光波导

只考虑TE波，Maxwell四组 方程可以简化为
(8-1)
对称的平面波导－波动理论
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
消去Hx、Hz，得到Ey的波动方程
2 2 ( 2 2 ) E y 2 0 0 n 2 ( x) E y z x
光波导基础及其器件
Fundamentals of Optical Waveguide and Devices
一、平面波导及波导的基本概念
（传导模、波导色散、V数、截止波长、模间色散）
二、阶跃光纤波导 （传导模、波导色散、模间色散、数值孔径）
三、波导的损耗
（材料吸收、瑞利散射、弯曲损耗） 四、耦合模理论和常用器件
第三步、通过本征方程解得传播常数和确定待定系数 1、对称传播模：
2 a) 本征方程及本征矢： tan( 1 , A1 B3 , A2 B2 2
cos( 2 a) exp( 1 x), x a exp( 1 a) A2 cos( 2 a ), a x a cos( 2 a ) exp( 1 x), xa exp( 1 a )
相位差： AC
k1 2d cos( ) 2A
k1 n1
2

对称的平面波导－波导条件
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
1、波导条件（Waveguide Condition） 由相位差为2整数倍，得
AC k1d cos( ) m
(8-9)
改写成矩阵形式为
exp[i 2 a ] exp[i 2 a] 0 exp[ 1 a ] A1 exp[ a ] i exp[i a ] i exp[i a ] A 0 1 1 2 2 2 2 2 0 0 exp[i 2 a] exp[i 2 a ] exp[ 1 a ] B2 0 i 2 exp[i 2 a ] i 2 exp[i 2 a] 1 exp[ 1 a ] B3
对称的平面波导－传播模
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
m=0,1,2传播模的横向分布
对称的平面波导－传播模
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
总结： 1、光波的干涉决定了可以允许传播的光波——波导条件。 2、波导条件可以确定不同的传播常数m，横场分布Em(y)。 3、m越大，传播模的横场节点数越大，在包层的消逝波也越多 4、光波只能通过波导传播模传播，每个传播模具有不同群速度
对于应波导的三个折射率不同的区域，方程的解为
A exp[ 2 k 2 n 2 x] B exp[ 2 k 2 n 2 x], x a 1 0 2 1 0 2 E y A2 exp[i k 02 n12 2 x] B2 exp[i k 02 n12 2 x],a x a A exp[ 2 k 2 n 2 x] B exp[ 2 k 2 n 2 x], x a 3 0 2 3 0 2
通过以上边界条件，可得以下四个方程
A1 exp[ 1 a ] A2 exp[i 2 a] B2 exp[i 2 a] A exp[ a ] i A exp[i a] i B exp[i a ] 1 1 1 2 2 2 2 2 2 B3 exp[ 1 a] A2 exp[i 2 a ] B2 exp[i 2 a ] 1 B3 exp[ 1 a ] i 2 A2 exp[i 2 a ] i 2 B2 exp[i 2 a]
对称的平面波导－波动理论
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
波动理论解波导传播模的思路：
包层和芯层的 Maxwell方程的 通解 将待定系数代 入通解中，得 到传播模场
电磁场边界条 件和自然边界 条件 确定与传播常 数相关的待定 系数
传播常数的本 征值方程，同 时也是色散方 程 解得离散的传 播常数
(8-6)
第一步、得到Maxwell方程通解已完成
对称的平面波导－波动理论
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
第二步、利用电磁场边界和自然边界条件确定本征方程和待定系数 利用了在无穷远处Ey=0的自然边界条件，（8－6）简化为，
2 A1 exp[ 2 k 02 n2 x], x a E y A2 exp[i k 02 n12 2 x] B2 exp[i k 02 n12 2 x],a x a 2 B3 exp[ 2 k 02 n2 x], x a
（定向耦合器、波导光栅、波导MZ干涉器）
光波导的类型 Species of Optical Waveguide
光波导的类型 1、全反射类型 Total Internal Reflection Waveguide 2、反射类型 Reflection Waveguide 3、布拉格型 Bragg Scattering Waveguide
对称的平面波导－传播模
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
将波导条件代入上式得到，
m m
y (m m ) a
在C点上两光线的电场为
E1 ( y, z, t ) E0 cos(t m z m y m ) E2 ( y, z, t ) E0 cos(t m z m y)
(8-10)
方程有解，以上行列式必须为零，从而得到传播常数的本征方程

1
cos( 2 a) 2 sin( 2 a) 2 cos( 2 a) 1 sin( 2 a) 0


(8-11)
对称的平面波导－波动理论
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
从右图可见，并不是所有的方向的光波 都能在芯层传播。要能传播就要求，A 点的光波相位应该与光波经过下包层反 射后C点的相位要相差2的整数倍，否 则便会相干相消，不能在芯层传播。
A点与C点的相位差：
AC k1 ( AB BC) A B
有右图的几何关系，我们可以得，
d 2 cos2 ( ) 2d cos( ) cos( ) 并且根据全反射知识，全反射造成的相位跃变依赖于入射角，而对于B点和C点， 入射角相等。那么造成的相位跃变影响等，即A＝B。 ( AB BC) BC[cos(2 ) 1]
那么在C点上两光线干涉所形成的电场为
1 E ( y, z, t ) 2 E0 cos( m y m ) cos( t m z ) 2
对应一个m值的传播模的电场可以写为，
E( y, z, t ) 2Em ( y) cos(t m z)
可以看到传播模横向模场分布不随光波的传播而改变，它是在横向形成的驻波
对称的平面波导－波动理论
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
下面以TE波为例，使用波动理论严格解平面波导传播模。平面 波导如下图所示。
x
n2 你 n1 你
-a
a
z
n2 你 y
H x H z 0 n 2 ( x) E y z x t E y 0 H z y t E y 0 H x z t
3 2 Ey (a) E y (a),


(8-8a)
3 2 E y |x a E y |x a , ( E ) i0H , H t2 H t3 x x


(8-8b)
对称的平面波导－波动理论
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
对称的平面波导－波导条件
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
考虑光波具有一定宽度入射到芯层，那么考虑自身的干涉，也可以得到 波导条件
作业：利用双光线模型考虑光波具有宽度时，如何得到波导条件？
对称的平面波导－传播模
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
Hale Waihona Puke Baidu
对称的平面波导－光线理论
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
光波被约束传导的条件： (I) 满足全反射条件，i> c (II) 经过两次反射后的相位与入射时相同，从而相干增强，否则 相干相消。
对称的平面波导－光线理论
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
由于相位跃变依赖于，那么很显然，一个m值对应一组满足以上条件的
m和m，那么便得到光波可以在波导传播的条件，称为波导条件。
2n1

(2a ) cos( m ) m m
当光频一定时，一个m值对应于一个入射角m，称满足波导条件的光波为波 导的传播模。
以上得到波导条件没有考虑光波具有一定的空间分布，而只是简化为光线，以 下考虑量任意平行的光线入射的情况，同样可以得到以上波导条件。
2.传播模的横向分布 对于满足波导条件的入射角m，可以将波矢分解为沿波导方向和垂直于 波导方向的传播常数，和。
k1 sin m
k1 cos m
考虑两光线，它们相交于C点，而在C点相位差可以表示为，
m (k1 AC m ) k1 A'C 2k1 (a y) cosm m
(8-2)
由于沿z轴具有平移对称性，可以假设
E y E( x) exp(iz)
(8-2)变为 方程通解为
2 [ 2 k 02 n 2 ( x) 2 ]E y 0 x
(8-3)
k0 2 0 0
(8-4) (8-5)
E y A exp( i k02n2 2 x) B exp( i k02n 2 2 x)
特点： 1、芯层为低折射率材料 2、基底为FP腔形成反射机制 3、与全反射型波导相比，有 较大损耗 4、常用于生物方面检测
布拉格光波导 Bragg Optical Waveguide
全反射 Total Internal Reflection
1、回顾全反射
入射角大于临界角时，发生全反射。
全反射 Total Internal Reflection

全反射型光波导 Optical Waveguide by TIR
根据波导的形状，常见的波导有以下几种： Planar
Optical Fiber
Embeded
Ridge
平面波导
圆柱型光纤波导
反共振反射光光波导（ARROW）
AntiResonant Reflecting Optical Waveguide
全反射条件: (I) 折射率 n1>n2; (II) 入射角 i> c
全反射现象：(I) 光能全部反射回来；(II)光场在反射界面引起相位跃变；
对称的平面波导
Symmetry Planar Dielectric Slab Waveguide
平面波导的结构
芯层 Core
包层 Cladding
通过全反射将光波限制在芯层内
(8-7)
2 2 2 2 k0 n1 2 k0 n2
再利用TE电磁场切向分量连续的边界条件，
2 E1 y ( a ) E y ( a ),
1 2 E y |x a E y |x a , ( E ) i0H , H t1 H t2 x x