习题一 随机事件及其概率

习题一 随机事件及其概率
一、填空题
1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φS ；设有P （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。

2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则
（1）A 表示 甲未得100分的事件；
（2）A B ⋃表示 甲乙至少有一人得100分的事件；
（3）AB 表示 甲乙都得100的事件；
（4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件；
（5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件；
（6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件；
3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ⋃⋃= ()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A P B P C ++---+。

4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ⋃=0.625。

5．设111()()(),()()(),(),4816
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ⋃⋃=167；()P ABC =
169；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163 ；(|)P A A B C ⋃⋃=74。

6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。

7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260。

8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概率为 。

9．在[-1,1]上任取一点，则该点到原点距离不超过13
的概率是0.33。

10．在区间（0，1）上随机地取出两个,u v ，则关于x 的一元二次方程220x vx u -+=有实根的概率是0.33。

11．若有n 个人随机地站成一列，其中有甲、乙两个，则夹在甲和乙之间恰 有r 个人的概率为)
1()1(2---n n r n 。

12．对二事件,A B 已知()0.6P A =，()0.7P B =,那么()P AB 可能取到的最大值是 0.6 ；可能取到的最小值是 0.3 ；()P A B ⋃可能取到的最大值是 1 ；可能取到的最小值是 0.7 。

13．由装有 3 个白球 2 个黑球的箱中，随机地取出 2 个球，然后放到装有 4个白球和4个黑球的箱子中，试计算最后从第二个箱子中取出一球，此球为白球的概率为 0.52。

二、选择题
1．以下命题正确的是 （ABCD ） A.()()AB AB A ⋃=； B.若A B ⊂，则AB A =；
C.若A B ⊂，则B A ⊂；
D.若A B ⊂，则A B B ⋃=.
2．某学生做了三道题，以A 表示“第i 题做对了的事件”(1,2,3)i =，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ B D ） A. 212313123A A A A A A A A A ⋃⋃； B. 122313A A A A A A ⋃⋃； C. 122313A A A A A A ⋃⋃ ； D. 212313123123A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃.
3． 若事件A 与B 相容，则有 （ B ）
A.()()()P A B P A P B ⋃=+；
B. ()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-；
C. ()1()()P A B P A P B ⋃=--；
D. ()1()()P A B P A P B ⋃=-.
4 .事件A 与B 互相对立的充要条件是 （ C ）
A.()()()P AB P A P B =;
B.()0P AB =且()1P A B ⋃=;
C.AB =∅且A B S ⋃=;
D.AB =∅.
5.已知()0P B >且12A A =∅,则（ ABC ）成立.
A.1(|)0P A B ≥；
B.1212(()|)(|)(|)P A A B P A B P A B ⋃=+；
C.12(|)0P A A B =；
D. 12(|)1P A A B =.
6．若()0,()0P A P B >>且(|)()P A B P A =，则（ AB ）成立.
A. (|)()P B A P B =；
B.(|)()P A B P A =；
C.,A B 相容；
D.,A B 不相容.
7．对于事件A 与B ，以下命题正确的是( ).
A.若A 、B 互不相容,则A 、B 也互不相容；
B.若A 、B 相容,则A 、B 也相容；
C.若A 、B 独立，则A 、B 也独立；
D.若A 、B 对立，则A 、B 也对立.
8．若事件A 与B 独立，且()0,()0P A P B >>， 则（ AB ）成立.
A. (|)()P B A P B =；
B.(|)()P A B P A =；
C.,A B 相容；
D.,A B 不相容.
三、解答题
1． 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间S 与随机事件A ：
（1）掷一颗骰子，观察向上一面的点数；事件A 表示“出现奇数点”；
（2）对一个目标进行射击，一旦击中便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击不超过3次”；
（3）把单位长度的一根细棒折成三段，观察各段的长度；事件A 表示“三段 细棒能构成一个三角形”。

解: (1) }{11,2,3,4,5,6S =,A 1=}{1,3,5;
(2) }{21,2,S =L , A 2=}{1,2,3;
(3) 设折得三段长度分别为x,y 和1-x-y ，()}{3,01,0,1S x y x y x y =<+<<<, .
3111{(,)|0,0,1}222
A x y x y x y =<<<<<+< 2． 化简下列各式 (1)A
B AB ⋃ (2)()()A B A B ⋃⋃⋃ (3)()()A B A B ⋃⋂-
解：(1) AB AB ⋃=A （B B ⋃）=AS =A
(2) ()()A B A B ⋃⋃⋃=()()()()A B A A B B ⋃⋃⋃⋃⋃=Ω⋃Ω=Ω
(3) ()()A B A B ⋃⋂-=()()()()A B AB ABAB AABB AA BB φ⋃⋂====
3．一工人生产了四件产品，以i A 表示他生产的第i 件产品是正品(1,2,3,4)i =，试用i A 表示(i =1,2,3,4)下列事件：
（1）没有一件产品是次品；
（2）至少有一件产品是次品；
（3）恰有一件产品是次品；
（4）至少有两件产品不是次品。

解：(1) 1234A A A A ; (2) 1234A A A A (1234A A A A ⋃⋃⋃); (3) 1234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A +++;
(4) ()()()()()()121314232434A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃⋃⋃
4．掷两颗骰子，试求出现的点数之和大于9的概率。

解：用,x y 表示两颗骰子掷出的点数，则1,6,x y ≤≤每一点对(),x y 表示每次掷两颗骰子的结果即为一基本事件，则样本空间}{
(,),1,2,,6S x y x y ==L ，A 表示掷两颗骰子出现的点数之和大于9的事件。

则A=}{(4,6)(5,5)(5,6)(6,4)(6,5)(6,6)，而样本空间中包含的样本点总数为36，由古典概型计算公式，61()366P A ==。

5. 已知N 件产品中有M 件是不合格品，今从中随机地抽取n 件，试求:
(1) n 件中恰有k 件不合格品的概率；
(2) n 件中至少有一件不合格品的概率。

解：从N 件产品中抽取n 件产品的每一取法构成一基本事件,共有n N C 种不同取法.
(1)设A 表示抽取n 件产品中恰有k 件不合格品的事件，则A 中包含样本点数为k
n k M N M C C --,由古典概型计算公式，()k n k M N M n N
C C P A C --=。

(2) 设B 表示抽取n 件产品中至少有一件不合格品的事件，则B 表示n 件产品全为合格品的事件，包含n
N M C -个样本点。

则()1()1n N M n N
C P B P B C -=-=-。

6. 一个口袋里装有10只球，分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球。

试求：
(1) 最小号码是5的概率；
(2) 最大号码是5的概率。

解:从10只球中任取3只的每一种取法构成一基本事件，则样本点总数为310C 。

(1)设A 表示“3只球中最小号码是5的取法”，共有25C 种取法，因此121)(310
25
==C C A P (2)设B 表示“3只球中最大号码是5的取法”，共有24C 种取法，因此201)(31024
=
=C C A P 7. 一份试卷上有6道题。

某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的 错误。

试求，
(1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率；
(2) 这4处错误发生在不同题上的概率；
(3) 至少有3道题全对的概率。

解：4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种，即样本点总数为1296。

(1) 设A 表示“4处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，因此1296
1)(=A P ； (2) 设B 表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上，
共有46P 种方式，因此有6360345=⨯⨯⨯种可能，故.18
51296360)(==B P (3) 设C 表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”，而C 表示“4处错误发生在不同题上”，B C =，18
13)(1)(=-=B P C P . 8. 在单位圆内随机地取一点Q ，试求以Q 为中点的弦长超过1的概率。

解：在单位内任取一点Q ，坐标为),(y x ，样本空间S=}
{,1),(22<+y x y x 记事件A
为“以Q 为中点的弦长超过1”，A=⎩
⎨⎧⎭⎬⎫<+⎩⎨⎧=⎭⎬⎫>+-43),(,)21()(1),(22222y x y x y x y x 。

由几何概型公式得75.0143
)(=⋅⋅
=ππA P . 9. 在长度为T 的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机。

长信号持续时间为1()t T ≤，短信号持续时间为2()t T ≤。

试求这两个信号互不干扰的概率。

解：设x,y 表示两个长短不等的信号到达时间，样本空间S=}{,,0),(T y x y x ≤≤记A 为“两个信号互不干扰”，则A=}{}12,),(t x y t y x y x >->-，由几何概型公式得
222122122)1(21)1(21)(21)(21)(T t T t T
t T t T A P -+-=-+-=。

10. 从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。

解：为从5双(10只)不同的鞋中任取4只，我们一只一只地取出,共有10×9×8×7种取法，此即为样本点总数。

设以A 表示事件“4只中至少有2只配对成双”，则A 的对立事件A 为“4只鞋子中没有2只成双”。

现在来求A 中的样本点数：4只鞋是一只一只取出的，第一只可以任意取，有10中取法，第二只只能取剩下的且除去和已取出的第一只配对的另一只后的8只鞋子中任取一只，它有8种取法。

同理第三只、第四只鞋子只有6、4种取法，所以A 中样本点总数为10×8×6×4，得
1086413()1()11098721
P A P A ⨯⨯⨯=-=-=⨯⨯⨯ 11. 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B ==⋃=,试求()P A B -与()P B A -。

解：由加法公式()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，可知()0.4P AB =。

由于A B A AB -=-,B A B AB -=-,且,AB A AB B ⊂⊂,则由概率性质可知()()()()0.1P A B P A AB P A P AB -=-=-=,同理()()()0.3P B A P B P AB -=-=。

12．设,,A B C 是三个事件，已知()()()0.3,()0.2P A P B P C P AB ====， ()()0P BC P AC ==。

试求,,A B C 中至少有一个发生的概率和,,A B C 全不发生的概率。

解：由,0()()0ABC BC P ABC P BC ⊂≤≤=,故()0P ABC =。

A B C ⋃⋃表示,,A B C 中至少有一个发生的事件，由已知事件概率及概率加法公式有()()()()()()()()0.330.2P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ⋃⋃=++---+=⨯-0.7.=而,,A B C 全不发生这一事件可用A B C ⋃⋃表示，由逆事件概率关系有 ()
1()0.3P A B C P A B C ⋃⋃=-⋃⋃=.
13.已知111(),(|),(|)346P A P B A P A B ===，求()P A B ⋃。

解：由乘法公式()1()()12P AB P A P B A ==
,又由条件概率公式()()()P AB P A B P B =知 ()12P B =，再由加法公式()3()()()4
P A B P A P B P AB ⋃=+-=。

14.设,A B 是两个事件,已知()0.3,()0.6P A P B ==，试在下列两种情况中分别求出(|),(|)P A B P A B 。

(1) 事件,A B 互不相容；
(2) 事件,A B 有包含关系。

解：(1)由AB φ=,则()0P AB =，()()()0.9P A B P A P B ⋃=+=。

由条件概率公式及逆事件概率关系得()()0()P AB P A B P B =
=，()()()0.25()()P AB P A B P A B P B P B ⋃=== (2)由于()()P A P B <，故
A B ⊂。

因此,AB A A B B =⋃=。

故类似（1）可得()()()0.5()()
P AB P A P A B P B P B ===，()()()()1()()()P AB P A B P B P A B P B P B P B ⋃==== 15．一个盒子中装有10只晶体管，其中有3只是不合格品。

现在作不放回抽样：连续取2次，每次随机地取1只 。

试求下列事件的概率。

(1) 2只都是合格品种
(2) 1只是合格品，1只是不合格品；
(3) 至少有1只是合格品。

解：设i i A 表示第i 次取的是合格品，=1，2
1212112121212767(1)()()(|)*10915
73377(2)()**10910915
3214(3)()1()1*10915P A A P A P A A P A A A A P A A P A A ==
=+=+=⋃=-=-=
16．某商店出售晶体管，每盒装100只，且已知每盒混有4支不合格品。

商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管，如果随即地取1只发现是不合格品，商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中，不合格的那只晶体管不再放回。

顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试，试求他发现全是不合格品的概率。

解：设i i A 表示第i 次取的是不合格品，=1，2，3
则1231213124323()()(|)(|)**100109118160775P A A A P A P A A P A A A ===
17．已知,,A B C 互相独立，证明,,A B C 也互相独立.
A B C AB A B AC A C BC B C ABC A B C ⋃解：有，，相互独立可得：
P()=1-P(A B)=P()P()
P()=P()P()
P()=P()P()
P()=P()P()P()
则三事件相互独立。

18．一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8081
，求此射手每次射击的命中率.
解：设i i A 表示第i 次其中目标，=1，2，3，4
则41234801()()18181i P A A A A P A ==-
= 2()1()3i i P A P A =-=
19．设情报员能破译一份密码的概率为0.6．试问，至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95％?假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的。

A P(A)=1-P(A)10.40.95
ln 0.05ln 0.4n n =-≥≥解：设至少需要n 名情报员，：情报被破译
20．有2n 个元件，每个元件的可靠度都是p 。

试求下列两个系统的可靠度 。

假定每个元件是否正常工作是相互独立的。

(1) 每n 个元件串联成一个子系统，再把这两个子系统并联；
(2) 每两个元件并联成一个子系统，再把这n 个子系统串联。

解：（1）设i i A 表示第i 个子系统可靠，=1，2，
则212()*2*n n n n n n P A A p p p p p p ⋃=+-=
（2）设i i A ⋅⋅表示第i 个子系统可靠，=1，2,,n
则12()[*]*(2)n n n n P A A A p p p p p p ⋅⋅=+-=-
21．设每个元件的可靠度为 0.96．试问，至少要并联多少个元件才能使系统的可靠度大于0.9999？假定每个元件是否正常工作是相互独立的。

A P(A)=1-P(A)10.040.9999
ln 0.0001ln 0.04n n =-≥≥解：设至少要并联n 个元件，：系统正常
22．5名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是80％。

他们各投一次，试求：
(1) 恰有4次命中的概率；
(2) 至少有4次命中的概率；
(3) 至多有4次命中的概率。

解：设i i A 表示第i 个运动员命中，=1，2，3，4，5
（1）412345()5*()5*0.2*0.80.4096P A P A A A A A ===
(2) 512345()()()0.40960.80.7373P B P A P A A A A A =+=+=
(3) 512345()1()10.80.6723P C P A A A A A =-=-=
23．某地区患肝炎的人占1％。

试问该地区某所学校中一个65人的班级里至少有两人患肝炎的概率有多大 ？假定他们是否患肝炎是相互独立的。

6516465B C P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.99*0.1*0.99C -解：设A:至少有两人患肝炎，：没有人患肝炎，：恰有一人患肝炎
24．甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、 0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大。

13i=123i=13i 0.2*0.9(|)0.360.2*0.90.3*0.40.5*0.4
()(|)0.3*0.4(|)0.240.2*0.90.3*0.40.5*0.4
()(|)(|)()(|i i i i i i i
B P B A P B P A B P B A P B P A B P B A P B P A B ===++===++=∑∑112233解：设A:题被答对，：第个人抢到答题权，
P(B )P(A|B )P(B )P(A|B )P(B )P(A|B )3i=10.5*0.40.40.2*0.90.3*0.40.5*0.4)=
=++∑得：丙答对的可能性最大
25． 某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求
（1）先选出的是女生的概率；
（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率。

解：设:i i B 先选出的是女生，A 表示挑选的是第i 个班，=1，2，
（1） 则1122()()*(|)()*(|)0.5*0.20.5*0.60.4P B P A P B A P A P B A =+=+=
（2）设:C 后选出的是女生，则
9170.5*0.2*0.5*0.6*()6904929(|)()0.41421
P BC P C B P B +=== 26．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹，它们命中敌机的概率都是0.2。

飞机被击中1弹而坠毁的概率为0.1，被击中2弹而坠毁的概率为0.5，被击中3弹必定坠毁 。

(1) 试求飞机坠毁的概率；
(2) 已知飞机坠毁，试求它在坠毁前只有命中1弹的概率。

i i :i i (A )A 0.4068()i B P B P B ==解：设飞机坠毁，，A :击中弹，=1，2，3
P(B)=0.1*3*0.2*0.8*0.8+0.5*3*0.8*0.2*0.2+0.2*0.2*0.2=0.09440.1*3*0.2*0.8*0.8P(|B)=0.0944
27．已知甲袋中装有a 只红球，b 只白球；乙袋中装有c 只红球，d 只白球。

试求下列事件的概率：
(1) 合并两只口袋，从中随机地取一只球，该球是红球；
(2) 随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；
(3) 从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋，再从乙袋中随机地取出一只球，该球是红球。

()11**221(3)()**11
a c
P A a b c d
a c a
b
c d
a c
b
c P C a b c
d a b c d +=+++++++=+++++++解：(1) (2)P(B)= 28．无线电通讯中，由于随机干扰，当发送信号“.”时，收到信号为“.”、“不清”与“——”的概率分别是0.7，0.2与0.1；当发送信号“——”时，收到信号为“——”、“不清”与“．”的概率分别是0.9，0.1与0。

如果整个发报过程中 ，“.”与“——”分别占60％与40％，那么，当收到信号“不清”时，原发信号为“．”与“——”的概率分别有多大?
12231323B B :,A A 0.6*0.23(|)0.6*0.20.4*0.14
0.4*0.11(|)0.6*0.20.4*0.14P B A P B A ••===+==
=+∑∑11312i 3i
i=12322i 3i
i=1解：设：发出，：发出——，A 收到：收到——，：收到不清P(B )P(A |B )
P(B )P(A |B )P(B )P(A |B )
P(B )P(A |B ) 29．口袋里装有a + b 枚硬币，其中b 枚硬币是废品(两面都是国徽)。

从口袋中随机地取出1枚硬币，并把它独立地抛 n 次，结果发现向上的一面全是国徽 。

试求这枚硬币是废品的概率。

121B B :n b *1a+b (|)b a 1*1*()a+b a+b 2n P B A ===+∑112i i i=1解：设：取出的硬币是废品，：取出的是正品，A 次向上的一面全是国徽
P(B )P(A|B )P(B )P(A|B )
30．一个盒子装有6只乒乓球，其中4只是新球 。

第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子．第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球。

(1) 试求第二次取出的球全是新球的概率；
(2) 已知第二次取出的球全是新球，试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率。

1232222211342244222222266666621134222663B B B *4P A ***25**2(2)(|)43
25
C C C C C C C C C C C C C C C C C C P B A ++====∑3
i i i=133解：设：第一次取出的都是新球，：都是旧球，：一新一旧
（1） （）=P(B )P(A|B )=P(B )P(A|B )P(A) 31．甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为1∶7∶2，而各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2。

现在目标已被击毁，试求目标是被甲阵地击毁的概率。

111B i A 0.1*0.05(|)0.1*0.050.7*0.10.2*0.2i P B A ===++∑3i i
i=1
解：设：炮弹是由第个阵地发射的，：目标被击毁
P(B )P(A|B )P(B )P(A|B )0.04。