线性代数论文：浅谈代数学的发展
代数学的发展
清朝李善兰在1859年正式用「代数」这个词作为他译的＜代数学＞一书的名称。
从此，代数一次正式在我国流传并广为接受。
并且到了1873年，华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国数学家华里司（Wallis）的＜代数术＞里说：代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之。
为为国人解析代数一次的意义。
不过早在几千年前，代数这门学科就已经生机勃勃的发展起来。
“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。
发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。
1、算数算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。
另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。
现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。
它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。
15世纪，它被改造成现在的形式。
在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。
19世纪中叶，格拉斯曼（Grassmann）第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。
后来，皮亚诺（Peano）进一步完善了格拉斯曼的体系。
2、初等代数作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。
代数一词的拉丁文原意是“归位”。
古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次和二次方程问题，欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。
代数学的发展
代数学的发展第一篇：代数学的发展代数学的发展初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。
高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
数学专业的代数学发展状况
数学专业的代数学发展状况数学专业是一门研究数与空间关系、数量及其变化规律的学科。
在数学专业中，代数学是其中的一门重要分支。
代数学研究的是数与代数结构之间的关系，是数学专业中的基础课程之一。
本文将探讨数学专业的代数学发展状况。
代数学的起源可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派和泰勒学派。
古希腊人率先提出了代数学中的基本概念和方法，如方程、代数式等。
然而，直到16世纪，代数学才得以建立起相对完整的数学体系。
随着时间的推移，代数学逐渐壮大并分化出不同的研究领域。
在19世纪，代数学经历了一次重大的革新，尤其是通过创立矩阵论和向量空间理论的发展，为线性代数的建立奠定了基础。
此外，群论、环论、域论等代数结构的研究也成为了代数学的重要组成部分。
20世纪以来，随着理论和计算机科学的发展，代数学取得了多方面的突破和发展。
尤其是在代数几何学和代数拓扑学领域，代数学与几何学的融合促进了代数学的进一步发展。
具体来说，在代数几何学中，代数学的方法和概念被用来研究几何对象的性质和变换规律；而代数拓扑学则研究了由代数方法刻画的拓扑空间和拓扑变换。
代数学在现代科学和技术领域中起着重要作用。
代数学的研究成果被广泛应用于密码学、编码理论、通信技术、计算机科学等领域。
例如，代数编码理论在数据传输和存储中起着关键作用；代数组合技术在计算机科学和人工智能领域应用广泛。
此外，在数论、代数方程等数学领域中，代数学的发展也给出了许多重要的结论和定理。
例如，费马大定理是代数数论中的一个重要成果，它在解决整数解方程方面起到了极大的推动作用。
总的来说，数学专业的代数学发展状况是蓬勃的。
代数学作为数学专业的重要组成部分，扮演着无可替代的角色。
通过不断的研究和应用，代数学为其他学科的发展和实践提供了坚实的支持。
未来，代数学将继续在数学专业中发挥重要作用，并为人类的科学研究和技术创新做出更大的贡献。
代数学方法范文
代数学方法范文代数学是一门研究抽象符号的数学学科，它最早起源于古希腊时期，至今已经经历了几千年的发展和演变。
代数学方法被广泛应用于数学、物理学、工程学以及计算机科学等领域，它的重要性不言而喻。
代数学的研究对象是代数结构，代数结构主要由一些特定的运算规则来定义。
其中最基本的代数结构包括群、环、域等。
群是一个集合，其上存在一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元及逆元等性质；环是在群的基础上加上了一个额外的二元运算，满足分配律；而域是在环的基础上加上了一个除法运算，除法运算的限制使得所有的非零元素都有乘法逆元。
代数学的方法被广泛应用于数学中的各个分支，如线性代数、数论、代数几何等。
线性代数是代数学中的一个重要分支，它研究的是向量空间及其上的线性映射。
代数学方法在线性代数中的应用主要体现在矩阵的运算中。
矩阵是线性变换的一种代数表示，通过矩阵运算，我们可以很方便地研究线性方程组、特征值与特征向量、对角化等问题。
代数学方法在工程学中也有着广泛的应用。
在控制理论中，代数学方法可以用于建立系统的数学模型。
利用代数学方法，可以将系统的动力学方程转化为矩阵形式，从而更方便地进行系统的分析与控制。
另外，在信号处理领域，代数学方法也被广泛运用于数字信号的处理与转换中。
例如，傅里叶变换和离散傅里叶变换都是代数学方法的应用，它们可以将信号从时域转换到频域，方便信号的分析与滤波。
最后，代数学方法在计算机科学中也扮演着重要的角色。
在计算机科学中，数据结构和算法是最基础的概念，而代数学方法可以用来描述和分析这些数据结构和算法的性质。
例如，树和图是计算机科学中常用的数据结构，它们可以用代数方法进行定义和描述，进而方便地进行算法设计和分析。
另外，编码理论也是代数学方法在计算机科学中的一个重要应用领域。
编码理论主要研究信息的正确传输与存储，代数学方法可以帮助我们设计出易于校正错误的编码方案。
总结起来，代数学方法是一种抽象的数学方法，它通过符号表示和运算来研究数学结构与性质。
关于代数的两千字的文章
代数的发展历程与应用本文将介绍代数的发展历程以及其在现代科学中的应用，包括代数的起源、发展、不同分支的应用等。
下面是本店铺为大家精心编写的3篇《代数的发展历程与应用》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《代数的发展历程与应用》篇1一、代数的起源代数学起源于古巴比伦和古埃及，最早的代数问题是关于解方程和不等式的。
在古巴比伦，代数学家使用符号来表示未知数，并解方程和不等式。
在古埃及，代数学家使用代数方法来解决实际问题，例如计算面积和体积。
二、代数的发展代数的发展可以追溯到古希腊时期，当时的数学家如欧几里得等人开始研究代数问题。
在中世纪，阿拉伯数学家花拉子密在代数学方面做出了很大的贡献，他发明了一种称为“代数”的方法，将代数学与几何学分离开来。
在文艺复兴时期，众多数学家如卡尔达诺、邦贝利等人对代数进行了更深入的研究，并开发了许多新的代数方法。
三、代数的不同分支代数学是一个非常广泛的领域，包括许多不同的分支。
其中最常见的分支包括线性代数、微积分、抽象代数、数论等。
线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支。
它的应用非常广泛，包括计算机科学、物理学、经济学等。
微积分是研究函数的极限、导数、积分等概念的数学分支。
它的应用也非常广泛，包括物理学、工程学、经济学等。
抽象代数是研究代数结构的数学分支。
它的应用包括密码学、编码理论、计算机科学等。
数论是研究整数及其性质的数学分支。
它的应用包括密码学、编码理论、计算机科学等。
四、代数的应用代数学在现代科学中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学、经济学等领域。
例如，在物理学中，代数学被用来描述自然现象，如牛顿定律、量子力学等;在工程学中，代数学被用来设计和优化系统，如控制理论、优化论等;在计算机科学中，代数学被用来开发算法和数据结构，如线性搜索、排序算法等;在经济学中，代数学被用来建立数学模型，如供求模型、价格模型等。
《代数的发展历程与应用》篇2代数是数学中的一个基础分支，它的研究对象包括数、数量、代数式、关系、方程理论、代数结构等等。
代数学发展
代数学代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。
初等代数一般在中学时讲授 , 介绍代数的基本思想 :研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么 ,以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。
代数的研究对象不仅是数字 ,而是各种抽象化的结构。
例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结构。
在其中我们只关心各种关系及其性质 , 而对于 “ 数本身是什么 ”这样的问题并不关心。
常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。
代数学是数学中最重要的、基础的分支之一。
代数学的历史悠久 , 它随着人类生活的提高 , 生产技术的进步 , 科学和数学本身的需要而产生和发展。
在这个过程中 ,代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。
代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是更古老的算术的推广和发展 , 而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。
初等代数学是指 19世纪上半叶以前的方程理论 , 主要研究某一方程 ( 组 ) 是否可解 , 怎样求出方程所有的根 ( 包括近似根 )以及方程的根所具有的各种性质等。
目录1 历史2 发展3 符号代数4 代数通论1 历史中世纪的欧洲在中世纪的欧洲 , 对代数学有较大贡献的是意大利数学家斐波那契 , 他的《算盘书》 (1202)是这一时期最重要的数学著作 , 其中系统地向欧洲人介绍了阿拉伯的算术和代数。
书中载有一个有趣的 “兔子繁殖问题 ”( 见斐波那契兔子问题 ), 导致有名的斐波那契级数的研究 ,后人发现这个级数有许多重要而有趣的性质 , 至今仍有人在研究 , 美国人在 20 世纪 60年代初还创办《斐波那契季刊》 , 专门刊登这方面的新发现。
古希腊时代几何学明显地从数学中分离出来 , 并在希腊科学中占统治地位 , 其威力之大 ,以致于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言 : 量被解释为长度 ,两个量之积解释为矩形、面积等。
现代数学中保留的称二次幂为 “ 平方 ”, 三次幂为 “ 立方 ”,就是来源于此。
线性代数的发展及
矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶， 因若当的工作而达到了它的顶点。1888年， 皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限 维线性空间。托普利茨将线性代数的主要 定理推广到任意体（domain）上的最一般 的向量空间中。线性映射的概念在大多数 情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖线性代数所体现的几何观念与 代数方法之间的联系，从具体概念抽象出 来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧 妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训 练，增益科学智能是非常有用的。
线性代数在生活中的应用
一、在电子、软件工程中的应用 由于线性代数是研究线性网络的主要工具， 因此，电路分析、线性信号系统分析、数字滤 波器分析设计等需要线代；在进行IC集成电路 设计时，对付数百万个集体管的仿真软件也需 要依赖线性方程组的方法；对于光电及射频工 程，电磁场、光波导分析都是向量场的分析， 比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信 号处理等等也离不开矩阵运算。
1825年，叔尔克，叙述并说明了行列式的 一些性质。 1841年，英国数学家剀莱引入了行列式的 两条竖线。同年，德国数学家雅各比(Jacobi) 著名论文《论行列式的形成与性质》发表， 这标志着行列式系统理论的建成。
二、矩阵和线性方程组 在行列式理论形成与发展的同时，矩阵理论 以及与其有密切关系的线性方程组、线性 空间的线性变换等理论也蓬勃得发展起来 了。十九世纪，已经发现了用初等变换解 线性方程组的高斯法。
二、在工业生产和经济管理中的应用 在工业生产和经济管理方面应用最广的 应该是行列式了，人们可以利用行列式解 决部分工程中的现实问题。例如：日常会 计工作中有时会遇到的一些单位成本问题， 虽然成本会计可以算出单位成本，用约当 产量法或定额法或原材料成本法，但只能 求得近似值，不能求得精确值。
代数学发展简史及线性代数简史
代数学发展简史及线性代数简史代数学的发展简史：代数学作为一门数学学科，起源非常古老。
早在公元前3000年，古巴比伦人就开始使用代数方法解决一些实际问题，比如计算土地面积与粮食数量。
然而，真正意义上的代数学发展始于古希腊时期。
在公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了“万物皆数字”的概念，并建立了一套基本的代数规则。
他的学生柏拉图以及柏拉图的学生亚里士多德进一步发展了这些理论。
随着时代的推移，代数学逐渐与几何学分离，成为一个独立的学科。
在16世纪，意大利数学家费拉里奥首次使用代数符号来表示未知量。
17世纪，法国数学家笛卡尔在其著作《几何学》中，将代数与几何紧密结合，发展了解析几何。
在18世纪和19世纪，代数学得到了飞速发展，出现了复数、矩阵论、高斯消元法等重要概念和方法。
20世纪是代数学的黄金时期。
在这个时期，代数学被赋予了更深层次的意义。
20世纪初，德国数学家希尔伯特提出了20个关于数学基础的未解问题，其中许多涉及代数学领域。
这些问题推动了代数学的发展，并促使人们对数学基础的研究。
现代代数学已经成为数学中的一门重要分支，涉及众多领域，如数论、代数几何、群论、环论等。
代数学的发展不仅深化了人们对数学本质的认识，也为其他学科的发展提供了强有力的数学工具。
线性代数的发展简史：线性代数作为代数学中的一个重要分支，起源于17世纪。
早在17世纪，数学家哈密尔顿开始研究线性代数的基本概念。
然而，线性代数的理论基础最早是由19世纪英国数学家卡尔·弗里德里希·高斯奠定的。
高斯在矩阵理论和线性方程组的解法上做出了重要贡献，他发展了行列式的概念，并提出了高斯消元法。
19世纪末和20世纪初，线性代数得到了飞速发展。
德国数学家大卫·希尔伯特和俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫开创了线性算子理论的研究。
他们引入了现代线性空间的概念，并发展了线性变换、特征值、特征向量等重要概念。
此外，瑞士数学家埃尔米特和德国数学家约尔当也对线性代数做出了重要贡献，他们提出了埃尔米特矩阵和约旦标准型等概念。
线性代数发展及应用
线性代数发展及应用线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它的发展可以追溯到18世纪，当时欧拉和拉格朗日等数学家开始研究线性方程组的解法。
随着时间的推移，线性代数逐渐发展成为一门独立的学科，并在各个领域中得到广泛应用。
线性代数的发展可以分为几个重要阶段。
首先是线性方程组的研究，这是线性代数的基础。
欧拉和拉格朗日等数学家研究了线性方程组的解法，提出了高斯消元法等方法。
这些方法为后来的线性代数理论奠定了基础。
接着是向量空间的研究。
19世纪末，赫尔维茨提出了向量空间的概念，并研究了向量空间的性质和结构。
他的工作为线性代数的发展奠定了基础，并成为后来的线性代数理论的重要组成部分。
20世纪初，线性代数的发展进入了一个新的阶段。
矩阵论的出现使得线性代数的研究更加系统和完整。
矩阵论研究了矩阵的性质和运算规律，为线性代数提供了更加严密的数学基础。
同时，线性代数的应用也得到了广泛发展，如在物理学、工程学、计算机科学等领域中得到了广泛应用。
线性代数的应用非常广泛。
首先，在物理学中，线性代数被广泛应用于描述物理系统的运动和变化。
例如，量子力学中的波函数可以用向量表示，线性代数的方法可以用来求解波函数的演化和测量结果的概率。
其次，在工程学中，线性代数被广泛应用于信号处理、控制系统和电路设计等领域。
例如，在信号处理中，线性代数的方法可以用来分析和处理信号，如滤波、降噪等。
在控制系统中，线性代数的方法可以用来建立系统的数学模型，并设计控制器来实现系统的稳定性和性能要求。
此外，在计算机科学中，线性代数被广泛应用于图形学、机器学习和数据分析等领域。
例如，在图形学中，线性代数的方法可以用来描述和变换三维空间中的图形对象，如旋转、缩放和投影等。
在机器学习中，线性代数的方法可以用来建立和求解线性回归、主成分分析等模型，从而实现数据的分类和预测。
总之，线性代数的发展和应用在数学和各个领域中都起到了重要的作用。
它不仅为数学理论提供了丰富的内容，还为物理学、工程学和计算机科学等领域的问题提供了解决方法。
代数学发展简史及线性代数简史
2、矩阵和行列式
英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认 为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立 的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系 列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进 矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第 一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩 阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则 、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了 矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了 方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一 些基本结果。
2、矩阵和行列式
继柯西之后，在行列式理论方面最多产的 人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ， 他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”， 指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作 用，给出了函数行列式的导数公式。
雅可比的著名论文《论行列式的形成和性 质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列 式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二 次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自 身在 19 世纪也得到了很大发展。整个 19 世纪 都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量 定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定 理都相继得到。
初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理 论，主要研究某一方程（组）是否可解， 怎样求出方程所有的根（包括近似根）以 及方程的根所具有的各种性质等。
代数与算术的区别是什么？
四大文明古国中，除古代希腊外，都曾对算 术和代数的发展做出非常杰出的贡献。
从中世纪的欧洲一直到19世纪上半期，代数 学在欧洲得到了长足的发展。
2、矩阵和行列式
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。
线性代数的起源、发展及其应用
线性代数的起源、发展及其应用针对学生在学习线性代数过程中存在的问题进行分析研究，重点介绍线性代数的起源、发展，并通过介绍线性代数在保密通讯中的应用，使学生了解学习线性代数的意义及其应用。
线性代数是高等代数的一个重要分支，是研究线性问题的代数理论。
线性代数主要研究行列式、矩阵、线性方程组、线性空间以及线性变换等内容。
但是，这些内容之间有什么联系以及学习线性代数有什么意义，大部分学生都不是很清楚。
很多自认为学的不错的学生也只能说：“书上就是这么规定的，只需要会用就好”。
但是他们真的会用吗？他们的“会用”其实是会根据书本上的定理、结论去证明相关的理论问题，然而在实际生活生产中的应用，他们真的知道吗？像教科书上那样，用事先规定好的数学定理去证明数学问题，最后培养出来的学生，只能熟练地使用数学工具，缺乏真正意义上的理解。
我们的数学教学不应该只是教学生如何做题，而应该培养学生学习数学的兴趣，更加关注数学的应用性。
在与同行的交流探讨中，作者发现，有一部分教师对线性代数的把握也只是停留在课本上的知识，对于线性代数的起源、发展等了解的不是很多。
于是就形成了教师只讲课本上的知识，学生也只学会了课本上的知识，根本无人关心线性代数这一学科的最新发展及其在科学技术领悟的应用！长此以往，线性代数便成了一门枯燥乏味、脱离实际应用的理论课程。
更由于其概念多，逻辑性强，慢慢就成了大部分学生所说的“天书”。
针对这些问题，下面重点介绍了线性代数起源、发展以及相关应用等几个方面。
1 线性代数的起源及发展线性代数主要是研究代数学中具有线性关系的问题，而线性问题广泛地存在于科学技术的各个领域。
在日常生活生产中，一些非线性问题在一定条件下，可以近似地转化为线性问题，因此线性代数已经成为科学研究和工程应用中必不可少的工具。
线性代数基本上出现于十七世纪，直到十八世纪末，线性代数的研究还只限于平面与三维空间，十九世纪上半叶才完成了向维向量空间的过渡。
线性代数
线性代数一、线性代数的形成和发展历史在代数学发展的第二个时期，即在19世纪时，线性代数就获得了光辉的成就。
线性代数内容广泛，而行列式、矩阵、线性方程组等只是线性代数的初等部分，线性代数还有更深入的内容，如线性空间、欧式空间、酉空间、线性变换和线性函数、 －矩阵、矩阵的特征值等等以及与其相关联的一系列理论。
有材料说，在代数学的所有分支中，线性代数的这些理论按其应用的重要性和广泛性来说，是第一位的，很难指出数学、理论力学、理论物理等学科中有不用到线性代数的结果和方法的。
例如，线性代数对于泛函分析的发展就有着决定性的影响。
下面着重对线性代数的初等部分的形成和发展简述如下：1．行列式最早引入行列式概念的，是十七世纪的日本的数学奠基人关孝和。
他1383年著《解优题之法》一书，对行列式及其展已经有了清楚的叙述。
但是在公元一世纪(东汉初年)。
中国古算术《九章算术》中已有用矩阵(当时称为“方程”)的初等变换来解线性方程组的内容了。
关孝和的思想的产生，大概多受惠于中国而非西方的影响。
1693年，莱不尼兹用指标数的子统集合表示含两个未知量和三个线性方程组所组成的系统，他从三个方程的系数中消去两个未知量，得到一个行列式，就是现在所称的方程组的法式。
用行列式去解含二、三、四个未知量的方程组，可能在1729年由马克劳林所首创，且于1748年发表在他的遗作《代数绝著》中，其法则基本就是现在所使用的法则。
瑞士数学家克莱姆(Cramer)于1750年把马克劳林的法则发表在他的《线性代数分析导言》中，这就是现在所谓的克莱姆法则。
1772年，范德蒙(Vander monde)把行列式脱离开线性方程组作为一个独立的理论研究。
给出行列式的定义与确立符号的法则，被认为是行列式理论的奠基人。
1812年，柯西(Cauchy)首先采取“行列式”(Determinant)这一名称。
他还于1815年把行列式的元素记为a ij，带双重足码。
他的著作给出行列式第一个系统的也几乎是近代的处理，其中一个主要结果之一是行列式的乘法规则。
线性代数教学小论文
论线性代数应用特征摘要本文从萌芽、发展的角度观察、分析线性代数，剖析线性代数的应用特性。
由于不拘泥于教材，从历史发展、思想方法、应用性等方面娓娓道来，自有一种人文情怀蕴含其中，带领读者领略线性代数的另一番学科文化面貌。
关键词：应用性,线性方程组,坐标几何,结构问题,线性代数论文,线性代数教学,线性代数,小论文,论证数学,实用数学,线性变换,几何,线性运算,微积分,非线性贯穿数学发展的思想有两个，即希腊贵族学院式的论证数学与平民化的实用数学。
线性代数可以说是从应用中来到应用中去的一门学科，尽管其发展与原上草论文网代写教学论文表达形式，脱离不了欧几里得经典几何的模式与影响。
1.从应用中来公元四世纪我国《孙子算经》中有鸡兔同笼问题如下：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”该问题的求解方法有很多，不过，采用列方程组的方法求解是很方便的。
设鸡和兔的个数分别为x和y ，则可建立如下一次方程组：x+y=352x+4y=94容易求得 x=23,y=12无独有偶，《张丘建算经》中的百鸡问题：百钱买鸡百只，小鸡一钱三只，母鸡三钱一只，公鸡五钱一只。
问小鸡、母鸡、公鸡各多少只？通过建立三元一次线性方程组，可类似求得解。
以上两例表明，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
同时，我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动。
可以说，历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题。
2.坐标几何促发展线性代数(linear algebra)作为代数学的一个分支，以向量空间与线性映射为研究对象的近代发展，则与法国数学家费马(Fermat,1601—1665)和笛卡儿(Descartes,1596—1665)创立的坐标几何[1]工作直接相关。
因此，线性代数基本上出现于17世纪。
从古希腊时代到1600年，几何统治着数学，代数居于附庸的地位。
1600年以后，代数成为基本的数学部门。
浅谈线性代数的心得体会
浅谈线性代数的心得体会线性代数是代数学的一个分支，“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。
线性代数是一门对理工科学生极其重要数学学科。
线性代数主要处理的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大。
它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用。
同时，该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。
通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。
线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。
”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。
我自己对线性代数的应用了解的也不多。
但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。
没有应用到的内容很容易忘，就像现代一样，我现在高数还基本记得。
因为高数在很多课程中都有广泛的应用，比如在开设的大学物理课中。
所以，如果有时间的话，要尽可能地到网上或图书馆了解线性代数在各方面的应用。
如：《线性代数》（居余马等编，清华大学出版社）上就有线性代数在“人口模型”、“马尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图的邻接矩阵”等方面的应用。
也可以试着用线性代数的方法和知识证明以前学过的定理或高数中的定理，如老的高中解析几何课本上的转轴公式，它就可以用线性代数中的过渡矩阵来证明。
线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。
在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。
线性代数结业论文优秀版(1)
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线性代数结业论文优秀版
一、引言
线性代数作为数学基础课程中的重要组成部分，是理工科各类学科中
的必修课程之一。
本文旨在总结线性代数的基本概念和相关知识，结
合其在实际应用中的意义分析，以此体现线性代数的重要作用。
二、基本概念
线性代数的基本概念包括线性方程组、向量、矩阵、行列式等。
其中，线性方程组为线性代数的核心内容，其求解过程是通向后续知识的重
要桥梁。
向量在线性代数中具有举足轻重的地位，作为线性代数的基
本工具之一，可以使用向量进行模型建立、计算和求解。
矩阵则是上
述两者的应用，其具有高效性和便捷性，广泛应用于实际问题中。
行
列式则为线性代数的基础知识，是矩阵求逆和计算特征值等过程不可
或缺的工具。
三、实际应用
线性代数在实际应用中的意义十分重要。
例如，在图像处理领域中，
可以利用线性代数中矩阵的运算和变换理论实现图像的快速变换和处理；在机器学习和数据分析中，线性代数也有着广泛的应用，如求解
最小二乘问题和主成分分析等。
在物理学和工程学中，线性代数作为
嵌入高级数学和计算机科学的基础知识，被应用于矩阵力学和控制论
等领域。
四、总结
线性代数作为基础数学课程，它的应用涉及到各个领域，具有很高的
实际意义。
但同时，线性代数也是数学难度较高的课程之一，对于大
多数学生来说，需要付出极高的努力才能掌握其核心知识，在现代的数学研究中也仍是重要的一部分。
在今后的学习和工作过程中，我们也应该认真学习和应用线性代数的知识，提高自己的数学素质和综合能力。
线性代数论文：浅谈代数学的发展
浅谈代数学的发展摘要：代数学是数学科学最基本、最古老的分支之一。
在它之前已有算术,算术是解决日常生活中的各种计算问题,这些计算就是数的加、减、乘、除四则运算。
开始只有整数四则,后来逐渐发展为分数四则。
代数与算术不同,二者的主要区别在于前者引入未知数,根据问题的条件列方程,然后解方程求出未知数的值.因此,长期以来代数被理解为关于方程的科学.①关键词：代数学分支发展历程应用一、代数大致分为基本代数、抽象代数、线性代数、泛代数、计算代数和逻辑代数。
基本代数：学习以位置标志符标记常数和变数的符号，与掌控包含这些符号的表示式及方程式的法则，来记录实数的运算性质。
抽象代数：讨论代数结构的性质，例如群、环、域等，这些代数结构是在集合上定义运算而来。
线性代数：专门讨论矢量空间，包括矩阵的理论。
代数学的一个分支，早期研究线性方程组的解法，后来拓展为研究一般向量空间的结构，以及线性变换的标准形式和不变量等，不仅在其他数学分支，而且在物理学、经济学和工程技术等方面都有广泛的应用。
泛代数：讨论所有代数结构的共有性质。
计算代数：讨论在电脑上进行数学的符号运算的演算法。
逻辑代数：又称布尔代数、开关代数。
研究逻辑问题的一门数学，是现代数学中的一个重要分支，由英国数学家布尔提出，其逻辑变量的取值仅为0和1，基本逻辑运算有与、或、非等，是设计计算机的有力工具。
二、“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米一本著作的名称，后来经过印度和阿拉伯人流传到了西欧。
代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。
发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分②。
算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。
它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
算术的基本概念和逻辑推论法则，是以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。
浅谈线性代数方法在解决高等数学问题中的应用
浅谈线性代数方法在解决高等数学问题中的应用线性代数是数学的一个分支，广泛应用于科学与工程领域。
线性代数方法在解决高等数学问题中有着重要的应用，可以帮助我们更好地理解和解决复杂的数学问题。
本文将从不同的角度，浅谈线性代数方法在解决高等数学问题中的应用。
一、线性代数在解决方程组中的应用在高等数学中，我们经常要解决各种各样的方程组，比如线性方程组、非线性方程组等。
而线性代数方法能够帮助我们更加便捷地解决这些问题，化繁为简。
对于线性方程组，我们可以利用矩阵和向量的方法来进行求解。
通过求解线性方程组，可以得到方程组的解集，进而得到方程组的性质和特点。
而在非线性方程组的情况下，线性代数方法也可以通过线性化处理来求解非线性方程组，简化问题的复杂性，提高求解效率。
在高等数学中，向量空间是一个非常重要的概念，它是线性代数的核心内容之一。
线性代数通过向量空间的概念，帮助我们理解和描述向量的性质、运算法则和空间关系，对于解决高等数学中的向量运算、几何关系等问题具有重要意义。
在向量空间中，线性代数方法可以帮助我们进行向量的线性组合、向量的线性相关性、向量的投影等运算，从而更好地应用向量空间的概念来解决高等数学中的问题。
比如在几何向量运算中，通过向量的线性组合和向量的投影，可以方便地解决向量的加法、数量积等运算问题。
线性代数方法还可以帮助我们更好地理解向量的线性无关性和线性相关性，从而更好地应用向量空间的知识进行分析和计算。
在矩阵和行列式中，线性代数可以帮助我们进行矩阵的运算、矩阵的特征值和特征向量的计算、矩阵的相似和对角化、行列式的性质和行列式的求解等操作，从而更好地应用矩阵和行列式的知识来解决高等数学中的方程组、矩阵方程、行列式方程等各种问题。
数学建模是数学的一个重要应用领域，它涉及到多个学科的知识，其中包括线性代数。
线性代数方法在数学建模中具有重要的应用价值，可以帮助我们更好地建立模型、进行数据处理、进行参数估计等操作，从而解决实际问题。
线性代数的过去、现在、未来及其应用
线性代数的简单介绍线性代数是高等代数的一大分支。
线性代数是最古老的数学分支之一，是研究数学的最基础的工具，但是线性代数理论的研究目前仍然十分活跃，许多新成果不断涌现。
线性代数已渗透到数学的众多分支和其它学科的许多分支，是应用最广泛的数学分支之一。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意, 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。
向量的概念, 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合, 然而它以力或速度作为直接的物理意义, 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
向量用于梯度, 散度, 旋度就更有说服力。
同样, 行列式和矩阵如导数一样（虽然dy/dx 在数学上不过是一个符号, 表示包括△y/△x的极限的长式子, 但导数本身是一个强有力的概念, 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。
因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。
然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。
在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。
这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。
这就是实数向量空间的第一个例子。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。
一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。
在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。
尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即n 元组）用来表示数据非常有效。
由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。
比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。
当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。
代数学的发展
第一节代数学的发展一、伽罗瓦理论及群论的发展长期以来，求解方程一直是整个代数的中心内容，而且在19世纪前期仍是如此．19世纪在探讨方程求解的问题中，出现了一种全新的理论．这一理论虽然以解决方程论中的重要问题为目的，但却引入了群和域等新概念，从而开辟了代数学研究的新方向．阿贝尔和伽罗瓦是伽罗瓦理论及群论的主要奠基者．阿贝尔生于挪伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la－Reine)．他们俩有着共同的命运，很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就，但却不幸夭折，阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良，伽罗瓦21岁时死于决斗．在世时都没有为人所赏识．为了求解四次以上的方程，华林、拉格朗日、鲁菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有价值的工作．他们提出了方程的根的初等对称函数、置换等内容．这些都对阿贝尔、伽罗瓦有直接的影响．阿贝尔在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数．利用阿贝尔定理，1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根据阿贝尔的思想，克罗内克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明．这样，几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了．不仅如此，阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θ1是有理函数．1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程．随后，阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．则该方程可用根式求解．阿贝尔一生在数学的其他领域也做出过重大的贡献．在椭圆函数方面、分析严密化方面都留下了他的足迹．其中有以他的名字命名的阿贝尔积分方程，阿贝尔定理，阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理．阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究．在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换x i和x j就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架．然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程x p-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≢4时方程能用根式求解．伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是x p-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．1837年旺策尔还给出了正多边形可作图的必要性证明，这个问题是高斯在1796年提出的，高斯断言：一个正n边形是可作图的，当且仅当任意正整数或0．拉格朗日已经知道子群的阶整除群的阶．伽罗瓦则给出了单群、合成群以及两个群G与G′之间的同构的概念．由于伽罗瓦的工作1846年才陆续发表，所以直到1870年约当(C．Jordan，1838—1922)发表著名的《置换和代数方程专论》(Traitédes Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次给伽罗瓦理论清楚、完善的表述，这时群的概念已从方程论进入到数学的更广泛的领域．约当不仅使群论系统化，而且做出了许多重要的工作．1869年，他从极大自共轭子群出发，引入了商群的概念，并且在1872年引入记号G i/G i+1表示商群．他曾证明了今天的约当—建立了同构、同态的概念，添加了关于传递群和合成群的许多结果，在书中，他还指出，可解方程的群都是交换群，他称这样的群为阿贝尔群．…，n)的线性变换来表示置换．1878年他曾提出，有限周期p的线性，…，n，εi是p次单位根．1868—1869年，他第一个对无限群进行了重要的研究，开创了利用群论研究几何变换的新道路．柯西也对群尤其是置换群的研究做出了重要的贡献．他的工作影响了著名的代数学家凯莱(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年发表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群从具体的对象(如数、置换)扩大到更一般的范围，奠定了群论的理论基础．1872年，F．克莱因将群论与几何学联系起来，1873年李(M．S．Lie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数．19世纪对群论做出贡献的数学家还有西罗(L．Sylow，1832—1918)、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—尤其重要的是，1849年物理学家、矿物学家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通过研究行列式为±1的三个变量的线性变换现32类对称的分子结构．他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广．这样，群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来．的确，群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观．二、四元数与向量在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知．但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况．如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？1837年，哈密顿首先引进有序偶(a， b)来表示复数a＋bi，通过有序偶，他把复数的神秘性完全排除了．通过有序偶，对于两个复数a＋bi 与c＋di，他这样定义复数的运算：(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，这样，复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一．既然有序偶(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力．他发现，要求三维复数具有当时所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力．他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获．1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了．”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步：一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k)；二是必须牺牲乘法交换律．他把这种新的数a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d为实数)叫做四元数，写成有序偶的形式为(a，b，c，d)．对于基本分量的乘法，他定义为：两个四元数a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数．他通过有序偶给出了四元数的加法与乘法：(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq--111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例．在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证．四元数的发明在方法论上也是富有启示的．首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期．突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明．长期以来，我们只注意了群论的产生对代数学的冲击，而忽视了四元数对代数学的影响．正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理：1．等量各加上第三个等量得到等量；2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法结合律)；3．a＋b＝b＋a (加法交换律)；4．等量加等量给出等量；5．等量加不等量给出不等量；6．a(bc)＝(ab)c (乘法结合律)；7．ab＝ba (乘法交换律)；8．a(b＋c)=ab＋bc (乘法对加法的分配律)．那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的．试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，a×b ≠b×a，这太与常识相悖了．哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步．现在有了四元数，其中乘法交换律不成立，而结合律等成立，同时又能发展出一套有用的理论体系，而且在逻辑上前后一致．这就使数学家们认识到：可以构造一个有意义的、有用的数系，它可以不具有实数和复数的交换法．人们可以考虑偏离实数和复数的通常性质的自由创造．这样，四元数就使得人们认识到：代数学的公理是可以改变的，不仅交换律，就是其他运算规则如结合律等也可以不满足．可以构造各种各样的代数，而上述公理可以一个或几个不成立，这样就有大量的系统能够研究了，从而使代数学第一次达到了可以“自由”研究的程度．从逻辑上完全可以这样认为，群论可以在四元数引起代数的这些变化之后作为一个系统来研究，今天大多数群论的教材就反映了这一点．1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，…，x n)与一个x1e1＋x2e2＋…＋x n e n这样形式的结合代数相联系，建立了该代数的基本单位e1，e2，…，e n的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学．这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几采与哈密顿齐名．1843年，凯莱也引入了n维空间的概念，1854年他又给出了八元数——称为凯莱数：x=x0＋x1e1＋x2e2＋…＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)创立了拟四元数q+wQ(q，Q是四元数，w2=-1)．等等．面对这样多新涌现出来的代数，人们开始思索，自由创造的数学都能具有哪些性质？1857年，有人证明，在R上可除代数仅有的可能性是维数为1，2，4，8的代数，即实数、复数、四元数和凯莱数．1878年，弗罗伯尼证明了，具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数，如服从结合律，则只有实数、复数和实四元数的代数．魏尔斯特拉斯在1861年证明了，有有限个原始单元的，实或复系数线性结合代数，如服从乘积定律和乘法交换律，就是实数和复数的代数．赫尔维茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)证明了实数、复数、实四元数和拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数，哈密顿要是早知道这一点，他就不会徒劳无益地花十几年功夫寻求三维复数了．这些定理告诉人们，任意创造新的代数系统与保持某些代数性质是相互制约的．哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究．减弱或者去掉普通代数的各种假定，或像非欧几何一样将其中一个或多个假定代之以其他的假定，就可以出现多种可供人们研究的体系．按照这种方法，我们可以得到群、半群、环、整环、格、除环、布尔环、域、若尔当代数、李代数，等等．这种方法无疑地得益于四元数发明后产生的思想．20世纪的抽象代数已成为数学的主流之一，这些都应该追溯到四元数．四元数在向量分析的发展中起了重要作用，直接导出了向量分析．哈密顿本人把四元数a＋bi＋cj＋dk分为两部分：实部和他称之为向量的复数部(a Complex Pant)．两个向量按照四元数的运算法则所得出的乘积同样具有实部和向量部分．设他记实部(数量部分)为Sαα′、向量部分为Vαα′．如果把α，α′看作两个向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，则有Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．这样，向量分析的基本公式(数积和叉积)借助四元数就被确定了．著名的物理学家、数学家麦克斯韦(J．Maxwell，1831—1879)在处理电、磁的有关问题时，曾明确指出，规定一个向量需用三个分量，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度，并且强调说，这个向量概念就是当它作用于点函数u(x，y，z)时，产生向量在哈密顿工作的基础上，19世纪80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希维赛德(O．Heavside，1850—1925)开创了向量分析这门新的数学分支，为物理学提供了十分有益的工具．他们两人提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数，向量c为实数，称为分量．规定这样，吉布斯和希维赛德也建立起了数积和叉积；从而建立了向量代数．数．由t的不同值可以得到各个向量，如果都是O作为原点画出来，则这些向量的终点描出一条曲线(图13·1)．上面我们看到的梯度、旋度就是向量微分．向量的积分形式被19世纪的数学家、物理学家用来把许多公式表成了更加简捷的形式．高斯—奥斯特洛格拉德斯基(Gauss—Ostrogradsky)公式写成了梯度公式写成了希维赛德把麦克斯韦方程写成了物理学家选择了形式上更简单、运用更方便的向量分析方法，但是相反四元数倒受到了冷落．三、线性代数四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”1815年柯西给出了行列式乘法：|a ij|·|b ij|=|c ij|，其中|a ij|、|b ij|表示n，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数其中a ij是t的函数，A ij是a ij的代数余子式．行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中分也有类似结果．1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，…，F M(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果．1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明y2s+1-…-y2r-s了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p 矩阵去乘．凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如AB≠BA．的公式凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1(其中A ij为行列式|A|中a ij的代数余子式．)他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足A n=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足A n=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵A M＝0与幂等矩阵Am＝A．19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵A T的逆，即M＝(M T)．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S-1－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1们也这样定义了相似行列式．1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≢min(秩(A)，秩(B))，等等．特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：+…＋(-1)n C n．F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑a ij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，C n＝|A|．西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，m≣n，AB的特征多项式是f AB(λ)，BA的特征多项式是f BA(λ)，则f AB(λ)=λM·f BA(λ)．-n1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型J称为约当标准型，J i称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式矩阵的约当标准型的完整理论．1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如e M，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．四、数论数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范。
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浅谈代数学的发展
摘要：代数学是数学科学最基本、最古老的分支之一。
在它之前已有算术,算术是解决日常生活中的各种计算问题,这些计算就是数的加、减、乘、除四则运算。
开始只有整数四则,后来逐渐发展为分数四则。
代数与算术不同,二者的主要区别在于前者引入未知数,根据问题的条件列方程,然后解方程求出未知数的值.因此,长期以来代数被理解为关于方程的科学.①
关键词：代数学分支发展历程应用
一、代数大致分为基本代数、抽象代数、线性代数、泛代数、计算代数和逻辑代数。
基本代数：学习以位置标志符标记常数和变数的符号，与掌控包含这些符号的表示式及方程式的法则，来记录实数的运算性质。
抽象代数：讨论代数结构的性质，例如群、环、域等，这些代数结构是在集合上定义运算而来。
线性代数：专门讨论矢量空间，包括矩阵的理论。
代数学的一个分支，早期研究线性方程组的解法，后来拓展为研究一般向量空间的结构，以及线性变换的标准形式和不变量等，不仅在其他数学分支，而且在物理学、经济学和工程技术等方面都有广泛的应用。
泛代数：讨论所有代数结构的共有性质。
计算代数：讨论在电脑上进行数学的符号运算的演算法。
逻辑代数：又称布尔代数、开关代数。
研究逻辑问题的一门数学，是现代数学中的一个重要分支，由英国数学家布尔提出，其逻辑变量的取值仅为0和1，基本逻辑运算有与、或、非等，是设计计算机的有力工具。
二、“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米一本著作的名称，后来经过印度和阿拉伯人流传到了西欧。
代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。
发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分②。
算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。
它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
算术的基本概念和逻辑推论法则，是以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。
尽管它是高度抽象的，但由于它
概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。
同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。
初等代数，其中心内容是方程理论。
公元前19世纪古巴比伦解决了一次和二次方程问题，公元1世纪我国的《九章算术》中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。
3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定式方程的解。
16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。
公元前4世纪，古希腊人发现无理数。
公元前2世纪(西汉时期)，我国开始应用负数。
1545年，意大利的卡尔达诺在《大术》中开始使用虚数。
1614年，英国的耐普尔发明对数。
17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。
在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。
前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。
作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。
线性代数是高等代数的一大分支。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。
在克莱姆和高斯等人的努力下丰富地发展了代数。
1848年，英格兰的J.J. Sylvester首先提出了矩阵这个词，后来矩阵又经多人慢慢地得到了发展。
阵的发展是与线性变换密切相连的。
到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。
二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。
由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。
于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
数论是以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。
因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。
数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。
17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率
等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论。
19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。
二十世纪就出现了完备的数论理论。
抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。
由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。
抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。
抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
现在，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。
一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学。
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。
在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。
线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。
随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
参考文献
【1】杜瑞芝，中世纪阿拉伯国家代数学发展概论 , 辽宁师范大学学报 ,1986.
【2】聂灵沼、丁石孙，代数学引论（第二版），高等教育出版社，2000-9.。