高中数学 第一章 神奇的数列拓展资料素材 北师大版必修5

神奇的数列

波那契

公元1202年，意大利数学家斐波那契（1170—1250）在所著的《算法之书》中，提出了一下又取得问题：有一对刚诞生的幼兔（雌雄各一只）。经过一个月长成成年兔。每对成年兔每个月生下一对新幼兔（雌雄各一只）。假设兔子永远按着上述规律成长、繁殖，并不会死去，问到第12个月时共有多少对兔子？

1、1、

2、

3、5、8、13、21、3

4、5

5、89、144、233……这就是著名的斐波那契数列也叫做兔子数列。

该数列有很多奇妙的属性：

还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。如果你看到有这样一个题目：某人把一个8×8的方格切成四块，拼成一个5×13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

计算机绘制的斐波那契螺旋

自然界中的斐波那契数列

最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。

每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。

曾在网上看到下面这样一组图，说的是花瓣数符合斐波那契数列各元素的各种植物，也许仅仅是巧合？

另外，晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。

在生活中我们会遇到许多这样的数列。

1、有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

2、开始有三个数为1、1、1，每次操作把其中的一个数换成其他两个数的和。问经过9次操作后所得的三个数中，最大数可能值是多少？

3、已知三角形阵列

1 1

2

3 5 8 ……

1 1

2

3 5 ……

3 5 8 13 ……

7 11 18 ……

…………

的某连续四行的第一个数依次为a、b、c、x。若a、b、c为已知，求x。