离散数学第六章

6.1.1 半群与独异点
离 散 数 学
第 六 章 几 个 特 殊 代 数 系 统
例6.1 ① < Z+,+>是半群 ② <N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群和独异点， 其中+表示普通加法,幺元是0,<N,+,0>,…,<R,+,0> ③<Mn(R),· >是半群和独异点,其中· 表示矩阵乘法,矩 阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E.记作<Mn(R),· ,E> ④ <P(B),>是半群和独异点,其中表示集合的对称 差运算, 其幺元是, 记作<P(B),,> ⑤ <Zn,>是半群和独异点, 其中Zn ={0,1,…,n-1}, 表示模n加法, 模n加法的幺元是0. <Zn, ,0> 其中: ① ②④⑤ 为可交换半群.
离 散 数 学
6.1.1 半群与独异点
例6.2 判断下述论断正确与否, 在相应的括号中键入“Y” 或“N”.
第 六 章 几 个 特 殊 代 数 系 统
(1) 在实数集R上定义二元运算*为：对于任意的 a,b∈R, a*b=a+b+ab (a) <R,*>是一个代数系统；( Y) (b) <R,*>是一个半群； ( Y ) (c) <R,*> 是一个独异点。( Y) (2) 在实数集R上定义二元运算◦为, 对任意 a,b∈R, a◦b=|a|· b (其中·表示数学的乘法运算) (a) <R,◦>是一个代数系统； ( Y) (b) <R,◦>是一个半群； ( Y) (c) <R,◦>是一个独异点。 ( N )
半群、可交换半群和独异点
第 六 章 几 个 特 殊 代 数 系 统
定义6.1 ①设V=<S,˚>是代数系统, ˚为二元运算,如果˚是可 结合的, 则称V为半群．
② 如果半群V=<S,˚>中的二元运算含有幺元, 则称V为含幺 半群, 也可叫做独异点. 定义6.2 如果半群V=<S,˚>中的二元运算˚是可交换的, 则称 V为可交换半群. 注: 为了强调幺元的存在, 有时将独异点记为<S,˚,e>
几 个 特 殊 代 数 系 统
6.1.4 陪集与拉格朗日定理
第 六 章
Lagrange定理
对G的子群H来说, H的左陪集和右陪集一般是不相等的, 但左右陪集的个数是相等的.因此将左右陪集数统称 为H在G中的陪集数, 也叫做H在G中的指数, 记为 [G:H]. 定理6.4(定理10.10): 设G是有限群, H是G的子群, 则 |G|=|H|[G:H]. 推论1 设G是n阶群, 则aG, |a|是n的因子, 且an=e. 推论2 对阶为素数的群G, 必存在aG使得G=<a>.
定义6.4 H是G的子群, aG, 令 Ha={ha|hH} 称Ha是子群H在G 中的右陪集, 称a为Ha的代表元 素. 例6.6 设G={e,a,b,c}是Klein四元群, H={e,a}是G的子群, 那么H的所 有右陪集是: He={e,a}=H Ha={e,a}=H Hb={b,c} Hc={c,b} 注: 类似地可以定义左陪集.
6.1 半群与群
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 半群与独异点 群的定义与性质 子群 陪集与拉格朗日定理 正规子群与商群 循环群和置换群
6.2 环与域
6.2.1 环的定义与性质 6.2.2 整环与域
6.3 格与布尔代数
6.1 半群与群
离 散 数 学
6.1.1 半群与独异点
第 六 章 几 个 特 殊 代 数 系 统
6.1.2 群的定义与性质
离 散 数 学
群的术语
(3) 群的阶: 对于有限群G,G中的元素个数也叫做G的阶, 记作|G|. 例如: <Zn,>是有限群, 其阶是n; Klein四元群也是有限 群, 其阶是4. (4) xn定义: x0=e, xn+1=xn◦x, x-n=(x-1)n (5) 元素x的阶: 设G是群,x∈G,使得xk＝e成立的最小的正 整数k叫做x的阶(或周期).如果不存在正整数k,使xk＝e, 则称x是无限阶元. 注: 对有限阶的元素x, 通常将它的阶记为|x|. 在任何群G中幺元e的阶都是1．
第 六 章 几 个 特 殊 代 数 系 统
离 散 数 学
6.1.2 群的定义与性质 群的术语
(1) 若群G中的二元运算是可交换的, 则称群G为交换群, 也 叫做阿贝尔(Abel)群． 例 ① <Z,+>, <Q,+>,<R,+>都是群, 也是阿贝尔(Abel)群; ② <P(B),,>是群, 也是阿贝尔(Abel)群; ③ <Zn,,0>是群, 也是阿贝尔(Abel)群. ④ Klein四元群也是阿贝尔群． (2) 若群G中有无限多个元素, 则称G为无限群, 否则称为有 限群, 只含幺元的群为平凡群. 例如, <Z,＋>, <R,＋>都是无限群. <Zn,>是有限群. Klein 四元群也是有限群.
对独异点V=<S,˚,e>, <T,˚,e>构成V的子独异点,需要满 足如下条件: ① T是S的非空子集;
② T要对V中的运算˚封闭; ③ e∈T.
6.1.2 群的定义与性质
离 散 数 学
群的定义
定义6.3 设<G,◦>是代数系统,◦为二元运算.如果◦是可结 合的,存在幺元e∈G,并且G中的任意元素x,都有x-1∈G, 则称G是群. 例6.3
任取H中的元素xm,xl,都有
xm(xl)-1＝xmx-l＝xm-lH 根据判定定理二可知<x>≤G.
离 散 数 学
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所以 <2>={0,2,4}. 对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.1 半群与独异点
离 散 数 学
子半群和子独异点
定义: 半群的子代数叫做子半群,
即: 如果V=<S,˚>是半群, <T,˚>就是V的子半群,需要满 足如下两个条件: ① T是S的非空子集; ② T对V中的运算˚是封闭的. 定义: 独异点的子代数叫做子独异点,
第 六 章 几 个 特 殊 代 数 系 统
第 六 章 几 个 特 殊 代 数 系 统
第 六 章
6.1.2 群的定义与性质 群的术语
例.在Klein四元群中,|a|=?,|b|=?,|c|=?,|e|=?
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离 散 数 学
6.1.2 群的定义与性质
群的性质
定理6.1 设G为群, 则G中的幂运算满足(群中元素的幂) (1) x∈G, (x-1)-1＝x (2) x,y∈G, (xy)-1＝y-1x-1 (3) x∈G, xnxm＝xn+m (4) x∈G, (xn)m＝xnm (5) 若G为交换群, 则(ab)n=anbn
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6.1.3 子群
子群的判断方法
判定定理1 设G为群, H是G的非空子集, H是G的子群当且
仅当: (1) a,bH都有abH; (2) aH有a-1H. 判定定理2 设G为群, H是G的非空子集, 则H是G的子群当 且仅当a,bH都有ab-1H. 判定定理3 设G为群, H是G的非空子集. 若H是有穷集, 则 H是G的子群当且仅当a,bH都有abH .
6.1.4 陪集与拉格朗日定理
第 六 章
陪集的性质
定理6.3(定理10.7-10.9): 设H是G的子群, 则 (1) He=H (2) aG有aHa (3) a,bG, aHbab-1HHa=Hb (4) 在G上定义关系R:a,bG, <a,b>Rab-1H, 则 R是G上的等价关系, 且[a]R=Ha. (5) aG, H≈Ha(≈指势相等) 注意: 左陪集的性质与此类似.
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e a b c
几 个 特 殊 代 数 系 统
e
a b c
e a b c
a e c b b c e a c b a e
6.1.4 陪集与拉格朗日定理
第 六 章
陪集的定义
例6.6 设A={1,2,3}, f1,f2,…,f6是A上的双射函数, 其 中:f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 令G={f1,f2,f3,f4,f5,f6}, 则G关于复合(本题为右复合)运算构成了群, G的子群H={f1,f2}, 求H的全部右陪集.
① <Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群; ② <P(B),,>是群, 其中表示集合的对称差运算, 任意元素的逆元是其自身; ③ <Zn,,0>是群,其中Zn={0,1,…,n-1}, 表示模n加法, 0的逆元是0,非0元素的逆元是n-x.