对面积的曲面积分
高数第四节.对面积的曲面积分 (1)
1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.
§10.4对面积的曲面积分
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面 为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在 上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面 是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处
对面积的曲面积分公式
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
曲面积分
4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面 的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性 质;
4
1 ds , 其中 是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,
对面积的曲面积分
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
对面积的曲面积分
M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面 个小曲面 块的直径的最大值。 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 、 定义8.3.1 设曲面 是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上 设曲面Σ是光滑的 函数f 是光滑的， 定义 在 上 有界。 任意分成n小块 同时也代表第i小 有界 。 把 Σ任意分成 小块 ⊿ Si （ 同时也代表第 小 任意分成 小块⊿ 块的面积） 设 上任意取定的一点， 块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点， 是 作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和 ， ， ， ， ，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)， 一代” 代入被积函数f 一代 代入被积函数 ， 得f [x,y,z(x,y)]； ； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换 换成相应的曲面面积元素的表达式 如Σ：z=z(x,y)，则 ： ，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr
曲面积分1
Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS
2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例 求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】 两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 转化 二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D
x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极 坐 标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则
曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数
对面积的曲面积分
| xyz| dS 4 xyzdS d S 1 (2 x )2 (2 y )2 d x d y
1
4 xy (x2 y2) 1(2x)2(2y)2d xd y
D x y
42d1r2co ssinr21 4 r2rd r 00
极 坐 标
22sin2d1r5 14r2dr
0
0
u
(3) 若曲面 ：xx(y,z)
则 f(x,y,z)dS f [x(y,z), y, z] 1x2 yxz2dydz D yz
对面积的曲面积分
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据曲面Σ选好投影面. 2、确定投影域并写出 曲面Σ的显函数形式,
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,化为二 重积分进行计算.
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f(x, y,z)dS
0,
当f(x,y,z)为x的奇函数
2f(x,y,z)dS.
当f(x,y,z)为x的偶函数
1
其中 1 :x x (y ,z ) 0 .
对面积的曲面积分
例 计算 |xy|zdS,
其为 中抛 zx 2物 y2 (0 面 z 1 ).
1 5 u(u1)2du 125 51
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
平 z 面 x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
对面积的曲面积分
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解 曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x
z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二 对重 称积 性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若 可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则
f ( x , y , z )d S
1
f ( x , y , z )d S
2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的 曲面Σ 关于yOz面对称,
则
f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I
( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)
对面积的曲面积分
P158 题4(1).
在 xoy 面上的投影域为
2
z
dS
1 z x z y d xd y
2
2
D xy o
y
2
x
S d S
x y
D
1 4( x y ) d x d y
2 2
这是 的面积 !
2. 设 是四面体 x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0的表
1 1 1 z
1
1 x
1 (1 x y ) dx
2
dy
1 (1 x ) 1 (1 y )
2 2
0 d z 0
1 z
dy
3 2
3
( 3 1) ln 2
练 习 题
一 、填 空题: 1 、 已 知 曲 面 的 面 积为 a , 则 10 ds _ _ _ _ _ _ _ ；
D yz
2
2
例1
计 算 ( x y z ) ds , 其 中
2
为平面
y z 5被柱面 x
y
2
25 所 截 得 的 部 分 .
解
积分曲面
：z 5 y ,
投影域 ：
D xy {( x , y ) | x 2 y 2 25 }
dS
2 1 z x z 2 dx dy y
4
2、
1 (
x y
) (
2
x z
) ；
2
4、
111 10
；
5、
1 2
2
.
2、
64 15 2a .
对面积的曲面积分.
o
y
x
2.定义:
设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面.其中, 表示 n 小块曲面的直径 的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
(7) 积分中值定理
若f (x, y, z)在光滑曲面 上连续,则至少存在一点
( ,, ) ,使得
f (x, y, z)dS f (,, )S
(8) 对称性
若积分曲面 具有某种对称性 ,而被积函数 f (x, y, z)对于
该对称性是奇函数，则 f (x, y, z)dS 0.
例如：若关于xoy面是对称的，则当 f (x, y, z)对于变量
二重积分.
例33.1.计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
h o
Dxy a y x
d S z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxdy
说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz
对面积的曲面积分的可代入性和对称性
对面积的曲面积分的可代入性和对称性第十二章 曲面积分一、对面积的曲面积分的可代入性对面积的曲面积分中被积函数可代入性：是指可以将曲面的表达式代入被积函数。
所以x , y , z 满足曲面的方程.是定义在曲(,,)f x y z面 上的，也就是说以 f (x , y , z ) 的自变量x , y , z 为坐标的点P 就是曲面Σ上,比如：设 f (x , y , z )=xyz 是定义在曲面Σ：z = x 2 + y 2 上，从而 f (x ,y ,z ) 就可以写成 xy (x 2+y 2)，即f (x ,y ,z ) = xy (x 2+y 2).因为 f 中的x , y , z 是约定在曲面之上的，所以 z 的取值为x 2 + y 2 , 而点的坐标必须满足曲面的方程，而二重积分计算时则不能把边界曲线的表达式代入被积函数，满足的关系式通过不等式描述，一般含有“≤”或“≥”。
因为被积函数中的x , y 是平面区域D 内部的点对应的x , y ，此时x , y +≤+⎰⎰22221()d ,x y x y x y σ比如：中的取值限定在圆内，满足的是x 2 + y 2 ≤ 1，所以22221()d x y x y σ+≤+⎰⎰+≤≠⎰⎰2211d .x y σ二、对面积的曲面积分的对称性定义1设曲面∑上任取一点P(x, y, z)，若(x, y, – z)对应的点Q也在∑上，或者说：将∑的关系式中“z”换成“–z”，而关系式不变，则称曲面∑关于xOy面对称.【曲面还可以关于yOz面对称或zOx面对称。
】例如： Σ的关系式为：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0), 若将z改成-z，则关系式变成了： x2 + y2 +(-z)2= a2 (-z ≥0),即x2 + y2 + z2= a2 (z ≤ 0),关系式发生了变化，即曲面发生了变化，所以曲面不关于xOy面对称。
当然，如果大家把x改成-x,则关系式不变，所以曲面关于yOz面对称。
§10.4对面积的曲面积分
∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )∆Si ,
n
∫∫Σ f ( x , y , z )dS = lim ∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )∆Si . λ →0
i =1
n
其中f(x, y, z)叫作被积函数 Σ 叫作积分曲面 叫作被积函数 积分曲面. 其中 叫作被积函数, 叫作积分曲面 其物理意义是面密度为f(x, y, z)的曲面Σ 的质量 其物理意义是面密度为 的曲面 的质量.
λ → 0 i =1
= ∫∫D f [ x, y, z( x, y)] 1 + z′2 + z′2dxdy. x y
xy
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式. 这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式: 按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式 (1) 若曲面Σ 为: z=z(x, y), 则 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS
xy
= ∫∫D f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z′x2 + z′y2 dxdy .
(2) 若曲面Σ 为: y=y(z, x), 则 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS
xz
= ∫∫D f [ x , y( x , z ), z ] 1 + y′x2 + y′ 2 dxdz . z
= 4 ∫0 dθ ∫0 r 2 cos t sin t ⋅ r 2 1 + 4r 2 rdr (用极坐标计算 用极坐标计算) 用极坐标计算
2
π
1
位于对称坐标面一侧的部分. 其中Σ1是Σ 位于对称坐标面一侧的部分
1 + 4r 2 dr = 4 ∫0 cos t sin tdt ∫ 1 1 5 令 u=1+4r2. = 4 ⋅ ∫0 r 1 + 4r 2 dr 2 125 5 − 1 1 5 u−1 2 . ) du = = ∫1 u( 420 4 4 对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的 注: 对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的 对称性. 对称性 对称于xoy(或yoz, 或zox)坐标面 坐标面, 设Σ 对称于 或 坐标面 是奇函数, 关于z 若f(x, y, z)关于 (或x,或 y)是奇函数 则 关于 或 或 是奇函数 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS = 0. 关于z 是偶函数, 若f(x, y, z)关于 (或x, 或 y)是偶函数 则 关于 或 是偶函数 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS = 2∫∫Σ f ( x , y , z )dS .
高等数学 第四节 对面积的曲面积分
第十一章 第四节
8
轮换对称性 如果积分曲面 Σ 的方程中某两个变量对调其方程 不变， 则将被积函数的这两个变量对调积分值不 变，例如：Σ 中 x 与 y 对调 Σ 不变
f ( x , y , z)dS f ( y , x , z)dS
Σ
Σ
注意：利用曲面方程化简曲面积分
曲面积分和曲线积分一样，积分区域是由积分变
一卦限中的部分，则有( C )。
( 2000 考研 )
第十一章 第四节
15
例6 设 : x2 y2 z2 a2
计算 I f ( x , y , z)dS 。
Σ
z
a
Σ1 a
2
O Dxy
xa
ay Σ2
第十一章 第四节
16
例7
计算 I =
dS x2 y2 z2
其中 Σ 是介于平面
之间的圆柱面
量的等式给出的，因而可以将 Σ 的方程直接代入
被积表达式。
第十一章 第四节
9
例1 计算曲面积分 I x2dS ， Σ 为
Σ
x2 y2 a2 介于 z 0 与 z k 之间的部分。
z k
O y
x
第十一章 第四节
10
具体步骤： 1 根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲 面表示为显函数，同时确定相应的坐标面上的投 影区域； 2 根据曲面方程求得相应的面积元素 dS ； 3 将曲面方程的表达式和面积元素 dS 代入被积 表达式而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。
第十一章 第四节
6
若曲面为：y y( x , z) , ( x , z) Dxz 往 zOx 平面投影
则 f ( x , y , z)dS f [x , y( x , z) , z] 1 yx2 yz2dxdz
对面积的曲面积分
第四节 对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、 性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法， 会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2 内容提要1.定义 设函数f x, y,z 在光滑曲面上有界，将曲面任意分成n 小块 s ( S i也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , is i ，记各小曲面直径的最大值为，如果对曲i 1面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记nf(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S •【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此，S i 0 .2•性质f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ;1 2②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面的面积S ，即f (x, y, z)dS S .3.对面积的曲面积分的计算在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在Dxy同样地:x x y,zf (x, y, z)dSD yzD xy 上具有连续偏导数，被积函数f (x, y,z)在 上连续，则f (x,y,z)dSf(x, y,z(x,y)h 1dxdy①关于曲面具有可加性，若12，且1与2没有公共的内点，则设曲面 由z z x, y 给出,x y,z , y,z dydz ,:y y z,xf(x,y,z)dS f x, yz,x ,zD xz4•对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点x, y, z处的面密度是x, y,z①曲面的质量x, y, zdS.②曲面的质心x,y,z 2 dzdx .x,y,z dS, x,y,z dS③曲面的转动惯量I x x,y,z dS Iyx, y,zI z x,y,z dS, I o z x, y, z dSdS,x, y,zdS.4.3 典型例题与方法基本题型I :计算对面积的曲面积分1 填空题:x2y2z24，则Q(X2y2)dS由积分区域的对称性知乙x2dS y2dS? z2dS而积分在上进行,乙（x2故应填12832 选择题(A) xdS (C) zdS乙（X2y2)dS - (x23z24,y2)dSa2(z 0),代入上式得,z2)dS .22128在第一卦限中的部分，则有（）4 xdS ；( B) ydS 4 xdS ；1 14 xdS ；( D) xyzdS 4 xyzdS解因为曲面是上半球面， 关于yoz 面对称且被积函数f i (x, y,z) x ,f 2(x, y, z) xyz 都是变量X 的奇函数，于是 xdS xyzdS ° .类似地， 关于xoz面对称且f 3(x, y,z) y 是变量y 的奇函数，于是 yds 0 .而 xdS 0, xyzdS 0 ,1 1故应选(C ).事实上，由对称性，zdS 4zdS ,zdS xdS, (0正确.1 1 1【方法点击】 在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧： (1) 利用对称性，但要注意，曲面 关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有 奇偶性，两者缺一不可.(2)利用积分曲面 的方程化简被积函数.例3计算曲面积分 (2x 2y z)ds ，其中 是平面2x 2y z 2 0被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分D : 0 x 1,0 y22dSJ 1~x ~ dxdy ^ 2dxdy ,解法2x 2y,z x2,Z y 2.在xoy 平面上的投影是三角形，记为(2x 2y z)ds2g 1 z x 2 z y 2 dxdy6dxdy 3.D解法(2x 2y z)ds 2dS22 3 .【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里, 形，最后用到了三角形的面积公式 .例 4 计算 | (x2y 2)dS ,因为积分曲面是一个三角为立体.x 2 y2z 1的边界.【分析】］根据积分曲面 的方程, 分转化为投影区域上的二重积分进行计算.确定投影区域，计算曲面面积微元dS ，将曲面积1为锥面zx 2 y 2 , 0 z 1，在 1 上,图4-12为z 1上x 2y 21部分，在 2上，dS dxdy ,2 2i, 2在xOy 面的投影区域为D ：x y 1，所以图4-2【注】该题不能将积分曲面向xoy 面作投影，因为投影为曲线，不是区域•基本题型II :对面积的曲面积分的应用(x 21y 2)dS + (x y 2)dS2 (x 2 2 y )、. 2dxdy (xD2y )dxdy(.2 1) (x 2y 2)dxdy (1D3d八2).例5计算 z 2dS ，其中 为 x 2 y 24介于z 0,z 6之间的部分•【分析】积分曲面 如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面关于xoz 面，yoz 面对称，被积函数是偶函数，则有z 2dS = 4 z 2dS ， 1故可利用对称性解之•解 设1 : x 4 y 2,其在yoz 面的投影域为D yz :dS . 1 x y 2x z2dydzdydzz dS = 4 z ? dS =4Ddy 288 .1例6求物质曲面S: z (x2 y2)(0 z 1)的质量，其面密度z((x, y,z) S).2解S在xoy平面上的投影区域D : x2 y2(、‘2)2.解以球心为原点，铅锤直径为Z 轴建立直角坐标系，则球面方程为x 2y 2z 2R 2， 且任意点M (x,y, z)处的密度为x 2y 2.设球壳的质心坐标为(x,y,z)，由对称性知，x y 0 .z dS于是球壳的质量为2 R43 R4R12 3 3，于是半球壳的质心坐标为-2R 3 324.4 教材习题解答1.有一个分布着质量的曲面，在点(X, y, z)处它的面密度u(x,y, z)，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 x 轴转动惯量。
高等数学第十章曲面积分
（1）求 1和 2在 yoz 平面上的投影区域：
因 1和 2在 yoz 平面上的投影区域相同， 设为 D yz ： 0 z H 。 R y R，
1
H
z
o
2
x
R
R
y
（2）求微元 dS ：在 1和 2 上，
dS 1 ( x 2 x ) ( ) 2 dydz y z R R y
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
2．反号性
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
3．奇偶对称性
0 Rdxdy 2 Rdxdy
4 z 2 x y与 形式相同，故可利用曲面方程来简化被积 3 4 z 2 x y 4 代入，从而简化计算。 函数，即将 3 x y 解：平面 方程的为 z 4(1 ) （见下图）， 2 3
在 xoy 面上的投影区域为：
x y D xy : 1, x 0, y 0 2 3 z z 4 2, x y 3
0 i 1
n
2．物理意义 Pdydz Qdzdx Rdxdy
表示流体密度 1 速度场为 V P i Q j R k , 单位时间内流过曲面 一侧的流量。
二、对坐标的曲面积分的性质
1．可加性
1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
【例1】计算曲面积分 ( z 2 x
x y z 1在第一卦限中的部分。 2 3 4
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第四节对面积的曲面积分4.1学习目标了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量.4.2内容提要1.定义设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块i S ∆（i S ∆也表示第i 小块曲面的面积），在i S ∆上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘积i i i i S f ∆),,(ζηξ（1,2,,i n =L ），并作和()1,,niiiii f s ξηζ=⋅∆∑，记各小曲面直径的最大值为λ，如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记=⎰⎰∑dS z y x f ),,(0lim →λ1(,,)ni i i i i f S ξηζ=∑∆．【注】定义中的“i S ∆”是面积元素，因此，0i S ∆≥． 2.性质①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则=⎰⎰∑dS z y x f ),,(⎰⎰⎰⎰∑∑+21),,(),,(dS z y x f dS z y x f ；②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即S dS z y x f =⎰⎰∑),,(．3.对面积的曲面积分的计算设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ，函数(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则(,,)(,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰．同样地()():,(,,),,,yzx x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑⎡⎣=⎰⎰⎰⎰，()():,(,,),,,xzy y z x D f x y z dS f x y z x z ∑=∑⎡⎣=⎰⎰⎰⎰． 4.对面积的曲面积分的应用设曲面∑上任意一点()z y x ,,处的面密度是()z y x ,,ρ，则 ①曲面的质量()dS z y x m ⎰⎰∑=,,ρ．②曲面的质心()z y x ,,()()11,,,,,x x x y z dS y y x y z dS m m ρρ∑∑==⎰⎰⎰⎰，()1,,z z x y z dS m ρ∑=⎰⎰．③曲面的转动惯量()()22,,x I y z x y z dS ρ∑=+⎰⎰，()()22,,y I x z x y z dS ρ∑=+⎰⎰，()()22,,z I x y x y z dS ρ∑=+⎰⎰，()()222,,o I x y z x y z dS ρ∑=++⎰⎰．4.3典型例题与方法基本题型I ：计算对面积的曲面积分 例1填空题设222:4x y z ∑++=，则22()______x y dS ∑+=⎰⎰Ò．解由积分区域的对称性知222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙?，于是222222()()3x y dS x y z dS ∑∑+=++⎰⎰⎰⎰乙． 而积分在∑上进行，2224x y z ++=，代入上式得，故应填128.3π 例2选择题设2222:(0)x y z a z ∑++=≥，1∑为∑在第一卦限中的部分，则有（） （A ）14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰．解因为曲面是上半球面，∑关于yoz 面对称且被积函数1(,,)f x y z x =，2(,,)f x y z xyz =都是变量x 的奇函数，于是0xdS xyzdS ∑∑==⎰⎰⎰⎰．类似地，∑关于xoz面对称且3(,,)f x y z y =是变量y的奇函数，于是0ydS ∑=⎰⎰．而110,0xdS xyzdS ∑∑>>⎰⎰⎰⎰，故应选（C ）．事实上，由对称性，14zdS zdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰，11zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰，（C ）正确．【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：（1）利用对称性，但要注意，曲面∑关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可．（2）利用积分曲面∑的方程化简被积函数． 例3计算曲面积分(22)x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑是平面2220x y z ++-=被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.解法一:222,2,2x y z x y z z ''∑=--=-=-.∑在xoy 平面上的投影是三角形，记为:01,01D x y x ≤≤≤≤-.(22)263DDx y z ds dxdy ∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.解法二(22)223x y z ds dS ∑∑++===⎰⎰⎰⎰. 【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.例4计算22()I x y dS ∑=+⎰⎰,∑为立体122≤≤+z y x 的边界. 【分析】]根据积分曲面∑的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元dS ，将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算．解设21∑+∑=∑,1∑为锥面22y x z +=,10≤≤z ，在1∑上，dS ==dxdy 2，图4-12∑为1=z 上122≤+y x 部分，在2∑上，dS dxdy =，21,∑∑在xOy 面的投影区域为22:1D x y +≤，所以=I 122()x y dS ∑+⎰⎰+222()x y dS ∑+⎰⎰2122311)()(1(12Dx y dxdy d d ππθρρ=+=+=+⎰⎰⎰⎰.例5计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为422=+y x 介于6,0==z z 之间的部分.【分析】积分曲面∑如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面∑关于xoz 面，yoz 面对称，被积函数是偶函数，则有⎰⎰∑dS z2=⎰⎰∑124dS z ，故可利用对称性解之.解设214:y x -=∑,其在yoz 面的投影域为⎩⎨⎧≤≤≤≤6020:z y D yz ， ⎰⎰∑dS z 2=⎰⎰∑124dS z =4π288424422260222=-=-⎰⎰⎰⎰dy ydz z dzdy yz yzD .图4-2【注】该题不能将积分曲面∑向xoy 面作投影，因为投影为曲线，不是区域. 基本题型II ：对面积的曲面积分的应用 例6求物质曲面221:()(01)2S z x y z =+≤≤的质量，其面密度((,,))z x y z S ρ=∈. 解S 在xoy平面上的投影区域222:D x y +≤.于是，所求质量为222211()dS (22D M x y x y ∑=+=+⎰⎰⎰⎰ 例7试求半径为R 的上半球壳的质心，已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离． 解以球心为原点，铅锤直径为z 轴建立直角坐标系，则球面方程为2222x y z R ++=，且任意点(,,)M x y z处的密度为μ=设球壳的质心坐标为(,,)x y z ，由对称性知，0x y ==．z dSz dSμμ∑∑=⎰⎰⎰⎰，其中∑为上半球面z =，dS ==，于是球壳的质量为 其中D 为∑在xoy 面上的投影域：222x y R +≤．利用极坐标计算上述二重积分，得而故423243132RR z Rπππ==，于是半球壳的质心坐标为4(0,0,)3R π． 4.4教材习题解答1. 有一个分布着质量的曲面∑，在点),,(z y x 处它的面密度),,(z y x u ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于x 轴转动惯量。
解：假设),,(z y x u 在曲面∑上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块dS ，设),,(z y x 使曲面块dS 内的一点，则由曲面块dS 很小，),,(z y x u 的连续性可知，曲面块dS 的质量近似等于dS z y x u ),,(，这部分质量可近似看作集中在点),,(z y x 上，该点到x 轴的距离等于22y x +，于是曲面对于x 轴的转动惯量为：dS z y x u y z dI x ),,()(22+=，所以转动惯量为：⎰⎰∑+=dS z y x u z y I x ),,()(222．按对面积的曲面积分的定义证明公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f ，其中∑由1∑和2∑组成证明：因为),,(z y x f 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面∑怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面∑时，可以永远把1∑和2∑的边界曲线作为分割线，从而保证i S ∆整个位于1∑上，于是∑上的积分和等于1∑上的积分和加上2∑上的积分和，即 令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f3.当∑时xoy 面内的一个闭区域D 时，曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(和二重积分有什么关系。
解：当∑时xoy 面内的一个闭区域D 时，∑在xoy 上的投影区域即为D ，∑上的),,(z y x f 恒为)0,,(y x f ，并且0==y x z z ，所以⎰⎰⎰⎰∑∑=dxdy y x f dS z y x f )0,,(),,(，即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分()dS z y x f ⎰⎰∑,,，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 面上方的部分，()z y x f ,,分别如下：（2）()22,,y x z y x f +=;（3）()z z y x f 3,,=．解（2）()dS z y x f ⎰⎰∑,,=()dxdy z z y x y x D xy22221+++⎰⎰，其中xy D 为∑在xoy 面上的投影区域，即()02:22=≤+z y x D xy .于是()dS z y x f ⎰⎰∑,,=()πρρρρθπ3014941)(41222202222=+=+++⎰⎰⎰⎰d d dxdy y x y x xyD .（3）()dS z y x f ⎰⎰∑,,=()()πρρρρθπ101114123)(4123222202222=+-=++--⎰⎰⎰⎰d d dxdy y x y x xyD .5.计算()d S y x⎰⎰∑+22，其中∑是：（1）锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面.（2）锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截部分。