(完整版)有关圆的经典练习题及答案

圆的经典练习题及答案
一、填空题
1. （2011浙江省舟山，15 , 4分）如图，
AB 是半圆直径，半径0C丄AB于点O, AD平分/ CAB交弧BC于点D,连结CD、0D，给出以下四个结论：① AC// 0D :②CE 0E ;
③厶0DE ADO :④2CD2CE AB •其中正确结论的序号是___________________ .
【答案】①④
2. （2011安徽，13, 5分）如图，O 0的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E,且AB=CD , 已知
CE=1 , ED=3，则O 0的半径是 ______________________ •
4. （2011山东日照，14, 4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正
5. （2011山东泰安，23 , 3分）如图，FA与O 0相切，切点为A, P0交O 0于点C,点B是优弧
CBA上一点，若/ ABC==32°,则/ F的度数为 ____________________________ 。

方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的元二次方程是
（第16题）
【答
,贝ACD=
x+1=0
【答案】26°
6.（2011山东威海，15,3分）如图，O O的直径A B与弦C D相交于点E，若
【答案】（—2，—1）
8. （2011浙江杭州,14 , 4 ）女口图，点A , B , C , D都在O O上，
的度数等于84° CA是/ OCD的平分线，则/ ABD 十/ CAO= ________ °
【答案】53°
9. （2011浙江温州，14, 5分）如图，AB是O O的直径，点C, D都在O O上，连结CA,
D=30 ° BC= 3，贝U AB 的长是.
10. （2011浙江省嘉兴，16, 5分）如图，AB是半圆直径，半径OC丄AB于点O, AD平分 /
CAB分别交OC于点E,交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：① S^
2 AEC=2S^DEO ；②AC=2CD ;③线段OD是DE与DA的比例中项；④2CD CE AB .其
的度数等于84° CA是/ OCD的平分中正确结论的序号是_________ .
2
【答案】①④ 11. （2011福建泉州，16, 4分）已知三角形的三边长分别为 3, 4, 5,则它的边与半径为
1的圆的公共点个数所有可能的情况是 ______________________ .（写出符合的一种情况即 可）
【答案】2 （符合答案即可）
12. （2011甘肃兰州，16,4分）如图，0B 是O O 的半径，点C 、D 在O O 上，/ DCB=27 贝OBD=
_________ 度。

14. （2011江苏连云港，15,3分）如图，点D 为边AC 上一点，点0为边AB 上一点，AD=DO. 以0为圆心，0D 长为半径作半圆，交AC 于另一点E,交AB 于点F ,G ，连接EF.若/ BAC=22o, 则/ EFG= ________ .
13. （2011湖南常德, 7, 3分）如图2，已知O 0是厶ABC 的外接圆，且/ C =70 °贝
（第 16 题）
B
【答案】63
OAB = _________
B
15. （2011四川广安，19, 3分）如图3所示，若O O的半径为13cm，点p是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为 5 cm,则弦AB的长为___________ cm
B
16. ( 2011 重庆江津，16 , 4分）已知如图，在圆内接四边形ABCD中, / B=30o,则/ D=-
【答案】150°
17. （2011重庆綦江，13,4分）如图，已知AB为O O的直径，/ CAB= 30。

，则/ D = _______
【答案】：60°
18. （2011江西南昌，13, 3分）如图，在△ ABC中，点P是厶ABC的内心，则/ PBC+ /
19. （2011江苏南京，13, 2分）如图，海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形
（弓形的弧是O O的一部分）区域内，/ AOB=80，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角/ APB的最大值为________ °
A （第13题）B
【答案】40
20. （2011上海，17, 4分）如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM 丄AB , ON 丄AC ,垂足分别 为M 、N ，如果 MN = 3，那么BC = ______________ .
【答案】6
2011江苏无锡，18, 2分）如图，以原点 O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴
于点 C , D 为第一象限内O O 上的一点，若/ DAB = 20°,则/ OCD =
【答案】65
22. （2011湖北黄石，14, 3分）如图（5）, △ ABC 内接于圆O ,若/ B = 30°.AC = W‘3，则
O O 的直径为 ________________________ 。

【答案】2 .、3
23. （2011湖南衡阳，16, 3分）如图，O O 的直径CD 过弦EF 的中点G ,/ EOD=40°, 则/ FCD 的度数为 _______ .
21.
【答案】20
24. （2011湖南永州，8,3分）如图，在O O中，直径CD垂直弦AB于点E,连接OB,CB , 已知O O的半径为2，AB= 243,则/ BCD= ________________ 度.
（第8 题）
【答案】30
25. （20011江苏镇江,15,2分）如图,DE是O O的直径,弦AB丄DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC= ,CD= .
答案：4, 9
26. （2011内蒙古乌兰察布，14,4分）如图，BE是半径为6的O D的-圆周，C点是B E
4
上的任意一点，△ ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是_______________
【答案】27
28. (2011湖北荆州，12, 4分)如图，O O 是厶ABC 的外接圆，CD 是直径，/ B = 40°, 则/ ACD
的度数是
第14题图
【答案】18 p 18 27. (2011 河北,16, 在AB 的延长线上, 6
3分)如图7,点0为优弧 ACB 所在圆的圆心，/ AOC=108，点 D
BD=BC 贝D=__°.
【答案】50°
二、选择题
1. (2011浙江省舟山, 的弦心距为(
(A ) 6 6, 3分)如图，半径为10的O 0中，弦AB 的长为16,则这条弦
) (B ) 8 (C ) 10 (D) 12
10 , 3分）如图，O O 的弦AB 垂直平分半径 OC ,若AB=，则O O
）
2. （2011 安
徽, 7, 4分）如图，O O 的半径是1 , A 、B 、C 是圆周上的三点，/ BAC=36 ° ）
【答案】B
3. （2011福建福州，9, 4分）如图2,以O 为圆心的两个同心圆中 ,大圆的弦AB 切小圆于
点C,若 AOB 120°,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（
B . R 3r
C . R 2r 【答案】C
4. （2011山东泰
安, 【答案】A
A. B.2 C. D.
【答案】A
5. （2011四川南充市，9, 3分）在圆柱形油槽内装有一些油。

截面如图，油面宽AB为6 分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径
MN 为（）
（A）6分米（B）8分米(C) 10分米（D）12分米
1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB
ACB 45，则这个人工湖的直径AD为（）
B.100 2m
C.150-2m
D. 200 2m
【答案】B （第8题）
7. （2011浙江绍兴，4, 4分）如图，AB为e O的直径，点C在e O上，若则
BOC的度数是（
A. 74
C 16 ,
)
B. 48
C. 32
D. 16
【答案】C
6. （2011浙江衢州，
长100m，测得圆周角
A. 50 2m
C
O
（第5题
图）
【答案】C
8. （2011浙江绍兴，6,4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径0B 10 , 截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）
OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把度OE=8个
单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）
10个单位C.4 个单位D. 15个单位
0点靠在圆周上，读得刻
B.
10. （2011四川重庆，
6,
等于（）
4分）如图，O O是厶ABC的外接圆，/ OCB = 40。

则/ A的度数
B
.
50
°
C.
40
°
D.
30
°
11. （2011浙江省嘉
兴，
的弦心距为（
）
（A） 6
6, 4分）如图，半径为10的O O中，弦AB的长为16,则这条弦
(B) 8 (C) 10 (D) 12
【答案】A
12.
（2011台湾台北，16）如图（六），BD 为圆0的直径,
【答案】C
13. （ 2011台湾全区，24）如图（六），△ ABC
12: 13: 11.
自BC 上取一点D ，过D 分别作直线AC 、直线 AB 的并行线，且交BC 于E 、F 两点，则/
EDF 的度数
为何？
A . 55
B . 60
C . 65
D . 70
【答案】C
14. （2011甘肃兰州，12, 4分）如图，O O 过点B 、C ,圆心O 在等腰Rt △ ABC 的内部, / BAC=90 ° , OA=1 , BC=6。

则O O 的半径为
A . 6
B . 13
C . 、13
D . 2 13
两点在圆上， AC 平分/ BAD 且交BD 于F 点。

若/ ADE = 19，则/ AFB 的度
C . 116
D . 142
直线ED 为圆0的切线，A 、C 的外接圆上, AB 、BC 、CA 三弧的度数比为
.1
供）
15. (2011四川成都,7,3
则/ BCD= ( B )
(A)116 °(B)32
D
分）如图，若AB是O 0的直径，CD是O O的弦, ABD=58
(C)58 (D)64
°
A B
O
C
【答案】B
16. （2011
径OC为2，则弦BC的长为
四川内江，9, 3分）如图，O O是厶ABC的外接圆，/ BAC=60 °，若O O的
半
17. （2011江苏南京，6, 2分）如图，在平面直角坐标系中，
O
径为2,函数y=x的图象被O P的弦AB的长为2-.3 ,
2 2 C. 2
3 D. 2
P的圆心是（2,
则a的值是
.3
a) (a>2)，半
18. （2011江苏南通，
8,
O O
的半径等于
A. 8
3分）如图，O O的弦AB= 8,M是AB的中点，且OM = 3,则
B. C. 10 D. 5
19. （2011山东临沂，6, 3分）如图，O O 的直径 CD = 5cm , AB 是O O 的弦，AB 丄CD , 垂足为M , OM OD = 3: 5,贝U AB 的长是（ ）
4cm
cm
【答案】 20. （2011 上海，6, 4 分）矩形 ABCD 中，AB = 8, BC =3AP , （A ） （C ） 【答案】
如果圆P 是以点P 为圆心, 点B 、C 均在圆P 外； 点B 在圆P 内、点C 在圆 C 3襄，点P 在边AB 上, PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ （B ）点B 在圆P 夕卜、点C 在圆P 内； （D ）点B 、C 均在圆P 内. 且BP ). P 外; (3), CD 是O O 的弦，直径 AB 过CD 的中点M ，若/ 22. ( 2011 21. （2011四川乐山6, 3分）如图 60° C .
70°
B 重合，则
四川凉山州，9, 4分）如图, AOB 100o ，点C 在e O 上，且点C 不与A 、
ACB 的度数为（
A . 50o
B . 80o 或 50o
C . 130o
D . 50° 或 130o
【答案】D
23. （2011广东肇庆，7, 3分）如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一
点，若/ BAD = 105 ° ,
的度数为
105° C . 100 ° 95°
【答案】B
24. (2011内蒙古乌兰察布,
CD ，如果 / BOC = 70 0 ,
A . 70 B. 35
9, 3分）如图，AB / A 的度数为（
C. 30
D .
那么 为O
)
20
的直径, CD 为弦，AB 丄
【答案】B
25. （2011重庆市潼南，分）
占 八
C 在O O 上,/ A=30 °,则/ B
A . 15°
B.30
C.45 °
D. 60
则/ DCE 的大小是
B . A . 115D
如图，AB 为O O 的直径, 【答案】D
三、解答题
1. (2011浙江金华，21, 8分)如图，射线PG平分/ EPF , O为射线PG上一点，以0为
圆心，10为半径作O 0,分别与/ EPF两边相交于A、B和C、D，连结0A,此时有0A //
PE.
(1)求证：AP = A0 ;
(2)若弦AB = 12,求tan/ 0PB 的值；
(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、0)构造四边形，则能构成菱形的四个点
为______ ，能构成等腰梯形的四个点为 ________ 或_________ 或 _________ .
证明：(1)v PG平分/ EPF ,
•••/ DP0 = / BP0 ,
•/ 0A//PE ,
•••/ DP0 = / P0A ,
•••/ BP0 = / P0A,
•PA=0A; ……2分
1
解：(2)过点0作0H丄AB于点H，则AH=HB = —AB,……1分
2
0H 1
••• tan/ 0PB= , • PH=20H , ……1 分
PH 2
设0H = x ,贝U PH=2x ,
由(1)可知PA=0A= 10 , • AH=PH -FA=2 X —10 ,
••• AH 2 0H 2 0A2, ••• (2x 10)2 x2 102, ……1 分
解得X1 0 (不合题意，舍去)，X2 8 ,
•AH=6 , • AB=2AH= 12; ……1 分
(3) P、A、0、C; A、B、D、C 或P、A、0、D 或P、C、0、B.……2 分(写对1 个、2 个、3个得1分，写对4个得2分)
2 (2011浙江金华，24, 12分)如图，在平面直角坐标系中，点A (10 , 0),以0A为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB,并延长AB至点D, 使DB = AB,过点D 作x轴垂线，分别交x轴、直线0B于点E、F,点E为垂足，连结CF.
(1)当/ A0B = 30°寸，求弧AB的长；
(2) 当DE = 8时，求线段EF 的长；
(3) 在点B 运动过程中，是否存在以点 E 、C 、F 为顶点的三角形与△ AOB 相似，若存在, 请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由
解：(1)连结BC,
•/ A ( 10, 0) , ••• OA=10 ,CA=5, •••/ AOB=30°,
•••/ ACB=2/ AOB=60° ,
60 5 5
.••弧AB 的长= ------------- 5
—;
……4分
(2)连结OD,
•/ OA 是O C 直径,OBA=90°, 又••• AB=BD,
• OB 是AD 的垂直平分线, • OD=OA=10, 在 Rt △ ODE 中，
; 2 2 ! 2 2 OE= OD DE .10
8 6,
• AE=AO — OE= 10-6=4,
由 / AOB=Z ADE=90° - / OAB ，/ OEF = Z DEA , 得厶 OEFDEA,
(3)设 OE=x ,
① 当交点E 在O , C 之间时，由以点 E 、C 、F 为顶点的三角形与△ AOB 相似， / BOA 或/ ECF=Z OAB ，当/ ECF = Z BOA 时，此时△ OCF 为等腰三角形，点 点，即OE = 5 ,
2
AE
DE
EF EF
OE
• EF=3;
有/ ECF = E 为OC 中
5
,0)
4
•-E i (
, 0)；
2
当/ ECF=/ OAB 时，有 CE=5-x, AE=10-x ,
1
••• CF // AB,有 CF = _AB
2 ，
•/△ ECF s\ EAD, • CE CF 即 U
AE AD '
10 x
• E 2(, o )；
3
② 当交点E 在点C 的右侧时，
•••/ ECF >Z BOA ,
•要使△ ECF 与厶BAO 相
似，只能使/ ECF=Z BAO , 连结BE , •/ BE 为Rt △ ADE 斜边上的中线， • BE=AB=BD, • / BEA=Z BAO, • / BEA=Z ECF,
• CF // BE,
CF BE OC
OE
•••/ ECF=Z BAO, / FEC = Z DEA=Rt Z,
• △ CEF AED,
CF AD CE AE
而 AD=2BE,
OC 2OE 5 x 5 即2 ,解得x i 2x 10 x
CE AE ,
5 5、17 4
X 2
5 17 4
v 0 （舍去），
• E 3 (亠7
2
2
而 AD=2BE,
• OC
2OE CE
AE ,
5 x+5
5 5. 17
解得X ! ,X 2
2x 10+x
4
5 5、17 4
v 0 (舍去)
AOB 相似，此时点E 坐标为:
当a 4, b 4时，-—b 与•- ab 的大小关系是
③ 当交点E 在点0的左侧时，
•••/ BOA=Z EOF >Z ECF .
•••要使△ ECF 与厶BAO 相似，只能使/ ECF=Z BAO
1
连结 BE ,得 BE= —AD =AB ，/ BEA=/BAO
2
•••/ ECF=Z BEA,
• CF // BE, • CF OC
"BE OE ，
又•••/ ECF = Z BAO, • △ CEF AED,
/ FEC=Z DEA =Rt Z, • CE CF AE AD ，
5 5J17
•••点E 在x 轴负半轴上，• E 4 ( 5
, 0)
4
综上所述：存在以点 E 、C 、F 为顶点的三角形与△ 0)、E 4
x
•探究证明
如图所示， ABC 为圆0的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD AB 于D ，设AD a , BD = b . (1) 分别用a, b 表示线段OC , CD ； (2) 探求0C 与CD 表达式之间存在的关系
•归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出 □ 与• ab 的大小关系是：
2
•实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值. 【答案】•观察计算：…> •、ab ,
2
•探究证明：
(1) Q AB AD BD 20C ,
••• ACB 90 .
Q A ACD 90 , ACD •••/ A=Z BCD.
• △ ACD CBD.
……
(2)当 a b 时，OC CD , - b =「ab ；
2
a b 时，OC CD , a b > . ab . ....................................... 6 分
2
•结论归纳：-b ab .
................... 7分
2
•实践应用
1
设长方形一边长为 x 米,则另一边长为-米,设镜框周长为I 米，则
(用含a , b 的式子表示)
a b ........ 3分 •- OC ............
2
Q AB 为O O 直径，
• AD
CD
CD
BD .
即CD 2 AD BD ab ,
••• CD ab . .........
............ 5分
B
4分
1 1
l 2（x ） > 4 x - 4 .
........ 9 分
x V x
1
当x ,即x 1 （米）时，镜框周长最小.
x
此时四边形为正方形时，周长最小为4米. .......... 10分
4. （2011山东济宁，19, 6分）如图，AD 为 ABC 外接圆的直径， AD BC ，垂足为点 F , ABC
的平分线交 AD 于点E ，连接BD ，CD .
（1） 求证：BD CD ；
（2） 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.
【答案】（1）证明：••• AD 为直径，AD BC ,
••• ?D C D .A BD CD .
..................................................................... •分
（2）答：B , E , C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上• ..................... •分
理由：由（1）知：BD C D ,••• BAD CBD .
••• DBE
CBD CBE , DEB BAD ABE , CBE ABE ,
• DBE
DEB .• DB DE . ............................................ •分
由（1）知：BD CD .:. DB DE DC .
B , E ,
C 三点在以
D 为圆心，以DB 为半径的圆上•
............ 7分
5. （2011山东烟台，25,12分）已知：AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB 于点G , E 是直 线AB 上一动点（不与点 A 、B 、G 重合），直线DE 交O O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点 P.设O O 的半径为r.
（1） 如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE OP = r 2
（2） 当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图 2点E 的位置为例，请你画出符合 题意的图形，标注上字母， （1）中的结论是否成立？请说明理由
.
（图
1）
D
（图2）
D
（第19题）
D （第19题）
【答案】(1)证明：连接F0并延长交O O 于Q ,连接DQ.
•/ FQ 是O 0 直径，•••/ FDQ = 90° •••/ QFD + Z Q =
90°
•/ CD 丄 AB ，• / P + Z C = 90°
•••/ Q =Z
QFD =Z P.
(2)解：(1)中的结论成立
理由：如图2,依题意画出图形，连接
M ，连接CM.
••• FM 是O O 直径，•/ FCM = 90°, •/ CD 丄 AB ,「./ E + Z D = 90°. •••/ M = Z D ，•/ CFM =Z E.
•••/ POF = Z FOE ,•••△ POF FOE .
1求证：
ACE 是奇异三角形； 2当 ACE 是直角三角形时，求/ AOC 的度数.
•••/ FOE = Z POF
FOEPOF.
OE
OF
OF OP
.•OE OP = OF 2= r 2.
OP
OF
OF • OE OP = OF 2 = r 2.
C 第 25 Hffl)
FO 并延长交O O
•••/ M + Z CFM =
于
90°.
OE
， 6. (2011宁波市，
25, 10分)阅读下面的情境对话，然后解答问题 (1) 根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题： “等边三角形一定是奇异三角 形”是真命题还是假命题？
(2) 在 Rt ABC 中， / ACB = 90°, AB = c , AC = b , BC = a ,且 b > a ,若 Rt ABC 是 奇异三角形，求 a ： b : c ;
(3) 如图，AB 是O O 的直径，C 是上一点(不与点 A 、B 重合)，D 是半圆的中点，CD 在 直径O
【答案】解：(1)真命题
2
(2)在Rt ABC 中a + b2= c2,
■/ c> b> a> 0
2c2>a2+ b2, 2a2< c2+ b2
•••若Rt ABC是奇异三角形，一定有2b2= c2+ a2
.2b2= a2+( a2+ b2)
•b2= 2a2得：b= a
•/ c2= b2+ a2= 3 a2
・・c a
•a: b: c= 1::
(3) 1 v AB是O O 的直径ACBAD S 90° 在Rt ABC 中，AC2+ BC2= AB2 在Rt ADB 中，AD2+ BD2= AB2 v•点D是半圆的中点
・AD = BD
・AB2= AD2+ BD2= 2AD2
・AC2+ CB2= 2AD2
又v CB = CE , AE = AD
・AC2= CE2= 2AE2
・ACE是奇异三角形2由1可得ACE是奇异三角形
・AC2= CE2= 2AE2
当ACE是直角三角形时
由(2)可得AC: AE: CE = 1::或AC: AE: CE=: : 1
(I)当AC : AE : CE = 1 ::时
AC : CE= 1 :即AC : CB = 1 :
vZ ACB = 90 °
ABC = 30 °
AOC = 2Z ABC = 60°
(II )当AC : AE : CE = : : 1 时
AC : CE= : 1 即AC : CB = : 1
vZ ACB = 90 °
ABC = 60 °
・Z AOC = 2 Z ABC = 120°
・Z AOC = 2 Z ABC = 120°
・Z AOC的度数为60°或120°
7. （2011浙江丽水，21, 8分）如图，射线PG平分Z EPF, O为射线PG上一点，以O为
圆心，10为半径作O O,分别与Z EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA,此时有OA // PE.
(1)求证：AP = AO;
(2)若弦AB = 12,求tan/ OPB 的值；
(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为
________ ，能构成等腰梯形的四个点为 ________ 或 ________ 或 __________ .
【解】(1)v PG 平分/ EPF ,
•••/ DPO = / BPO ,
•/ OA//PE ,
•••/ DPO = / POA , •••/ BPO= / POA ,
• PA=OA ;
(2)过点O 作OH 丄AB 于点H ，贝U AH=HB ,
•/ AB=12, • AH=6,
由(1)可知 PA=OA=10, • PH = FA+AH=16, OH==8 ,
• tan / OPB==;
(3) P 、A 、O 、C ; A 、B 、D 、C 或 P 、A 、O 、D 或 P 、C 、O 、B. 8. (2011广东广州市，25, 14分)
如图7,0 O 中AB 是直径，C 是O O 上一点，/ ABC=45 °等腰直角三角形 DCE 中 /
DCE 是直角，点 D 在线段AC 上. (1)证明：B 、C 、E 三点共线；
2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN=OM ;
(3) 将厶DCE 绕点C 逆时针旋转 a ( 0°< aV 90 °后，记为△ D 1CE 1 (图8),若 M 1是 线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1=OM 1是否成立？若是，请证明；若不是， 说明理由.
P
G
【答案】(1 )••• AB 为O O 直径 •••/ ACB=90 °
•••△ DCE 为等腰直角三角形 •••/ ACE=90 °
•••/ BCE=90 ° +90° =180° • B 、C 、E 三点共线.
(2) 连接 BD ，AE ，ON . •••/ ACB=90。

，/ ABC =45° • AB=AC •/ DC=DE
/ ACB= / ACE=90 ° •••△ BCD ◎△ ACE • AE=BD ，/ DBE= / EAC •••/ DBE+ / BEA=90 °
• BD 丄 AE •/ O , N 为中点
• ON // BD , ON=BD 同理 OM // AE , OM=AE • OM 丄 ON , OM=ON • MN=OM (3) 成立
证明：同(2)旋转后/ BCD 1= / BCE i =90°-Z ACD 1 所以仍有厶BCD 1BA ACE 1,
所以△ ACE 1是由△ BCD 1绕点C 顺时针旋转90°而得到的，故 BD 1丄AE 1 其余证明过程与(2)完全相同.
9. (2011浙江丽水，24, 12分)如图，在平面直角坐标系中，点 A(10 , 0)，以OA 为直径 在第一象限内作半圆 C ,点B 是该半圆周上的一动点，连结 OB 、AB ，并延长AB 至点D , 使DB = AB ,过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ,点E 为垂足，连结CF. (1) 当/ AOB = 30°时，求弧 AB 的长； (2) 当DE = 8时，求线段EF 的长；
(3) 在点B 运动过程中，是否存在以点 E 、C 、F 为顶点的三角形与△ AOB 相似，若存在， 请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由
图7
图8
•/ OA 是O C 的直径，•/ OBA=90 ° , 又••• AB= BD , • OB 是AD 的垂直平分线， • OD= OA=10, 在 Rt △ ODE 中，
OE===6 ,
• AE= AO — OE =10 - 6=4, 由/ AOB= / ADE= 90°—/ OAB , / OEF = / DEA , 得厶 OEFDEA , • =，即卩=,• EF=3;
•/ A(10, 0) ,••• OA=10, CA=5, •••/ AOB=30 ° ,
•••/ ACB=2/AOB=60° , ••的长==;
⑶设OE=x,
①当交点E在O, C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△ AOB相似，有/ ECF = Z BOA 或/ ECF= / OAB,当/ ECF = Z BOA 时，此时△ OCF 为等腰三角形，
当/ ECF = Z OAB 时，有CE=5 —x, AE=10-x,
••• CF//AB，有CF=AB,
•/△ ECF EAD ,
•=，即=，解得x=,
• E2（, 0）；
②当交点E在C的右侧时，
•••/ ECF>Z BOA
•要使△ ECF与厶BAO相似，只能使/ ECF= / BAO, 连结BE,
•/ BE为Rt△ ADE斜边上的中线，
••• BE=AB=BD ,
•••/ BEA= / BAO,
•••/ BEA= / ECF,
•/ CF//BE ,•=,
•••/ ECF = Z BAO，/ FEC= / DEA=Rt Z,
•△ CEF s\AED ,•=, 而AD=2BE,•=,
即=,
解得x i = , X2=<0 （舍去）,
•E3（, 0）；
vZ BOA= Z EOF>Z ECF
•要使△ ECF与厶BAO相似，只能使Z ECF= Z BAO,
连结BE,得BE=AD=AB,
Z BEA= Z BAO,
•Z ECF = Z BEA,
•CF//BE,
…=,
又vZ ECF = Z BAO , Z FEC = Z DEA=Rt Z,
•△ CEF AED , •=,
而AD=2BE , •=,
•=,解得X l = , X2=<0 （舍去），
v点E在x轴负半轴上，• E4（, 0）,
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△ AOB相似，此时点E坐标为：• E i（, 0）、E2（, 0）、E3（, 0）、E4（, 0）. _
10. （2011江西，21, 8分）如图，已知O O的半径为2,弦BC的长为2 3 ,点A为弦BC 所对优弧上任意一点（B , C两点除外）。

⑴求Z BAC的度数；
⑵求△ ABC面积的最大值.
【答案】
(1)
证明：T BC 是O 02直径，则 02是BC 的中点
又P 是AB 的中点.
因为 BC=2 3，所以 CD=1B C = 3.
2
又 0C=2，所以 sin / DOC = CD ，即 sin / DOC =—,
0C 2
所以/ D0C=60°. 又 0D 丄 BC ,所以/ BAC=Z D0C=60°.
(2)因为△ ABC 中的边BC 的长不变，所以底边上的高最大时, A 是?AC 的中点时，△ ABC 面积的最大值. 因为/ BAC=60°所以△ ABC 是等边三角形， 在 Rt △ ADC 中，AC= 2 3 , DC= 3, 所以 AD= AC 2- DC 2 = (2 3)2-
=3.
所以△ ABC 面积的最大值为2 3 X3X !=3 .3.
2
△ ABC 面积的最大值，即点
11. (2011湖南常德，25,10分)已知 △ ABC ,分别以AC 和BC 为直径作半圆、02, P 是AB 的中点.
(1) 如图8，若△ ABC 是等腰三角形，且 AC=BC ，在AC, BC 上分别取点 E 、F ，使
AO 1E
BO 2F,则有结论① VPO 1E VFO 2P,②四边形PO 1CO 2是菱形.请给出结论
②的证明；
(2) 如图9,若(1)中厶ABC 是任意三角形，其它条件不变，则( 1)中的两个结论还成
立吗？若成立，请给出证明；
(3) 如图10,若PC 是e 01的切线，求证： AB 2 BC 2 3AC 2
【答案】(1)过点0作0D 丄BC 于点D,连接0A. .)
••• P 02是厶ABC的中位线
p 02 =丄AC
2
又AC是O 01直径
1
••• P 02= O1C= — AC
2
1
同理P O仁O2C = BC
2
•/ AC =BC
• P 02= 01C=P 01= O2C
•四边形PO1CO2是菱形
(2) 结论①VPO1E VFO2P,成立，结论②不成立
1 1
证明：在(1)中已证P02= —AC,又01E=—AC
2 2
•P02=01E
同理可得P0仁02F
•/ P02是厶ABC的中位线
•P02 // AC
•/ P02B= / ACB
同理/ P 01A= / ACB
•/ P02B= / P 01A
•••/ A01E = / B02F
•/ P 01A+ / AO1E = / P02B+ / BO2F
即/ P 01E = / F 02P
(3) 证明：延长AC交O 02于点D,连接BD.
•/ BC是O 02的直径，则/ D=90 ° ,
又PC是e 01的切线，则/ ACP=90
• / ACP= / D 又/ PAC= / BAD ,
• △ APC BAD
又P是AB的中点
.AC AP 1
AD AB 2
••• AC=CD
•••在Rt A BCD 中，BC2CD2BD2AC2 BD2
在Rt△ ABD 中，AB2AD2BD2
•- AB2 4AC2 BD2AC2BD23AC2
••• AB2 BC2 3AC2
12. （2011江苏苏州，26,8分）如图，已知AB是O O的弦，OB=2 / B=30°, C是弦AB上任意一点（不与点 A B重合），连接CO并延长CO交O O于点D,连接AD.
（1）弦长AB= ______ （结果保留根号）；
（2）当/ D=20°时，求/ BOD勺度数；
（3）当AC的长度为多少时，以点 A C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相
(2)解法一：I/ BO^A BOC的外角，/ BCC是△ ACD的外角,
•••/ BOD/ B+/ BCO / BCO/ A+/ D.
•••/ BOD/ B+/ A+/ D.
又•••/ BOD=/ A, / B=30°,Z D=20°,
• 2 / A=/ B+/ A+/ D=/ A+50°,/ A=50°,
•/ BOD=/ A=100° .
解法二：如图，连接OA.
•/ OA=OB OA=OD •/ BAO/ B,/ DAO/ D,
•/ DAB玄BAO+/ DAO/ B+/ D.
又•••/ B=30°,/ D=20°, •/ DAB=5C° , • / BOD=/ DAB=1CC .
• / BCO>/ A, / BCO>/ D. •要使△ DAM A BOC相似，只能/ DCA/
BCO=9C . 此时，/ BOC=6C，/ BOD=12C，•/ DAC=6C .
• △DAC^A BOC.
•••/ BCO=9C，即OCL AB,「. AC=^ AB= . 3 .
2
13. （2011江苏苏州，27,8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA PB PC PD.
（1）如图①，当PA的长度等于______ 时，/ PAB=60 ;
当PA 的长度等于 ______ 时，△ PAD 是等腰三角形；
（2）如图②，以AB 边所在的直线为x 轴，AD 边所在的直线为y 轴，建立如图所示的直角 坐标系（点A 即为原点0）,把厶PAD △ PAB △ PBC 的面积分别记为 S 、S 、S 3.设P 点坐标 为（a , b ）,试求2SS-S 22的最大值，并求出此时 a 、b 的值.
《图②〉
PF L AD,垂足分别为E 、F ,延长FP 交BC 于点G,则PG
•/ P 点坐标为(a , b ), ••• PE=b , PF=a , PG=4-a. 在厶PAD 、△ PAB 及厶PBC 中，
S i =2a , S 2=2b , S 3=8-2a ,
•/ AB 是直径，•/ APB=90 ° .
2
•- PE 2=A E - BE ,即卩 b =a (4-a ).
2 2 2 2
• 2S i S 3-S 2=4a (8-2a ) -4b =-4a +16a=-4 (a-2 ) +16. •••当 a=2 时，b=2 , 2S1S-S 2 有最大值 16. 14. （2011江苏泰州，26, 10分）如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，矩形 ABCD 的边
BC 为大圆的弦，边 AD 与小圆相切于点 M , OM 的延长线与BC 相交于点N . （1 ）点N 是线段BC 的中点吗？为什么？
（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm , AB=5cm , BC=10cm ，求小圆的半径.
(图①〕
【答案】解：(1)2； 2 2或」卫
5
(2)如图，过点P 分别作PEL AB, 丄
BC.
【答案】(1)N 是BC的中点。

原因：T AD与小圆相切于点M,
•••0M丄AD，又AD // BC,「. ON丄BC ,•••在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点.
⑵连接OB,设小圆半径为r，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,
在Rt△ OBN 中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2，即：(r+6)2=(r+5) 2+52，解得r=7cm.
•小圆的半径为7 cm.
1 _
G 1 1 AB BC a 3a怖
• S ABC= AB X BC= — AC X BK ,• BK= = = a .
2 2 AC 怖a 10
•/AD=BC , BF // CD , • HF=DF,
•/ FG=EF , • HF-FG=DF- EF , • HG=DE=6.
在劣弧 -AD上到一点E使/ EBC= / DEC ,延长BE依次交AC于G,交O O于H.
(1) 求证：AC丄BH ;
(2) 若/ ABC=45 , O O的直径等于10 , BD=8 ,求CE的长.
15. (2011四川成都，27,10分)已知：如图, 以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,
OA长为半径作O 0, O O经过B、D两点，过点B作BK丄AC,垂足为
DH分别与AC、AB、O O及CB的延长线相交于点E、F、G、H .
⑴求证：AE=CK;
丄m 1 '
(2) 如果AB=a , AD = —a ( a为大于零的常数)，求BK的
3
长；
(3) 若F是EG的中点，且DE=6,求O O的半径和GH的长.
【答案】
解：(1 )T DH // KB, BK丄AC,「. DE丄AC,
• Rt A ADE 也Rt A CBK , • AE=CK.
1
(2)在Rt A ABC 中，AB=a , AD=BC=—a /. AC
3
AB2BC2Z1 、2 ■
10a
(3a)
AF=BF,AE=EK=KC; 在Rt △ OEG 中，设OG= r ,
1
OE=—
1
AC — 2r
1r , EG=6,OE2EG2OG2,
663
1 2亠
2 292
(r) 6 r , • r—
3 2 *
16. (2011四川宜宾,23 , 10分)已知：在厶ABC 中，以AC边为直径的O O交BC于点D ,
K.过D 作DH // KB,
A D
G
C
B
O K
3
(3)连线OG,v AC丄DG , AC 是O O的直接，DE=6,「. DE=EG=6, 又
••• EF=FG ,• EF=3; T Rt A ADE也Rt A CBK , • DE = BK=6 , AE=CK , 在
厶ABK 中,EF=3 , BK=6 , EF // BK , • EF 是厶ABK 的中位线,•
在Rt A ADF 也Rt△ BHF 中,AF =BF ,
则
A D
F
G O K
5
【答案】证明：⑴连接 AD
•••/ DAC= / DEC / EBC= / DEC •••/ DAC= / EBC 又••• AC 是O O 的直径 •••/ ADC=90
•••/ DCA+ / DAC=90 •••/ EBC+ / DCA=90
•••/ BGC=180 -( / EBC+ / DCA)=180 -90 °90° • AC 丄 BH
⑵•••/ BDA=180 -Z ADC=90 / ABC=45
•••/ BAD=45 • BD=AD •/ BD=8
•由勾股定理，得 DC AC 2 AD 2
,102 82 6.
• • BC=BD+DC=8+6=14
又 T Z BGC= Z ADC=90 Z BCG= Z ACD
•••△ BCG ACD
CG
BC DC AC
CG 14
42
--CG -
6 10 5 连接 AE AC 是直径 •••/ AEC=90 又••• EG 丄 AC
H
（23题图）
•••△ CEG CAE • CE ,84
2.21.
CE CG AC CE
• CE 2 AC CG 42 —10
84
17. （2011江西南昌,
21, 8分）如图，已知O O 的半径为2，弦BC 的长为2.3，点A 为
• AD=8
（第 23题解答
图）
1 因为 BC= 2.3，所以 CD = -BC = ■ 3.
2
又 0C=2，所以 sin / DOC = CD ，即 sin / DOC = —3 ,
0C 2
所以/ DOC=60°. 又 0D 丄 BC ,所以/ BAC=Z DOC=60°.
(2)因为△ ABC 中的边BC 的长不变，所以底边上的高最大时, A 是?AC 的中点时，△ ABC 面积的最大值.
因为/ BAC=60°所以△ ABC 是等边三角形， 在 Rt △ ADC 中，AC=2、3 , DC= 3, 所以 AD= . AC 2- DC 2 = , (2.3)2-
3? =3.
所以△ ABC 面积的最大值为 2 3 X3K - =3 3.
2
18. （2011上海，21, 10分）如图，点C 、D 分别在扇形 A0B 的半径0A 、0B 的延长线上,
且0A = 3, AC = 2, CD 平行于AB ,并与弧 AB 相交于点 M 、N .
（1） 求线段0D 的长；
1
（2） 若tan C ，求弦MN 的长.
2
【答案】(1)v CD // AB ,
•••/ OAB= / C ,Z OBA=Z D .
•/ OA=OB ,
•••/ OAB= / OBA .
•••/ C=Z D . • OC=OD .
•/ 0A=3 , AC=2,
• 0C=5 . • 0D=5.
弦BC 所对优弧上任意一点（B , C 两点除外）。

⑴求/ BAC 的度数； ⑵求△ ABC 面积的最大值. 【答案】（1）过点0作0D 丄BC 于点D,连接OA.
.)
D
△ ABC 面积的最大值，即点
(2)过点0作OE丄CD , E为垂足，连接OM .
在Rt△ OCE 中，OC=5, tan C -，设OE=x，则CE=2x.由勾股定理得x2 (2x)2 52,
2
解得x i= 5 , x2=丿5 (舍去)OE= •. 5 .
在Rt △ OME 中，OM=OA=3, ME= . OM 2OE 2= . 32(一5)2=2。

二MN=2ME=4 .
19. (2011湖北黄冈，22, 8分)在圆内接四边形ABCD中，CD为/ BCA外角的平分线，F为弧
AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E.
⑴求证△ ABD为等腰三角形.
⑵求证AC?AF=DF?FE
第22题图
【答案】⑴由圆的性质知/ MCD= / DAB、/ DCA= / DBA，而/ MCD= / DCA，所以/ DBA= / DAB，故△ ABD为等腰三角形.
⑵•••/ DBA= / DAB
•••弧AD=弧BD
又••• BC=AF
•••弧BC=弧AF、/ CDB= / FDA
•••弧CD=弧DF
•CD=DF
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
/ AFE= / DBA= / DCA ①，/ FAE= / BDE
•/ CDA= / CDB + Z BDA= / FDA + Z BDA= / BDE= / FAE②由①②得厶DCA
FAE
•AC : FE=CD : AF
•AC?AF= CD ?FE
而CD=DF,
• AC ?AF=DF ?FE
20. (2011广东茂名，24, 8分)如图，O P与y轴相切于坐标原点O(0, 0)，与x轴相交于点A(5,
0)，过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与O P交于点C .
(1) 已知AC= 3，求点E的坐标；(4分)
(2) 若AC = a, D是O E的中点.问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理
k
由.如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O1，函数y -的图象经过点O1,
x
连接 OC ,T OA 是O P 的直径，••• 0C 丄AB ,
在 Rt A AOC 中，OC OA 2 AC 2
25 9 4
在 Rt A AOC 和 Rt A ABO 中CAO =Z OAB
• Rt A AOC s Rt A ABO , •
AC AO 刚 3 5
，即
CO OB
4 OB
20
20、
• OB
B(0,)
3
3
解法二: 连接OC , 因为OA 是O P 的直径， • / ACO = 90° 在 Rt A AOC 中，AO = 5, AC = 3, • OC = 4,
1
过C 作CE 丄OA 于点E ,则： OA CE 2
求k 的值（用含a 的代数式表示）.
y
(4分)
备用图
1 即:丄
5 CE
1
3
4, • CE 咚
2
2
*
5
• OE
OC 2
CE 2
42
12 2 () 16
\
5 5
〜16 12、 • C (T?
【答案】解：（1）解法
1
-CA OC , 2
16 12
把点A(5, 0)、S 16,12)代入上式得：
5 5
5k b 0
k
16
12 ， 解得：
3
,
k b
.20 5 5
b
3
4
20 -…20、
•- y
_x ,
•••点 B(O, —) •
3
3
3
⑵点O 、 P
、
C 、
D 四点在同一个圆上，理由如下：
连接CP 、
CD 、DP ,T OC 丄AB , D 为OB 上的中点,
1
••• CD OB OD ,
2
•••/ 3=Z 4,又T OP = CP ，• / 1 = Z 2,「./ 1 + Z 3 =Z 2 +Z 4= 90°,
• PC 丄CD ,又T DO 丄OP , • Rt A PDO 和Rt △ PDC 是同以PD 为斜边的直角三角形, • PD 上的中点到点 0、P 、C 、D 四点的距离相等，
•••点0、P 、C 、D 在以DP 为直径的同一个圆上；
由上可知，经过点 o 、P 、C 、D 的圆心O 1是DP 的中点，圆心o'OE’PD), 2 2
OA 25
，求得：AB = ，在 Rt A ABO 中, AB a
匚
设经过A 、C 两点的直线解析式为：
y kx b .
由(1)知：Rt A AOC s Rt ^ABO ,
AC OA
OB AB 2 OA 2
5, 25 a 2
1
,OD = OB
a
2
5. 25 a 2
2a
OP
OA 5 2 2
5
5、25 a 2、 …。

1(, ) 4 4a
5、25 a 2 4k
4a 5
25 J 25 a 2 •- k
16a k
点。

1在函数y k 的图象上, x
21. (2011广东肇庆，24, 10分)已知：如图，ABC内接于O O , AB为直径，/ CBA的
平分线交AC 于点F ，交
O O 于点D , DE 丄AB 于点E ,且交AC 于点P ,连结AD .
(1) 求证：/ DAC =Z DBA ;
(2) 求证：P 是线段AF 的中点；
【答案】(1 )••• BD 平分/ CBA ,•••/ CBD = / DBA
•••/ DAC 与/ CBD 都是弧 CD 所对的圆周角，•
/ DAC = Z CBD / DAC =Z DBA
(2) v AB 为直径，•/ ADB =90 °
又••• DE 丄 AB 于点 DEB = 90° ADE + / EDB = Z ABD +/EDB =90
•••/ ADE = Z ABD = Z DAP
• PD = PA
又T Z DFA + Z DAC = Z ADE + Z PD F =90 °且/ ADE = Z DAC
• Z PDF =Z PFD
• PD = PF • FA = PF 即P 是线段 AF 的中点
(3) T Z DAF =Z DBA , Z ADB = Z FDA = 90°.山 FDA ADB
AD AF
DB AB 15
AD AF •••在 Rt A ABD 中，tan Z ABD — 2 3
即 tan Z ABF —- DB AB 10 4 4 22. (2011内蒙古乌兰察布，21, 10分)
如图，在 Rt △ ABC 中,Z ACB = 90°, D 是AB 边上的一点， 以BD 为直径的 O 0与边 AC 相切于点E ,连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点 F .
(1 )求证：BD = BF ;
(2 )若 BC = 12 , AD = 8，求 BF 的长.
(3)若0 O 的半径为5, AF 15
2 求tan / ABF 的值.
B
第21题图
【答案】⑴连结0E ,
第21题答案图
贝U OE丄AC,
所以Z AEO=90 ,
Z AED= Z CEF,
Z ACB = 90°
Z CEF+ Z F = 90°
Z AED + Z OED =90°
Z OED= Z F
又因为OD=OE
所以Z OED= Z ODE
Z ODE= Z F
BD=BF
⑵Rt A ABC和Rt A AOE中，Z A是公共角
所以Rt^ ABC s Rt^ AOE
OE AO r 8 r
，设O0的半径是r，则有一
BC AB 12 8 2r
求出r=8,所以BF=BD =16
23. （2011湖北鄂州，22, 8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为Z BCA外角的平分线, F为弧
AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E.
⑴求证△ ABD为等腰三角形.
⑵求证AC?AF=DF ?FE
D
C F
B A
第22题图
【答案】⑴由圆的性质知/ MCD= / DAB、/ DCA= / DBA，而/ MCD= / DCA，所以/ DBA= / DAB，故△ ABD为等腰三角形.
⑵•••/ DBA= / DAB
•••弧AD=弧BD
又••• BC=AF
•••弧BC=弧AF、/ CDB= / FDA
•••弧CD=弧DF
•CD=DF
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
/ AFE= / DBA= / DCA ①，/ FAE= / BDE
•••/ CDA= / CDB + Z BDA= / FDA + Z BDA= / BDE= / FAE②由①②得厶DCA
FAE
•AC : FE=CD : AF
•AC?AF= CD ?FE
而CD=DF,
• AC ?AF=DF ?FE
24. (2010湖北孝感，23, 10分)如图，等边△ ABC内接于O O, P是AB上任一点(点P 不与点
A、B重合).连AP、BP,过点C作CM/ BP交PA的延长线于点M.
(1 )填空：/ APC= _________ 度，/ BPC= ________ 度；(2 分)
(2)求证：△ ACM TA BCP (4 分)
(3)若PA=1, PB=2求梯形PBCM勺面积.(4分)
【答案】解：(1) 60,60;
(2)v CM // BP，•/ BPM+ / M=180，/ PCM= / BPC=60.
•••/ M=180 -Z BPM=180 —(/ APC+ / BPC ) =180°—120° =60°. •••/ M= Z BPC=60 .
(3)v ACM 也BCP , • CM=CP , AM=BP.
又Z M=60 ,•△ PCM为等边三角形.
•CM=CP=PM=1+2=3.
作PH丄CM于H.
在Rt APMH 中，Z MPH=30 .
•PH= 3 J3 .
••• S梯形PBCM =」（PB CM ）PH 丄（2 3）-y/3兰炎.
2
2 2 2 4
25. (2011湖北宜昌，21, 8分)如图D 是厶ABC 的边BC 的中点，过 AD 延长线上的点E 作AD 的垂线EF, E 为垂足，EF 与AB 的延长线相交于点 F ,点0在AD 上，AO= CQ BC//EF.
(1)证明:AB=AC;
⑵ 证明：点0是AABC 的外接圆的圆心；
⑶ 当AB=5,BC=6时，连接 BE 若/ ABE=90，求 AE 的长.
【答案】解:（1） •/ AE 丄EF , EF // BC ,• AD 丄BC . （1分）在厶ABD 和厶ACD 中，T BD = CD ，/ ADB =Z ADC , AD = AD , •△ ABD ◎△ ACD .（或者：又T BD = CD , • AE 是BC 的中垂线.）（2分）• AB = AC . （3分）
⑵连BO ,T AD 是BC 的中垂线，• BO = CO .（或者：证全等也可得到 BO = CO .） 又AO = CO ,「. AO = BO = CO . （4分）.••点O 是厶ABC 外接圆的圆心. （5分）
（3）解法 1 : I / ABE =Z ADB=90 °, •/ ABD+ / BAD= / AEB+ / BAE=90 °, •/ ABD=
AB AD
/ AEB . 又I/ BAD= / EAB , •△ ABD AEB . • （ 6 分）在 Rt △ ABD
AE AB
25
中，■/ AB=5 , BD=1 , 2BC=3 , • AD=4 . （ 7 分）• AE= （8 分）解法 2: '/
4
AO = BO , • / ABO = / BAO . •/ / ABE = 90 ° , • / ABO + / OBE = / BAO + / AEB = 90° . • / OBE = / OEB , • OB = OE . （6 分）在 Rt △ ABD 中，T AB=5 , BD=1 , 2BC=3 , • AD=4 .设 OB = x ,贝OD = 4 — x ，由 32+ （ 4-x ） 2=x 2
25
八
25 解得 x= （7 分）••• AE = 2OB = 8
4。