江苏省白蒲高级中学2020-2021学年高二第一学期教学质量调研(一)数学试题

江苏省白蒲高级中学2020至2021学年度高二年级第一学期教
学质量调研（一）
数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1． 抛物线23y x =的准线方程为（ ）
A ．3
4
x =-
B ．34x =
C ．3
4
y =-
D ．34
y =
2． 已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线经过点()2,1，则该双曲线的离心率
为（ ）
A ．
6 B ．6
C ．
5 D ．5
3． 已知椭圆22
11612
x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
4． 已知抛物线()2
20x py p =>的焦点到双曲线22
154
y x -=的渐近线的距离为2，则p 的值
为（ ）
A ．4
B ．6
C ．9
D ．12
5． 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为
2
3
的直线与C 交于M ，N 两点，则MF NF +=（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6． 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，
计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
7． 已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>，过点(4，0)的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 中
点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）
A ．
12
B C ．13
D 8． 已知双曲线22
1916
x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线
相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12PF PF =（ ）
A ．8
B ．
C ．4
D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9． 已知双曲线()22
2063
x y λλ-=≠，则不因λ改变而变化的是（ ）
A ．渐近线方程
B ．顶点坐标
C ．离心率
D ．焦距
10．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若
123PF PF =，则双曲线的离心率可能为（ ）
A ．
2 B C
D ．3
11．设1F ，2F 为椭圆22
:1167
x y C +=的左、
右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F ∆为等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A ．12MF =
B ．22MF =
C ．点M 的横坐标为8
3
D ．12MF F S ∆=12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确
的是（ ） A ．点F 的坐标为()1,0 B ．若A ,F ,B 三点共线，则3OA OB =-
C ．若直线OA 与OB 的斜率之积为1
4
-，则直线AB 过点F
D ．若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．当0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围
为 ▲ ．
14．设椭圆22
1169
x y +=的左、
右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点．在2ABF ∆中，若有两边之和为10，则第三边的长度为 ▲ ．
15．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，
01290F MF ∠=，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率 是 ▲ ．
16．已知F 是抛物线()2
21y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF
+的最小值为3，则p = ▲ ；若过F 的直线交抛物线于A ,B 两点，有2AF FB =，
则AB = ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，P 是E 上一点，且在第一象限，满足(
2,PF =-．
（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；
（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程．
18．（本小题满分12分）
已知椭圆()22
122:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F
重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ,B 两点，交2C 于
C ,
D 两点． （1）求
AB
CD
的值；
（2）设M 为1C 与2C 的公共点，若OM =1C 与2C 的标准方程．
19．（本小题满分12分）
设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x ，且椭圆上的点到焦点距离的1．
（1）求椭圆C 的方程;
（2）动直线(
:l x ty m m =+<<与C 交于A ，B 两点，已知M ()2,0， 且2MA MB =,求证：直线l 恒过定点．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()
0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点．
（1）当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ； （2）当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值．
21．（本小题满分12分）
已知双曲线()2
222:10,0x y
E a b a b
-=>>的实轴长为22，F 为右焦点，()0,1M ，
()0,1N -，且MNF ∆为等边三角形． （1）求双曲线E 的方程；
（2）过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN ∆面积的取值
范围．
22．（本小题满分12分）
已知点()10F ，
为抛物线()02:2
>=p px y E 的焦点，直线l 与抛物线E 相交于B A ,两点，抛物线E 在B A ,两点处的切线交于M ． （1）求证：,,A M B 三点的纵坐标成等差数列；
（2）若a AB =，其中a 为定值，求证：△ABM 的面积的最大值为
p
a 83
．
江苏省白蒲高级中学2020至2021学年度高二年级第一学期教
学质量调研（一）
高二数学参考答案 一、单选题
ACAB CDBA 二、多选
AC,AB,BCD,BCD 三、填空题
13．0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
16. 2 92
四、解答题
17.（1）焦点坐标,02P F ⎛⎫
⎪⎝⎭，设2
00,2y P y p ⎛⎫
⎪⎝⎭
因为(2,PF =-，
所以2
0222y p p y ⎧-
=⎪⎨⎪
-=-⎩………2分
又0p >
，解得0y =8p =
所以P
坐标为(，抛物线的方程为216y x =………4分
（2）当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，故舍去；………5分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，代入抛物线方程，消去x 得到
216320ky y k --+=
若0k =
，此时直线:l y =7分 若0k ≠
，则(2564320k k ∆=--+=
解得k . ………9分 综上：直线l
的方程为y =
y =+………10分
18. (1)因为椭圆1C 的离心率为1
2
，所以设其方程为2222143x y c c +=，(),0F c
令x c =解得3
2
y c =±，所以3AB c =………2分
又抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点(),0F c 重合，所以设其方程为24y cx = 令x c =解得2y c =±，所以4CD c =………4分 故
3
4
AB CD =………5分 (2)由22
2221434x y c c y cx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
消去y 得：22316120x cx c +-=，解得2
3x c =或6c -（舍）………7分
所以2,3M c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
因为OM =
1c =………10分 即椭圆方程为22
143
x y +
=，抛物线方程为24y x =.………12分 19.(1) 设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，焦距为2c ，又题意可得
c a =
1a c +=+
a =1c =………2分 又2221
b a
c =-=
所以椭圆方程为2
212
x y +=………4分
（2）由22
12x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去x 得，()
222
2220t y mty m +++-=………6分
由0∆>，得222m t <+
设()11,A x y ，()22,B x y ,则122122222
,22
mt m y y y y t t -+=-=++………8分 MA MB =()()()()()()121212121212222422x x y y x x x x ty m ty m t y y m --+=-++=++-++⎡⎤⎣⎦
()()()()2
212121222t y y t m y y m =++-++-=
所以23820m m -+=………10分
解得m =
又m
所以m =
即直线l
恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭
………12分 20.（1）椭圆方程为22
143
x y +
=………2分 设()00,M x y ，()00,N x y -- 由2AM AN k k k +=-，得
0000222y y k x x +=-+-，00
00222
kx kx k x x +=-+- 因为0k ≠，所以202x =，代入椭圆方程得2
03
2
y =
………4分
所以MN =6分
（2）由()22
143
1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消去y 得，()
2222
3484120k x k x k +-+-= 0∆>恒成立
设()11,M x y ，()22,N x y ,则22121222
8412
,3434k k x x x x k k -+==++………8分
由AM AN k k k +=-，得
121222
y y
k x x +=-++ ()()1212112
2
k x k x k x x --+=-++又0k ≠所以
()121212122412()4
x x x x x x x x ++-=-+++………10分
解得1k =±………12分
21.（1）设焦距为2c ，因为()0,1M ，()0,1N -，且MNF ∆为等边三角形
所以c =
又2a =
a =2221
b
c a =-=
所以双曲线方程为22
12
x y -=………3分
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点 当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+ 22
112
y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()
22
12440k x kx ---=
设()11,P x y ，()22,Q x y ,则12122
2
44
,1212k x x x x k k +=
=---………6分 因为直线l 与E 的左右两支分别交于两点，所以1200
x x ∆>⎧⎨<⎩
解得k <
（或由双曲线的渐近线方程为y =
得k <<
8分
12121
2
PQN
S MN x x x x ∆=-=-==，2
1
02
k ≤<
(10)
分 令1,12t ⎛⎤= ⎥⎝⎦
则
244
1212t S t t t
=
=
--
因为12y t t =-在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
单调递增，所以当1t =时，y 最小为4
即[)4,S ∈+∞………12分
22.（1）证明：抛物线方程为24y x =………1分 设211,4y A y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k 211244y y y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪
⎨⎝
⎭⎪
=⎩
消去x 得，2211440ky y y ky -+-= 因为直线与抛物线相切，所以0∆=解得1
2
k y =
………3分 此时切线方程为211124y y y x y ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭即1122y y x y =+211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭①
同理设222,4y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭
另一条切线方程为222
2y y x y =+②………5分 将①②联立方程组，解得122
M y y y +=
所以,,A M B 三点的纵坐标成等差数列………6分
（2）取AB 的中点Q ,连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥,垂足为N
则()2
22121212121224844
y y x x y y y y y y MN MQ -++≤=-=-= 设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠）
则
12AB y a
=-=，所以
12y y a
-≤，即()
2
2
124
8
y y a MN MQ -≤=
≤ 所以33
1122168ABM a a S AB MN a MQ p
∆=•≤==
………12分。