利息度量
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第一讲利息度量概念
(3)在连续复利法下，I k = (ei − 1)e ( k −1) i .
* * *
单利计息法的优点 复利计息法的优点 连续复利计息法的优点
6. 实际利率定义
投资者在单位时间上的实际获利。 投资者在单位时间上的实际获利。
7. 名义利率定义
事先指定的单位时间上的利率。 事先指定的单位时间上的利率。
* 名义利率 i
(m )
,i
(∞ )Βιβλιοθήκη 命题4 命题 设第n个计息期上的实际利率为in , 名义利率为i, 则
i （）在单利法下，in = 1 ; 1 + (n − 1)i (2)在复利法下，in = i; (3)在连续复利法下，in = e i − 1.
命题5 设实际利率为r , 则 命题
1 ( m) 11 （） + r = 1 + i ; m (2)1 + r = e
a −1 (t ) * 贴现值函数
命题7 命题 设贴现率为d , 则
在复贴现期下，a (t ) = (1 − d ) ;
t
−1
在连续复贴现期下，a (t ) = e
−1
− dt
9. 实际贴现率定义
单位名义本金在一个贴现期上获得的实 际贴现量称为实际贴现率。 际贴现量称为实际贴现率。
10. 名义贴现率定义
事先指定的贴现率。 事先指定的贴现率。
* 名义贴现率 d
(m )
,d
(∞ )
命题8 设实际贴现率为D, 第n个贴现期的实际贴现率为d n , 则 命题
1 (m) m 11 （） − D = (1 − d ) ; m (2)1 − D = e
−d ( ∞ )
;
利息的基本概念
得： A(5) 50001 0.065 6691.1（3 元）
第一节 利息度量 二、实际利率 案例分析：1.1.4 已知年实际利率为8％，求4年后支付10000元的现值。
解：由 A(t) K 1 it 得： A(4) A(0)1 i4 所以： 10000 A(0)1 0.084
解：依题意得： A(0) 1000 A(1) 1050 A(2) 1100
由：
in
A(n) A(n 1) A(n 1)
得：
i1
A(1) A(0) A(0)
1050 1000 1000
0.05
A(2) A(1) 1100 1050 i2 A(1) 1050 0.04762
解依题意得： 单利： 5001 3i 500 120
得： i 0.08
所以：A(5) 8001 0.085 112（0 元） 复利： 5001 i3 500 120
得：i 0.0743
所以： A(5) 8001 0.07435 1144.9（7 元）
A(0)
100 1.10
0.1
i3
A(3) A(2) A(2)
100
1.13 100
100 1.12
1.12
0.1
i5
A(5) A(4) A(4)
100
1.15 100
100 1.14
1.14
0.1
第一节 利息度量
第一节 利息度量 课堂练习：
3、已知投资500元，3年后得到120元的利息，分别确定以相同的单 利、复利投资800元在5年后的积累值。
第一节 利息度量
第一节 利息度量 二、实际利率 案例分析：1.1.4 已知年实际利率为8％，求4年后支付10000元的现值。
解：由 A(t) K 1 it 得： A(4) A(0)1 i4 所以： 10000 A(0)1 0.084
解：依题意得： A(0) 1000 A(1) 1050 A(2) 1100
由：
in
A(n) A(n 1) A(n 1)
得：
i1
A(1) A(0) A(0)
1050 1000 1000
0.05
A(2) A(1) 1100 1050 i2 A(1) 1050 0.04762
解依题意得： 单利： 5001 3i 500 120
得： i 0.08
所以：A(5) 8001 0.085 112（0 元） 复利： 5001 i3 500 120
得：i 0.0743
所以： A(5) 8001 0.07435 1144.9（7 元）
A(0)
100 1.10
0.1
i3
A(3) A(2) A(2)
100
1.13 100
100 1.12
1.12
0.1
i5
A(5) A(4) A(4)
100
1.15 100
100 1.14
1.14
0.1
第一节 利息度量
第一节 利息度量 课堂练习：
3、已知投资500元，3年后得到120元的利息，分别确定以相同的单 利、复利投资800元在5年后的积累值。
第一节 利息度量
利息理论第一章 1 优质课件
注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
第二章 利息理论基本概念
5%复贴现率计息 10000(1－5%)2 9025 期初投资9025元，两年后获得10000元 两年共获得利息： 975
利息的度量三——利息转换频率不同
• 实质利率 i ：以一年为一个利息转换期，该利率 记为实质利 • 名义利率 i(m) ：在一年里有m个利息转换期，假如 每一期的利率为j，有 i ( m ) mj 。 • 利息力 ：假如连续计息，那么在任意时刻t的 瞬间利率叫作利息力。
2 3
利息度量二——利率和贴现率
• 期末计息——利率
– 第N期实质利率
I (n) in A(n 1)
• 期初计息——贴现率
– 第N期实质贴现率
I (n) dn A(n)
单利场合利率与贴现率的关系
I ( n) dn A(n) a(n) a(n 1) a ( n) i 1 in
复利场合利率与贴现率的关系
I (n) a(n) a(n 1) dn A(n) a ( n) i (1 i ) n 1 (1 i ) n i 1 i
复利场合利率与贴现率的关系
初始值 利息 积累值
1
v
i d
v 1 d （ 1 i）
1
1 i
1
例2
（2） 3000(1 i ) 4 6000(1 i ) 2 15000
(1 i ) 2 1 6 (舍去负根) 由(1 i ) 1 6
2
i 20.4% （i 2.204舍去)
例7：求时间
• 假定 i
(12)
分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
例7答案
i (12) 2%时， (1 0.17%)
利息的度量三——利息转换频率不同
• 实质利率 i ：以一年为一个利息转换期，该利率 记为实质利 • 名义利率 i(m) ：在一年里有m个利息转换期，假如 每一期的利率为j，有 i ( m ) mj 。 • 利息力 ：假如连续计息，那么在任意时刻t的 瞬间利率叫作利息力。
2 3
利息度量二——利率和贴现率
• 期末计息——利率
– 第N期实质利率
I (n) in A(n 1)
• 期初计息——贴现率
– 第N期实质贴现率
I (n) dn A(n)
单利场合利率与贴现率的关系
I ( n) dn A(n) a(n) a(n 1) a ( n) i 1 in
复利场合利率与贴现率的关系
I (n) a(n) a(n 1) dn A(n) a ( n) i (1 i ) n 1 (1 i ) n i 1 i
复利场合利率与贴现率的关系
初始值 利息 积累值
1
v
i d
v 1 d （ 1 i）
1
1 i
1
例2
（2） 3000(1 i ) 4 6000(1 i ) 2 15000
(1 i ) 2 1 6 (舍去负根) 由(1 i ) 1 6
2
i 20.4% （i 2.204舍去)
例7：求时间
• 假定 i
(12)
分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
例7答案
i (12) 2%时， (1 0.17%)
利息理论 第1章 利息的基础知识
第二种方法：购买时90元，一年后按面 值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。-元为期初利息， 元为期初利息 是期末值的减少额。 -贴现额。 贴现额。 贴现额
.
2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn =
An An1 An
=
an an1 an
年贴现额=A 年贴现额 ndn=An-An-1 为标准的减少额。 以An为标准的减少额。 年利息=A 年利息 n-1 in=An-An-1 为标准的增加额。 以An-1为标准的增加额。
3）贴现率与利率
d=
或：
an an1 an
=
(1+i )n (1+i ) n1 (1+i ) n
=
i 1+i
d = i v i=
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1 v
及：
vt = v = (1 d )
t
t
及：
v = 1 d
at = (1 d )
t
日的积累值为1， 例：94年1月1日的积累值为 ，000元，d=10% 年 月 日的积累值为 元 日的现值为多少？ 求：1）90年1月1日的现值为多少？ ） 年 月 日的现值为多少 2）年利率为多少? ）年利率为多少 3）折现因子为多少？ ）折现因子为多少？ 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
m→∞
(m)
δ = lim m[(1 + i ) 1]
1 m
m →∞
= lim
= lim
m →∞
1 (1 + i ) m 1 m
1
m→∞
= lim
第一章 利息的基本概念
对整数 n≥1
(1-10B)
假设常数复利利率为 i，那么， 对任意正整数 n，有 a(n)=(1+i)n ，于是
a(n) a(n 1) (1 i ) n (1 i ) n 1 dn = = (1 i ) n a ( n)
i = d 1 i
(1-10C)
与 n 无关，为一常数。这意味着， 常数的复利下，贴现率也也为常数。
单贴现
考虑贴现函数： a-1(t)=1-dt 0≤t<1/d (1-13) 称这种贴现函数对应的贴现方式为单贴现， 其中d为常数的单贴现率。 这里，要求0≤t<1/d是为了保证a-1(t)>0。
单贴现仅在短期业务中使用以及用作复 贴现在非整数时期内的近似。
单贴现和单利具有类似但反向的关系： 1．当投资时期加长时，常数的单利利率意 味着实质利率递减，而常数的单贴现意味 着实质贴现率(以及利率)递增。 2．单贴现和复贴现对单个时期产生的结果 相同。对较长时期，单贴现比复贴现产生 较小的现值，而对较短的时期则相反。
例1-3 某银行以单利计息，年息为4%，某 人存入8000元，问3年后的积累值是多少？
例1-4 如果上述银行以复利计息，其他条件 不变，重解上例。
例1-5 已知年实质利率为5.5%，求10年后 200000元的现值。
例1-6A 设0<i<1，证明：
（1）(1+i)t<(1+it) 若0<t<1； （2）(1+i)t=(1+it) 若t=1； （3）(1+i)t>(1+it) 若t>1。
(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)
例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
利息理论简介
4
m
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
2
1
d ( 4) 4
1
1 d
d
1
《寿险精算数学》 利息效力
• 定义：瞬间时刻利率强度
--00利息理论简介
t
A(t ) d ln A(t ) A(t ) dt a(t ) d ln a(t ) a(t ) dt limi ( m ) limd ( m )
三. 年金
1、年金的定义与分类
定义 按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。 原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推 广到任意间隔长度的系列付款。 分类 基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金即为 一般年金
《寿险精算数学》 2、基本年金
n
《寿险精算数学》 作业
•
--00利息理论简介
• • •
1 设利息为年利率为单利4％，则由初值 ￥800到终值￥1000需经过多长时间？ 2 设 i 0.07 ，求 i (6) 和 d (6) 。 3 设利息力为9％每年，求￥6.34在3个月后的 累积值。 (4) 4 设年利率为 i 9% ，求 a3 。
m m
《寿险精算数学》 等价公式
• 一般公式
--00利息理论简介
a(tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) e
•
0 s ds
t
恒定利息效力场合
ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a1 (n) exp{n }
《寿险精算数学》
--00利息理论简介
i ( 4) 1 4
m
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
2
1
d ( 4) 4
1
1 d
d
1
《寿险精算数学》 利息效力
• 定义：瞬间时刻利率强度
--00利息理论简介
t
A(t ) d ln A(t ) A(t ) dt a(t ) d ln a(t ) a(t ) dt limi ( m ) limd ( m )
三. 年金
1、年金的定义与分类
定义 按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。 原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推 广到任意间隔长度的系列付款。 分类 基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金即为 一般年金
《寿险精算数学》 2、基本年金
n
《寿险精算数学》 作业
•
--00利息理论简介
• • •
1 设利息为年利率为单利4％，则由初值 ￥800到终值￥1000需经过多长时间？ 2 设 i 0.07 ，求 i (6) 和 d (6) 。 3 设利息力为9％每年，求￥6.34在3个月后的 累积值。 (4) 4 设年利率为 i 9% ，求 a3 。
m m
《寿险精算数学》 等价公式
• 一般公式
--00利息理论简介
a(tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) e
•
0 s ds
t
恒定利息效力场合
ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a1 (n) exp{n }
《寿险精算数学》
--00利息理论简介
i ( 4) 1 4
(1-2)利息度量
对应的年实际利率为12.68％。
本节主要内容：
名义利率（nominal rate of interest）
名义贴现率（nominal rate of discount） 利息强度（force of interest） 实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率和利息强度 的关系。
1.1.4 名义利率和名义贴现率
(m)
5% 1 = 1 + 4 1 = 5.0945% 5% = i ( 4 )
m
4
每年的结转次数小于1时的名义利率
在 n 个时期支付一次利息的名义利率（即每年结转1/n次利息）
可以表示为 i
名义利率 i
(1/ n)
，其中 n 是大于1的正整数。
×n
12
d≤d(m) ≤ i(m) ≤ i
问题：一般性规律？
i i(2) i(3) i(4) ... ... d (4) d (3) d (2) d
年名义贴现率为10%
每年结转次数 年实际贴现率 0.10000
1(每年)
2(每半年)
0.09750
0.09631 0.09554 0.09525 0.09517
分析： 3个月的实际利率为1.80％÷4＝0.45％，1年下来的累积值 为
(1 + 0.45%)4 = 1.01812
1年期存款的实际利率为2.52％, 1年下来的累积值为
1.0252 结论：直接投资1年合算。
如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的
定期存款，则应有
i 1 + 4
(1/ 2)
(1/ n)
是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期
本节主要内容：
名义利率（nominal rate of interest）
名义贴现率（nominal rate of discount） 利息强度（force of interest） 实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率和利息强度 的关系。
1.1.4 名义利率和名义贴现率
(m)
5% 1 = 1 + 4 1 = 5.0945% 5% = i ( 4 )
m
4
每年的结转次数小于1时的名义利率
在 n 个时期支付一次利息的名义利率（即每年结转1/n次利息）
可以表示为 i
名义利率 i
(1/ n)
，其中 n 是大于1的正整数。
×n
12
d≤d(m) ≤ i(m) ≤ i
问题：一般性规律？
i i(2) i(3) i(4) ... ... d (4) d (3) d (2) d
年名义贴现率为10%
每年结转次数 年实际贴现率 0.10000
1(每年)
2(每半年)
0.09750
0.09631 0.09554 0.09525 0.09517
分析： 3个月的实际利率为1.80％÷4＝0.45％，1年下来的累积值 为
(1 + 0.45%)4 = 1.01812
1年期存款的实际利率为2.52％, 1年下来的累积值为
1.0252 结论：直接投资1年合算。
如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的
定期存款，则应有
i 1 + 4
(1/ 2)
(1/ n)
是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期
金融学_利息和利率_单利和复利_
v如某人预计60岁退休后还能活20年，每月需要生活费2000元， 那么在工作的35年中每月需要提取多少养老金。假设55年中月 利率不变，为5%。怎么算？
练习
v 1.客户存银行现金5万元，存期3年，若银行利率为 3.3%，试用单利和复利分别计算到期的本利和以及利 息？如果月利率为0.3%，又是多少?
v 2.小王贷款60万用于购买住房，期限20年，利率为 9%，请计算每月还款额。
v 3.如果一个投资项目，需要在第一年初投入800万， 第二年初投入800万。建成后的收入预计为：第三年末 137万元，第四年末432万元，第五年末797万元，第六 年末为526万元。假设市场利率为6%，说明该投资项目 是否可行。
利息的计算
利息的度量
v 一、利息的度量 v 利率：是指一定时期内所形成的利息额与所贷出的
本金的比，通常用百分数表示。有年利率、月利率、日 利率之分。
v 用利率计算利息有两种方法：
利息及其度量
v （一）单利计息法
v 只对本金计利息，对本金产生的利息不计息。
v 公式可从利率的定义得出：
把n看做倍数
一笔为期5年，年利率6%的1万元借款，其到期利息为？ 如果是月利率为1%，到期利息又是多少？
第三节 单利和复利 v 总结计算公式为：
需要换算。 v 比如把月利率换算成年收益率，通常用的方法是乘
以12。但如果考虑复利，则应该： v例题：投资5万元的银行理财产品，期限1个月，假
设利息为500元，则该理财产品的年化收益率为： v C=50000[（1+1%）12 -1]=6341.25 v y=C/P=6341.25/50000=12.68%
单利与复利
v 四、竞价拍卖中市场利率的形成 v 一些采用竞价拍卖方式发行的证券，没有规定利率，
练习
v 1.客户存银行现金5万元，存期3年，若银行利率为 3.3%，试用单利和复利分别计算到期的本利和以及利 息？如果月利率为0.3%，又是多少?
v 2.小王贷款60万用于购买住房，期限20年，利率为 9%，请计算每月还款额。
v 3.如果一个投资项目，需要在第一年初投入800万， 第二年初投入800万。建成后的收入预计为：第三年末 137万元，第四年末432万元，第五年末797万元，第六 年末为526万元。假设市场利率为6%，说明该投资项目 是否可行。
利息的计算
利息的度量
v 一、利息的度量 v 利率：是指一定时期内所形成的利息额与所贷出的
本金的比，通常用百分数表示。有年利率、月利率、日 利率之分。
v 用利率计算利息有两种方法：
利息及其度量
v （一）单利计息法
v 只对本金计利息，对本金产生的利息不计息。
v 公式可从利率的定义得出：
把n看做倍数
一笔为期5年，年利率6%的1万元借款，其到期利息为？ 如果是月利率为1%，到期利息又是多少？
第三节 单利和复利 v 总结计算公式为：
需要换算。 v 比如把月利率换算成年收益率，通常用的方法是乘
以12。但如果考虑复利，则应该： v例题：投资5万元的银行理财产品，期限1个月，假
设利息为500元，则该理财产品的年化收益率为： v C=50000[（1+1%）12 -1]=6341.25 v y=C/P=6341.25/50000=12.68%
单利与复利
v 四、竞价拍卖中市场利率的形成 v 一些采用竞价拍卖方式发行的证券，没有规定利率，
《利息理论》期末复习
基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1 ----期末付永续年金
1 11
----
1 1 1 ----期初付永续年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0 --- 期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0 --- 期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
基本年金公式总结
– 单贴现
a1(t) 1 dt
dn
d 1 (n 1)d
• 指数积累
– 复利 a(t) (1 i)t in i
– 复贴现 a1(t) (1 d )t dn d
利息度量三：利息转换频率不同
• 名义利率 i(m)
1
i(m) m
m
1 i
• 名义贴现率 d (m)
1
d (m) m
• 在其他条件相同的情况下，应优先选择净现值 较大的项目进行投资。
收益率的存在性与唯一性
• 收益率唯一性判定定理一 (Descartes符号定 理)
– 若整个投资期间，净现金流入只改变过一次 符号，那么该项目的收益率唯一存在。
• 收益率唯一性判定定理二
– 整个投资期间未动用投资余额始终为正。
币值加权收益率
收益率法
• 收益率：使得净现金流入的现时值为零时的利
率。
n
V (0) vt Rt 0 t 0
• 用收益率进行投资决策时，当投资项目的收益
率大于或等于投资者要求的收益率时，该项目
是可行的，否则便不可行。
净现值法
• 净现值(net present value)：净现金流入的现值。
n
NPV (i) vt Rt t 0
未知时间问题
(1)利息度量
（3）“ 30/360 ”规则：每月按30天计算, 每年按360天计算。 两个给定日期之间的天数按下述公式计算：
360(Y2 Y1) 30(M 2 M1) (D2 D1)
其中起始日为Y1年M1月D1日，到期日为Y2年M2月D2日。18
例：
投资者在2014年6月14日存入基金10000元，2015年2月 7日取出，基金的年单利利率为8%，请分别根据下列 规则计算投资者可以获得的利息金额：
例: i = 5% = 1/20, d = 1/21
40
问题：
已知年实际利率为5%。回答下述问题： （1）100万元贷款在年末的利息是多少？ （2）如果在贷款起始日收取利息，应该收取多少利息？ （3）年实际贴现率是多少？ （4）写出累积函数和贴现函数。 （5）分别用实际利率和实际贴现率计算，5年末到期的
年名义利率为10时年实际利率随复利次数的变化情况年复利次数年实际利率103812104752每周1051365每天105270一定的情况下如果复利次数m为无穷大年实际利率会是多少
数学与统计学院
1
利息度量
累积函数 实际利率
单利和复利 贴现函数 实际贴现率 名义利率 名义贴现率 利息力（连续复利）
累积函数可表示为 a(t) = t (1 d )t
38
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（5）
i – d = id
证明： d i i v i (1 d ) i id 1 i
解释：1元本金在年末有 i 元利息，(1– d) 元本金在年末 有 d 元利息。产生(i – d)元利息差额。 原因：本金有 d 元差额，导致的利息差额是 id。
（1）“实际/365”规则 （2）“实际/360”规则 （3）“30/360”规则
360(Y2 Y1) 30(M 2 M1) (D2 D1)
其中起始日为Y1年M1月D1日，到期日为Y2年M2月D2日。18
例：
投资者在2014年6月14日存入基金10000元，2015年2月 7日取出，基金的年单利利率为8%，请分别根据下列 规则计算投资者可以获得的利息金额：
例: i = 5% = 1/20, d = 1/21
40
问题：
已知年实际利率为5%。回答下述问题： （1）100万元贷款在年末的利息是多少？ （2）如果在贷款起始日收取利息，应该收取多少利息？ （3）年实际贴现率是多少？ （4）写出累积函数和贴现函数。 （5）分别用实际利率和实际贴现率计算，5年末到期的
年名义利率为10时年实际利率随复利次数的变化情况年复利次数年实际利率103812104752每周1051365每天105270一定的情况下如果复利次数m为无穷大年实际利率会是多少
数学与统计学院
1
利息度量
累积函数 实际利率
单利和复利 贴现函数 实际贴现率 名义利率 名义贴现率 利息力（连续复利）
累积函数可表示为 a(t) = t (1 d )t
38
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（5）
i – d = id
证明： d i i v i (1 d ) i id 1 i
解释：1元本金在年末有 i 元利息，(1– d) 元本金在年末 有 d 元利息。产生(i – d)元利息差额。 原因：本金有 d 元差额，导致的利息差额是 id。
（1）“实际/365”规则 （2）“实际/360”规则 （3）“30/360”规则
利息理论
23
未知时间问题
计算方法
利用计算器 利用复利表 利用Taylor展式 利用 展式 非整数期部分采用单利近似替代
72律：利率为i时，使得积累值是本金的 律 利率为 时 2倍所需的时间大致是 倍所需的时间大致是72/i。 倍所需的时间大致是 。
24
预定在第1、 、 、 年末分别付 例1.2.4 预定在第 、3、5、8年末分别付 款200元、400元、300元、600元，假设 元 元 元 元 实际年利率为5%，试确定一个付款 实际年利率为 ，试确定一个付款1500 元的时刻，使这次付款与上面4次付款等 元的时刻，使这次付款与上面 次付款等 价。
6
二 实际利率
某一度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息金额与此度量期开始时投资 的本金金额之比，通常用字母i来表示 来表示。 的本金金额之比，通常用字母 来表示。 对于实际利率保持不变的情形， 对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； ； 对于实际利率变动的情形， 对于实际利率变动的情形，则in=In/A(n1)； ；
(m)
/ m)
m
1 − d = (1 − d ( m ) / m) m： 名义贴现率与名义利率之间的关系： 名义贴现率与名义利率之间的关系
i (m) d (m) i (m) d (m) − = ⋅ m m m m
15
例1.1.9 （1）求与实际利率 等价的每年 ）求与实际利率8%等价的每年 计息2次的年名义利率 以及每年计息4次的 次的年名义利率， 计息 次的年名义利率，以及每年计息 次的 年名义贴现率；（ ；（2）已知每年计息12次的 年名义贴现率；（ ）已知每年计息 次的 年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。 年名义贴现率为 ，求等价的实际利率。 例1.1.10 求1万元按每年计息 次的年名义利 万元按每年计息4次的年名义利 万元按每年计息 投资三年的积累值。 率6%投资三年的积累值。 投资三年的积累值 以每年计息2次的年名义贴现率为 例1.1.11 以每年计息 次的年名义贴现率为 10%，在6年后支付 万元，求其值。 年后支付5万元 ， 年后支付 万元，求其值。
未知时间问题
计算方法
利用计算器 利用复利表 利用Taylor展式 利用 展式 非整数期部分采用单利近似替代
72律：利率为i时，使得积累值是本金的 律 利率为 时 2倍所需的时间大致是 倍所需的时间大致是72/i。 倍所需的时间大致是 。
24
预定在第1、 、 、 年末分别付 例1.2.4 预定在第 、3、5、8年末分别付 款200元、400元、300元、600元，假设 元 元 元 元 实际年利率为5%，试确定一个付款 实际年利率为 ，试确定一个付款1500 元的时刻，使这次付款与上面4次付款等 元的时刻，使这次付款与上面 次付款等 价。
6
二 实际利率
某一度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息金额与此度量期开始时投资 的本金金额之比，通常用字母i来表示 来表示。 的本金金额之比，通常用字母 来表示。 对于实际利率保持不变的情形， 对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； ； 对于实际利率变动的情形， 对于实际利率变动的情形，则in=In/A(n1)； ；
(m)
/ m)
m
1 − d = (1 − d ( m ) / m) m： 名义贴现率与名义利率之间的关系： 名义贴现率与名义利率之间的关系
i (m) d (m) i (m) d (m) − = ⋅ m m m m
15
例1.1.9 （1）求与实际利率 等价的每年 ）求与实际利率8%等价的每年 计息2次的年名义利率 以及每年计息4次的 次的年名义利率， 计息 次的年名义利率，以及每年计息 次的 年名义贴现率；（ ；（2）已知每年计息12次的 年名义贴现率；（ ）已知每年计息 次的 年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。 年名义贴现率为 ，求等价的实际利率。 例1.1.10 求1万元按每年计息 次的年名义利 万元按每年计息4次的年名义利 万元按每年计息 投资三年的积累值。 率6%投资三年的积累值。 投资三年的积累值 以每年计息2次的年名义贴现率为 例1.1.11 以每年计息 次的年名义贴现率为 10%，在6年后支付 万元，求其值。 年后支付5万元 ， 年后支付 万元，求其值。
《金融数学》(1) 利息度量
5
累积函数
• 累积函数(Accumulation function) ：时间零点 的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。
• 性质：
– a (0) = 1； – a (t) 通常是时间的增函数； – 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
•6
常见的几个积累函数
5
4
a(t) (1 0.1)t
3
2
a(t) 1 0.1t
1
a(t) 1
0
-1
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
7
a(t) 累积函数？
1
0
t
•8
• 例：假设累积函数为 a(t) 1 t2
计算 t =1 时的500元 ，在 t = 2 的累积值。
• 解：
t
a(t)
0
1
500 2.5 1250
•11
例：把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020 元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第 二年的有效利率分别是多少？
i1
20 1000
2%
i2
30 1020
2.94%
• 问题：整个存款期间的有效利率是多少？ • 整个存款期间的年平均有效利率是多少？（后面讨论）
单利 (simple interest)
（2）“实际/360 ”：投资天数按两个日期之间的实际天数计算， 每年按360天计算。称为行家规则 ( banker’s rule )。
时间t 的确定, t = 投资天数 / 每年的天数
（3）“ 30/360 ”规则：每月按30天计算, 每年按360天计算。 两个给定日期之间的天数按下述公式计算：
累积函数
• 累积函数(Accumulation function) ：时间零点 的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。
• 性质：
– a (0) = 1； – a (t) 通常是时间的增函数； – 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
•6
常见的几个积累函数
5
4
a(t) (1 0.1)t
3
2
a(t) 1 0.1t
1
a(t) 1
0
-1
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
7
a(t) 累积函数？
1
0
t
•8
• 例：假设累积函数为 a(t) 1 t2
计算 t =1 时的500元 ，在 t = 2 的累积值。
• 解：
t
a(t)
0
1
500 2.5 1250
•11
例：把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020 元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第 二年的有效利率分别是多少？
i1
20 1000
2%
i2
30 1020
2.94%
• 问题：整个存款期间的有效利率是多少？ • 整个存款期间的年平均有效利率是多少？（后面讨论）
单利 (simple interest)
（2）“实际/360 ”：投资天数按两个日期之间的实际天数计算， 每年按360天计算。称为行家规则 ( banker’s rule )。
时间t 的确定, t = 投资天数 / 每年的天数
（3）“ 30/360 ”规则：每月按30天计算, 每年按360天计算。 两个给定日期之间的天数按下述公式计算：
寿险精算_chapter1和2复习和回顾
现时值 积累值
0
1
V (0) = Pan + Q
an nvn i
V ( n ) = Ps n + Q
sn n i
特殊等差年金
年金 现时值 积累值
( Ia) n =
递增年金 P=1,Q=1
an nvn i
n 1
递减年金 P=n,Q=-1
= ∑ vt ant ( Da) n =
t =0
n an i
一般年金公式
年金 延付 初付
支付频率小于计息频 率
支付频率大于计息频率
现时值 积累值 现时值
an sk
an ak
积累值
n
sn sk n s ak
a
(m) n
( anm)
(1+ i) 1 1 v (m) = ( m ) sn = (m) i i n n 1 v (1+ i) 1 (m) = ( m) n = s (m) d d
实质利率:以一年为一个利息转换期, 实质利率:以一年为一个利息转换期,该 利率记为实质利率, 利率记为实质利率,记为 i . 名义利率:在一年里有m个利息转换期 个利息转换期, 名义利率:在一年里有 个利息转换期, 假如每一期的利率为j, 假如每一期的利率为 ,记 i (m) 为 这一年的 ( m) 名义利率, 名义利率,i = mj . 利息力:假如连续计息,那么在任意时刻t 利息力:假如连续计息,那么在任意时刻 的瞬间利率叫作利息力, 的瞬间利率叫作利息力,记为 δ t . 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利 率,名义利率类似. 名义利率类似.
实质利率与实质贴现率
初始值
利息
积累值
1
i
d
利息理论课件 (1)
(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)
例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
例1-2 某人借款10000元，为期一年，年实质 利率为 10% 。问：一年后，此人需要还款 多少？其中利息为多少？
例1-7 重新考虑例1-1中存款，所述的事件 不变，求第一、第二年的实质贴现率。
“等价”
对于同一笔业务，用不同的率去度量，其结 果是“等价”的。
等价 关系式
i=d/(1-d) i-id=d d(1+i)=i d=i/(1+i) d=iv d= i/(1+i)=1-1/(1+i) =1-v v=1-d d =iv=i(1-d) =i-id i-d=id (1-12A) (1-12B) (1-12C) (1-12D) (1-12E) (1-12F) (1-12G) (1-12H) (1-12I)
d (m) d ( m ) m 1 (1 ) 贴现： m m
d ( m) d ( m) m2 (1 ) m m
d (m) d (m) (1 ) m m
d (m) 1 m
d ( m) m ) 余额： 1 d (1 m
d ( m ) m 1 (1 ) m
…
d (m) 2 (1 ) m
d (m) 1 m
1
图(1-2B) 名义贴现率图
例1-9 （ 1 ）求与实质利率 8% 等价的每年计息 2 次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率； （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%， 求等价的实质利率； （3）已知i(3/2)=8%，求等价的d(12)。
《利息理论》复习提纲
?利息理论?复习提纲第一章利息的根本概念第一节利息度量一.实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开场时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。
利息金额I n=A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，那么i n=I n/A(n-1；)例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，〔1〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=1+i*，t那么称这样产生的利息为单利；实际利率i n a(n)a(na(n1)1)1ii(n1)〔2〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t，那么称这样产生的利息为复利。
实际利率i n i例题：1.1.3三..实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。
等价的利率i、贴现率d和贴现因子〔折现因子〕v之间关系如下：dii,d(1i)i,d1d1i1v1d,div,v,idid1i例题：1.1.6四．名义利率与名义贴现率(m)用i表示每一度量期支付m次利息的名义利率，这里的m可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际利率为im。
(m)(m)m与i等价的实际利率i之间的关系：1i(1i/m)。
(m)(m)m名义贴现率d，1d(1d/m)。
(m )(m )()m ()midid 名义利率与名义贴现率之间的关系： mmmm。
例题：1.1.9五．利息强度定义利息强度〔利息力〕为tA(t)a(t) A(t)a(t)，t s dsa(t)e 。
(m)(p)idm11p一个常用的关系式如下：[1]1iv(1d )[1]emp。
例题：1.1.12(m d(p ))要求：,,,,idi ，之间的计算。
习题：1、2、3、4、15、16、19、24。
第二节利息问题求解 一.价值等式例题：1.2.1 二.投资期确实定计算利息的根本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/根底天数。
复利数学第一章讲义
(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)
例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
例1-2 某人借款10000元，为期一年，年实质 利率为10%。问：一年后，此人需要还款 多少？其中利息为多少？
例1-7 重新考虑例1-1中存款，所述的事件 不变，求第一、第二年的实质贴现率。
“等价”
对于同一笔业务，用不同的率去度量，其结 果是“等价”的。
等价 关系式
i=d/(1-d) i-id=d d(1+i)=i d=i/(1+i) d=iv d= i/(1+i)=1-1/(1+i) =1-v v=1-d d =iv=i(1-d) =i-id i-d=id (1-12A) (1-12B) (1-12C) (1-12D) (1-12E) (1-12F) (1-12G) (1-12H) (1-12I)
一般用字母I表示利息, In表示第n期上的 利息
In=A(n)-A(n-1)=P×a(n)-P×a(n-1) = P×[a(n)-a(n-1)] 对整数n≥1 (1-2A) 而n个时期上总的利息金额则为 I=A(n)-A(0)=P×a(n)-P×a(0) =P×[a(n)-1]=I1+ I2+…+ In (1-2B)
图(1-2A) 名义利率图
名义贴现率
用符号d(m) 记每一度量期付m次利息的名义贴 现率。所谓名义贴现率d(m)，是指每1/m个度量 期支付利息一次，而在每1/m个度量期上的实 质贴现率为d(m)/m。 如d是对每个度量期初支付的利息的度量一样， 名义贴现率d(m)是一种对1/m个度量期初支付的 利息的度量。
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0
s
t
t+ s
16
假设 a(t) 可导，由导数的定义有
a (t ) a (t ) 0
a(t ) lim
a( ) a (0) lim a(0) 0
在上式中，用 s 代替 t，并在等式两端从0到 t 积分，即得
t t
a(s)ds a(0)ds
0 0
a (t ) a (0) t a(0)
a (t ) a (0) t a (0) 1 t a (0)
17
a (t ) 1 t a (0)
现在只需求出 a (0) ，即可求得单利条件下的累积函数 若令t = 1，则由上式有
a (1) 1 a (0)
13
解： A(0) 1000, A(1) 1020, A(2) 1050
I (1) A(1) A(0) 20 I (2) A(2) A(1) 30
I (1) 20 i1 2% A(0) 1000
I (2) 30 i2 2.94% A(1) 1020
5 .5 5 4 .5 4 3 .5 3 2 .5 2 1 .5 1
复利
单利
0
0 .5
1
1 .5
33
5 .5 5 4 .5 4 3 .5 3 2 .5 2 1 .5 1
复利
单利
0
0 .5
1
1 .5
• 单利累积函数：是一条直线 • 复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸 曲线。 • 两个交点：0和1。
所得利息的金额为
2640 2000 640 2000 8% 4
利息金额＝本金 利率 时期
21
单利的应用: t 的确定, t = 投资天数/每年的天数
（1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/ actual），即投 资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。
a (n) a (n 1) in a (n 1)
(1 i) n (1 i) n 1 (1 i ) n 1
(1 i ) 1 1 i
32
单利与复利之间的关系（假设单利和复利的年利率相等）
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。 当 0 < t < 1 时，单利比复利产生更大的积累值。 当 t > 1时，复利比单利产生更大的积累值。 当 t = 1 或 0 时，单利和复利产生相同的累积值。
360 1 30 (3 6) (10 17) 263
因此利息金额为
263 1000 0.08 58.44 360
（3）根据 “实际/360”规则计算的利息金额为
1000 0.08 267 59.33 360
24
单利的缺陷：不满足一致性
令 t = t 1 + t2 则
26
复利的积累函数
考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1＋i; 余额1＋i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达 到 (1+i) + (1+i)i = (1+i)2 ;
在第三期末将达到 (1+i)2 + (1+i)2 i = (1+i)3 一直持续下去……， 对于整数时期 t，积累函数为
利息的度量
（Measurements of interest）
在日常生活中：
如何度量速度？距离/时间
瞬时速度？
如何度量死亡率？死亡人数/期初生存人数
死亡力？
如何度量利率？利息/本金
利息力（连续复利）？
2
1.1 利息的基本函数
利息（interest）的定义：
借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报 酬。
a (1) 1 i
a '(0) ln(1 i )
ln a (t ) ta '(0) 可以求得
ln a (t ) t ln(1 i)
可见，对于非整数 t，同样有
a(t ) (1 i )
t
30
复利的累积函数
31
复利与实际利率的关系
常数的复利率意味着实际利率也为常数
性质
A (0) = k； A (t) = k·a(t), k > 0, t≥0
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利息（interest）的数学定义
从投资之日算起，在第n个时期末所获得的利息金额：
I ( n ) A( n ) A( n 1),
n 1
利息金额 I(n) 在整个时期内产生，但在最后时刻实现 （支付、得到）。
X (1 5 11%) 1000 X 645.16
X (1 11%)5 1000 X 593.47
a (t1 )a (t2 ) (1 it1 )(1 it2 ) 1 it i 2t1t2 (1 it ) a (t )
Hale Waihona Puke 含义：分两段投资将产生更多利息。 问题：分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？
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1.4 复利 (compound interest)
a(t ) (1 i)t
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对于非整数t， 复利的累积函数
直观性质：a (t s )
a (t ) a( s ), t 0, s 0
如何求出a(t)的表达式？
设a(t)可导，则由导数的定义得
a '(t ) lim a (t s ) a (t ) s 0 s
a(t )a ( s) a (t ) lim s 0 s
a(s) 1 a (t ) lim s 0 s
a (t )a '(0)
a '(t ) a '(0) a (t )
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因此，
a '(t ) d ln a (t ) a '(0) a (t ) dt
将 t 换成 r，并将等式两边从0到 t 积分，有
6
5
4
a(t ) (1 0.1)t
3
2
a(t ) 1 0.1t
1
a (t ) 1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
对应哪些实例？
7
a(t) 累积函数？
1
0
t 对应哪些实例？
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金额函数（Amount function）
金额函数：时刻0投资k 个单位本金在时刻 t 的积累值，记 为A (t) 。
利息存在的合理性
资金的稀缺性 时间偏好 资本生产力
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关于利息的几个基本概念 本金（principal）：初始投资的资本金额。 累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总 金额。
利息（interest）——累积值与本金之间的差额。
4
积累函数 (Accumulation function)
（2）银行家规则 ( banker’s rule ) ，记为“实际/360”，即投 资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。
（3）“30/360”规则，即在计算投资天数时，每月按30天计 算, 每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式 计算：
360(Y2 Y1 ) 30( M 2 M 1 ) ( D2 D1 )
实际利率可对任何时期来计算。第 n 个时期的实际利 率为
A ( n ) A ( n 1) I (n) in A ( n 1) A ( n 1)
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例：
把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末 存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是 多少？
其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。22
例：
若在1999年6月17日存入1000元，到2000年3月10日取 款，年单利利率为8％，试分别按下列规则计算利息金 额： （1）“实际/实际”规则 （2）“30/360”规则 （3）“实际/360”规则
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（1）从1999年6月17日到2000年3月10日的精确天数 为267（应用EXCEL），因此利息金额为 267 1000 0.08 58.52 365 （2）根据 “30/360”规则，投资天数为
t d 0 dr lna(r )dr 0 a '(0)dr t
ln a (t ) ln a (0) ta '(0)
注：a(0)=1
ln a (t ) ta '(0)
求出 a(0) 即可！
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ln a (t ) ta '(0)
若取 t =1, 则有 又因为 故 因此由
ln a(1) a '(0)
而由前面可知，a(1) = 1 + i 因此 a (0) i a(t) = 1 + it
上述推导过程没有限制 t 为正整数，因此对一切大于零 的时间 t 都是成立的。
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单利的累积函数
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单利与实际利率的关系：
常数的单利并不意味着实际利率(effective rate)是常数！
in a (n) a( n 1) a(n 1)
在单利情形下，前期的利息没有在后期产生利息。 复利：利息收入被再次计入下一期的本金，即所谓的“利 滚利”。