正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性、最值)
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
6.1正弦函数和余弦函数
作正弦函数 y = sin x(x ∈ R) 的图象 y 1
-2π π
-π π
o -1
π
2π π
3π π
x
4π π
正弦函数 y = sin x( x ∈ R)的图象叫正弦曲线
正弦函数
性质:
定义域 值域 奇偶性 单调性 图像
x∈R
y ∈ [ 1,1]
奇函数
余弦函数
任意一个实数x都对应着唯一确定的弧度角, 而这个角又对应着唯一确定的余弦值cosx. 这样,对任意一个实数x都有唯一确定的值 cosx与它对应.按照这个对应法则所建立的 函数,表示为y=cosx,它叫做余弦函数.它 的定义域是实数集R.
[ 1,5]
3 0, 4
二次型 一次型
最大值和最小值 例3:求下列函数的最大值和最小值
π (1) y = 3 2sin 2 x 4
3π x = kπ + , k ∈ Z时,ymin = 1 8
x = kπ
π
8
, k ∈ Z时,ymax = 5
定义法
(2) y = cos 2 x 2sin x
x = 2 kπ +
π
2
, k ∈ Z时,ymin = 2 , k ∈ Z时,ymax = 2
x = 2 kπ
π
2
二次型
(3) y = sin x + cos x
3π x = 2 kπ , k ∈ Z时,ymin = 2 4 x = 2 kπ +
π
4
, k ∈ Z时,ymax = 2
一次型
(4) y = sin x + cos x + sin x cos x
三角函数中的正弦函数与余弦函数
三角函数中的正弦函数与余弦函数在数学中，三角函数是研究角的性质和变化规律的重要工具。
其中，正弦函数（sine function）和余弦函数（cosine function）是最基本和常见的两个三角函数。
它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将对正弦函数和余弦函数进行详细介绍，探讨它们的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，通常用符号sin表示。
它可以通过单位圆上的点的纵坐标来定义。
在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其纵坐标y就是正弦函数的值。
正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
正弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x)=sin(x)。
4. 最值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在数学和物理中有广泛的应用。
例如，在几何学中，正弦函数可以用来求解三角形的边长和角度。
在物理学中，正弦函数可以用来描述波动、振动等现象。
二、余弦函数余弦函数是另一个常见的三角函数，通常用符号cos表示。
它也可以通过单位圆上的点的横坐标来定义。
在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其横坐标x就是余弦函数的值。
余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
余弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：余弦函数也是周期函数，其最小正周期为2π。
也就是说，对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。
2. 偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：余弦函数具有轴对称性，即cos(π-x)=-cos(x)。
正弦余弦函数性质
1.42正弦函数，余弦函数性质知识回顾：1.正弦函数y=sinx2.余弦函数y=cosx性质：一：定义域二：值域三：奇偶性四：周期性五：单调性（一）正弦余弦函数的单调区间（1）y=sinx单调增区间单调减区间（2）y=cosx单调增区间单调减区间（二）正弦余弦的值域与最值（1）正弦函数当取得最大值1，当取得最小值-1.（2）余弦函数当取得最大值1，当取得最小值-1.六．对称性（1）正弦函数对称中心正弦函数对称轴（2）余弦函数对称中心余弦函数对称轴π)的单调增区间例一：1.求y=2sin(x-3π)的单调减区间2.求y=cos(2x-43.求y=2sin(4π-2x)的单调增区间4.求y=cos(3π-2x)的单调减区间5.求y=sin(21x+3π)，x ∈[]ππ，22-的单调区间6.判断y=cos(x+3π)在⎢⎣⎡4π，⎥⎦⎤2π上的单调性7.判断y=sin(2x-4π)在[0，⎥⎦⎤2π上的单调性例二：求下列函数的最值1.y=cosx+12.y=-3sin2x3.y=3sin(2x+6π)+1 4.y=sinx ，x ∈[]，π05.y=cos(x+6π),x ∈[0,⎥⎦⎤2π6.y=sin(2x+3π),x ∈[0,⎥⎦⎤6π7.y=cos 2x-4cosx+5例三：求下列函数的对称轴1.y=cos2x2.y=cos(x+6π)3.y=sin(2x+3π)4.函数f(x)=sin(2x+3π)的对称轴可能为 A.x=125π B.x=3π C.x=6π D.x=12π注：正弦余弦函数的对称轴一定分别过正弦余弦图像的最高点或最低点，即此时对应的值为最大值或最小值。
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
1.4.2正弦函数、余弦函数的最值
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
分析：令 z 2x
2 则 y 3cosz
化未知为已知
• P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(4)
y
1 2
sin
1 2
x
3
解：令z 1 x
23
x
|
x
3
4k
,k
Z
要使y 1 sin z有最小值， 2
要使y 1 sin z有最大值， 2
2
零点： x k (k Z )
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0 2k 时，有最大值 y 1 最小值：当 x 2k 时，有最小值 y 1
零点：x k (k Z )
2
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。
1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)
第15页，共26页。
归纳总结
一般地，函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) （其中 A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页，共26页。
练习. 求下列函数的周期：
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页，共26页。
函数 图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域 值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k，,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页，共26页。
余弦函数的单调性
【高中数学必修四】1.4.2正余弦函数的性质(两课时)
7 2
y=cosx
4
x y=sinx
正弦函数y=sinx 定义域 值域
余弦函数y=cosx R [-1,1] 当x= 2kπ (k∈Z)时ymax=1 当x=2kπ +π (k∈Z)时ymin=-1 最小正周期2π
R
[-1,1] 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymax=1 3 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymin=-1
3
2
3 2
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
3
7 2
y=cosx
4
x y=sinx
正弦函数y=sinx 定义域 值域
余弦函数y=cosx R [-1,1] 当x= 2kπ (k∈Z)时ymax=1 当x=2kπ +π (k∈Z)时ymin=-1
R
[-1,1] 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymax=1 3 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymin=-1
分析：先用诱导公式化到同一单调区间内
正弦、余弦函数的单调性
1 例3、求函数y sin x , x 2 ,2 3 2 的单调增区间。
分析：复合函数的换元法
y
1
4
5 2
正 弦 函 数 与 余 弦 函 数 的 性 质
7 2
3
2
正弦、余弦函数的周期
例3.求下列函数的周期 1 y 3 cos x, x R
2 y sin 2 x, x R
1 3 y 2 sin x , x R 6 2
正弦、余弦函数的周期
高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件
∴函数 y2sin1x(),x.正弦函数、余弦函数的性质
例1) 3y.求s下in列( x函数的)周期：
3 2) y cos 3x
3) y 3 sin ( 1 x ), x R 一般
35
结论：
函 数 yAsin(x)及 yAcos(x),xR (A,,为 常 数 ,A0,. 0)的 周 期 T2 8
.
15
结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶 函数
.
9
正弦、余弦函数的图象和性质
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
.
5 6 x
5 6 x
10
正弦、余弦函数的奇偶性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
.
6
例：求下列函数的周期 ( 1 ) y 3 cx ,o x R s( 2 ) y s2 x i ,x n R ( 3 ) y 2 s1 i x n ) 26 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
正余弦函数的奇偶性与单调性
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 9 8 (1) si n 与 si n ; 8 7 25 13 ( 2) cos 与 cos( ) 8 9 9 8 3 解： 2 8 7 2 3 y sin x在 ， 上 单调 递减 2 2 9 8 sin sin . 8 7
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 25 13
( 2) cos 与 cos( )
必须将角化为 25 ( 2) cos cos cos ， 同一单调区间 8 8 8 13 5 4 cos( ) cos cos . 8 9 9 4 又0 , 而y cos x在 区 间0， 上 是 减 函 数 8 9 4 4 即 cos cos , cos cos . 8 9 8 9 5 13 于是 cos cos( ). 8 9
4
,
而f( ) 4 f (
cos
4
1 sin
4
2 2 2
2 1
) f( )且f ( ) f( ). 4 4 4 4
练习二
2. 比 较 下 列 各 组 数 的 大 ： 小 （1） sin(
16
)和 sin(
2
13
);
24 17 ( 2) cos( )和 cos( ). 5 4
y
1 -3
5 2
(4-4)
y=cosx (xR)
2
-2
3 2
-
正、余弦函数的性质
12
22
12
21 12
y sin x, x [0, 2 ]
y y sin x, x [0,2 ]
1
·
·o
·
2
1
· 3
· ·2 ·
··2 x
y sinx, x[0,2] y sin x, x R
y
2
-
2
3 2
4
4 3
-
3 2
-
o
2
2 3
x
二、五点法：
y
-
2
•o
•
•
3 2•
2
x
2•
奇
原点
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性
最值
正弦函数的性质
R
[-1,1] 奇函数
2π
在x
2k
2
,
2k
2
上是增函数；
在x
2k
2
, 2k
3
2
上是减函数；
当x
2k
2
时，ymax
1
当x
2k
3
2
时，ymin
1
例2 求y= 5+sinx这个函数的最大值、最小值和 周期，并求这个函数分别取得最大值及最小值的
（3）周期性 sin(x+2kπ）=sin x, (k∈Z), 2k
y 1
2
2
O
1 2
3 2
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(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值. （1）使函数 y cos x 1, x R 取得最大值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最大值的x的集合
{x | x 2k , k Z}
3 5
4
3 5
又 y=cosx 在 [0, ] 上是减函数
<cos
4
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、最值
小 结：
奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
解： （2）令t=2x,因为使函数y 3sin t , t R 取最大值的t的集合是
5
又 y=sinx 在[
) )
3 5
10
) < sin(
18
, ] 上是增函数 2 2
(2) cos( 23 ) 、 cos(
解： cos( 23 )=cos 23 5 5
0
17 4
=cos
17 cos( 17 )=cos 4 4
=cos
4
cos
4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。
{x | x
k , k Z }
正弦、余弦函数的单调性
例2、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1) sin(
) 、sin( 18
10
2
)
解： 2 10 18 sin(
由 2x t
2
2k
{t | t
2
2 k , k Z }
得
x
4
k
所以使函数 y 3sin 2 x, x R取最大值的x的集合是
{x | x
4
k , k Z }
同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
3 5 2
2 3
2
y
1
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ 减区间为 [2k, 2k + ], kZ ， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
正弦函数的最大值和最小值
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
最大值： 当
x
2
有最大值 y 1 2k 时， 有最小值 y 1 2k 时，
最小值：当x
2
余弦函数的最大值和最小值
y
1 -3
5 2
-2
y=cosx (xR) 是偶函数 cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
问题：函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？
正弦、余弦函数的奇偶性 练习：判定下列函数的奇偶性
1、 2、
y sin x
y sin x cos x
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
2
y
1
3 5 2
2 3
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
3 2
x
sinx
2
…
0 0
…
-1
1
-1
y=sinx (xR)
增区间为 [[ +2k, 2 +2k],kZ 其值从-1增至1 ， ] 2 2 2 3 3 减区间为 [[ +2k, +2k],kZ 其值从 1减至-1 ， ] 2 2 2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
最大值： 当
x 0 2k 时， 有最大值 y 1
x
有最小值 y 1 2k 时，
最小值：当
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
函数
余弦函数
偶函数
[ +2k, 2k],kZ [2k, 2k + ], kZ
单调递增
单调递减
2
正弦、余弦函数的最值
正弦函数的最大值与最小值： (1) 当sinx＝1，即x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝1； 2 (2) 当sinx＝－1，即x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymax＝ －1。 2 余弦函数的最大值与最小值： (1) 当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； (2) 当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝ －1。
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性、最值）
奋 斗 拼搏
高一年级：曹静
正弦函数的奇偶性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
sin(-x)= - sinx (xR)
图象关于原点对称
y=sinx
是奇函数
余弦函数的奇偶性 图像关于y轴对称