利息度量
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360 1 30 (3 6) (10 17) 263
因此利息金额为
263 1000 0.08 58.44 360
（3）根据 “实际/360”规则计算的利息金额为
1000 0.08 267 59.33 360
24
单利的缺陷：不满足一致性
令 t = t 1 + t2 则
a (1) 1 i
a '(0) ln(1 i )
ln a (t ) ta '(0) 可以求得
ln a (t ) t ln(1 i)
可见，对于非整数 t，同样有
a(t ) (1 i )
t
30
复利的累积函数
31
复利与实际利率的关系
常数的复利率意味着实际利率也为常数
所得利息的金额为
2640 2000 640 2000 8% 4
利息金额＝本金 利率 时期
21
单利的应用: t 的确定, t = 投资天数/每年的天数
（1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/ actual），即投 资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。
利息的度量
（Measurements of interest）
在日常生活中：
如何度量速度？距离/时间
瞬时速度？
如何度量死亡率？死亡人数/期初生存人数
死亡力？
如何度量利率？利息/本金
利息力（连续复利）？
2
1.1 利息的基本函数
利息（interest）的定义：
借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报 酬。
实际利率可对任何时期来计算。第 n 个时期的实际利 率为
A ( n ) A ( n 1) I (n) in A ( n 1) A ( n 1)
12
例：
把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末 存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是 多少？
a (0) 1 a (1) 1 i a (t ) 1 it
15
当 t 为非整数时，单利的累积函数：
单利的一个直观性质：相同长度的时期产生相同金额的利 息。
a (t s ) a (t ) a ( s ) 1, t 0, s 0
从时间 t 到时间 t＋s 所产生的利息等于从时间 0 到时间 s 所产生的利息。
在单利情形下，前期的利息没有在后期产生利息。 复利：利息收入被再次计入下一期的本金，即所谓的“利 滚利”。
例：假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利 50元，因此在年末有1050元可以用来投资。如果按照1050 元来计算，将在明年末获得利息为52.5元，比只按照1000 元投资要多获得利息2.5元。
（2）银行家规则 ( banker’s rule ) ，记为“实际/360”，即投 资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。
（3）“30/360”规则，即在计算投资天数时，每月按30天计 算, 每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式 计算：
360(Y2 Y1 ) 30( M 2 M 1 ) ( D2 D1 )
而由前面可知，a(1) = 1 + i 因此 a (0) i a(t) = 1 + it
上述推导过程没有限制 t 为正整数，因此对一切大于零 的时间 t 都是成立的。
18
单利的累积函数
19
单利与实际利率的关系：
常数的单利并不意味着实际利率(effective rate)是常数！
in a (n) a( n 1) a(n 1)
5 .5 5 4 .5 4 3 .5 3 2 .5 2 1 .5 1
复利
单利
0
0 .5
1
1 .5
33
5 .5 5 4 .5 4 3 .5 3 2 .5 2 1 .5 1
复利
单利
0
0 .5
1
1 .5
• 单利累积函数：是一条直线 • 复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸 曲线。 • 两个交点：0和1。
实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：
当期利息 a(1) a (0) A(1) A(0) I (1) i ＝ 期初本金 a(0) A(0) A(0)
11
注：
实际利率经常简称为利率，用百分比表示，如8% ； 利息是在期末支付的； 本金在整个时期视为常数； 通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。若无 特别说明，实际利率是指年利率。
其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。22
例：
若在1999年6月17日存入1000元，到2000年3月10日取 款，年单利利率为8％，试分别按下列规则计算利息金 额： （1）“实际/实际”规则 （2）“30/360”规则 （3）“实际/360”规则
23
（1）从1999年6月17日到2000年3月10日的精确天数 为267（应用EXCEL），因此利息金额为 267 1000 0.08 58.52 365 （2）根据 “30/360”规则，投资天数为
6Baidu Nhomakorabea
5
4
a(t ) (1 0.1)t
3
2
a(t ) 1 0.1t
1
a (t ) 1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
对应哪些实例？
7
a(t) 累积函数？
1
0
t 对应哪些实例？
8
金额函数（Amount function）
金额函数：时刻0投资k 个单位本金在时刻 t 的积累值，记 为A (t) 。
a (n) a (n 1) in a (n 1)
(1 i) n (1 i) n 1 (1 i ) n 1
(1 i ) 1 1 i
32
单利与复利之间的关系（假设单利和复利的年利率相等）
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。 当 0 < t < 1 时，单利比复利产生更大的积累值。 当 t > 1时，复利比单利产生更大的积累值。 当 t = 1 或 0 时，单利和复利产生相同的累积值。
累积函数：时刻0的1元本金在时刻 t 的累积值, 记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。当利息 是跳跃产生时， a (t) 是间断函数。 注：一般假设利息是连续产生的。
5
例：
常见的积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t 上述3个函数是否满足积累函数的性质？
0 0
a (t ) a (0) t a(0)
a (t ) a (0) t a (0) 1 t a (0)
17
a (t ) 1 t a (0)
现在只需求出 a (0) ，即可求得单利条件下的累积函数 若令t = 1，则由上式有
a (1) 1 a (0)
13
解： A(0) 1000, A(1) 1020, A(2) 1050
I (1) A(1) A(0) 20 I (2) A(2) A(1) 30
I (1) 20 i1 2% A(0) 1000
I (2) 30 i2 2.94% A(1) 1020
a (t1 )a (t2 ) (1 it1 )(1 it2 ) 1 it i 2t1t2 (1 it ) a (t )
含义：分两段投资将产生更多利息。 问题：分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？
25
1.4 复利 (compound interest)
(1 in) [1 i (n 1)] 1 i (n 1)
i 1 (n 1)i
因此，实际利率是 n 的递减函数。 问题: 为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际 利率却越来越小呢？
20
例
若每年单利为8％，求投资2000元在4年后的积累值和利息。 累积值为：
A(4) 2000(1 4 8%) 2640
性质
A (0) = k； A (t) = k·a(t), k > 0, t≥0
9
利息（interest）的数学定义
从投资之日算起，在第n个时期末所获得的利息金额：
I ( n ) A( n ) A( n 1),
n 1
利息金额 I(n) 在整个时期内产生，但在最后时刻实现 （支付、得到）。
0
s
t
t+ s
16
假设 a(t) 可导，由导数的定义有
a (t ) a (t ) 0
a(t ) lim
a( ) a (0) lim a(0) 0
在上式中，用 s 代替 t，并在等式两端从0到 t 积分，即得
t t
a(s)ds a(0)ds
利息存在的合理性
资金的稀缺性 时间偏好 资本生产力
3
关于利息的几个基本概念 本金（principal）：初始投资的资本金额。 累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总 金额。
利息（interest）——累积值与本金之间的差额。
4
积累函数 (Accumulation function)
a(t ) (1 i)t
27
对于非整数t， 复利的累积函数
直观性质：a (t s )
a (t ) a( s ), t 0, s 0
如何求出a(t)的表达式？
设a(t)可导，则由导数的定义得
a '(t ) lim a (t s ) a (t ) s 0 s
t d 0 dr lna(r )dr 0 a '(0)dr t
ln a (t ) ln a (0) ta '(0)
注：a(0)=1
ln a (t ) ta '(0)
求出 a(0) 即可！
29
ln a (t ) ta '(0)
若取 t =1, 则有 又因为 故 因此由
ln a(1) a '(0)
26
复利的积累函数
考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1＋i; 余额1＋i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达 到 (1+i) + (1+i)i = (1+i)2 ;
在第三期末将达到 (1+i)2 + (1+i)2 i = (1+i)3 一直持续下去……， 对于整数时期 t，积累函数为
34
35
36
单利和复利的累积函数的比较（ i=60%)
2.6 2.4 2.2 2
a(x)
复利 单利
1.8 1.6 1.4 1.2 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 x
1.2
1.4
1.6
1.8
2
37
例
按复利和单利分别计算，当年利率为11％时，初始投资 多少元才能使第5年的本金和利息总和积累到1000元?
a(t )a ( s) a (t ) lim s 0 s
a(s) 1 a (t ) lim s 0 s
a (t )a '(0)
a '(t ) a '(0) a (t )
28
因此，
a '(t ) d ln a (t ) a '(0) a (t ) dt
将 t 换成 r，并将等式两边从0到 t 积分，有
问题：整个存款期间的实际利率是多少？ 整个存款期间的年平均实际利率是多少？（后面讨论）
14
1.3 单利 (simple interest)
假设在期初投资1，在每个时期末得到完全相同的利息金 额 i ，这种计息方式称为单利，i 称为单利率。 特点：只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息。 单利的积累函数满足下述性质：
在时间段 [ t1 , t2 ] 内所获得的利息金额为
I (t1 , t2 ) A(t2 ) A(t1 )
10
1.2 实际利率（effective rate of interest）
实际利率 i 等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期 间末获得的利息：
i a (1) a (0)
X (1 5 11%) 1000 X 645.16
X (1 11%)5 1000 X 593.47
因此利息金额为
263 1000 0.08 58.44 360
（3）根据 “实际/360”规则计算的利息金额为
1000 0.08 267 59.33 360
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单利的缺陷：不满足一致性
令 t = t 1 + t2 则
a (1) 1 i
a '(0) ln(1 i )
ln a (t ) ta '(0) 可以求得
ln a (t ) t ln(1 i)
可见，对于非整数 t，同样有
a(t ) (1 i )
t
30
复利的累积函数
31
复利与实际利率的关系
常数的复利率意味着实际利率也为常数
所得利息的金额为
2640 2000 640 2000 8% 4
利息金额＝本金 利率 时期
21
单利的应用: t 的确定, t = 投资天数/每年的天数
（1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/ actual），即投 资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。
利息的度量
（Measurements of interest）
在日常生活中：
如何度量速度？距离/时间
瞬时速度？
如何度量死亡率？死亡人数/期初生存人数
死亡力？
如何度量利率？利息/本金
利息力（连续复利）？
2
1.1 利息的基本函数
利息（interest）的定义：
借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报 酬。
实际利率可对任何时期来计算。第 n 个时期的实际利 率为
A ( n ) A ( n 1) I (n) in A ( n 1) A ( n 1)
12
例：
把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末 存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是 多少？
a (0) 1 a (1) 1 i a (t ) 1 it
15
当 t 为非整数时，单利的累积函数：
单利的一个直观性质：相同长度的时期产生相同金额的利 息。
a (t s ) a (t ) a ( s ) 1, t 0, s 0
从时间 t 到时间 t＋s 所产生的利息等于从时间 0 到时间 s 所产生的利息。
在单利情形下，前期的利息没有在后期产生利息。 复利：利息收入被再次计入下一期的本金，即所谓的“利 滚利”。
例：假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利 50元，因此在年末有1050元可以用来投资。如果按照1050 元来计算，将在明年末获得利息为52.5元，比只按照1000 元投资要多获得利息2.5元。
（2）银行家规则 ( banker’s rule ) ，记为“实际/360”，即投 资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。
（3）“30/360”规则，即在计算投资天数时，每月按30天计 算, 每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式 计算：
360(Y2 Y1 ) 30( M 2 M 1 ) ( D2 D1 )
而由前面可知，a(1) = 1 + i 因此 a (0) i a(t) = 1 + it
上述推导过程没有限制 t 为正整数，因此对一切大于零 的时间 t 都是成立的。
18
单利的累积函数
19
单利与实际利率的关系：
常数的单利并不意味着实际利率(effective rate)是常数！
in a (n) a( n 1) a(n 1)
5 .5 5 4 .5 4 3 .5 3 2 .5 2 1 .5 1
复利
单利
0
0 .5
1
1 .5
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5 .5 5 4 .5 4 3 .5 3 2 .5 2 1 .5 1
复利
单利
0
0 .5
1
1 .5
• 单利累积函数：是一条直线 • 复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸 曲线。 • 两个交点：0和1。
实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：
当期利息 a(1) a (0) A(1) A(0) I (1) i ＝ 期初本金 a(0) A(0) A(0)
11
注：
实际利率经常简称为利率，用百分比表示，如8% ； 利息是在期末支付的； 本金在整个时期视为常数； 通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。若无 特别说明，实际利率是指年利率。
其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。22
例：
若在1999年6月17日存入1000元，到2000年3月10日取 款，年单利利率为8％，试分别按下列规则计算利息金 额： （1）“实际/实际”规则 （2）“30/360”规则 （3）“实际/360”规则
23
（1）从1999年6月17日到2000年3月10日的精确天数 为267（应用EXCEL），因此利息金额为 267 1000 0.08 58.52 365 （2）根据 “30/360”规则，投资天数为
6Baidu Nhomakorabea
5
4
a(t ) (1 0.1)t
3
2
a(t ) 1 0.1t
1
a (t ) 1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
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对应哪些实例？
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a(t) 累积函数？
1
0
t 对应哪些实例？
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金额函数（Amount function）
金额函数：时刻0投资k 个单位本金在时刻 t 的积累值，记 为A (t) 。
a (n) a (n 1) in a (n 1)
(1 i) n (1 i) n 1 (1 i ) n 1
(1 i ) 1 1 i
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单利与复利之间的关系（假设单利和复利的年利率相等）
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。 当 0 < t < 1 时，单利比复利产生更大的积累值。 当 t > 1时，复利比单利产生更大的积累值。 当 t = 1 或 0 时，单利和复利产生相同的累积值。
累积函数：时刻0的1元本金在时刻 t 的累积值, 记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。当利息 是跳跃产生时， a (t) 是间断函数。 注：一般假设利息是连续产生的。
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例：
常见的积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t 上述3个函数是否满足积累函数的性质？
0 0
a (t ) a (0) t a(0)
a (t ) a (0) t a (0) 1 t a (0)
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a (t ) 1 t a (0)
现在只需求出 a (0) ，即可求得单利条件下的累积函数 若令t = 1，则由上式有
a (1) 1 a (0)
13
解： A(0) 1000, A(1) 1020, A(2) 1050
I (1) A(1) A(0) 20 I (2) A(2) A(1) 30
I (1) 20 i1 2% A(0) 1000
I (2) 30 i2 2.94% A(1) 1020
a (t1 )a (t2 ) (1 it1 )(1 it2 ) 1 it i 2t1t2 (1 it ) a (t )
含义：分两段投资将产生更多利息。 问题：分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？
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1.4 复利 (compound interest)
(1 in) [1 i (n 1)] 1 i (n 1)
i 1 (n 1)i
因此，实际利率是 n 的递减函数。 问题: 为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际 利率却越来越小呢？
20
例
若每年单利为8％，求投资2000元在4年后的积累值和利息。 累积值为：
A(4) 2000(1 4 8%) 2640
性质
A (0) = k； A (t) = k·a(t), k > 0, t≥0
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利息（interest）的数学定义
从投资之日算起，在第n个时期末所获得的利息金额：
I ( n ) A( n ) A( n 1),
n 1
利息金额 I(n) 在整个时期内产生，但在最后时刻实现 （支付、得到）。
0
s
t
t+ s
16
假设 a(t) 可导，由导数的定义有
a (t ) a (t ) 0
a(t ) lim
a( ) a (0) lim a(0) 0
在上式中，用 s 代替 t，并在等式两端从0到 t 积分，即得
t t
a(s)ds a(0)ds
利息存在的合理性
资金的稀缺性 时间偏好 资本生产力
3
关于利息的几个基本概念 本金（principal）：初始投资的资本金额。 累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总 金额。
利息（interest）——累积值与本金之间的差额。
4
积累函数 (Accumulation function)
a(t ) (1 i)t
27
对于非整数t， 复利的累积函数
直观性质：a (t s )
a (t ) a( s ), t 0, s 0
如何求出a(t)的表达式？
设a(t)可导，则由导数的定义得
a '(t ) lim a (t s ) a (t ) s 0 s
t d 0 dr lna(r )dr 0 a '(0)dr t
ln a (t ) ln a (0) ta '(0)
注：a(0)=1
ln a (t ) ta '(0)
求出 a(0) 即可！
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ln a (t ) ta '(0)
若取 t =1, 则有 又因为 故 因此由
ln a(1) a '(0)
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复利的积累函数
考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1＋i; 余额1＋i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达 到 (1+i) + (1+i)i = (1+i)2 ;
在第三期末将达到 (1+i)2 + (1+i)2 i = (1+i)3 一直持续下去……， 对于整数时期 t，积累函数为
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35
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单利和复利的累积函数的比较（ i=60%)
2.6 2.4 2.2 2
a(x)
复利 单利
1.8 1.6 1.4 1.2 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 x
1.2
1.4
1.6
1.8
2
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例
按复利和单利分别计算，当年利率为11％时，初始投资 多少元才能使第5年的本金和利息总和积累到1000元?
a(t )a ( s) a (t ) lim s 0 s
a(s) 1 a (t ) lim s 0 s
a (t )a '(0)
a '(t ) a '(0) a (t )
28
因此，
a '(t ) d ln a (t ) a '(0) a (t ) dt
将 t 换成 r，并将等式两边从0到 t 积分，有
问题：整个存款期间的实际利率是多少？ 整个存款期间的年平均实际利率是多少？（后面讨论）
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1.3 单利 (simple interest)
假设在期初投资1，在每个时期末得到完全相同的利息金 额 i ，这种计息方式称为单利，i 称为单利率。 特点：只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息。 单利的积累函数满足下述性质：
在时间段 [ t1 , t2 ] 内所获得的利息金额为
I (t1 , t2 ) A(t2 ) A(t1 )
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1.2 实际利率（effective rate of interest）
实际利率 i 等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期 间末获得的利息：
i a (1) a (0)
X (1 5 11%) 1000 X 645.16
X (1 11%)5 1000 X 593.47