根的判别式及根与系数的关系
根与系数的关系
判别式与根与系数的关系内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么ab x x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=qx 1x 2=q〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。
考查题型1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2 5 x（C） 3 x2－ 2 x+2=0（D）3x2－2 6 x+1=04．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A）y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=05．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝考点训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根； 当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35 ，则m= ，这时方程的两个根为 .4、求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，b那么x1+x2=-ac，x1x2=a4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系22.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．b4ac3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜且k ≠1时，方程有两个不相等23的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝时，方程有两个相等的实数根；23(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞时，方程没有实数根．23说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
人教版同步教参数学九年级-一元二次方程：根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程第2节 根的判别式和根与系数的关系【知识梳理】1、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，用配方法可得222442a ac b a b x -=+）（ac b 42-=∆称为根的判别式0＞∆，则方程有两个不相等的实数根 0＜∆，则方程没有实数根0=∆，则方程有两个相等的实数根反过来也成立。
2、一元二次方程根与系数的关系如果21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根， 则acx x a b x x =-=+2121 【诊断自测】1．一元二次方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 的关系：。
2．若方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．−4B ．3C ．−43D ．433．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2−4x+1=0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．−4B ．−1C ．1D ．44．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，则x 1−x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．83C ．−83D 【考点突破】类型一：根的判别式常见题型1、已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．答案：见解析。
解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=﹣1，∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．例2、已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．答案：见解析解析：对于等腰三角形，需要讨论a是腰还是底边。
二次方程的根与系数的关系
二次方程的根与系数的关系
二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。
对于二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以通过求解它的根来解决方程。
根据二次方程的求根公式，我们可以得到如下的根与系数之间的关系：
1. 判别式：二次方程的判别式 $D = b^2 - 4ac$ 可以用来判断方程的根的情况。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：- 当 $D > 0$ 时，方程有两个不相等的实根；
- 当 $D = 0$ 时，方程有两个相等的实根（也称为重根）；
- 当 $D < 0$ 时，方程没有实根，而是两个共轭复数根。
2. 根的求解：根据二次方程的求根公式，我们可以得到方程的两个根为：
- 根1：$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$
- 根2：$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$
3. 关系总结：根据上述公式和结论，我们可以得到以下关系：
- 二次方程的判别式 $D$ 决定了方程的根的情况；
- 方程的两个根与系数 $a$、$b$、$c$ 之间的关系是通过求根公式得到的。
这就是二次方程的根与系数的关系。
通过对方程的系数进行求解，我们可以确定方程的根的情况，并进一步解决方程的问题。
在实际应用中，这一关系常常被用来解决与二次方程相关的数学和物理问题。
第02讲根的判别式、根与系数关系-新九年级数学暑假(苏科版)(学生版)
第02讲根的判别式、根与系数关系（核心考点讲与练）【基础知识】一．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．二．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【考点剖析】一．根的判别式（共4小题）1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是．4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．二．根与系数的关系（共6小题）5．（真题•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．56．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是．7．（真题•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．8．（真题•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．9．（真题•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔支．12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是．13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（）A．Δ＞0 B．Δ＝0 C．Δ＜0 D．无法确定2．（真题•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣13．（真题•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．（真题•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（）A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11 B．12C．m有无数个解D．13二．填空题（共10小题）6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝，q＝．7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是．8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝．9．（真题•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为．10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝．11．（真题•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝．12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝．13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是．14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为．15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是．三．解答题（共9小题）16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．17．（真题•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．18．（真题•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．19．（真题•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．20．（真题•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．21．（真题•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．22．（真题•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．（1）当k＝2时，求方程的根；（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．23．（真题•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．24．（真题•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝；（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．。
根的判别式与根与系数的关系
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理 当b2-4ac＞0时,方程有两个 不相等的实数根 当b2-4ac=0时,方程有两个 相等的实数根 当b2-4ac＜0时,方程没有实数根 当b2-4ac≥0时,方程有两个 实数根
回顾与反思
c a
.
知识源于悟
例3 设x1,x2是方程3x2-4x=-1的两根,不解方程 求下列各式的值
(1) ∣x1-x2∣
(2)9x13+13x2
知识源于悟
例4
已知方程( 5 1)x2+( 5 5)x-4=0的一个
根为-1,设另一个根为a,求a3-2a2-4a的值.
小试牛刀
已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-k=0的 两个根恰好等于斜边为5的直角三角形 的两条直角边的长,求实数k的值.
2x2-(m+2)+2m-2=0有两个相等的实数根? 求出这时方程的根.
小试牛刀
说明不论m取何值,关于x的方程
(x-1)(x+2)=m2总有两个不相等的实数根.
回顾与反思 一元二次方程根与系数的关系 设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
x1+x2=
b a
,
x1x2=
灵感
智慧
已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0
(k为整数) ①只有整数根,且关于y的一
元二次方程(k-1)y2-3y+m=0 ②有两个实
数根y1和y2,试确定k的值.
小
结
1.根的判别式及根与系数关系 的应用 2.通过这节课你增长了….
初三数学培优——判别式根与系数关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1，对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，代数式b ２－4ac 叫做根的判别式，用“△＝b ２－4ac ”表示．写出一个一元二次方程的根的判别式，首先要将一元二次方程化为一般形式，凡不是一般形式的一元二次方程，都理应通过去括号、移项、合并等步骤化为一般形式.任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为，所以对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。
① 当 时，方程有两个不相等的实数根。
即② 当 时，方程有两个相等的实数根，即 。
③ 当 时，方程没有实数根。
判别式的作用是能够由其值的情况确定一元二次方程根的情况，当判别式的值分别取正数、零和负数时，一元二次方程分别有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.必须指出的是： 不难得到 x 1＋x 2＝－a b , x 1·x 2＝ac. 这就是一元二次方程的根与系数关系(韦达定理). 在学习和应用上述定理时要注意以下几点：1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在使用时需先将一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0);2.使用韦达定理的前提是方程有实数根；3.韦达定理不但可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根;两负根;一正根一负根等);4.要防止出现x 1＋x 2＝ab这样的错误. 典型例题例1 m 取什么值时，方程3x ２－2(3m －1)x ＋3m ２－1＝0 (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?例2已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0有两个相等的实数根，求实数a与b的值．例3当a、b为何值时，方程x2＋(1＋a)x＋(3a２＋4ab＋4b２＋2)＝0有实数根?例4判别下列关于x的二次方程2(m＋1)x２＋4mx＋(2m－1)＝0的根的情况．例5当m为何值时，关于x的二次三项式x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2是完全平方式?例6已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x２－1)－2ax＋c(x２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．分析这是一道代数、几何知识的综合题，解题前理应明确：(1)从条件知，问题与判别式相关，又因原方程不是标准形式，所以必须先将方程 化为标准形式；(2)判断△ABC 的形状常从边，或角的方面去考虑，从题设条件可知，本题应从边的关系去判断．例7 已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)中，b ＞0,c ＜0,则( ).(A)方程有两个正根 (B)方程有两个负根(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大 (D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大例8 如果2＋3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c 的值.例9 设x 1、x 2是方程2x 2＋3x －1＝0的两根,不解方程,求112112+++x x x x 的值.这类题是常见题,解题的规律是通过恒等变形把原代数式化为用二次方程两根和与积表示的代数式.如： x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2;21212111x x x x x x +=+; 212122121212221122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+; (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2;(x 1＋m )(x 2＋m )＝ x 1x 2＋m ·(x 1＋x 2)＋m 2……等等.但不是任何一个代数式都能用两个根的和与积表示的,如x 13＋x 22.例10 k 为何值时,方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根,且两根互为倒数.例11 已知a 、b 是方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个实数根,且a 2＋b 2＝1,求m 的值.例12 已知a 2＋a －1＝0,b 2＋b －1＝0(a ≠b ). 求a 2b ＋ab 2的值.巩固练习一、选择题1．若关于x 的一元二次方程2x (mx －4)－x ２＋6＝0没有实数根，则m 的最小整数值是（ ）(A)－1 (B)2 (C)3 (D)4 2．已知方程x ２－p x ＋m ＝0(m ≠0)有两个相等的实数根，则方程x ２＋p x －m ＝0的根的情况是 （ ） (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定有无实数根 3．在下面方程中： ①2x ２－mx －1＝0；②21x ２－2mx ＋2m ２＝0;③4x ２＋(m －1)x －m ＝0． 无论m 取任何实数根都永远有两个实数根的方程的个数是 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4．如果方程2x 2＋kx －6＝0一个根是－3，另一根是x ,则（ ）(A)x 1＝1,k ＝4 (B)x 1＝－1,k ＝8 (C)x 2＝2,k ＝1 (D)x 2＝－2,k ＝5 5.以53 和－35为根的一元二次方程是（ ）(A)15x 2＋16x －1＝0 (B) 15x 2－16x ＋15＝0 (C)15x 2＋16x －15＝0 (D) 15x 2－16x －15＝06.已知一元二次方程的两根之和是25，两根的倒数和是－35，这个一元二次方程是(A ）x 2－25x －23＝0 (B) x 2－25x －35＝0 (C) x 2＋25x ＋23＝0 (D) x 2＋25x －35＝07.不解方程，判断43x 2＋3x ＋1＝0根的情况是（ ） （A ）有一正根一负根 （B ）有两个正根 （C ）有两个负根 （D ）没有实数根 8．一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的情况是（ ） (A)两实数根的和等于两实数根的积 (B)两实数根的和与两实数根的积互为相反数 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根9．若方程x 2－(k 2－7)x ＝1的两根之和是2，则实数k 的值是（ ） （A ）±5 (B)±6 (C) ±3 (D) ±2二、填空题1．不解方程,判断4x ２－43＋3＝0的根的情况是______________________.2．不解方程,判断y ２－（6＋2 ）y ＋2＋3＝0的根的情况是___________________.3.不解方程,判断3x 2－6x －2x ＋2＝0的根的情况是.4.当m ______时,方程3ｘ２－2（3m ＋１）x ＋３m ２＋1＝０没有实数根． 5.当m _____ 时，方程(m －1)x 2＋2(m －7)x ＋2m ＋2＝0有两个相等的实数根.6.若关于x 的一元二次方程2k x 2＋(8k ＋1)x ＝－8k 有两个实数根，则k 的取值范围是_____7.已知一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两根为x 1、x 2,则11x ＋21x ＝ ， x 12＋ x 22＝ ,(x 1－5)·(x 2－5)＝ .8.以2＋3、2－3为两根的一元二次方程是 . 9.已知关于x 的方程6x 2＋2x ＋a ＝0的一根比另一根大2,则a ＝ . 10.已知关于x 的方程4x 2－9x ＋3(k －1)＝0,当k 时,方程有一根为零, 当k 时,方程的两实数根互为倒数.三、解答题1．m 为何值时，方程mx 2－3x ＋2＝0没有实数根．2．试判别一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0的根的情况．3．求证：对于任何实数m ，关于x 的二次方程x 2－(m ＋1)x ＋(m －1)＝0总有两个不相等的实数根．4．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且一元二次方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋(a －b )＝0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．5．已知方程2x 2＋kx －2k ＋1＝0的两实数根的平方和为429，求k 的值.6．已知直角三角形ABC 中，斜边上的中线长为23，两条直角边的长分别是方程 2x 2－2mx ＋m ＋3＝0的两根，求m 的值和直角三角形ABC 的面积.。
一元二次方程判别式及根与系数的关系(合同)
一元二次方程判别式及根与系数的关系一、【知识归纳】 1.判别式：一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠0)根的判别式为：△=b 2-4ac 主要内容: 判别式的值 根的情况 △ ＞有两个不相等的实根△＝0 有两个相等的实根 △＜0 没有实数根 2.根与系数的关系（韦达定理）（1）方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1, x 2，则x 1+ x 2= -abx 1x 2=ac特殊情况：当a=1时，x 2+px+q=0 ,x 1+ x 2= -p,x 1 x 2=q （2） 以x 1, x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2 –(x 1+ x 2)x+ x 1 x 2=03. 2.常见的形式：（1）(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(2) x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2x 1x 2(3) x 1-x 2=212214)(x x x x -+± (4)x 12-x 22= ±(x 1+x 2)212214)(x x x x -+(5)2111x x +=2121x x x x +(6) =-2111x x 21212214)(x x x x x x -+±三、【典型问题一】：判别式的作用例1（98中考题）m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0, (1)有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.2、一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .5、方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: １、1x 2+2x 2= ；2、2111x x += ； 3、=-221)(x x = ；4、)1)(1(21++x x =7、已知关于x 的方程041222=+-n mx x ，其中n m ,分别是一个等腰三角形的腰和底的长，求证这个方程有两个不相等的实数根.8、已知βα,是关于x 的一元二次方程0)32(22=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足111-=+βα，求m 的值9、关于x 的一元二次方程0)5(52=-+-m mx x 的两个正实数根分别为21,x x ，且7221=+x x ，则求m 的值。
第09课时 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
b 2 − 4ac 的根的判别式△ 的根的判别式△＝ 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 时 方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 时 方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 时 方程没有实数根．
x1 + x 2 = − p
x1 x 2 = q
广州)已知 例1．(2006·广州 已知：关于 ． 广州 已知： 的方程
2
x
2 x + 3x − m + 1 = 0
的两个实数根的倒数和为3， 的值． 的两个实数根的倒数和为 ，求m的值． 的值
．（2008·中山）已知关于 的方程 中山） 的方程. 例2．（ ．（ 中山 已知关于x的方程
ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 1．一元二次方程 ．
2.一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) (1)如 ,那么， 那么 c b x1 x 2 = x1 + x 2 = − a a x 2 + px + q = 0 的两个根 (2)如果方程 如果方程 那么， 是 x1 , x2 ，那么，
x + (m + 2) x + 2m − 1 = 0
2
方程有两个不相等的实数根. （1）求证 方程有两个不相等的实数根 ）求证:方程有两个不相等的实数根 为何值时， （2）当m为何值时，方程的两根互为相 ） 为何值时 反数？并求出此时方程的解. 反数？并求出此时方程的解
．（2008·河南）已知， x1 , x 2 河南） 例3．（ ．（ 河南 已知， 2 是关于x的一元二次方程 是关于 的一元二次方程 x − 6 x + k = 0 2 2 的两个实数根， 的两个实数根，且 x1 x 2 − x1 − x 2 = 115 2 2 (1)求k的值；（ ）求 x1 + x 2 + 8 的值 的值；（ 的值. 求 的值；（2）
根的判别式和根与系数的关系
初二升初三衔接班数学知识点复习卷（根的判别式与根的系数的关系）1、已知关于x的方程kx2-4x-2=0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=4，求k的值2、已知：关于x的方程kx2-4x+1=0(1)若方程有两个实数根，请求出k的取值范围；(2)若方程两个根的倒数和为k．请确定k的值．3、已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个实数根x1、x2(1)求k的取值范围；(2)是否存在k的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k，若不存在，请说明理由．4、已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．（根的判别式与根的系数的关系答案）1、分析：（1）根据判别式在大于等于0时，方程总有两个实数根，确定m的取值范围．（2）根据根与系数的关系可以求出m的值．解答：解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，△=（-4）2-4×k×（-2）=16+8k≥0，k≤-2，所以k≤-2时，方程总有两个实数根．（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=4，∴（x1+x2）2-2x1x2=78，∵x1+x2=-，x1•x2=，∴（）2-2×=4，2k2-k-8=0解得k=，故k的值是或．点评：此题主要考查了根的判别式和根与系数的关系，要记住x1+x2=-，x1•x2=．2、分析：（1）此题只需根据其判别式不小于0即可得出k的取值范围；（2）此题只需将x1+x2和x1•x2的表达式代入+即可求得k的值．解答：解：（1）由题意得：方程有两个实数根，则△=16-4k≥0；解不等式得：k≤4；又方程需为二次方程，则k≠0；因此k的取值范围为：k≤4且k≠0；（2）由于方程两个根的倒数和为k，且x1+x2=，x1•x2=；则k=+==；即k=4．点评：此题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．3、分析：（1）根据方程由两个不相等的实数根，则有△≥0，可列出不等式，求出k的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求出x1+x2=-，x1x2=，再根据题意可得，把式子进行变形，进行代入可求出k的值．解答：解：（1）（2k-1）2-4k2×1≥0，解得：k≤，且：k2≠0，∴k≠0，∴k≤且k≠0；（2）不存在，∵方程有两个的实数根，∴x1+x2=-，x1x2=，∴==-=-2k+1=0，k=，∵k≤且k≠0；∴不存在．点评：此题主要考查了根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，关键是把握准计算公式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中：△=b2-4ac，x1+x2=-，x1x2=．4、分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可知△=[-2（k+1）]2-4k（k-1）＞0，求得k的取值范围；（2）可假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，列出方程即可求得k的值，然后把求得的k值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在．解答：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[-2（k+1）]2-4k（k-1）=12k+4＞0，且k≠0，解得k＞-，且k≠0，即k的取值范围是k＞-，且k≠0；（2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，则x1，x2不为0，且，即，且，解得k=-1，而k=-1与方程有两个不相等实根的条件k＞-，且k≠0矛盾，故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在．点评：本题主要考查了根的判别式的运用和给定一个条件判断是否存在关于字母系数的值令条件成立．解决此类问题，要先假设存在，然后根据条件列出关于字母系数的方程解出字母系数的值，再把求得的字母系数值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在．。
第五讲一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
第5讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程没有实数根．④⇔≥∆0方程有（两个）实数根典例分析知识点1：求根的判别式的值例1：（1）一元二次方程2x 2﹣4x+1=0的根的判别式的值是 （2）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m ﹣2）x+m ﹣2=0． （1）求根的判别式△的值（用含m 的代数式表示）． （2）当m=4时，求此一元二次方程根．知识点2：利用根的判别式不解方程判断根的情况 例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=知识点：利用根的判别式求待定字母系数的取值范围（1）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax﹣3+a=0有实数根，则a ．（2）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．求m的取值范围；（3）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个．知识点4：利用根的情况判断三角形形状例4：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点5：利用判别式求最值例5：阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．知识点:6：一元二次方程的简单应用例6：（1）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．（2）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2？ （2）能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么？（3）怎样围才能使围出的矩形场地面积最大？最大面积为多少？请通过计算说明．二、根与系数的关系 1、根与系数的关系如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(此公式的大前提：0∆≥)2、以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=3、根与系数的关系主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．典例分析知识点7：利用方程中各项系数求两根的和与积 例7：不解方程，求下列方程的两根和与积．（1）x 2﹣2x ﹣3=0； （2）3x 2+x ﹣1=0； （3）x 2+4x ﹣1=0．知识点8：已知方程的一个根，求另一个根例8：⑴若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ．（2）已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．知识点9：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值 例9：（1）已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．（2）已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ． （3）已知α、β是方程2520x x ++=βααβ的值．（４）如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值．知识点10：根据根与系数的关系确定方程参数的值 例10：（1）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是＿＿＿＿．（2）已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值.（3）已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
根与系数关系及根的判别式
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为二、根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则acx x a b x x =⋅-=+2121, 以x 1和x 2为根的一元二次方程为:x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0一、选择题1. 若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系（ ）A. M =B.M >C.M <D.大小关系不能确定3．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ≤1B. a<1C. a ≤-1D. a ≥14.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） A.012=+xB.0122=++x xC.0322=++x xD.0322=-+x x5.若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x的两根，则2111x x +的值是（ ） A.57 B.57- C.75 D.75- 6.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13D 、17. 不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（ ）.8.已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（ ）A.0232=--x xB.02322=--x xC.0232=-+x xD.02322=-+x x 10.一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x 11.下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x 12.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) A.6 B.-6 C.4 D.-413.关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.方程x 2－5x －1=0 ( )A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定 15.两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为( )A.6B.－6C.4D.－416.已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是( ) A. 6 B. 2 m －8 C. 2 m D. －2 m17.方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和3 18.一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（ ） A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根二、填空题1.等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的值是 。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中
$a,\,b,\,c$ 是实数，且 $a \neq 0$。
根的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
根的情况如下：
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，根的关系为$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b -
\sqrt{\Delta}}{2a}$。
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根，根的关系为$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，方程没有实根，而有两个共轭复根，根的关系为 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{-\Delta}i}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{-\Delta}i}{2a}$，其中 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
应用根与系数的关系需要注意以下几点：
1. 根与系数之间的关系是通过根的求解公式得到的。
2. 求解根时，必须保证方程是一元二次方程且系数满足条件，即 $a \neq 0$。
3. 具体的应用问题需要根据具体情况来确定如何使用根与系数的关系，例如可以通过根的值判断方程的解的情况，或者通过
根的关系来确定系数的取值范围等。
4. 根与系数的关系可以用于解决实际问题中的方程求解、几何问题等。
例如，可以用根的关系来求解二次函数的最值、方程组中的未知数等。
考点04 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系(解析版)
考点四一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系知识点整合一、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．典例引领1．已知关于x 的一元二次方程()()22110x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若该方程的一个根为1，求m 的值及另一个根．【答案】(1)证明见解析(2)当0m =时，方程的另一个根为0x =；当1m =时，方程的另一个根为2x =【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．（1）只需要证明()()221410m m m ∆=-+-+>⎡⎤⎣⎦恒成立即可；（2）把1x =代入原方程得到20m m -=，解方程求出m 的值，进而根据m 的值解方程求出方程的另一根即可．【详解】（1）证明：由题意得，()()22141m m m ∆=-+-+⎡⎤⎣⎦依题意有：215x -+=，21x k -⋅=，解得26x =，6k =-，故k 的值为6-，方程的另一个根为6x =．9．求证：对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根情况，判断其根的情况，完全取决于24b ac ∆=-的符号，当0> 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．【详解】解：()24422m m =--△2488m m =-+()2414m =-+．()210m -≥，∴()241440m =-+≥>△．∴对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．10．已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m ++++=．(1)求证：不论实数m 取何值，方程总有实数根；(2)当m 取何值时，方程有两个相等的实数根？【答案】(1)见详解(2)1m =-【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记“24b ac ∆=-”是解题关键．（1）方程有实数根时240b ac ∆=-≥，由此即可求解．（2）方程有两个相等的实数根即240b ac ∆=-=，由此即可求解．【详解】（1）证明：()()2243412b ac m m ∆=-=+-⨯⨯+26948m m m =++--221m m =++()21m =+（2）由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，根据()223122023342023k k k k -+=-+，计算求解即可．【详解】（1）解：∵2229x kx k +-=，∴22290x kx k -+-=，∴()()222419360k k ∆=--⨯⨯-=>，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，∴()2231220233420231520232038k k k k -+=-+=+=，∴23122023k k -+的值为2038．13．已知关于x 的方程22220x mx m ++-=．(1)试说明：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为3，求22122043m m ++的值．【答案】(1)证明见解析(2)2029【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值；（1）根据一元二次方程根的判别式，进行证明即可；（2）根据方程有一个根为3，得出267m m +=-，然后整体代入求值即可．解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．【详解】（1）证明：∵()()2222241244880m m m m ∆=-⨯⨯-=-+=>，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程有一个根为3，∴223620m m ++-=，整理，得：267m m +=-，∴22122043m m ++()2262043m m =++()272043=⨯-+142043=-+2029=．14．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．(1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；(2)求证：该方程总有两个实数根．【答案】(1)1(2)见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，再解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行证明．掌握对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根；理解一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，是解决问题的关键．【详解】（1）解：当2x =时，4210m m -+-=3m ∴=，则原方程为：2320x x -+=，即：()()210x x --=，11x ∴=，22x =，∴另一个根1，（2）证明：()()2Δ411m m =--⨯⨯-244m m =-+()220m =-≥，∴该方程总有两个实数根；15．已知关于x 的一元二次方程()()25230x m x m +---=(1)求证：该方程总有两个实数根(2)如果该方程的两个实数根的差为4，求m 的值(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；(3)已知方程20x mx n ++=是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求mn 的值．【答案】(1)2230x x +-=(2)1(3)mn 2=-【分析】（1）本题主要考查一元二次方程根的情况，通过观察可以发现1x =是方程的根，直接写出一个根为1一元二次方程即可．（2）本题主要考查通过代数式观察，可以发现1x =是一元二次方程的一个根，直接求解即可．（3）本题主要考查由一元二次方程根的情况，推导出240b ac ∆=-=，可以得到一个方程，再由凤凰方程，又可以得到一个10m n ++=的方程，然后去求，m 和n 即可，最后求出mn 的值．【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是1x =；即为：2230x x +-=．（2）关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，且满足0a b c ++=；∴1x =时，0a b c ++=；故凤凰”方程必定有一个根是1x =．（3）20x mx n ++= 是“凤凰”方程；10m n ∴++=，即1n m =--；方程20x mx n ++=有两个相等的实数根；240m n ∴∆=-=．将1n m =--代入，得()2410m m ---=；解得：2,1m n =-∴=；()212mn ∴=-⨯=-．19．已知关于x 的一元二次方程()23220x k x k ++++=．(1)求证：方程有两个实数根；(2)若方程的两个根分别为1x ，2x ，且1212217x x x x ++=，求k 的值．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；（1）求出0∆>即可证明；（2）根据根与系数的关系得出1221k x k x -=++，123x x +=，结合已知等式得出关于k 的一元二次方程，解方程可得答案．【详解】（1）证明：∵()()()2222234194444452140k k k k k k k ∆=---++=+--=-+=-+>，∴无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程22310x x k k ++--=有两个实数根1x ，2x ，∴1221k x k x -=++，123x x +=，又∵()()12113++=x x ，∴121213x x x x +++=，∴23131k k -+++=+，解得：12k =，21k =-．5．已知关于x 的一元二次方程220x x k ++=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若m 是方程的根，且222m m +=，求k 的值．【答案】(1)1k <(2)2k =-【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解的含义，理解原理的应用是解本题的关键；（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得240b ac ∆=->，求出k 的取值范围即可；（2）先由方程解的含义可得22m m k +=-，结合222m m +=即可求解．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，∴24440b ac k ∆=-=->，解得：1k <；（2）∵m 是方程220x x k ++=的根，∴220m m k ++=即22m m k +=-，∵222m m +=，∴2k -=，解得：2k =-．6．已知关于x 的一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根．(1)求n 的取值范围；(2)当n 取最大值时，求方程2210(0)nx x n -+=≠的根．【答案】(1)1n ≤且0n ≠(2)121x x ==【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元二次方程．（1）根据题意，可得240b ac ∆=-≥，即440n -≥，解不等式，并根据一元二次方程的定义确定n 的取值范围即可；（2）结合n 的取值范围确定n 的最大值，然后利用配方法解该方程即可．【详解】（1）解：根据题意，一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根，则224(2)41440b ac n n ∆=-=--⨯⨯=-≥，解得1n ≤，又∵0n ≠，∴n 的取值范围是1n ≤且0n ≠；（2）由1n ≤且0n ≠得，n 的最大值为1，把1n =代入原方程得2210x x -+=，∴2(1)0x -=，解得121x x ==．7．己知一元二次方程2410x x m -+-=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求实数m 以及此时方程的根．【答案】(1)5m <(2)5m =，122x x ==【分析】本题考查了根的判别式，牢记“①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．”（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：2(4)4(1)m ∆=---，方程有两个不相等的实数根，∴0∆>，解得5m <．（2） 方程有两个相等的实数根，∴Δ0=，即164(1)0m --=解得5m =(1)若所捂的部分为【详解】（1）解：∵方程有实数解是1x 和2x ，∴()22410k ∆=--≥，解得2k ≤，故k 的取值范围是2k ≤；（2）∵一元二次方程2210x x k ++-=的实数解是1x 和2x ，∴122x x +=-，121x x k ⋅=-，则()121221x x x x k +-=---，∵12121x x x x +-<-∴()211k ---<-，解得0k >，又由（1）知2k ≤，∴02k <≤，∵k 为整数，∴k 的值为1或2．13．已知关于x 的一元二次方程250x ax a ++-=．(1)若该方程的一个根为3，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)方程的另一根为2-；(2)见解析【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，（1）将方程的根代入可求得a 的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根；（2）用a 表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论；掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系及根与系数的关系是解题的关键．【详解】（1）解：将3x =代入方程250x ax a ++-=可得：9350a a ++-=，解得1a =-；∴方程为260x x --=，设另一根为x ，则36x =-，。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、知识点：1.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式：2.一元二次方程根与系数的关系： （1）如果1x ，2x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，那么a b x x -=+21，ac x x =∙21 （2）如果1x ，2x 是方程02=++q px x 的两个根，那么p x x -=+21，q x x =∙21二、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式的应用：1. 不解方程，判断方程根的情况：（1）；05432=--x x （2）；01322=+-x x （3）26232-=+y y2. 证明方程根的情况：（1）已知关于x 的方程0)12(2)12(2=-++-k x k x .①求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；②若等腰△ABC 中有两边的长恰好是这个方程的两个根，且这两边和为6，求△ABC 的周长.（2）小明说：“关于x 的方程)1.(0)1(4)1(222±≠=++-+m m mx x m 一定没有实数根”。
小明的说法对吗？说明你的理由.（3）求证：无论m 取何值，关于x 的方程01)32(2=++++m x m x 总有两个不相等的实数根。
（4）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，试判断关于x 的方程)(02)(2c b c b ax x c b ≠=-+--的根的情况.（5）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.3. 已知方程根的情况，求字母系数的取值范围：（1）已知：关于x 的一元二次方程：0)1(22=+++k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围.（2）关于x 的一元二次方程06)4(22=+--x kx x 无实数根，求k 的最小整数值.（3）若关于x 的方程0122=--x kx 有实数根，求k 的取值范围.三、一元二次方程根与系数的关系的应用：1．已知方程一根，求方程另一根及字母系数的值：（1）已知32+是关于x 的方程042=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.（2）已知方程：0422=--bx x 的一个根为1，求另一个根及b 的值.（3）已知关于x 的方程0252=++k kx x 的一个根是21，它的另一个根及k 的值.2. 已知方程两根之间的关系，求字母系数的值：（1）关于x 的方程0)1(22=+--m x m x 的两根互为相反数，求m 的值.（2）关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值.（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°， ∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，并且a ，b 是方程07822=+-x x 的两根. 求斜边c 的值.3. 不解方程，求代数式的值：（1）若1x ，2x 是方程01422=+-x x 的两个根，求下列代数式的值： ①2111x x +； ②2221x x + ③1221x x x x +；④221)x x -（ ⑤)3)(3(21++x x（2）已知1x ，2x 是方程0132=+-x x 的两个根，求代数式21214x x x --的值.（3）如果实数a ，b 满足方程0172=+-a a ，0172=+-b b ，求代数式b a a b +的值.（4）关于x 的一元二次方程0122=++-k x x 的实数根是1x ，2x .（1）求k 的取值范围；（2）如果7)4)(4(21-=--x x ，求k 的值；（3）设k x x x x y 2)(22121----=，求y 的最大值.。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
例3：当m为何值时，方程（m-1）x² +2mx+m+3=0 ①﹑无实根 ②﹑有实根 ③﹑只有一个实根 ④﹑有两个实根 ⑤﹑有两个不等实根 ⑥﹑有两个相等实根
分析
（1）﹑只需△<0 （2）、分情况讨论 ① m-1=0 （3）﹑当m-1=0时 （4）、 △≥0 且 m-1≠0 （5）、△＞0 且 m-1≠0 （6）、 △=0 且 m-1≠0 ② △≥0 且m-1≠0
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值 例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值． 分析：本题要求已知一元二次方程x 2＋px＋q＝0中的字母系数p、q的值，只要 利用题目的条件，把p、q的关系式列出，再通过变形得到关于p、q的方程组， 解此方程组即可求出p、q． 解：设方程的两实数根分别为x 1、x 2则由根与系数的关系，得 X 1＋x 2＝－p，x 1· x 2＝q， ……① 又由题意得(x 1＋x 2) 2＝x 1· x 2＋7 ……② (x 1－x 2) 2＝3 x 1· x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1· x2 代入③得(x 1＋x 2) 2＝7x 1· x 2－5 ……④ 将①式分别代入②、④中，得 p 2=q+7 p=3 p=-3 p 2=7q-5 即： q=2 q=2Leabharlann 一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题： 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
这是因为Δ大于0表示
判别式是一个正数，所以开方后可以得到一个实数。
这种情况下方程的根
可以通过求解下面的式子来得到：
x1=(-b+√Δ)/(2a)
x2=(-b-√Δ)/(2a)
2.当Δ=0时，方程有一个实数根。
这是因为Δ等于0表示判别式是
一个零，所以开方后可以得到同一个数字。
这种情况下方程的根可以通过
求解下面的式子来得到：
x=-b/(2a)
3.当Δ<0时，方程没有实数根。
这是因为Δ小于0表示判别式是一
个负数，所以开根号无法得到实数。
但是我们可以通过引入虚数单位i来
表示方程的根。
这种情况下方程的根可以通过求解下面的式子来得到：x1=(-b+√(-Δ)i)/(2a)
x2=(-b-√(-Δ)i)/(2a)
根据根与系数的关系
1.根与二次项系数a的关系：当a大于0时，方程开口向上，根的值
会随着a增大而增大；当a小于0时，方程开口向下，根的值会随着a减
小而增大。
2.根与一次项系数b的关系：根的值与b的正负有关，当b大于0时，根的值变大；当b小于0时，根的值变小。
3.根与常数项系数c的关系：根的值与c的正负有关，当c大于0时，根的值变小；当c小于0时，根的值变大。
这些关系可以帮助我们更好地理解和应用一元二次方程的根。
在实际
问题的解决中，根与系数的关系可以帮助我们分析方程的性质，例如方程
的图像形状和根的变化趋势，并在需要的时候做出合理的调整和判断。
一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程中根与系数的关系：
ax²+bx+c=(a≠0)，当判别式＝b²-4ac>=0时。
设两根为x₁，x₂，则根与系数的关系（韦达定理）：
1、x₁＋x₂＝－b/a；
2、x₁x₂＝c/a。
一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式决定。
一元二次方程解法
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
1、接开平方法
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m)²=n (n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m。
2、公式法
把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△＝b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。
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（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似并求出此时点P与点Q的坐标。
2 如果关于x的方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围__________
3.若关于x的方程x2+2(k-1)x+k2=0有实数根，则k的取值范围是
A. B. C. D.k≥
4若 是一元二次方程 的根,则判别式 和完全平方式 的关系是:(A) (B) (C) (D)大小关系不能确定
（3）当t为何值时，△APQ的面积为 个平方单位。
yAPຫໍສະໝຸດ O Q B x教学反思
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：
五、教师评定：
1、学生上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
2、学生本次上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
（3）下列方程① ；② ；③ ；④ 中，无实根的方程是。
活动3：已知一元二次方程的一个根求另一根及字母值
1.已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值。
2 已知方程x2-4x+c＝0的一个根是2－ ， 求它的另一个根和c的值。
例题选讲：
【例1】求证：无论 取何值，方程 都有两个不相等的实根。
教学重点
难点
重点：判别式、韦达定理
难点：韦达定理的应用
教学方法
合作探究法
教学过程
知识网络
一、
二、
【课内探究】
活动1:不解一元二次方程求两根和与积
（1）x2-9x＋10＝0；（2）4x2-7x＋1＝0；（3）2x2-9x＝5；（4）2x2-5x＝0；（5）x2-1＝0
活动2：不解方程，判定解的个数。
（1）5(x2+1)-3x=0 (2)2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
5 已知关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
≤1 B. a<1 C. a≤-1 D. a≥1
6.下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7.已知关于x的方程x2-（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是
8.若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实根，则 的取值范围是（ ）
龙文教育个性化辅导教案提纲
教师:陈燕玲学生:年级日期:星期:时段:
课 题
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
学情分析
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是方程中的一重点内容，也是中考常考的考点。
教学目标与
考点分析
1.掌握判别式与韦达定理；
2 能运用韦达定理解决相关问题；培养学生综合运用只是的能力
12已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，则a的值为.
解答题：
1.已知关于x的方程 .（1）求证方程有两个不相等的实数根.
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解
2.已知：等腰三角形的两条边a,b是方程x2－kx+12=0的两根，另一边c是方程x2－16=0的一个根, 求k的值
【例2】当 为什么值时，关于 的方程 有实根。
【例3】若方程x2+x-1=0的两根为x1,x2, 用韦达定理计算 ：
(1) x21+x22; (2) + ; (3)|x1-x2|; ( 4) (x1-1)(x2-1)
练习题：
1.若一元二次方程x2+3x+m－1=0没有实数根，则m的取值范围__________。
教师签字：
教务主任签字： ___________
3.已知关于 的方程 有两个不等实根，试判断直线 能否通过A（－2，4），并说明理由。
4 已知： x1、x2是关于x的方程x2＋（2a－1）x＋a2＝0的两个实数根且（x1＋2）（x2＋2）＝11，求a的值。
5.已知关于 的方程 ，问：是否存在实数 ，使方程的两个实数根的平方和等于56若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。
A、 B、 ≤ C、 且 ≠2 D、 ≥ 且 ≠2
9.在方程 （ ≠0）中，若 与 异号，则方程（ ）
A、有两个不等实根 B、有两个相等实根
C、没有实根 D、无法确定
10已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A、 B、3 C、6D、9
11、已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-6=0的一个根是2，则方程的另一根和k的值分别为