【100所名校】2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届吉林省长春市实验中学 高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合P ={x ∈R|0≤x ≤4},Q ={x ∈R||x|<2}，则P ∪Q = A ． [2,4] B ． (−2,4] C ． (−∞,4] D ． (0,4] 2．命题"∀x ∈R,x 3−3x ≤0"的否定为A ． “∀x ∈R,x 3−3x >0”B ． “∀x ∈R,x 3−3x ≥0”C ． “∃x 0∈R,x 03−3x 0>0”D ． “∃x 0∈R,x 03−3x 0<0” 3．cos 11π3的值为A ． −√32B ． −12 C ．√32D ． 124．函数y =x 2+ln |x |x 的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．如图，从高为ℎ的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(B)的俯角是α，桥头(C)的俯角是β，则桥BC 的长为A ． ℎsin(α−β)sinαsinβ B ． ℎcos(α−β)sinαsinβ C ． ℎsin(α−β)cosαcosβ D ． ℎcos(α−β)cosαcosβ 6．已知{a n }是公差为2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 5=S 3，则a 3= A ． −4 B ． −3 C ． −2 D ． −17．已知平面向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=|b ⃑⃑|=1,若|2a ⃑−3b ⃑⃑|=√7，则向量a ⃑,b ⃑⃑的夹角为 A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 120°8．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则A ． ω=2，φ=π6B ． ω=12，φ=π6C ． ω=2，φ=π3D ． ω=12，φ=π3 9．设函数f(x)=x(e x +e −x )，则f(x)A ． 是奇函数，且在R 上是增函数B ． 是偶函数，且在R 上有极小值C ． 是奇函数，且在R 上是减函数D ． 是偶函数，且在R 上有极大值10．设函数f(x)=sin(2x +π3)的图象为C ，下面结论中正确的是A ． 函数f(x)的最小正周期是2πB ． 图象C 关于点(π6,0)对称C ． 图象C 可由函数g(x)=sin2x 的图象向左平移π3个单位得到D ． 函数f(x)在区间(−π12,π12)上是增函数11．点M 为ΔABC 的重心，AB =2,BC =1,∠ABC =60∘，则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第4页（共4页）A ． 1B ． 23√3 C ． 2 D ． 3 12．函数f(x)=e x x−ax 在R 上有三个零点，则a 的取值范围是A ． (e,e 22) B ． (e 24,e 22) C ． (e 22,+∞) D ． (e 24,+∞)二、填空题13．函数()sin(2)6f x x π=-的单调递减区间是 ．14．函数f(x)=√log 12(x −1)的定义域为_______.15．已知数列 {a n } 是递增的等比数列，且 a 1a 4=8,a 2+a 3=6，则 a 6 的值等于_____． 16．①在同一坐标系中，y =log 2x 与y =log 12x 的图象关于x 轴对称②函数y =log 21−x1+x 是奇函数③函数y =x+1x+2的图象关于(−2,1)成中心对称 ④函数y =(12)1−x 2的最大值为12以上四个判断正确有_____________.（写上序号）三、解答题17．已知非零向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=2，且(a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=3． （1）求|b⃑⃑|； （2）若a ⃑=(2,0)，求|a ⃑−b⃑⃑|的取值范围. 18．已知函数f (x )=log a (1−ax )（a >0且a ≠1）， （1）若a =2，解不等式f (x )<2；（2）若函数f (x )在区间(0 ， 3]上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 19．已知函数f(x)=√3sin2x +2cos 2x +1(x ∈R). （1）求f(x)的最小值及取得最小值时所对应的x 值； （2）求f(x)的单调递减区间．20．已知数列{a n }是公差为−2的等差数列，若a 1+2,a 3,a 4成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =2n−1−a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ,求满足S n ≥0成立的n 的最小值. 21．如图：在ΔABC 中，b 2=a 2+c 2−ac ，点D 在线段AC 上，且AD =2DC .（1）若AC =2，AB =√3,求ΔDBC 的面积； （2）若AB =2,BD =2√73．求BC 的长. 22．已知函数f(x)=ax 2+(a −2)x −lnx ，(a ∈R). （1）讨论f(x)的单调性；（2）若对任意x >0，都有f(x)≥0成立，求实数a 的取值范围.2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合Q,再利用并集的定义求P∪Q.【详解】由题意得，P={x∈R|0≤x≤4}=[0,4]，Q={x∈R||x|<2}={x∈R|−2<x<2}=(−2,2)，∴P∪Q=(−2,4]，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或属于集合B的元素的集合.2．C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果，做题过程注意量词的互换.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，“∀x∈R,x3−3x≤0”的否定为“∃x0∈R,x03−3x0>0”.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．D【解析】【分析】根据诱导公式，结合特殊角的三角函数即可得结果.【详解】化简cos11π3=cos(4π−π3)=cos(−π3)=cosπ3=12，故选D.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.4．C【解析】【分析】利用排除法，当x=1时排除B；当x=−1时，排除A；当x=1e时，排除D,从而可得结果.【详解】当x=1时，函数y=x2+ln|x|x=1，所以选项B不正确；当x=−1时，函数y=x2+ln|x|x=1，所以选项A不正确；当x=1e时，函数y=x2+ln|x|x=(1e)2−e<0，所以选项D不正确，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．A【解析】【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出CD与BD，由CD−BD求出BC的长即可.【详解】由题意得：∠ACD=β,∠ABD=α,AD=ℎ，好教育云平台名校精编卷答案第1页（共14页）好教育云平台名校精编卷答案第2页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第3页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共14页）在RtΔACD 中，tan∠ACD =AD CD，即tanβ=ℎCD，整理得：CD =ℎtanβ；在RtΔABD 中，tan∠ABD =ADBD，即tanα=ℎBD，整理得：BD =ℎtanα，则BC =CD −BD =ℎtanβ−ℎtanα=(cosβsinβ−cosαsinα)ℎ =sinαcosβ−cosαsinβsinαsinβℎ=sin (α−β)sinαsinβℎ，故选A.【点睛】此题属于解三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及性质是解本题的关键.6．B 【解析】 【分析】由S 5=S 3，结合公差为2利用等差数列的求和公式列方程求得首项的值，利用等差数列的通项公式可得结果.【详解】 由S 5=S 3， 得5a 1+5×42×2=3a 1+3×22×2，解得a 1=−7，∴a 3=−7+2×2=−3，故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a 1,d,n,a n ,S n ,一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.7．C 【解析】 【分析】由|2a ⃑−3b ⃑⃑|=√7两边平方，结合|a ⃑|=|b ⃑⃑|=1可求得a ⃑,b ⃑⃑的数量积，从而可得结果. 【详解】由|2a ⃑−3b ⃑⃑|=√7，得4a ⃑2−12a ⃑⋅b⃑⃑+9b ⃑⃑2=7， ∵|a ⃑|=|b ⃑⃑|=1，∴可得a ⃑⋅b ⃑⃑=12， 即|a ⃑||b ⃑⃑|cos⟨a ⃑,b ⃑⃑⟩=12，cos⟨a ⃑,b⃑⃑⟩>12， ∴a ⃑与b ⃑⃑夹角为60∘，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|cosθ，二是a ⃑⋅b ⃑⃑=x 1x 2+y 1y 2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cosθ=a ⃑⃑·b ⃑⃑|a⃑⃑|·|b ⃑⃑| （此时a ⃑·b ⃑⃑往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a ⃑ 在b ⃑⃑ 上的投影是a ⃑⃑⋅b⃑⃑|b ⃑⃑|；（3）a ⃑,b ⃑⃑向量垂直则a ⃑⋅b ⃑⃑=0;(4)求向量ma ⃑+nb ⃑⃑ 的模（平方后需求a ⃑⋅b⃑⃑）. 8．A 【解析】 【分析】先根据函数图象得到周期求出ω=2，然后带特殊点求值即可. 【详解】由图可知函数的周期为T =13π12−π12=π，则ω=2.则f(x)=sin(2x +φ),将x =π12代入解析式中得f(π12)=sin(2×π12+φ)=√32, 则π6+φ=π3+2kπ,k ∈z 或者π6+φ=2π3+2kπ,k ∈z ，解得φ=π6+2kπ,k ∈z 或者φ=π2+2kπ,k ∈z . 因为|φ|<π2，则φ=π6.选A . 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质.解题中注意给定三角函数值求角的问题中，除最大最小值其它情况在一个周期内均有两个角与之对应.9．A 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义，可得函数f (x )为奇函数，再由导数，得到f ′(x)>0，判定函数在R 上的增函数，即可得到答案.【详解】由题意，函数f(x)=x(e x +e −x )，则f(−x)=−x(e −x +e x )=−f (x )，所以函数f (x )为奇函数，好教育云平台 名校精编卷答案 第5页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第6页（共14页）又由f ′(x)=e x +e −x +x(e x −e −x )，当x ≥0时，e x ≥1,0<e −x ≤1，所以e x +e −x >0且x(e x −e −x )>0， 即f ′(x)>0，所以函数f (x )在[0,+∞)为单调递增函数， 又由函数f (x )为奇函数，所以函数f (x )为R 上的增函数，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中熟记函数奇偶性的定义，以及利用导数判定函数的单调性的方法，以及指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.10．D 【解析】 【分析】直接根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性逐一判断即可. 【详解】对于A , 函数f (x )=sin (2x +π3)的最小正周期为T =2πω=π，故A 错误；对于B ，x =π6时，f (x )=sin (2×π6+π3)=√32≠0，其图象不关于点(π6,0)对称,故B 错误；对于C ,函数g (x )=sin2x 的图象向左平移π3个单位得sin2(x +π3)=sin (2x +2π3)，故C 错误；对于D ，x ∈(−π12,π12)时,2x +π3∈(π4,5π12)，函数f(x)在区间(−π12,π12)上是增函数,D 正确，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数y =Asin(ωx +φ)可求得函数的周期为2π|ω|；由ωx +φ=kπ+π2可得对称轴方程；由ωx +φ=kπ可得对称中心横坐标.11．C 【解析】 【分析】由余弦定理求得AC =√3，可得AC ⊥BC ，从而得AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+23CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑，进而可得结果. 【详解】∵ΔABC 中，已知AB =2,BC =1,∠ABC =60∘，由余弦定理可得AC 2=1+4−2×1×2×12=3,AC =√3，所以BC 2+AC 2=AB 2⇒AC ⊥BC ， 设BC 的中点为D ， 因为点M 为ΔABC 的重心，所以AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23(AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)， 可得AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+23CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=23×3=2，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算及余弦定理的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．12．D 【解析】 【分析】 函数f(x)=e x x−ax 在R 上有三个零点，转化为函数y =e x 与y =ax 2由三个交点，先判断a >0，可得当x <0时，两图象必有一个交点，只需y =a,y =e xx 2的图象在y 轴右边由两个交点，利用导数研究函数的单调性与最值，结合图象可得结果.【详解】当a ≤0时，函数f (x )=e x −ax 2>0恒成立，不合题意， 所以a >0，作函数y =e x 与y =ax 2的图象如图，由图象可知，当x <0时，两图象必有一个交点，好教育云平台 名校精编卷答案 第7页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第8页（共14页）故当x >0时，两图象有两个交点， 则e x =ax 2有两个正根， 即a =e xx 2有两个正根，y =a,y =e xx 2的图象在y 轴右边由两个交点， 记F (x )=e x x 2,F′(x )=e x (x−2)x 3，F (x )在(0,2)上递减， 在(2,+∞)递增， 故F (x )min =F (2)=e 24，故a >e 24时，两图象有两个交点；故若函数f (x )=e x −ax 2有三个不同零点， 则a >e 24，a 的取值范围是(e 24,+∞)，故选D. 【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y =f(x)−g(x)的零点⇔函数y =f(x)−g(x)在x 轴的交点⇔方程f(x)−g(x)=0的根⇔函数y =f(x)与y =g(x)的交点.13．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,3ππππ【解析】试题分析：因为()sin(2)6f x x π=-；所以由πππππk x k 2236222+≤-≤+Z k ∈,可得Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,3ππππ 所以函数的递减区间为 Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,3ππππ。