圆的标准方程公开课 ppt课件
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选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
圆的标准方程ppt课件完整版x-2024鲜版
2024/3/28
25
两圆相离条件（内含和外离）
内含
两圆圆心之间的距离小于两圆半径之差。
外离
两圆圆心之间的距离大于两圆半径之和。
2024/3/28
26
判断方法总结及示例
要点一
判断方法
首先根据两圆圆心距和半径和、半径差的大小关系，确定 两圆的位置关系类型（相交、相切、相离），然后根据具 体类型进一步判断是相交、内切、外切、内含还是外离。
04
2024/3/28
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
12
03
圆的图像与性质分析
2024/3/28
13
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
在平面直角坐标系中，圆心的坐标决定了圆在平面上的位置。
圆心与圆上任一点的距离等于半径
根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，因此圆心的位置会影响圆的整体形状和大小 。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
2024/3/28
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
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从一般方程到标准方程的转换
一般方程形式为
$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$
当两个质点发生碰撞时，可以通过它们的运动轨迹（即两个圆的 方程）来求解碰撞点的坐标。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
31
圆的标准方程(公开课)PPT课件
(3) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
(x 8)2 ( y 3)2 25
2.说出下列圆的圆心和半径:
(1)(x+1)2+(y-1)2=1；
圆心A(-1,1),r=1
(2) x2+(y+4)2=7；
圆心A（0，-4），r= 7
(3)(x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0圆）心;A(-1,-2), m r= 8
(x 2)2 ( y 3)2 25 24
16
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法：
17
2019/10/25
18
y M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r
r
O
A(a,b) x
(x-a)2+(y-
b)2=r2
问题2、圆的标准方程中那些是不变的常数？
怎样求圆的标准方程？
7
小试牛刀
1.求下列圆的方程:
(1)圆心在原点, 半径为3.
x2 y2 9
(2) 以O（0,0），A(6,8)为直径的圆. (x 3)2 (y 4)2 25
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
1
创设情境 引入新课
一石激起千层浪
2
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆的？
平面内 到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
3
4
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点----圆心------确定圆的位置 定长----半径------确定圆的大小
高中数学圆的标准方程(微课)公开课ppt课件
所以所求圆的方程为 (x 2)2 (y 3)2 25.
例2. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-
2=0上，求圆M的方程.
【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a2 + -1- b2 = r2, 根据题意得：-1- a2 + 1- b2 = r2 ,
所以圆心C的坐标是 (3, 2)，
圆心为C的圆的半径长r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25.
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x a)2 ( y b)2 r2.
当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为： x2 y2 r2.
根据两点间距离公式： P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
则点M、A间的距离为：MA x a2 y b2 .
即：
代入
(x a)2 ( y b)2 r
(x a)2 ( y b)2 r2
化简
回顾
1,求圆的 标准方程的数学思想方法解？析思想
形
平面直角坐标系中
数
2,如何得到圆的标准方程？
a + b - 2 = 0,
解得：a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且
圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程.
y A(1,1)
O C
x B(2,-2)
l : x y 1 0
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D
圆的标准方程公开课优质课比赛获奖课件ppt
对数学和方程感兴 趣的成年人
从事数学教育工作 者和研究者
对圆的标准方程有 基本了解的人群
课程特色
突出重点：围绕教学重点展开，帮助学生掌握核心知识点 注重实践：通过实例和练习，增强学生的实际操作能力 激发兴趣：采用生动有趣的方式，激发学生的学习兴趣和动力 拓展思维：引导学生思考和探索，培养学生的创新思维和解决问题的能力
05
课程亮点
知识点与实际应用结合紧密
数学知识点与实际应用紧 密结合
培养学生解决实际问题的 能力
增强学生的数学应用意识
帮助学生更好地理解和掌 握数学知识
注重学生思维能力培养
引导学生自主思考 培养创新思维 提倡开放式问题教学 鼓励学生发挥想象力
多种教学方法综合运用
讲授法：教师讲授理论知识，帮助学生理解概念和公式。 练习法：学生通过练习题目，巩固知识，提高解题能力。 案例分析法：通过分析典型案例，让学生深入了解问题的本质和解决方法。
02
课程大纲
圆的基本概念
圆的定义 圆的标准方程 圆的应用 圆的拓展知识
圆的标准方程
课程介绍
教学内容
教学目标 教学方法
圆的标准方程的求解方法
定义圆的标准方程 求解圆的标准方程 举例说明求解方法 与其他方程的求解方法进行比较
圆的性质及其应用
圆的基本性质 圆的位置关系 圆的度量关系 圆的作图问题
观察法：通过观察学生的表 现，了解学生的学习情况。
调查法：通过调查学生的反馈 意见，了解教师的教学情况。
考试法：通过考试检测学生的 学习成果，了解学生的学习情
况。
教学重难点及应对策略
教学重点：掌握圆的标准方程的形式及其求解方法
教学难点：理解圆的标准方程的实际应用及其意义
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
圆的标准方程(ppt课件)
外三种情形.
思考2：在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ,如何判断点M在圆外、圆上、
圆内？
提示： (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C (x0-a)2+(y0-b)外2=;r2时,点M在圆C (x0-a)2+(y0-b)上2<; r2时,点M在圆C 内.
例5.已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以P1P2为直径的
(1,0)
6
(-1,2) 3
(-a,0) |a|
特殊位置的圆的标准方程
例1. 求以C(4,-6)为圆心，半径等于3的圆的方程. 解:将圆心C（4，-6）、半径等于3代入圆的标准
方程，可得所求圆的方程为
（x 4)2 ( y 6)2 9.
例2.已知两点M1(4, 9)和M2(6, 3)，求以M1M2为直 径的圆的方程.
例4 求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y3=0上的圆的标准方程.
几何法 如图,连接AB,作AB的垂直平分线交AB于点 D,则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l 的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3xy-5=0.
探究 点与圆的位置关系
思考1：点与圆的位置关系有几种? 提示：三种.分别为点在圆内，点在圆上和点在圆
圆的方程，并判断M(6,3)，Q(8,1)是在圆上,圆外 还是圆内？
解 所：以5圆由方P1程P2为为(直x－径4可)2知＋圆(y心－的6)坐2＝标5为，(4,6)，半径为 ，
把M，Q两点坐标代入圆的方程 (6－4)2＋(3－6)2＝13＞5 (8－4)2＋(1－6)2＝41＞5 所以M，Q两点均在圆外．
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
思考2：在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ,如何判断点M在圆外、圆上、
圆内？
提示： (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C (x0-a)2+(y0-b)外2=;r2时,点M在圆C (x0-a)2+(y0-b)上2<; r2时,点M在圆C 内.
例5.已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以P1P2为直径的
(1,0)
6
(-1,2) 3
(-a,0) |a|
特殊位置的圆的标准方程
例1. 求以C(4,-6)为圆心，半径等于3的圆的方程. 解:将圆心C（4，-6）、半径等于3代入圆的标准
方程，可得所求圆的方程为
（x 4)2 ( y 6)2 9.
例2.已知两点M1(4, 9)和M2(6, 3)，求以M1M2为直 径的圆的方程.
例4 求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y3=0上的圆的标准方程.
几何法 如图,连接AB,作AB的垂直平分线交AB于点 D,则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l 的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3xy-5=0.
探究 点与圆的位置关系
思考1：点与圆的位置关系有几种? 提示：三种.分别为点在圆内，点在圆上和点在圆
圆的方程，并判断M(6,3)，Q(8,1)是在圆上,圆外 还是圆内？
解 所：以5圆由方P1程P2为为(直x－径4可)2知＋圆(y心－的6)坐2＝标5为，(4,6)，半径为 ，
把M，Q两点坐标代入圆的方程 (6－4)2＋(3－6)2＝13＞5 (8－4)2＋(1－6)2＝41＞5 所以M，Q两点均在圆外．
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
圆的标准方程公开课PPT
圆的扩展知识
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
2.1圆的标准方程课件(北师大版)
PART
3
信息交流，揭示规律
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------圆心C(a,b),半径r
y
( x a ) ( y b) r
PART
4
运用规律，解决问题
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例3：已知两点 (, )和 (, ), 求以
PART
1
设计问题，创设情境
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------在平面直角坐标系中，两点能够确定一条
直线，一点和直线的倾斜角也能确定一条直
为 5,1 , (7, −3),(2, −8),求它的外接圆的
标准方程。
y
A(5,1)
O
x
C
D(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
B(7,-3)
半径：圆心到圆上一点
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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1. 代数方法：待定系数法求
2. 几何方法：数形结合
C在圆内
D在圆上或圆外
例题讲解 例1、写出圆的方程
过点（0，1）和点（2，1），半径为 5
解：设所求圆的方程为（x a)2 ( y b)2 5. 因 为 已 知 圆 过 点 （ 0， 1） ， （ 2， 1） ， 所 以 可 得 ：
a 2 (1 b)2 5
( 2
a)2
(1
b)2
探究二：点与圆的位置关系
怎样判断点 M0(x0在,y圆0)C 上？圆外呢？
(xa)2(y内b)2？圆r2
yM3ຫໍສະໝຸດ M2CoM1
x
探究二：点与圆的位置关系
在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？
M M
M O
O
O
|OM|<r 点在圆内
|OM|=r 点在圆上
|OM|>r 点在圆外
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外
M (x0 , y0 )
M (x0 , y0 )
M(x0 , y0 )
O(a, b)
O(a, b)
O (a,b)
练一练：
点P( m1,5)与圆x2+y2=25的位置关
系 A在圆外
B在圆上 ( DA )
5
解得
a1 b1
1或 1
a2 b2
1 3
因此，所求圆的方程为
(x 1)2 ( y 1)2 5或 ( x 1)2 （ y-3）2 5.
例题讲解 例1.写出圆的方程
过点（0，1）和点（2，1），半径为 5
例2. AB的C三个顶点的坐标分别A(5,1),
B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
a2
b
3
r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
y
L2 L1
A(5,1)
R
x
D B(7,-3)
O
E C(2,-8)
例2 ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
( 法 二 ) 解 ： A B 中 点 为 （ 6 ， - 1 ） ， k A B 2
则直线AB的中垂线为y+1=1(x6) 2
即为x2y80(1)
同 理 可 得 直 线 B C 的 中 垂 线 为 x y 1 0 ( 2 )
联 立 （ 1） 和 （ 2） ,得 圆 心 为 D（ 2， -3） 半 径 为 A D = 5 ， 圆 的 方 程 为 (x-2) 2(y3)225
一、圆的标准方 程
创设情境
一石激起千层浪 摩天轮
奥运五环
自然界中有着漂亮的圆，圆是最完美的曲线之一.
形
y
.
.
o
数
l:AxByC0
x
那么，直线可以用一个方程表示， 圆 是否可以用一个方程来表示呢？
马高丹
回顾旧知
1、什么是圆？
平面内到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
2、确定圆有需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形)
例2 ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (xa)2(yb)2r2(1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它 们的坐标都满足方程（1）．于是
(5a)2 (1b)2 r2 (7 a)2 (3b)2 r2 (2a)2 (8b)2 r2
5、化简； (x a)2 ( y b)2 R2 化
圆心C(a,b),半径r M(x, y)
y M(x,y)
O C(a,b) x
(x a)2 (y b)2 r2
圆的标准方 程
2个条件（ a，b ）、r确定一个圆的方程.
特别地，圆心为O（0，0）半径r，则圆的方程
为：
x2 y2 r2
请判断：点 M1(5,7)， M2( 5,1) 是否在该圆上？
把 M1(5,的7)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点 M 1的坐标适合圆的方程，所以点 M 1在这个圆上；
把点 M2( 5,的1)坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
(x a)2 (y b)2 r2 圆心C(a,b),半径r
y
M
C
O
x
圆心O(0,0),半径r,则圆的标准方程：x2 y2 r 2
二、点与圆的位置关 系：
（1）点P在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点P在圆内 x0a2y0b2r2 （3）点P在圆外 x0a2y0b2r2
三、求圆的标准方程的方法：
探究一
已知圆的圆心C(a,b)及圆的半径R, 如何确定圆的方程？
y
M
C(a,b)
O
x
圆上的点的集合：P={M||MC|=R}
一、圆的标准方程
1、建立坐标系； 建 2、设点M(x, y)为圆上
的任意一点； 设
y M (x,y)
OC x
3、限定条件：|MC|= R 限
4、代点； (xa)2(yb)2R代
随堂练习
1、求:圆心及半径 (1). x2+y2=4 (2). (x+1)2+y2=1
2、圆心为 A(2,3)，半径长等于5,求圆的方程
(x – 2 )2+(y + 3 )2=25
变式： 圆心C(2，-3),且过点M(5,1)的圆的方程
(x2)2(y3)225
已知：圆的标准方程 (x 2)2 ( y 3)2 25
2. 几何方法：数形结合
C在圆内
D在圆上或圆外
例题讲解 例1、写出圆的方程
过点（0，1）和点（2，1），半径为 5
解：设所求圆的方程为（x a)2 ( y b)2 5. 因 为 已 知 圆 过 点 （ 0， 1） ， （ 2， 1） ， 所 以 可 得 ：
a 2 (1 b)2 5
( 2
a)2
(1
b)2
探究二：点与圆的位置关系
怎样判断点 M0(x0在,y圆0)C 上？圆外呢？
(xa)2(y内b)2？圆r2
yM3ຫໍສະໝຸດ M2CoM1
x
探究二：点与圆的位置关系
在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？
M M
M O
O
O
|OM|<r 点在圆内
|OM|=r 点在圆上
|OM|>r 点在圆外
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外
M (x0 , y0 )
M (x0 , y0 )
M(x0 , y0 )
O(a, b)
O(a, b)
O (a,b)
练一练：
点P( m1,5)与圆x2+y2=25的位置关
系 A在圆外
B在圆上 ( DA )
5
解得
a1 b1
1或 1
a2 b2
1 3
因此，所求圆的方程为
(x 1)2 ( y 1)2 5或 ( x 1)2 （ y-3）2 5.
例题讲解 例1.写出圆的方程
过点（0，1）和点（2，1），半径为 5
例2. AB的C三个顶点的坐标分别A(5,1),
B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
a2
b
3
r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
y
L2 L1
A(5,1)
R
x
D B(7,-3)
O
E C(2,-8)
例2 ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
( 法 二 ) 解 ： A B 中 点 为 （ 6 ， - 1 ） ， k A B 2
则直线AB的中垂线为y+1=1(x6) 2
即为x2y80(1)
同 理 可 得 直 线 B C 的 中 垂 线 为 x y 1 0 ( 2 )
联 立 （ 1） 和 （ 2） ,得 圆 心 为 D（ 2， -3） 半 径 为 A D = 5 ， 圆 的 方 程 为 (x-2) 2(y3)225
一、圆的标准方 程
创设情境
一石激起千层浪 摩天轮
奥运五环
自然界中有着漂亮的圆，圆是最完美的曲线之一.
形
y
.
.
o
数
l:AxByC0
x
那么，直线可以用一个方程表示， 圆 是否可以用一个方程来表示呢？
马高丹
回顾旧知
1、什么是圆？
平面内到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
2、确定圆有需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形)
例2 ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (xa)2(yb)2r2(1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它 们的坐标都满足方程（1）．于是
(5a)2 (1b)2 r2 (7 a)2 (3b)2 r2 (2a)2 (8b)2 r2
5、化简； (x a)2 ( y b)2 R2 化
圆心C(a,b),半径r M(x, y)
y M(x,y)
O C(a,b) x
(x a)2 (y b)2 r2
圆的标准方 程
2个条件（ a，b ）、r确定一个圆的方程.
特别地，圆心为O（0，0）半径r，则圆的方程
为：
x2 y2 r2
请判断：点 M1(5,7)， M2( 5,1) 是否在该圆上？
把 M1(5,的7)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点 M 1的坐标适合圆的方程，所以点 M 1在这个圆上；
把点 M2( 5,的1)坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
(x a)2 (y b)2 r2 圆心C(a,b),半径r
y
M
C
O
x
圆心O(0,0),半径r,则圆的标准方程：x2 y2 r 2
二、点与圆的位置关 系：
（1）点P在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点P在圆内 x0a2y0b2r2 （3）点P在圆外 x0a2y0b2r2
三、求圆的标准方程的方法：
探究一
已知圆的圆心C(a,b)及圆的半径R, 如何确定圆的方程？
y
M
C(a,b)
O
x
圆上的点的集合：P={M||MC|=R}
一、圆的标准方程
1、建立坐标系； 建 2、设点M(x, y)为圆上
的任意一点； 设
y M (x,y)
OC x
3、限定条件：|MC|= R 限
4、代点； (xa)2(yb)2R代
随堂练习
1、求:圆心及半径 (1). x2+y2=4 (2). (x+1)2+y2=1
2、圆心为 A(2,3)，半径长等于5,求圆的方程
(x – 2 )2+(y + 3 )2=25
变式： 圆心C(2，-3),且过点M(5,1)的圆的方程
(x2)2(y3)225
已知：圆的标准方程 (x 2)2 ( y 3)2 25