探究锥体的体积公式课件
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锥体体积公式V
锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py公式分类公式表达式乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ct g(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ct gA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2弦切角的定义：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
柱体、锥体、台体的体积 PPT课件 人教课标版
→ 如何计算台体的体积？
解:设切割去的锥体的高为x,
则: ( x )2Sx S xh S h S S
x S h V1S(hx)1Sx
S S
3
3
V其台V 圆 体 中 台 S 、 131 3 (S( SS 分 ' 别S S'S S为 S 上 S)h )h 、1 3下 (r2底 r R 面 h 为R 积 2 ) 高 h ，。
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
简要介绍祖暅(gèng)原理，(教材P30） 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体 积一定相等。
h为柱体高
面积，h 为台体高
S为底面面积， h为锥体高
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g/cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱
的体积与圆柱体积之差，即:
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能！只存在于蠢人的字典里。
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
解:设切割去的锥体的高为x,
则: ( x )2Sx S xh S h S S
x S h V1S(hx)1Sx
S S
3
3
V其台V 圆 体 中 台 S 、 131 3 (S( SS 分 ' 别S S'S S为 S 上 S)h )h 、1 3下 (r2底 r R 面 h 为R 积 2 ) 高 h ，。
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
简要介绍祖暅(gèng)原理，(教材P30） 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体 积一定相等。
h为柱体高
面积，h 为台体高
S为底面面积， h为锥体高
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g/cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱
的体积与圆柱体积之差，即:
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能！只存在于蠢人的字典里。
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
苏教版六年级下册《圆锥的体积》课件
本节课的难点解析
圆锥体积公式的应用
如何根据已知条件（如底面半径或高）正确使用公式进行计算。
理解等底等高的圆柱与圆锥的关系
为什么圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的1/3，通过图形和公式推导加深理解。
本节课的学习建议
多做练习题
通过大量的练习题，加深 对圆锥体积公式的理解和 应用。
与实际生活联系
尝试将圆锥体积的知识应 用于实际生活中，如计算 沙堆的体积、制作冰淇淋 等。
在建筑设计、工程制造等领域，利用圆锥和圆柱的体积关系可以优化材料使用和 降低成本。
04
圆锥的体积在实际生活中的应 用
圆锥的体积在建筑中的应用
建筑设计
圆锥体的形状在建筑设计中经常 被使用，如圆锥形的屋顶、拱门 等，可以增强建筑的稳定性和美 观性。
建筑材料
圆锥体的形状在建筑材料中也有 广泛应用，如圆锥形的砖块、混 凝土等，可以更好地适应建筑结 构的需求其中r是底面半径。
圆柱体体积的计算公式
V = πr²h，其中r是底面半径，h是高。
圆锥体积的推导过程
通过将圆锥切割成若干个小的圆柱体，再求 和得到圆锥的体积。
圆锥体积公式的推导结果
V = (1/3)πr²h。
圆锥的体积公式应用
计算圆锥的体积
解决实际问题
圆锥的体积在机械工程中的应用
机械零件
圆锥体的形状在机械零件中很常见， 如圆锥形的轴、轴承等，可以更好地 承受载荷和传递动力。
发动机设计
发动机中的活塞和气瓶通常采用圆锥 形状，以实现更好的密封和压力平衡 。
圆锥的体积在日常生活中的应用
食品包装
一些食品的包装容器采用圆锥形状，如酸奶、冰淇淋等，可以更好地节省空间 和方便携带。
3圆锥体积推导公式PPT课件
6厘米
33
▪ 通过这节课的学习，你学 会了什么？
用什么方法获取的？
202134Fra bibliotek的圆柱和圆锥各一个
实验过程
结论 圆锥体积 计算公式
①在空圆柱里 装满沙倒入空圆
3 锥里，（ ）
次，正好倒完。
②圆柱的体积是 和它（ 等底等高） 的圆锥体积的
（3）倍。
① 在空圆锥里装 满沙倒入空圆柱
3 里 ， （ ） 次
正好装满。
②圆锥的体积是
和它（ 等底等高）
的圆柱体积的
( (
1 3
) )
S h V＝
积和圆锥的体积比是2 ：1．
（√ ）
2021
28
5、把一个圆柱木块削成一个最大的圆锥，
应削去圆柱的
2。 （ ）
3
6、一个圆锥，底面积是6平方厘米，高
是10厘米，体积是60立方厘米。 （ ）
（3）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体
积相差8立方厘米，圆锥的体积是12立方
厘米．
（）
2021
29
丰收的喜悦
2021
C 2r
r C 2
V
1
3
C
2
2
h
V 1sh1r2h
33
1 3
C 2
2
h
1 32 0212 6.3 2.8 14233.14dm 3
24
巩 固 练 习练习1
1、求下面各圆锥的体积。 (2)底面半径是2 厘米，高3厘米。 (3)底面直径是6分米，高6分米 。
2021
1 2 3 主页25
巩 固 练 习练习2
30
一堆大米，近似于圆锥形，量得
圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
3
球的表面积与体积
问题六
设球的半径为R，你能类比圆的面积公式
推导方法，推导出球的体积公式吗？
提示
分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，
得出球的体积公式.
知 识 梳 理
1.球的表面积公式S＝ 4πR2(R为球的半径).2.球Biblioteka 体积公式V＝4 3πR
3
.
例3
(1)一个球的表面积是16π，则它的体积是
3
解析 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3.
反思
感悟
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面
展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
跟踪训练1
若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为
A.9π
直角三角形中列出方程并求解.
跟踪训练2
若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，
3
则这个圆锥的体积为________.
3π
解析
画出示意图，如图所示，设圆锥的母线长为 a，
1
3
则由 ·a· a＝ 3，得 a＝2.
2
2
故圆锥的底面圆直径为 2，圆锥的高为 3，
1
3
2
圆锥的体积 V＝3π×1 × 3＝ 3 π.
A.64π
解析
64π
B. 3
C.32π
32π
D. 3
√
设球的半径为 R，则由题意可知 4πR2＝16π，故 R＝2.
4 3 32π
所以球的体积 V＝ πR ＝
.
3
3
例3
(2)长、宽、高分别为 2， 3， 5的长方体的外接球的表面积为
圆锥的体积课件ppt
表面积由底面和侧面组成， 底面的面积是πr²，侧面的面积 是πrl，其中r为底面半径，l为母
线长。
圆锥的体积是底面面积与高的乘 积的三分之一，即V = (1/3)πr²h。
因此，圆锥的体积与表面积之间 没有直接的关系，但可以通过底
面半径和高来间接计算。
02
圆锥的体积计算
圆锥的体积课件
• 圆锥的体积公式 • 圆锥的体积计算 • 圆锥的体积与现实生活 • 圆锥的体积与其他几何体的关系
01
圆锥的体积公式
圆锥的体积公式推导
圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h，其中r为底面半径，
h为高。
该公式是通过将圆锥切割成若干 个小的圆柱体，然后求和圆柱体 的体积，最后得到圆锥的体积。
01
03
在自然现象描述方面，圆锥的体积可用于描述如沙漏、 火山喷发等现象的过程和规律，帮助人们更好地理解
和预测这些自然现象。
04
在手工艺品制作方面，圆锥的体积可用于计算手工艺 品如陶器、花瓶等材料的用量，从而制作出精美的艺 术品。
04
圆锥的体积与其他几何体的关系
圆锥的体积与圆柱体的关系
总结词
圆锥的体积是其底面积与高的乘积的 三分之一，这与圆柱体的体积公式存 在关联。
圆锥的体积计算方法
01
圆锥的体积计算公式
V = (1/3)πr²h，其中r是底面半径，h是高。
02 03
圆锥体积公式的推导
通过微积分的知识，将圆锥的底面分割成无数个小的扇形，再将这些扇 形旋转并叠加成一个近似于圆柱体的形状，通过求这个圆柱体的体积来 近似得到圆锥的体积。
圆锥体积公式的应用
在几何、物理、工程等领域中，圆锥的体积公式被广泛应用于计算各种 实际问题，如求圆锥形物体的容积、液体容量等。
线长。
圆锥的体积是底面面积与高的乘 积的三分之一，即V = (1/3)πr²h。
因此，圆锥的体积与表面积之间 没有直接的关系，但可以通过底
面半径和高来间接计算。
02
圆锥的体积计算
圆锥的体积课件
• 圆锥的体积公式 • 圆锥的体积计算 • 圆锥的体积与现实生活 • 圆锥的体积与其他几何体的关系
01
圆锥的体积公式
圆锥的体积公式推导
圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h，其中r为底面半径，
h为高。
该公式是通过将圆锥切割成若干 个小的圆柱体，然后求和圆柱体 的体积，最后得到圆锥的体积。
01
03
在自然现象描述方面，圆锥的体积可用于描述如沙漏、 火山喷发等现象的过程和规律，帮助人们更好地理解
和预测这些自然现象。
04
在手工艺品制作方面，圆锥的体积可用于计算手工艺 品如陶器、花瓶等材料的用量，从而制作出精美的艺 术品。
04
圆锥的体积与其他几何体的关系
圆锥的体积与圆柱体的关系
总结词
圆锥的体积是其底面积与高的乘积的 三分之一，这与圆柱体的体积公式存 在关联。
圆锥的体积计算方法
01
圆锥的体积计算公式
V = (1/3)πr²h，其中r是底面半径，h是高。
02 03
圆锥体积公式的推导
通过微积分的知识，将圆锥的底面分割成无数个小的扇形，再将这些扇 形旋转并叠加成一个近似于圆柱体的形状，通过求这个圆柱体的体积来 近似得到圆锥的体积。
圆锥体积公式的应用
在几何、物理、工程等领域中，圆锥的体积公式被广泛应用于计算各种 实际问题，如求圆锥形物体的容积、液体容量等。
圆锥体积公式的推导课件
底面积 高
3
1
圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝
底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
底面积 高
3
1
圆锥体积＝
运用所学知识解决实际问题：
例1：一个圆锥的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少？
答：这个零件体积是76立方厘米。
76
×19×12＝
（立方厘米）
①圆锥的侧面是一个曲面。( )
×
②圆柱的侧面展开是长方形，圆锥的侧面展开也是长方形。( )
③从圆锥的顶点到底面任意一点的连线叫做圆锥的高。( )
√
×
④圆锥的底面是圆形的。( )
√
对的打“√” 错的打“×”
下面哪些物体是圆锥？
指出下面各图是由 哪些图形组成的？
PART ONE
圆锥
答辩学生：XXX 指导老师：XXX
它们都是圆锥体，简称圆锥。
答辩学生：XXX 指导老师：XXX
顶点
底面
侧面
高
Q3
顶点
高
底面
底面
侧面
圆锥的侧面是一个曲面，底面是一个圆。
侧面
底面
顶点
底面
侧面
高
圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高h。
O
r
h
高
顶点
底面
侧面
高
测 量 圆 锥 的 高
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高
人教版高中数学必修二课件：1-3-1柱体和椎体的表面积与体积
3
锥体V 1 Sh
3
6
10
3.14
10 2
2
10
=2956mm3 2.956cm3
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
• 练习：三棱锥P-ABC的高为6,底面 是边长为2的等边三角形,则三棱锥 P-ABC的体积为__2___3_.
h
a
bc
S直棱拄侧＝（a b c) h ch
思考：把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到 什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长＝2r
S圆柱侧 S长方形＝Cl＝2 rl
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正棱锥侧＝
1 2
高中数学课件
灿若寒星整理制作
学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣.
2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.
重点 了解柱体锥体的表面积计算公式.
结果精 确 到1毫升，可用计算器）？
解:花盆外壁的表面积： S (r'2 r 2 r'l rl )
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
20cm
22
2
2
1000(cm2 ) 0.1(m2 )
涂100个花盆需油漆： 0.1100100 1000 (毫升)
锥体V 1 Sh
3
6
10
3.14
10 2
2
10
=2956mm3 2.956cm3
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
• 练习：三棱锥P-ABC的高为6,底面 是边长为2的等边三角形,则三棱锥 P-ABC的体积为__2___3_.
h
a
bc
S直棱拄侧＝（a b c) h ch
思考：把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到 什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长＝2r
S圆柱侧 S长方形＝Cl＝2 rl
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正棱锥侧＝
1 2
高中数学课件
灿若寒星整理制作
学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣.
2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.
重点 了解柱体锥体的表面积计算公式.
结果精 确 到1毫升，可用计算器）？
解:花盆外壁的表面积： S (r'2 r 2 r'l rl )
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
20cm
22
2
2
1000(cm2 ) 0.1(m2 )
涂100个花盆需油漆： 0.1100100 1000 (毫升)
人教版高中数学必修二精品课件：1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积
圆锥的体积公式：
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高）
3
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的
1
3
棱锥的体积公式：
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高）
3
棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的
1
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底
面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等 于底面面积乘高的 。1
上底扩大(S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
例三
有一堆规格相同的铁制（铁的密是 7.8g/cm3）六 角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为 12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽 大约有多少个（π取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体 积之差，即:
2
3 3
2.（ 辽宁）设某几何体的三视图（单位:cm）如图 所示，（尺寸的长度单位为m）.则该几何体的体 积为_______4_m__3。
正视图
3
俯视图
侧视图
【解析】由三视图知其为三棱锥，由“主左 一样高，主俯一样长，俯左一样宽”可知高 为2，地面三角形的底面边长为4，高为3，则 所求棱锥体积为：
l 2r l 2r
a r(r l ) 3 r 2
r a
3
3. 若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的 侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为
____5_______.
r' O l
rO
S侧 r'l rl 4l
S底 r2 r2 10
4 l 20 l 5
4. 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，
1.柱体、锥体、台体的表面积 探究 棱柱、棱锥、棱台的展开图是什么？
【课件】圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例析
例2 如右图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆
柱的体积之比.
解:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径
为R，高为2R.
4 3
因为 V球
R ,V 圆柱
R2 2R 2 R3
3
所以 V球 : V圆柱
2
3
问题：球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？
R O
练习
题型一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1 ，2 ，过直线1 2 的平面截该圆
）
2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形. （
答案：√，×.
辨析2：若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为(
A.2
答案：D.
B.3
C.
D.4
).
）
新知探索
割 圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推
导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.
他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的
∴ = 5，∴ = × (2 + 6) × 5 + × 22 + × 62 = 40 + 4 + 36 = 80.
练习
题型二：圆柱、圆锥、圆台的体积
例2.(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积
之比是(
).
A.1
B.1：2
C. 3：2
D.3：4
的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体
积为_____.
解：设上、下底面半径，母线长分别为，，.
作1 ⊥ 于点，则1 = 3，∠1 = 60°.
又∠1 = 90°，∴∠1 = 60°，∴ =
柱体、锥体、台体的表面积和体积 课件
柱体、锥体、台体的表面积与体积
[知识提炼Байду номын сангаас梳理]
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面 体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是 展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积：S 底＝πr2 圆
侧面积：S 侧＝2πrl 柱
表面积：S＝2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝πr2 圆 侧面积：S 侧＝2πrl 锥 表面积：S＝πrl＋πr2
所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π. 答案：A
[迁移探究 1] (变换条件，改变问法) 将典例 2 中 第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”，求该圆锥的侧面积．
解：设圆锥的底面半径为 r，则高 h＝r，母线 l＝PB
＝ 2r.
[变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，求圆 台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于 扇环的圆心角是 180°，则 c＝π·SA＝2π×10，解得 SA＝ 20(cm)．
同理可得 SB＝40(cm)， 所以 AB＝SB－SA＝20(cm)． 所以 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝ π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝ 1 100π(cm2)．
2＋5 则 S 底＝ 2 ×4＝14，高 h＝4. 所以 V 四棱柱＝S 底·h＝56.
归纳升华 1．求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面 积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求 的量转化到轴截面内求． 2．求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图 形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点．
[知识提炼Байду номын сангаас梳理]
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面 体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是 展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积：S 底＝πr2 圆
侧面积：S 侧＝2πrl 柱
表面积：S＝2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝πr2 圆 侧面积：S 侧＝2πrl 锥 表面积：S＝πrl＋πr2
所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π. 答案：A
[迁移探究 1] (变换条件，改变问法) 将典例 2 中 第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”，求该圆锥的侧面积．
解：设圆锥的底面半径为 r，则高 h＝r，母线 l＝PB
＝ 2r.
[变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，求圆 台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于 扇环的圆心角是 180°，则 c＝π·SA＝2π×10，解得 SA＝ 20(cm)．
同理可得 SB＝40(cm)， 所以 AB＝SB－SA＝20(cm)． 所以 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝ π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝ 1 100π(cm2)．
2＋5 则 S 底＝ 2 ×4＝14，高 h＝4. 所以 V 四棱柱＝S 底·h＝56.
归纳升华 1．求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面 积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求 的量转化到轴截面内求． 2．求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图 形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点．
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3
3
2
2
1
1
三、探究锥体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那 么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱 柱的体积有什么关系？
A2
2 1
A1
B2 C2 A2
3 1
B1 C1 A1
A2 B2
2
B1 C1 B1 C1
三、探究锥体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那 么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱 柱的体积有什么关系？
②求该金字塔的体积。
S
A
D
HO
B
C
S
分析：BC 30m, SO 21m,
A
D SH 25.8m
HO
B
C
解：S侧
4
1 2
30
25.8
1548m2
V锥
1 3
Sh
1 3
302
21
6300m3
答：至少需要1548平方米的玻璃；该玻
璃金字塔的体积为6300立方米。
2r
rO
lrr1l2ll12
l
解得：l1 l2
r r
lr r lr r
S扇环 S扇大 - S扇小
1 2
l1
2r
1 2
l2
2r
l1r l2r
l r2 r2 lr r r r
S圆台表面积 (r2 r 2 rl rl )
问题5：
你能找出圆柱、圆锥、圆台的联 系系吗？
总结：
棱柱、棱锥、棱台的侧面积问题
空间问题 转化为平
面问题
求平行四边形、三角形、梯形的面积问题
棱柱、棱锥、棱台的表面积？
二、探究旋转体的表面积
问题3：
圆柱、圆锥、圆台都是旋转 体，它们的侧面展开图是什么？如 何计算它们的表面积？
请同学们动手实验：圆柱、圆锥的侧面展开图。
实验要求：①②观理察清展展开开图后的图形形状中。的长度。 ③请推导它们的表面积公式。
A2 B2 C2
3 2
1
A1
C1
B1
A2
2
A2 B2
C1 B1
C2
3
C1
三、探究锥体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那 么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱 柱的体积有什么关系？
3
3
2
2
1
1
三、探究锥体的体积公式
问题7：
锥体的体积公式
V 1 Sh 3
V 1 Sh 3
（其中S为底面面积，h为相 应底面的高）
四、探究台体的体积公式
P
问题8：
台体的体积公式
A
D
S
C
B
h
D
A
S
C
V 1 (S
B
SS S)h
3
问题9：
你能找出柱体、锥体、台体三者 的联系吗？
S S
S 0
它们体积公式的联系呢？
五、例题精讲
例1:玻璃金字塔，它的侧面是由菱形玻璃拼 组而成，金字塔的形状是正四棱锥，底面是 正方形，底宽30米，高21米，侧面三角形的 高为25.8米，问①至少需要多少平方的玻璃 才能拼成该金字塔的侧面？
h
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平 面图形。
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
h'
h'
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形。
一、探究多面体的表面积
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h'
h'
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
一、探究多面体的表面积
几何体所占空间的大小。
一、探究多面体的表面积
问题1： 在初中已经学过了正方体和长方体的
表面积，你知道正方体和长方体的展开图 与其表面积的关系吗？
一、探究多面体的表面积
问题2：
棱柱、棱锥、棱台都是由多 个平面图形围成的几何体，它们的 展开图是什么？如何计算它们的表 面积？
一、探究多面体的表面积
棱柱的侧面展开图是什么？如何计 算它的表面积？
r O
r’＝r
l 上底扩大
O
r 'O’ rO
l r’＝0
上底缩小
l rO
表面积公式的联系又怎样？
三、探究锥体的体积公式
问题6：
锥体的体积公式
问题7：
你知道我国古代数学家祖暅吗？ 祖暅等积定理的内容是什么呢？
祖暅等积定理：情景设置
取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改 变它们的放置方法，观察改变前后的体积是 否发生变化？
问题4：
联系圆锥你能想象圆台展开图的
形状，并且画出它吗？如果圆台
的上、下底面半径分别r为, r
。
母线l 为 ，你能计算出它的表面
积吗？
r 'O’
l
rO
r'O’ 2r'
rO
2r
圆台的侧面展开图是扇环
l2
l1 r 'O’
2r'
圆台的侧面展开图是扇环 解：设大扇形的母线为l1,
小扇形的母线为l2
则l1 l2 l
从以上事实中你得到什么启发？
三、探究几何体的体积公式
祖暅等积定理：
h相等
s
夹在两个平行平面之间的两个几何 体，被平行于这两个平面的任何一
相 等
个平面所截，如果截面的面积都相
等，那么这两个几何体的体积一定
相等。
三、探究锥体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那 么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱 柱的体积有什么关系？
探究锥体的体积公式
一、探究多面体的表面积 (经典建筑）
这张图片里的建筑是巴黎卢浮宫玻璃金字塔， 它的侧面是由菱形玻璃拼组而成，金字塔的 形状为正四棱锥。底面为正方形，底宽30米， 高21米，侧面三角形的高为25.8米，问至少 需要多少平方的玻璃才能拼成该金字塔的侧 面？
表面积：
各个面的面积的和。
体积：