −x 2≥−12，解得−2≤x ≤6，所以0≤x ≤6； 当x >0时，则f(x)≥−12，即1+2xx−1≥−12，解得x ≤1114，所以x <0． 综上所述，不等式的解集为(−∞,6]．【解析】(1)利用函数零点的定义，分x ≥0和x <0两种情况，求解方程，即可得到答案；(2)分x ≥0和x <0两种情况，分别利用一元二次不等式以及分式不等式的解法求解即可．本题考查了分段函数的应用，函数零点定义的理解与应用，函数与不等式的应用，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或是数形结合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)当m =−1，A ={x|−3<x <−1}，则A ∪B ={x|−3<x <4}， (2)选择①∵A ∩B =A ，∴A ⊆B ， ∴{2m +1≤42m −1≥−2，解得−12≤m ≤32，故m 的取值范围为[−12,32]；选择②x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件， ∴B ⊊A ， ∴{2m +1≥42m −1<−2或{2m +1<42m −1≥−2，此时m 为空集； 故m 的范围为⌀； 选择③∵A ∩B =⌀， ∴2m −1≥4或2m +1≤−2， 解得m ≥52或m ≤−32，故m 的范围为{m|m ≥52或m ≤−32}.【解析】(1)根据集合的基本运算即可求解．(2)根据题意，建立条件关系即可求出实数a 的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，充分必要条件的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为关于x 的不等式ax 2−4x +3>0的解集为(−∞,1)∪(b,+∞)， 所以方程ax 2−4x +3=0的两根为1和b ， 将x =1代入得a =1，将x =b 代入得b 2−4b +3=0，解得b =3或b =1(舍去)，从而a =1，b =3；(2)因为1x +3y =1，所以2x +y =(2x +y)(1x +3y )=5+yx +6x y≥5+2√y x ⋅6x y=5+2√6，当且仅当yx =6x y时，等号成立，因为2x +y ≥k 2+k +3+2√6恒成立，所以5+2√6≥k 2+k +3+2√6，即k 2+k −2≤0，解得−2≤k ≤1， 所以k 的取值范围是k ∈[−2,1]．【解析】(1)依题意，得ax 2−4x +3=0的两根为1和b ，分别将1和b 代入，解之即可； (2)利用“乘1法”，可求得2x +y 的最小值为5+2√6，解不等式5+2√6≥k 2+k +3+2√6，可得k 的取值范围．本题考查了函数恒成立问题，考查了转化与化归思想以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得，矩形AMQD 的面积为400−x 24，因此AM =400−x24x， ∵AM >0， ∴0<x <20．(2)y =8400x 2+420×(400−x 2)+160×4×12×(400−x 24x)2=8000x 2+3200000x 2+152000，0<x <20， 由基本不等式y ≥2√8000x 2×3200000x 2+152000=472000，当且仅当8000x 2=3200000x 2，即x =2√5时，等号成立，故当x =2√5时，总造价y 最小，最小值为472000元．【解析】(1)根据已知条件，结合矩形的面积公式，以及AM >0，即可求解． (2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．21.【答案】解：(1)当a =2时，F(x)=x 2−2x +2|x −2|={x 2−4x +4,(0≤x ≤2)x 2−4,(2<x ≤3)， 当0≤x ≤2时，F(x)=x 2−4x +4=(x −2)2，则值域为[0,4]；当2<x ≤3时，F(x)=x 2−4，则值域为(0,5]；∴F(x)的值域为[0,5]． (2)当a >2时，F(x)={x 2−(a +2)x +2a,(0≤x ≤2)x 2+(a −2)x −2a,(2<x ≤3)， 当0≤x ≤2时，F(x)=x 2−(a +2)x +2a ，对称轴为x =a+22≥2，所以值域为[0,2a]； 当2<x ≤3时，F(x)=x 2+(a −2)x −2a ，对称轴为x =2−a 2<0，所以值域为[0,a +3]；∴当2<a <3时，F(x)的值域为[0,a +3]；当a ≥3时，F(x)的值域为[0,2a]．【解析】(1)求出F(x)的解析式，再结合图象可求出值域． (2)求出F(x)的解析式，分0≤x ≤2和2<x ≤3讨论．本题考查了分段函数的值域，利用图象是解答本类题的关键，属于中档题．22.【答案】解：(1)根据题意得：2mx 2+x +1≥0在R 上恒成立，当m =0时，x ≥−1不满足题意，当m ≠0时，有{m >0△=1−8m ≤0，解得m ≥18．综上，m 的取值范围是[18,+∞)；(2)根据题意得2mx 2+x +1≥0在[1,2]上恒成立， 令f(x)=2mx 2+x +1，当m =0时，f(x)=x +1满足题意；当m <0时，{2m +1+1≥08m +2+1≥0，解得−38≤m <0满足题意；当m >0时，∵对称轴x =−14m <0且f(0)=1，同时f(1)=2m +1+1>0， 此时满足2mx 2+x +1≥0在[1,2]上恒成立，∴m >0满足题意． 综上，m 的取值范围是[−38,+∞)．【解析】(1)问题转化为2mx 2+x +1≥0在R 上恒成立可解决此问题； (2)问题转化为2mx 2+x +1≥0在[1,2]上恒成立可解决此问题． 本题考查函数定义域、恒成立问题，考查数学运算能力，属于中档题．。
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苏州新区实验中学数学高一上10月份月考试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.设{}(,)23A x y y x ==-，{}(,)2B x y y x ==-，则A B =____________.
2.
函数()f x =_____________. 3.函数()23f x x =+，()35g x x =-，则()()2f g =______________.
4.已知集合使{}
1A x x =>-，[),B a =+∞，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是____________.
5.若函数2(2)61f x x =+为偶函数，则函数()f x 的解析式为_______________.
6.函数1()1
x f x x -=+的单调增区间是__________________. 7.函数221()1
x f x x -=+的值域是___________-. 8.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A
B =，()(){1,9}U U
C A C B =，(){4,6,8}U C A B =，则
集合A =______________.
9.函数|2||2|y x x =--+的图像关于______________对称. 10.函数()2214112x ax x f x a x x ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
，若()f x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是_______________.
11.建造一个容积为163m ，深2m 为的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为250元/3m 和100元/3m ，设水池底面一边的长为()x m ，为使总造价不超过5600元，则x 的最大值为____________.
12.对于定义在R 上函数()f x ，有以下四个命题：
（1）直线x a =与()y f x =的图像的公共点个数一定为1；
（2）若()f x 在区间(],1-∞上单调增函数，在()1,+∞上也是单调增函数，则函数()f x 在R 上一定是单调增函数；
（3）若()f x 为奇函数，则一定有()00f =；
（4）若()()11f f -≠，则函数()f x 一定不是偶函数.
其中正确的命题序号是_________________.（请写出所有正确命题的序号）
13.设非空集合A Z ⊆，从A 到Z 的两个函数分别为2()21f x x x =++，2
()34g x x x =++，若对于A 中的任意一个x ，都有()()f x g x ≤，则满足要求的集合A 有________________. 14.设函数2|1|202()122
x x f x x x x -+≤≤⎧⎪=-⎨>⎪-⎩，若互不相同的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的取值范围是_______________.
二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本大题14分）设全集为R ，集合{}36A x x x =-≥或，{}27B x x =<<.
（1）求A B ，()U C A B ；
（2）设{}|332C x m x m =-≤≤-时，若B C ⊆，求实数m 的取值范围.
16.（本大题14分）若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且()0,x ∈+∞时，2
()21f x x x =--. （1）求()f x 的表达式；
（2）若(){}
2A x Z f x =∈≤，求集合A .
17.（本大题14分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是12,y y 万元，它们与投入资金x
万元的关系分别为
1y a =，2y bx =，
（其中,,m a b 都为常数），函数12,y y 对应的曲线12,C C 如图所示. （1）求函数12,y y 的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商品所获利润的最大值.
18.（本大题16分）已知3
()51f x x x =++
（1）求(2019)(2018)(2017)(2017)(2018)(2019)f f f f f f -+-+-+++的值；
（2）用单调性定义证明()f x 在R 上单调递增；
（3）解关于x 的不等式：()150f x ++>.。