有限元 第3讲补充_平面问题-整体刚度矩阵

0
0
0
0 1 0 2 (2) 0 3 K 0 4 0 5
式中： Fi (2) ——②号单元中第i（i=1,3,4）节点所受力；
K (2) ——②号单元的扩大刚度矩阵。
y
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
y
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
x
14
o
y
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
x
o
(1) (2) (1) (1) (2) (2) K11 K11 K12 K13 K13 K14 0 (1) (1) (3) (1) (3) (3) K 22 K 22 K 23 K 23 0 K 25 K 21 (1) (2) (1) (3) (1) (2) (3) (4) (2) (4) (3) (4) K 31 K 31 K 32 K 32 K 33 K 33 K 33 K 33 K 34 K 34 K 35 K 35 (2) (2) (4) (2) (4) (4) 0 K 43 K 43 K 44 K 44 K 45 K 41 (3) (3) (4) (4) (3) (4) 0 K K K K K K 52 53 53 54 55 55
式中： Fi ——①号单元中第i（i=1,2,3）节点所受力。 表示，即 为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移 y
(1) F1(1) K11 (1) (1) F2 K 21 (1) (1) F3 K 31 0 0 0 0 (1) K12 (1) K 22 (1) K 32 (1) K13 (1) K 23 (1) K 33
0 0 0 0 0
0
(3) K 53
0 1 (3) K 25 2 (3) K 35 3 K (3) 0 4 (3) K 55 5
y
式中： Fi ——3号单元中第i（i=3,2,5）节点所受力；
(1)
0 0
0 0
0 0 1 0 0 2 (1) 0 0 3 K 0 0 4 0 0 5
4 ④ ② ① 1 2 3③
5
x
o
K (1) ——①号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵。
5
整体刚度矩阵
同理，对于②单元，有
(2) F1(2) K11 0 0 (2) (2) F3 K 31 F (2) K (2) 4 41 0 0 (2) 0 K13 0 0 (2) 0 K 33 (2) 0 K 43 (2) K14 0 (2) K 34 (2) K 44
K (3) ——3号单元的扩大刚度矩阵。
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
x
7
o
整体刚度矩阵
对于④单元，有
0 0 0 0 (4) F3 0 F (4) 0 4(4) 0 F5
(4)
0 0
0 0
0 0
(4) K 34 (4) K 44 (4) K 54
(4) 0 K 33 (4) 0 K 43 (4) 0 K 53
0 1 0 2 (4) K 35 3 K (4) (4) K 45 4 (4) K 55 5
y
式中： Fi ——④号单元中第i（i=3,4,5）节点所受力；
列阵。
通过研究任意节点的平衡来建立整体刚度矩阵，该方法
不但比较直观、易懂，而且对怎样编写计算机程序是很有帮
助。
2
整体刚度矩阵
为了研究整体刚度矩阵的组装过程，先引入两个概念。 整体节点位移列阵：由各节点位移按节点号码以从小到大 的顺序排列组成的列阵。 整体节点载荷列阵：由各节点所受等效节点力按节点号码以 从小到大的顺序排列组成的列阵。等效节点力是由集中力、表 面力和体积力共同移置构成的，其中集中力包括直接作用在弹 性体上的外力和边界约束力，如支座反力。
3
整体刚度矩阵
不失一般性，仅考虑计算模型中有4个单元，如图所示。四 个单元的整体节点位移列阵为

iT ui 式中：
T 1
2
T

T 3
4
,5)
T
5
T T

vi ， (i 1, 2,
y
4 ④ ② ① 1
5 3③ 2
x
o
4
整体刚度矩阵
e e e 对每个单元都可以写出相应的单元刚度方程 F K ， 即单元节点平衡方程。例如，对①号单元，有
(2) K 24 (2) K 44 (2) K 54 (2) (3) K 25 K 55 (3) (2) K 35 K 45 (3) (2) K 25 K 55
4 ④ ② ① 1 2 3③
5
x
o
(2) K14 0 (2) (4) K 34 K 34 (2) (4) K 44 K 44 (4) K 54
(1) K12 (1) (3) K 22 K 22 (1) (3) K 32 K 32 0 (3) K 52
0 (3) K 25 (3) (4) K 35 K 35 (4) K 45 (3) (4) K 55 K 55
K13 K 23 K 33 K 43 K 53
K14 K 24 K 34 K 44 K 54
K15 K 25 K 35 K 45 K 55
(1) (2) K13 K13 (1) (3) K 23 K 23 (1) (2) (3) (4) K 33 K 33 K 33 K 33 (2) (4) K 43 K 43 (3) (4) K 53 K 53
x
6
o
整体刚度矩阵
对于3单元，有
0 0 0 F (3) 0 K (3) 2 22 (3) (3) F 0 K 3 32 0 0 0 (3) (3) F 0 K 5 52
(3)
0
(3) K 23 (3) K 33
12
整体刚度矩阵
通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则： 1 ）结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加，整体 刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度矩阵子矩阵的集成； 2）当整体刚度矩阵中的子矩阵K rs 中r=s时，该节点（节点r 或s）被哪几个单元所共有，则K rs 就是这几个单元的刚度矩阵 e 中的子矩阵 K rs 的相加。如 K 33 应该是单元①－④中对应子矩阵 (1) (2) (3) (4) 的集成，即 K33 K33 K33 K33 K33
K (4) ——④号单元的扩大刚度矩阵。
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
x
8
o
整体刚度矩阵
对于任意一个节点，可能承受两种力的作用，一种是其 它单元给予该节点的反作用力；另一种是作用在节点上的 等效节点力。对整体而言，前者属于内力，后者属于外力， 每个节点在两种力的作用下处于平衡。 将各单元刚度方程左边相加，即将各节点所受力相加， 由于对于整体而言，单元给予节点的反作用力属于内力， 在相加过程中相互抵消，所以各节点所受力相加的结果只 有外力，即等效节点力，从而得到整体节点荷载列阵，如 下
(1) F1(1) K11 (1) (1) F2 K 21 F (1) K (1) 3 31 (1) K12 (1) K 22 (1) K 32 (1) 1 K13 (1) K 23 2 (1) K 33 3
5 平面问题有限元分析 整体刚度矩阵
整体刚度矩阵 整体刚度矩阵的特点 曹国华 边界条件处理 计算结果整理
1
整体刚度矩阵
e 前文对单元体进行了分折，得到了单元刚度方程 F e K e ，
但要解决问题，还必须进一步建立整个计算模型的整体刚度 方程。完成这一步的关键，在于怎样将单元的刚度矩阵和节 点荷载列阵，分别“组装”成整体刚度矩阵和整体节点荷载
y
1
a
2
a
① ③ ②
3 ④ 5 6 a
x
4 a
17
y
1
解：该模型中共有6个节点，4个单元， 各单元的信息如表所示。
各单元信息 单元编号 整体编码 局部编码 ① 1、 2、 3 i、j、m
(1) K12 (1) K 22 (1) K 32
a
2
a
① ③ ②
3 ④ 5 6 a
x
4 a
② 2、 4、 5 i、j、m
y
F1 F1(1) F1(2) 0 0 (3) F (1) F 0 F 0 2 2 2 (3) (4) (1) (2) F = F3 F3 F3 F3 F3 F 0 F (2) 0 F (4) 4 4 (3) 4(4) F5 F5 F5 0 0
10
整体刚度矩阵
通过以上分析得，整体节点载荷与整体节点位移之间的 关系式，即结构整体有限元方程，如下
F K
式中： K ——整体刚度矩阵。
K K (i )
i 1
4
11
整体刚度矩阵
整体刚度矩阵组装的基本步骤： 1）将单元刚度矩阵中的每个子块放到在整体刚度矩阵中的对应 位置上，得到单元的扩大刚度矩阵。注意对于单元刚度矩阵是 按照局部编码排列的，即对应单元刚度矩阵中的i、j、m；对于 整体刚度矩阵是按照整体编码排列的，即按节点号码以从小到 大的顺序排列。在组装过程中，必须知道单元节点的局部编码 与该节点在整体结构中的整体编码之间的关系，才能得到单元 刚度矩阵中的每个子块在整体刚度矩阵中的位置。将单元刚度 矩阵中的每个子块按总体编码顺序重新排列后，可以得到单元 的扩大矩阵。例如在图中，单元②的局部编码为i、j、m，对应 整体编码为1、3、4，然后将单元②刚度矩阵中的每个子块按总 体编码顺序重新排列后，可以得到单元的扩大矩阵。注意有些 书籍中将局部编码表示为1、2、3或1，2，3等； 2）将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。