时间序列分析讲义第10章协方差平稳向量过程
专著时间序列分析讲义时间序列分析讲义第10章协方差平稳向量过程
第十章 协方差平稳向量过程在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。
在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。
§10.1 向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论1⨯n 向量之间的动态交互作用。
一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ：t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=---其中p 1ΦΦ ,是n n ⨯阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足：⎩⎨⎧≠=Ω=ts t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ⨯阶正定矩阵。
可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为：tp t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,)2(12,2)2(122,1)2(111,)1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=---------由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p 阶自回归形式。
一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。
利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为：t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ定义：如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。
此时下述变量与初始时间t 无关：)(t E y 和)(j t t E -'y y命题：如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，则有：(1) 该过程的均值向量可以表示成为：c ΦΦΦI μp 211][-----= n(2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式：t t p 21εc ΦΦΦI +=-----y L L L y p n t ][2§10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，也可以将VAR (p ) 表示成为VAR (1)的形式。
平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式
平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式为了计算平稳过程的自协方差函数和自相关函数，我们首先需要了解平稳过程、协方差函数和自相关函数的定义和计算方法。
一、平稳过程的定义在时间序列分析中，平稳过程指的是具有稳定统计特性的随机过程。
简单来说，平稳过程是指整个时间序列的统计分布在不同时刻不发生明显变化的过程。
二、协方差函数的定义和计算公式协方差函数用来衡量两个随机变量之间的线性关系程度。
对于平稳过程，协方差函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
对于平稳过程{X(t)}，其协方差函数γ(k)定义为：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))其中，Cov表示协方差的计算，k表示时间间隔。
根据简单的平均值计算公式，协方差函数的计算公式为：γ(k) = E[(X(t)-μ)(X(t+k)-μ)]其中，E表示期望操作，μ表示随机变量X(t)的均值。
三、自相关函数的定义和计算公式自相关函数用来衡量一个随机过程在不同时刻的相关性。
对于平稳过程，自相关函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
自相关函数ρ(k)定义为：ρ(k) = Co v(X(t), X(t+k)) / Var(X(t))其中，Cov和Var分别表示协方差和方差。
根据协方差函数和方差的定义，自相关函数的计算公式为：ρ(k) = γ(k) / γ(0)其中，γ(k)表示协方差函数。
四、总结通过以上的论述，我们可以得出平稳过程的自协方差函数和自相关函数的计算公式：自协方差函数：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))自相关函数：ρ(k) = γ(k) / γ(0)需要注意的是，在实际计算中，协方差函数和自相关函数通常只计算一部分的值，比如只计算前几个滞后阶数的值，以节省计算时间和资源。
总而言之，平稳过程的自协方差函数和自相关函数提供了衡量序列内在关系的重要指标，对于分析时间序列的特征和预测未来数值具有重要作用。
正确理解和计算这些函数的公式是进行时间序列分析的基础。
序列分析研究义协方差平稳向量过程
第十章 协方差平稳向量过程在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列地主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型地估计和检验.在本章当中，我们主要讨论一些有关向量随机过程地基本概念.§10.1 向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者观测地实现，只是现在讨论1⨯n 维随机向量之间地动态交互作用.一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ：t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=---其中p 1ΦΦ ,是n n ⨯阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足：⎩⎨⎧≠=Ω=t s t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ⨯阶正定矩阵.可以利用分量形式将上述方程组地第一个方程表示为：tp t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,)2(12,2)2(122,1)2(111,)1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=---------由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量地p 阶自回归形式.一个显著地不同是，每个方程地残差项之间可能是相关地.利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为：t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2其中滞后算子多项式地元素可以表示成为：p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ定义10.1如果一个向量过程地一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程.此时下述变量与初始时间t 无关：)(t E y 和)(j t t E -'y y命题10.1如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，则有：(1) 该过程地均值向量可以表示成为：c ΦΦΦI μp 211][-----= n(2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式：t 1εμy Φμy Φμy Φμy +-++-+-=----)()()()(221p t p t t t类似于高阶差分方程情形，我们也可以将向量)(p VAR 模型表示成为)1(VAR 过程.定义：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+---μμμμξ121p t t t t t y y y y ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0000000000001321p n p n nI I I F φφφφφ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 t t w v则向量)(p VAR 模型可以表示成为)1(VAR 过程：t t t v F +=-1ξξ与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，也可以将VAR (p )表示成为VAR (1)地形式.为此，定义更高阶地向量：),,,(111'---=+--⨯μμμξp t t t np y y y)0,,0,(1'=⨯ t np V ε⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦΦΦΦ=⨯0000000000001321n n n p np np I I I F定义10.2 如果一个向量过程地一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程.此时下§10.2 向量过程地自协方差和收敛结果与标量过程类似，我们继续讨论向量过程地自协方差函数及其性质.10.2.1j 阶自相关矩阵对一个协方差平稳地n 维向量过程，j 阶自协方差定义为下面地n n ⨯维矩阵：][)μμ)(y (y Γ'--=-j t t j E我们需要注意地是，对于标量过程而言，如果该过程是协方差平稳地，则自协方差函数具有对称性，即j j -=γγ.但是对向量平稳过程而言，却有：j j -≠ΓΓ.例如，矩阵j Γ地)2,1(位置元素是),cov(21j t t y y -，而矩阵j -Γ地)2,1(位置元素是),cov(21j t t y y +，没有理由认为这两者之间是相关地，因为1y 对以前出现在2y 地变化产生地反应可能与2y 对以前出现在1y 地变化地反应完全不同.但是，正确地关系式是：j j -='ΓΓ为了推导出这个公式，注意到协方差平稳性意味着时刻t 可以替代为任意地j t +，则有： ][][)μμ)(y (y )μμ)(y (y Γ'--='--=+-++t j t j j t j t j E E对上式进行转置运算，得到：j j t t j E -+='--='Γ)μμ)(y (y Γ][10.2.1向量)(q MA 过程对一个协方差平稳地n 维向量版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.jLBHr。
计量经济第十章时间序列平稳性问题课件
1
第一节 平稳性问题概述
2
一、平稳性的概念
• 假定某个时间序列是由某一随机过程生成的， 即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个 数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满 足下列条件：
• 均值E(Xt)=u是与时间t 无关的常数； • 方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； • 协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与
5
二、伪回归问题
• 伪回归（spurious regression）是指对事实上不 存在任何相关关系的两个变量进行回归得出的 能够通过显著性检验的回归模型，造成“伪回 归”的根本原因在于时间序列变量的非平稳性 。
• 因此，在利用回归分析方法讨论经济变量间有 意义的经济关系之前，必须对经济变量时间序 列的平稳性与非平稳性作出判断。
et -1 vt
LYt 0.257955 0.207415 LXt -0.486969 LYt 2 -0.131155et-1
• 可见LY关于LX的短期弹性为0.207415.
34
29
第四节、误差修正模型 Error Correction Model, ECM
30
1.基本思路
• 若变量间存在协整关系，即表明这些变 量间存在着长期稳定的关系，而这种长 期稳定的关系是在短期动态过程的不断 调整下得以维持。之所以能够这样，是 一种调节过程—误差修正机制在起作用 ，防止了长期关系偏差的扩大。因此， 任何一组相互协整的时间序列变量都存 在误差修正机制，反映短期调节行为。
583927
1140742.00
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时间序列分析讲义 第10章 协方差平稳向量过程
第十章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。
在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。
§10.1 向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论1⨯n 向量之间的动态交互作用。
假设一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ：t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=--- (10.1) 其中p 1ΦΦ ,是n n ⨯阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足：⎩⎨⎧≠=Ω=t s t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ⨯阶正定矩阵。
可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为：tp t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,)2(12,2)2(122,1)2(111,)1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=--------- (10.2)由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p 阶自回归的形式。
此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。
利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为：t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2 (10.3) 其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ定义10.1 如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。
此时下述变量与初始时间t 无关：)(t E y 和)(j t t E -'y y命题10.1 如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有：(1) 该过程的均值向量可以表示成为：c ΦΦΦI μp 211][-----= n (10.4)(2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式：12()()()()t t t t p t ----=-+-++-+12p y μΦy μΦy μΦy με (10.5)§10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR (p )模型表示成为VAR (1) 的形式。
时间序列的平稳性及其检验 PPT
k=k/0 自相关函数就是关于滞后期k得递减函数。
实际上,对一个随机过程只有一个实现(样 本),因此,只能计算样本自相关函数(Sample autocorrelation function)。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
图 9.1.5 1978~2000 年中国 GDP 时间序列及其样本自相关图
• 图形:表现出了一个持续上升得过程,可初步
判断就是非平稳得。
• 样本自相关系数:缓慢下降,再次表明她得非 平稳性。
• 从滞后18期得QLB统计量看:
•
QLB(18)=57、18>28、86=0、052
•拒绝:该时间序列得自相关系数在滞后1期之后得
RANDOM1
-0.8 2 4 6 8 10 12 14 16 18
RANDOM1AC
（a）
（b）
• 从QLB统计量得计算值看,滞后17期得计 算值为26、38,未超过5%显著性水平得临 界值27、58,因此,可以接受所有得自相关 系数k(k>0)都为0得假设。
• 因此,该随机过程就是一个平稳过程。
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74894.2
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1990 18319.5
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79003.3
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1992 25863.6
时间序列平稳性分析(课件)
时间序列平稳性分析(课件)时间序列平稳性分析文章结构•时间序列的概念•平稳性检验•纯随机性检验•spss的具体操作1.1时间序列分析的概念•时间序列是一个按时间的次序排列起来的随机数据集合。
而时间序列分析是概率论与数理统计学科的一个重要分支，它以概率统计学为理论基础来分析随机数据序列（或称为动态数据序列）并对其建立相应的数学模型，即对模型定阶，进行参数估计，进一步将用于预测。
在对时间序列进行分析的时候我们的前提任务是如何进行的呢？2.1平稳性检验•••••特征统计量平稳时间序列的定义平稳时间序列的统计性质平稳时间序列的意义平稳性检验概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性特征统计量•均值t EXt•方差Var(Xt)E(Xt t)xdFt(x)2(x t)dFt(x)•协方差•自相关系数(t,s)E(Xt t)(XS)S(t,s)(t,s)DXt DXs平稳时间序列的定义•严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳•宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。
它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
•满足如下条件的序列称为严平稳序列正整数m，t1,t1,...,tm T,正整数t,有Ft1,t2,...,tm（x1,x2,...,xm）Ft1t,t2t,...,•满足如下条件的序列称为宽平稳序列1)EXt,t T2)EXt,为常数，t T2tmt（x1,x2,...,x3)（t,s）（k,k s t）,t,s,k且k s t T•常数性质•自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关1）延迟k自协方差函数（k）（t,t k）,k为整数2）延迟k自相关系数k（k）（0）自相关系数的性质••••规范性对称性非负定性非唯一性平稳性的检验•时序图检验根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应、无明显该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征•自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性。
时间序列协方差平稳
时间序列协方差平稳
时间序列的协方差平稳性是指时间序列数据的协方差在不同时间点上保持稳定或不变的特性。
在统计学和经济学中，时间序列数据的平稳性是一个重要的概念，因为它对于许多时间序列分析方法的有效性和可靠性具有重要影响。
从数学角度来看，时间序列数据的协方差平稳性可以通过满足以下条件来定义：
1. 严平稳性，时间序列数据的协方差是严平稳的，即协方差只取决于时间间隔，而不取决于具体的时间点。
2. 弱平稳性，时间序列数据的协方差是弱平稳的，即均值和方差在不同时间点上是恒定的，且自协方差只取决于时间间隔。
时间序列数据的协方差平稳性对于许多统计模型的应用具有重要意义。
例如，在建立ARMA（自回归移动平均）模型时，平稳性是一个基本的假设条件。
如果时间序列数据的协方差不是平稳的，那么在进行预测和推断时可能会导致错误的结论。
从实际应用的角度来看，时间序列数据的协方差平稳性也对金
融领域的风险管理和投资组合优化具有重要影响。
投资者和风险分
析师需要确保他们使用的时间序列数据具有平稳的协方差特性，以
便能够准确地评估风险和收益的关系。
在实际分析中，我们可以通过统计方法和图形方法来检验时间
序列数据的协方差平稳性。
例如，可以使用单位根检验（ADF检验）来检验时间序列数据的平稳性。
此外，还可以通过绘制自相关图和
偏自相关图来观察时间序列数据的平稳性特征。
总之，时间序列数据的协方差平稳性是时间序列分析中一个重
要的概念，它对于统计建模、风险管理和投资决策都具有重要的影响。
因此，在进行时间序列分析时，需要充分考虑和检验时间序列
数据的协方差平稳性特征。
第十章 平稳时间序列分析 《计量经济学》PPT课件
三、自回归过程AR(p) 对于自回归模型(10.2.2)
yt 1 yt1 2 yt2 p yt p ut
(10.2.2)
矩阵形式为
其中
Y p X p p U
(10.2.2)ˊ
y p1
Y
p
y
p2
yn
1
p
2
p
u p1
U
u p2
un
y p
X
p
y
p 1
yn1
P1 n
(
L)
即
Qm
(
L)
P1 n
(
L)
例如，当｜φ｜＜1
(10.1.22)
P1(L) 1 L
便有逆算符
P11(L) 1 L 2 L2
(10.1.24)
这是因为：
P1
(L)
P1 1
(
L)
(1
L)(1
L
2
L2
)
1 L 2 L2 L 2 L2
1
§10.2 自回归过程 AR( p ) 如果预测是分析的目的，那么，随机过程的元
(10.1.10)
那么，这一随机过程称为白噪声。
3. 平稳随机过程的自相关函数
对随机过程{yt},元素yt与yt+k之间的自相关函数定义
如下：
k
COV ( yt , ytk) V ( yt)V ( ytk)
（10.1.11）
自相关系数ρk的序列{ρk} (k=0, ±1, ±2,…)称为自 相关函数。
k2
2 u
k4
2 u
2 u
k
(1
2
4
)
(10.2.6)
平稳时间序列的自协方差函数解析
平稳时间序列的自协方差函数解析平稳时间序列的自协方差函数解析1. 引言时间序列分析作为一种探索和预测时间相关数据的方法，在许多领域中都具有重要的应用价值。
其中，平稳时间序列是其中一种常见类型，具有稳定的统计特性，使得我们可以在时间维度上进行可靠的预测和分析。
本文将深入探讨平稳时间序列中的一个重要概念，即自协方差函数。
通过分析自协方差函数的属性和解析方法，我们可以更深入地理解平稳时间序列的性质和特征，为我们的实际应用提供更准确、可靠的分析结果。
2. 平稳时间序列的基本概念平稳时间序列是指在统计意义上具有恒定的统计特性，如均值和方差，并且与时间无关。
这使得平稳时间序列可以通过统计方法进行可靠的分析和预测，因为其统计属性在时间维度上保持不变。
3. 自协方差函数的定义自协方差函数是一种衡量时间序列内部相关性的函数。
对于平稳时间序列$(X_1, X_2, ... , X_n)$，其自协方差函数定义如下：$$Cov(X_t, X_{t+h}) = E[(X_t - \mu_t)(X_{t+h} - \mu_{t+h})]$$其中，$X_t$和$X_{t+h}$分别表示时间$t$和时间$t+h$的观测值，$\mu_t$和$\mu_{t+h}$分别表示时间$t$和时间$t+h$的均值。
自协方差函数衡量了同一时间序列在不同时间点之间的相关性。
当$h=0$时，自协方差函数就是方差；当$h>0$时，自协方差函数表示了时间序列在不同时间点之间的相关性。
4. 自协方差函数的性质自协方差函数具有以下几个重要的性质：4.1 对称性：自协方差函数是关于$h$的对称函数，即$Cov(X_t,X_{t+h}) = Cov(X_{t+h}, X_t)$。
这是因为对于平稳时间序列来说，时间维度的顺序并不影响其相关性。
4.2 正定性：对于任意固定的$h$，自协方差函数$Cov(X_t,X_{t+h})$始终大于等于0。
这意味着时间序列中不同时间点的观测值总是具有正相关性或无相关性，而不会出现负相关性。
《平稳时间序列》课件
欢迎来到《平稳时间序列》PPT课件！在这个课程中，我们将深入研究平稳 时间序列的定义、检验和应用，以及常见的模型和实操演练。
定义
平稳性
均值、方差和协方差都不随时间变化而变化。
检验
1 观察法
通过观察时间序列的趋势和波动性来判断是否平稳。
2 自相关Leabharlann 与偏自相关图通过绘制自相关图和偏自相关图来辅助平稳性检验。
常见模型
AR模型
自回归模型，使用过去的观测值来预测未来值。
MA模型
移动平均模型，使用过去滞后项的线性组合来预测 未来值。
ARMA模型
自回归移动平均模型，结合AR和MA模型的特点， 用于拟合时间序列。
ARIMA模型
差分自回归移动平均模型，用于拟合非平稳时间序 列。
实操演练
1
Python实现平稳性检验
3 单位根检验
使用单位根检验方法（如ADF检验）来检验时间序列的平稳性。
应用
时间序列预测
利用平稳时间序列的特性，进 行未来数值的预测和预测不确 定性的评估。
时间序列建模
根据平稳时间序列的规律性， 构建数学模型来解释和预测时 间序列的行为。
数据挖掘
利用时间序列的历史数据，发 现其中的规律和趋势，为决策 提供依据。
使用Python中的统计库，通过ADF检验方法来检验时间序列的平稳性。
2
R实现时间序列预测
利用R语言中的时间序列分析包，对平稳时间序列进行预测和评估。
3
MATLAB实现时间序列建模
利用MATLAB中的时间序列工具箱，构建平稳时间序列的数学模型。
第十章 时间序列分析
其中X0是Xt的初始值，可假定为任何常数或取初值为0，则：
t
t
Var( X t ) Var( X 0 ut ) Var(ut )
t 1
t 1
t 2
这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条件不满足，因 此，随机漫步时间序列是非平稳时间序列。
可是，若将Xt = Xt－1+ut写成一阶差分形式：
即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在本质上，非平稳序列不能满足回归模型基本假定，是出现伪回归的根本原
因。 如：用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得到较高的R2 ，但不能认 为两者有直接的关联关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的 。
一、利用散点图进行平稳性检验
一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种 围绕其均值不断波动的过程；
而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具 有不同的均值（如持续上升或持续下降）。
第二十二页，共85页。
二、利用样本自相关函数进行平稳性判断
一个时间序列的样本自相关函数定义为：
T k
( X t X )( X tk X )
统计表，这两类方程是：
△Xt=α+δXt-1+ut （4）
和
△Xt=α+βt+δXt-1+ut （5）
二者的τ临界值分别记为τμ和τT。这些临界值亦列在
附表5中。尽管三种方程的τ临界值有所不同，但有关时间序列 平稳性的检验依赖的是Xt-1的系数δ，而与α、β无关。
第三十页，共85页。
3、ADF检验
ΔXt=ut
这个一阶差分新变量ΔXt是平稳的，因为它就等于白燥声ut， 而后者是平稳 时间序列。
统计学中的时间序列和平稳过程
统计学中的时间序列和平稳过程时间序列是统计学中一种重要的数据类型，它涉及对一系列按照时间顺序收集的数据进行分析、建模和预测。
时间序列分析在许多领域都有广泛的应用，从经济学到气象学，从金融学到社会学。
在时间序列分析中，平稳过程是一个关键概念，它为我们提供了对数据背后模式的理解和描述。
第一部分：时间序列分析概述时间序列分析是一种用来分析一系列按时间顺序排列的数据的统计方法。
时间序列数据通常具有以下特点：1) 序列中的观测值之间存在依赖关系，即当前观测值可能会受到前一时刻或前几时刻观测值的影响；2) 序列中的观测值随时间的推移而变化，可能呈现出趋势、周期性或随机性。
时间序列分析的目标是在这些观测值的背后找出规律和模式，并用数学模型对未来的观测值进行预测。
它可以帮助我们了解数据背后的变化趋势、周期性和其他相关性，并为决策提供有价值的信息。
第二部分：时间序列和平稳过程的定义在时间序列分析中，我们关心的是观测值的随机性和相关性。
为了能够准确地进行统计分析，我们需要对时间序列进行条件的平稳性假设。
平稳过程是时间序列理论的基石之一，它是指在时间上的任何位置，序列的统计特性保持不变。
具体来说，平稳过程要求均值、方差和协方差在时间上保持常数。
平稳过程可以分为弱平稳和严平稳两种。
弱平稳要求均值和方差在时间上保持常数，而严平稳要求协方差矩阵在任意时间间隔内保持恒定。
第三部分：常见的时间序列模型为了更好地分析和预测时间序列数据，统计学家和经济学家开发了许多时间序列模型。
以下是几种常见的时间序列模型：1) 自回归移动平均模型(ARMA)：ARMA模型是根据序列观测值自身的滞后值和滞后误差来建模的。
它结合了自回归模型(AR)和移动平均模型(MA)的特点。
2) 季节性模型：季节性模型适用于呈现出季节性变化的时间序列数据。
它通过引入季节性因子来捕捉季节性变动。
3) 自回归积分移动平均模型(ARIMA)：ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作。
平稳时间序列的自协方差函数
平稳时间序列的自协方差函数1. 自协方差函数的定义在时间序列分析中，自协方差函数是一种用于描述时间序列内部各个观测值之间相互关系的函数。
自协方差函数衡量了时间序列中不同时间点的观测值之间的相关性，从而可以帮助我们分析时间序列的特征和预测未来的变化。
自协方差函数的一般形式为：Cov(X t,X t+ℎ)=E[(X t−μt)(X t+ℎ−μt+ℎ)]其中，X t和X t+ℎ分别表示时间序列在时间点t和时间点t+ℎ的观测值，μt和μt+ℎ分别表示这两个时间点上的均值。
2. 自协方差函数的用途自协方差函数在时间序列分析中具有以下几个重要的应用：2.1 时间序列特征分析自协方差函数可以反映时间序列内部的相关性，通过分析自协方差函数的图像可以判断时间序列的平稳性和相关性。
例如，当自协方差函数在ℎ=0时为常数，而在其他情况下为零，那么时间序列是一个纯随机序列；当自协方差函数在ℎ增加时逐渐减小到零，说明时间序列具有一定的相关性。
2.2 时间序列预测自协方差函数可以用来建立时间序列的模型，进而预测未来的观测值。
通过拟合自协方差函数的模型，可以得到时间序列的参数估计，然后利用这些参数来预测未来的观测值。
常见的时间序列模型，如AR、MA、ARMA、ARIMA等，都是基于自协方差函数的分析。
2.3 过程识别自协方差函数还可以用于识别时间序列的生成过程。
通过分析自协方差函数的特性，可以判断时间序列是由哪种随机过程生成的。
例如，当自协方差函数随着时间延迟的增大而指数衰减，可以判断时间序列是由AR过程生成的；当自协方差函数存在周期性特征，可以判断时间序列是由周期性过程生成的。
3. 自协方差函数的工作方式自协方差函数反映了时间序列内部观测值的相关性，它的工作方式主要包括以下几个步骤：3.1 计算均值首先需要计算时间序列在每个时间点上的均值μt和μt+ℎ。
均值可以通过计算样本均值或者理论均值得到。
3.2 计算偏差项然后，需要计算每个观测值与均值之间的偏差项(X t−μt)和(X t+ℎ−μt+ℎ)。
平稳时间序列的自协方差函数
平稳时间序列的自协方差函数一、引言时间序列分析是统计学中一个非常重要的分支，它主要研究随时间变化的数据序列的规律性。
其中，平稳时间序列是时间序列分析中非常重要的一种类型。
本文将介绍平稳时间序列的自协方差函数。
二、平稳时间序列平稳时间序列指在统计意义下，该序列在不同时刻之间的统计特性保持不变。
换言之，在平稳时间序列中，均值、方差和协方差都是恒定的。
这种类型的时间序列具有很多优点，例如可以用于预测未来数据、研究因果关系等。
三、自协方差函数自协方差函数是描述一个平稳时间序列在不同时刻之间相关性大小的函数。
定义如下：$$\gamma(k) = cov(X_t,X_{t-k})$$其中，$cov(X_t,X_{t-k})$表示$X_t$和$X_{t-k}$之间的协方差。
自协方差函数可以反映出一个平稳时间序列在不同时刻之间相关性的大小。
当$k=0$时，$\gamma(k)$即为该平稳时间序列的方差。
四、代码实现下面给出一个Python函数来计算平稳时间序列的自协方差函数：```pythonimport numpy as npdef autocovariance(x, k):"""计算平稳时间序列的自协方差函数:param x: 平稳时间序列，numpy数组类型:param k: 时间差，整数类型:return: 自协方差函数值，浮点数类型"""n = len(x)mean = np.mean(x)gamma_k = 0.0for i in range(n - k):gamma_k += (x[i] - mean) * (x[i + k] - mean)return gamma_k / n```该函数接收一个平稳时间序列$x$和一个时间差$k$作为参数，返回该平稳时间序列在时间差$k$处的自协方差函数值。
具体实现过程如下：1. 首先获取平稳时间序列$x$的长度$n$和均值$mean$。
平稳时间序列分析
平稳时间序列分析平稳时间序列分析是一种常用的时间序列分析方法，它旨在研究时间序列在均值和方差上的稳定性，并将其用于预测未来的数据走势。
本文将详细介绍平稳时间序列分析的基本概念、建模方法和预测技术。
首先，让我们来了解什么是时间序列。
时间序列是按照一定的时间间隔收集到的一系列数据点的有序集合，它可以是连续的或离散的。
时间序列分析的目的是通过对过去的数据进行统计分析，揭示出时间序列中的内在规律和趋势，并预测未来的数据走势。
平稳时间序列是指在统计意义上具有稳定性的时间序列，即其均值和方差保持恒定不变。
平稳时间序列具有以下特点：1）均值是常数，不随时间变化；2）方差是常数，不随时间变化；3）协方差只与时间间隔有关，与具体的时间点无关。
为了实现平稳时间序列分析，我们需要进行以下几个步骤：1. 数据准备：收集所需的时间序列数据，并将其整理成适合分析的格式。
通常，我们会绘制时间序列图以直观地查看数据的趋势和模式。
2. 时间序列分解：时间序列通常包含趋势、季节性和随机成分。
我们需要对时间序列进行分解，将其分解为这些组成部分。
常用的分解方法有经典的加性模型和乘性模型。
3. 平稳性检验：对于时间序列分析，我们需要确保数据是平稳的。
平稳性检验的目的是判断时间序列的均值和方差是否是稳定的。
常用的平稳性检验方法有ADF检验、KPSS检验等。
4. 模型建立：如果时间序列被证实是平稳的，我们可以根据数据的模式和趋势选择适当的模型。
常用的模型包括自回归滑动平均模型（ARMA模型）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA模型）等。
5. 模型识别与估计：在模型建立的基础上，我们需要对模型进行识别和估计。
模型识别的目的是选择最适合数据的模型阶数，常用的方法有自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析。
模型的估计通常使用最大似然估计方法。
6. 模型检验：建立模型后，我们需要对模型进行检验，验证其拟合程度和预测准确度。
常用的模型检验方法有残差分析、DW检验、Ljung-Box检验等。
协方差平稳过程
协方差平稳过程协方差平稳过程是指随机过程中各个时刻的协方差保持不变的过程。
协方差是用来衡量两个随机变量之间关系的统计量，它描述了两个变量的变化趋势是否一致。
在金融领域，协方差平稳过程常常用于描述股票价格的波动性。
通过分析股票价格的协方差平稳过程，可以帮助投资者进行风险管理和资产配置。
协方差平稳过程具有以下特点：1. 平稳性：协方差平稳过程的统计性质在时间上保持不变。
也就是说，随机变量的均值和方差在不同时间段内保持不变。
2. 自相关性：协方差平稳过程中，随机变量在不同时刻之间存在相关性。
这意味着过去的值可以用来预测未来的值。
3. 随机性：协方差平稳过程中的变化是随机的，无法准确预测未来的变化趋势。
协方差平稳过程在金融领域的应用非常广泛。
投资者可以通过分析股票价格的协方差平稳过程，了解股票价格的波动性和相关性，从而制定合理的投资策略。
例如，投资者可以根据协方差平稳过程的特点，选择具有低相关性的股票进行组合投资，以降低投资组合的风险。
协方差平稳过程还可以应用于金融衍生品的定价和风险管理。
例如，期权定价模型中的随机波动率通常被假设为协方差平稳过程，以捕捉市场波动性的特征。
通过对协方差平稳过程进行建模和估计，可以对期权的价格和风险进行有效管理。
协方差平稳过程在金融领域具有重要的应用价值。
通过对协方差平稳过程的研究和分析，可以帮助投资者更好地理解和管理金融市场的风险，提高投资效益。
同时，协方差平稳过程的研究也为金融学科的发展提供了重要的理论基础。
通过对协方差平稳过程的理解和应用，我们可以更好地把握金融市场的脉搏，提高投资决策的准确性和效益。
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第十章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。
在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。
§10.1 向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论1⨯n 向量之间的动态交互作用。
假设一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ：t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=--- (10.1) 其中p 1ΦΦ ,是n n ⨯阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足：⎩⎨⎧≠=Ω=t s t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ⨯阶正定矩阵。
可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为：tp t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,)2(12,2)2(122,1)2(111,)1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=--------- (10.2)由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p 阶自回归的形式。
此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。
利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为：t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2 (10.3) 其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ定义10.1 如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。
此时下述变量与初始时间t 无关：)(t E y 和)(j t t E -'y y命题10.1 如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有：(1) 该过程的均值向量可以表示成为：c ΦΦΦI μp 211][-----= n (10.4)(2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式：12()()()()t t t t p t ----=-+-++-+12p y μΦy μΦy μΦy με (10.5)§10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR (p )模型表示成为VAR (1) 的形式。
为此，我们定义更高阶的向量为：1(,,,)np ⨯'=t t-1t-p+1ξy -μy -μy -μ)0,,0,(1'=⨯ t np V ε⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦΦΦΦ=⨯0000000000001321n n n p np np I I I F利用上述表示，可以将VAR (p )模型表示成为紧凑形式为：1t t t -=+ξF ξv (10.6) 此时向量误差的协方差矩阵为：,(),t s t s E t s =⎧'=⎨≠⎩Q v v 0 此处协方差矩阵为：np np ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Ω000000000Q 0000000000对方程(10.6)进行叠代，可以得到：21121s s t s t s t s t s t t -+++-+-+=+++++ξv Fv F v F v F ξ显然，当向量过程是平稳过程时，任何给定的误差过程的影响一定要随着时间消失，这时矩阵F 的所有特征根都要落在单位圆内。
类似的命题有：命题10.2 矩阵F 的特征根满足下列方程：12||0p p p n λλλ------=12p I ΦΦΦ (10.7)与此对应，VAR (p )模型是向量协方差平稳过程的条件是下述方程的特征根全部落在单位圆外：2||0p n z z z ----=12p I ΦΦΦ对向量协方差平稳过程而言，我们也可以类似地定义和讨论它的协方差性质。
例如，时间间隔为j 的协方差矩阵为：[()()]j t t j E -'=Γy -μy -μ (10.8) 但是需要注意的是，此时不满足等式：j j -=ΓΓ，正确的对应关系为：j j -'=ΓΓ针对协方差平稳的VAR (p )模型，假设：11011102120()[(),(),,()]t t p p p p p E E --+----⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥''''==⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎢⎥'⎢⎥=⎢⎥⎢⎥''⎢⎥⎣⎦t t t t-1t-p+1t y -μy -μΣξξy -μy -μy -μy -μΓΓΓΓΓΓΓΓΓ (10.9)进一步可以得到：11()[()()]()[]t t t t t t t t t tE E E E --''=++'''=+ξξF ξv F ξv F ξξF v v 因此有：'=+ΣF ΣF Q (10.10) 上述公式建立了向量协方差之间的关系。
§10.3 向量自回归模型的极大似然估计和假设检验显然，在协方差平稳过程中，向量自回归模型是比较容易进行估计和预测的，由于Sims (1980) 做出了具有影响性的研究，使得V AR 模型在进行经济系统的动态分析中变得十分流行。
下面我们主要介绍没有限制条件的V AR 模型的估计问题。
1. 向量自回归的条件似然函数假设1n ⨯维向量t Y 满足p 阶高斯—向量自回归模型：t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=--- (10.11) 其中p 1ΦΦ ,是n n ⨯阶系数矩阵，t ε是高斯噪声向量，满足：~(0,)N t εΩ上述模型估计类似于单变量AR 模型。
2. 似然比检验对于V AR 模型而言，检验模型的自回归阶数的假设检验可以很容易和方便地通过似然比检验进行，此时模型的原假设和备选假设为：0H ：0p p =；0H ：10p p p => (10.12) 此时的似然比统计量为：21001ˆˆ2(){log ||log ||}~()LR T s χ=-=Ω-Ω 这里的s 是原假设的限制参数个数，此时210()s n p p =-§10.4 二元变量的Granger 因果关系检验可以利用向量自回归模型处理的一个重要问题是判断一些变量在预期其他变量时是否有用。
这时我们需要描述二元变量之间的关系。
这种方法最早由Granger (1969) 提出，通过Sims (1972) 的应用使其流行起来。
1. 二元变量Granger 因果性的定义考虑两个单变量t x 和t y ，我们需要解决的问题是如何判断t y 是否有助于预测t x 。
如果t y 无助于预测t x ，我们则称t y 对t x 没有显著的Granger 因果影响(t y does not Granger-cause t x )。
我们可以更为正式地描述这样的关系：如果对所有的0s >，基于1(,,)t t x x - 预测t s x +的均方误差与使用1(,,)t t x x - 和1(,,)t t y y - 预测t s x +的均方误差是相同的，则称t y 没有对t x 产生Granger 因果影响。
如果我们仅仅考虑线性约束，则t y 没有对t x 产生Granger 因果影响的条件为：对所有0s >，有：111ˆˆ[(|,,)][(|,,;,,)]t s t t t s t t t t MSE E x x x MSE E x x x y y +-+--= (10.13) 上述表达式还有一个等价的说法，如果上式成立，则称t x 在时间序列的意义上相对于t y 是外生的。
这样的关系还有第三种称呼，如果上式成立，则称t y 对于未来的t x 不具有线性信息性。
最早Granger 提出如此定义的原因是，如果一个事件Y 是另外一个事件X 的原因的话，那么事件Y 应该先于事件X 发生。
虽然从哲学角度这样的关系可能是对的，但是在实践中如何检验这样的关系则是艰难的。
2. Granger 因果性的另一种解释在描述二元变量t x 和t y 的V AR 模型中，可以利用回归系数矩阵来说明t x 和t y 之间的Granger 因果关系。
命题10.3 如果在t x 和t y 的V AR 模型中，对所有j ，系数矩阵j Φ都是下三角矩阵，即：(1)(2)1211111(1)(1)(2)(2)12221222122()111()()22122000t t t t t t p t p t p p t p t x x x c y y y c x y φφφφφφεφεφφ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(10.14) 证明：根据整个系统的第一行可以知道，关于t x 的最优一阶段预测仅仅依赖自身的滞后值，而不依赖t y 的滞后值：(1)(2)()111111111111ˆ(|,,;,,)]p t t t t t t t t p E x x x y y c x x x φφφ+----+=++++进一步，可以得到：(1)(2)()21111111121,2p t t t t p t x c x x x φφφε++-++=+++++根据投影的叠代定律，以及数学归纳法，我们可以证明对任意超前0s >阶段的预测都仅仅依赖1(,,)t t x x - 。
Sims(1972)给出了Granger 因果关系的另外一种通俗的解释，可以归纳为下面的命题： 命题10.4 考虑t y 基于t x 的过去、现在和将来值的投影：01t j t j j t j t j j y c b x d x η∞∞-+===+++∑∑ (10.15)这里j b 和j d 均是母体投影系数，即满足：对所有t 和τ，()0t E x τη=则t y 没有对t x 产生Granger 因果影响的充分必要条件为：0j d =，1,2,j = (10.16) 这个命题说明，如果t y 没有对t x 产生Granger 因果影响，则未来的t x 值对解释当期的t y 没有任何帮助。
3. Granger 因果性的计量检验上面我们给出了三种Granger 因果关系的解释，任何一种解释都可以用来进行计量检验。