练习105(三重积分的计算(投影法))- 答案

练习册 103 三重积分的计算（投影法）（答案）

1、化三重积分()⎰⎰⎰Ω

dv z y x f ,,为三次积分，其中积分区域Ω是由曲面22y x z +=和平面

1=z 围成的闭区域。

解：画出积分区域Ω（如右图所示），

（方法1）因为(){}

1 ,10,20 ,,2≤≤≤≤≤≤=Ωz r r z r πθθ， 所以，()()dz z r r f rdr d dv z y x f r ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω110202,sin ,cos ,,θθθπ。

（方法2）因为(){}1 ,11,11 ,,2222≤≤+-≤≤--≤≤-=Ωz y x x y x x z y x ， 所以，()()dz z y x f dy dx dv z y x f y x x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+----Ω=111112222,,,,。

2、将三重积分()

⎰⎰⎰Ω+dv z y x f ,22化成柱面坐标下三次积分，其中

积分区域Ω是由()0 2222>≤++R Rz z y x 所确定的立体。

解： 2222Rz z y x ≤++ ， () 22

22R R z y x ≤-++∴。 画出积分区域Ω（如右图所示），

因为(){}2222 ,0,20 ,,r R R z r R R R r z r -+≤≤--≤≤≤≤=Ωπθθ， 所以，()()

dz z r f rdr d dv z y x f r R R r R R R ⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω=2222 ,,,2020πθ。 3、计算⎰⎰⎰Ω

dv z xy 32，其中积分区域Ω是由曲面xy z =与平面x y =，1=x 和0=z 围成的

闭区域。

解：画出积分区域Ω（如右图所示），

(){}xy z x y x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω0 ,0,10 ,, ，

dz z xy dy dx dv z xy xy

x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∴Ω03201032

36411312817141414107506510004210=⋅=⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx dy z xy dx x x xy

。

4、计算⎰⎰⎰Ω

xzdv ，其中积分区域Ω是由平面1=y ，y z = 0=z 和抛物柱面2x y =与围成

的闭区域。

解：画出积分区域Ω（如右图所示）， (){}y z y x x z y x ≤≤≤≤≤≤-=Ω0 ,1,11 ,,2

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∴--Ω1

2110111222x y x dy y x dx dz xz dy dx xzdv ()01312116=-⋅=⎰

-dx x x （奇函数在对称区间上的积分值为0）。