【100所名校】2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

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2019届吉林省长春市实验中学 高三上学期期中考试数学（文）试题

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题

1．已知集合P ={x ∈R|0≤x ≤4},Q ={x ∈R||x|<2}，则P ∪Q = A ． [2,4] B ． (−2,4] C ． (−∞,4] D ． (0,4] 2．命题"∀x ∈R,x 3−3x ≤0"的否定为

A ． “∀x ∈R,x 3−3x >0”

B ． “∀x ∈R,x 3−3x ≥0”

C ． “∃x 0∈R,x 03−3x 0>0”

D ． “∃x 0∈R,x 03−3x 0<0” 3．

cos 11π3的值为

A ． −

√32

B ． −1

2 C ．

√3

2

D ． 1

2

4．函数y =x 2+

ln |x |x 的图象大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

5．如图，从高为ℎ的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(B)的俯角是α，桥头(C)的俯角是β，则桥BC 的长为

A ． ℎsin(α−β)

sinαsinβ B ． ℎcos(α−β)

sinαsinβ C ． ℎsin(α−β)

cosαcosβ D ． ℎcos(α−β)

cosαcosβ 6．已知{a n }是公差为2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 5=S 3，则a 3= A ． −4 B ． −3 C ． −2 D ． −1

7．已知平面向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=|b ⃑⃑|=1,若|2a ⃑−3b ⃑⃑|=√7，则向量a ⃑,b ⃑⃑的夹角为 A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 120°

8．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π

2)的部分图象如图所示，则

A ． ω=2，φ=π

6

B ． ω=1

2，φ=π

6

C ． ω=2，φ=π3

D ． ω=1

2，φ=π

3 9．设函数f(x)=x(e x +e −x )，则f(x)

A ． 是奇函数，且在R 上是增函数

B ． 是偶函数，且在R 上有极小值

C ． 是奇函数，且在R 上是减函数

D ． 是偶函数，且在R 上有极大值

10．设函数f(x)=sin(2x +π

3)的图象为C ，下面结论中正确的是

A ． 函数f(x)的最小正周期是2π

B ． 图象

C 关于点(π

6,0)对称

C ． 图象C 可由函数g(x)=sin2x 的图象向左平移π

3个单位得到

D ． 函数f(x)在区间(−π12,π

12)上是增函数

11．点M 为ΔABC 的重心，AB =2,BC =1,∠ABC =60∘，则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC

⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 此

卷只

装

订

不密封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

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A ． 1

B ． 2

3√3 C ． 2 D ． 3 12．函数f(x)=

e x x

−ax 在R 上有三个零点，则a 的取值范围是

A ． (e,e 22

) B ． (e 24

,e 22

) C ． (e 22

,+∞) D ． (e 24

,+∞)

二、填空题

13．函数()sin(2)6

f x x π

=-的单调递减区间是 ．

14．函数f(x)=√log 12

(x −1)的定义域为_______.

15．已知数列 {a n } 是递增的等比数列，且 a 1a 4=8,a 2+a 3=6，则 a 6 的值等于_____． 16．①在同一坐标系中，y =log 2x 与y =log 12

x 的图象关于x 轴对称

②函数y =log 21−x

1+x 是奇函数

③函数y =x+1

x+2的图象关于(−2,1)成中心对称 ④函数y =(1

2

)1−x 2

的最大值为1

2

以上四个判断正确有_____________.（写上序号）

三、解答题

17．已知非零向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=2，且(a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=3． （1）求|b

⃑⃑|； （2）若a ⃑=(2,0)，求|a ⃑−b

⃑⃑|的取值范围. 18．已知函数f (x )=log a (1−ax )（a >0且a ≠1）， （1）若a =2，解不等式f (x )<2；

（2）若函数f (x )在区间(0 ， 3]上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 19．已知函数f(x)=√3sin2x +2cos 2x +1(x ∈R). （1）求f(x)的最小值及取得最小值时所对应的x 值； （2）求f(x)的单调递减区间．

20．已知数列{a n }是公差为−2的等差数列，若a 1+2,a 3,a 4成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）令b n =2n−1−a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ,求满足S n ≥0成立的n 的最小值. 21．如图：在ΔABC 中，b 2=a 2+c 2−ac ，点D 在线段AC 上，且AD =2DC .

（1）若AC =2，AB =√3,求ΔDBC 的面积； （2）若AB =2,BD =

2√7

3

．求BC 的长. 22．已知函数f(x)=ax 2+(a −2)x −lnx ，(a ∈R). （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若对任意x >0，都有f(x)≥0成立，求实数a 的取值范围

.