复数乘除法公开课优秀教案讲解学习
《复数的乘法与除法》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】
第五章复数5.2.2复数的乘法与除法◆教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，能够运用法则求两个复数的积与商．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．◆教学重难点◆教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则及其运算律．教学难点：复数除法的运算法则．◆教学过程一、新课导入情境：我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？设计意图：类比多项式的乘法运算，以及复数的加减法运算与多项式加法运算的关系，引导学生思考复数乘除法运算法则．二、新知探究问题1：类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？答案：我们规定，复数的乘法法则为：设z1=a+b i，z2=c+d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i+bdi2=ac+bc i+ad i−bd=(ac−bd)+(bc+ad)i．追问1：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？答案：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定．追问2：当z1z2都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？答案：根据法则，我们发现，当b=d=0时，z1z2都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致．追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？答案：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成−1，并且把实部与虚部分别合并即可．结论：两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘．设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则．同时培养学生类比的核心素养．问题2：类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．答案：猜想：对于任意对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1∙z2=z2∙z1；结合律：(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)；分配律：z1(z2+z3)=z1∙z2+z1∙z3．证明：设z1＝a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i．(1)∵z1∙z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)iz2∙z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1−b2b1)+(b2a1+a2b1)i又a1a2−b1b2=a2a1−b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1∙z2=z2∙z1．(2)(z1∙z2)∙z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)．=[(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i](a3+b3i)=[(a1a2−b1b2)a3+(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2−b1b2)b3]i=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，同理可得：z1∙(z2∙z3)=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，∴(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)．(3) z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]=[a1(a2+a3)−b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)−a1(b2+b3)]i=(a1a2+a1a3−b1b2−b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1∙z2+z1∙z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3−b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2−b1b2+a1a3−b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a 1a 2+a 1a 3−b 1b 2−b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1∙z 2+z 1∙z 3．设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律．培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深．想一想：计算：(1)(−2−i )(3+i )； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )． 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． 解：(1) (−2−i )(3+i )=−6−2i −3i −i 2=−5−5i ； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )=(11−2i )(−2+i )=−20+15i ．总结：按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．问题3：如何定义复数的乘方运算呢？答案：对于复数z ，定义它的乘方z n =z ∙z ∙ … ∙z ．根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有：z m ∙z n =z m+n ，(z m )n =z mn ，(z 1∙z 2)n =z 1n ∙z 2n ．追问：i 0=1，i 1=i ，i 2=−1，i 3=−i ，…以此类推，你发现了什么规律？ 答案：i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=−1，i 4n+3=−i (n ∈N )．思考：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. (1)(3+2i )(3−2i )；(2)(2+i )(2−i )；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)；(4)(√3+√2i)(√3−√2i)．答案：(1)(3+2i )(3−2i )=32−6i +6i −(2i )2=9−(−4)=13； (2)(2+i )(2−i )=22−2i +2i −i 2=4−(−1)=5；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)=(−2√2)2−2√2i +2√2i −i 2=8−(−1)=9； (4)(√3+√2i)(√3−√2i)=(√3)2−√6i +√6i −(√2i)2=3−(−2)=5．规律：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．即若z =a +b i (a ，b ∈R)，则z ∙z̅=|z |2=|z̅|2=a 2+b 2．问题4：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则．答案：我们通过引入倒数来定义复数的除法．给定复数z2，若存在复数z，使得z2∙z=1，则称z是z2的倒数，记作z=1z2．设z2=c+di≠0和z= x+yi(c，d，x，y∈R)，则z2∙z=(c+di)( x+yi)=cx−dy+ (cy+dx)i=1，所以{cx−dy=1，cy+dx=0，解得{x=cc2+d2，y=−dc2+d2．所以z2=c+di的倒数1z2=cc2+d2−dc2+d2i．（这里要求c，d不能同时为0，即z2≠0．）对任意的复数z1=a+b i(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数的除法：z1z2=z1∙1z2，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数．因此z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(cc2+d2−dc2+d2i)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．说明：在实际计算a+bic+di时，通常把分子和分母同乘分母c+di的共轭复数c−di，化简后就得到上面的结果：a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．由此可见，在进行复数除法运算是，实际上是将分母“实数化”．设计意图：通过引入复数的倒数，将复数的除法转化成乘法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则．渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系．解：原式=[(−2−3i)(−1+3i)](√6+i)=(2−6i+3i−9i2)(√6+i)=(11−3i)(√6+i)=11√6+11i−3√6i−3i2=(11√6+3)+(11−3√6)i．例2 计算：(1)(1+i)4；(2)(2−i)2(2+i)2．解：(1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=−4；(2)(2−i)2(2+i)2=[(2−i)(2+i)]2=(4+1)2=25．例3 求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，并验证x1+x2=−ba ，x1x2=ca．解：使用配方法容易得到：(x +b2a )2=b 2−4ac 4a 2．(1)若b 2−4ac ≥0，则x 1=−b+√b 2−4ac2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a．因此x 1+x 2=−b+√b 2−4ac2a+−b−√b 2−4ac2a=−b a，x 1x 2=−b+√b 2−4ac2a ·−b−√b 2−4ac2a=b 2−(b 2−4ac )4a 2=ca．(2)若b 2−4ac<0，则x +b 2a=±√4ac−b 24a 2i ，即x 1=−b+√4ac−b 2i2a，x 2=−b−√4ac−b 2i2a．因此x 1+x 2=−b+√4ac−b 2i2a+−b−√4ac−b 2i2a=−ba ，x 1x 2=−b+√4ac−b 2i 2a·−b−√4ac−b 2i2a=b 2+(4ac−b 2)4a 2=ca ．综上所述，一元二次方程x 2+bx +c =0(a ≠0)在复数范围内的根x 1，x 2都满足x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca．例4 证明：对任意的两个复数z 1，z 2，若z 1·z 2=0，则z 1，z 2至少有一个为0． 解：设z 1≠0，则|z 1|≠0，z 1的共轭复数z̅1≠0．将z 1·z 2=0的左右两边同时乘z̅1，得z 1·z 2·z̅1=0·z̅1，即|z̅1|2·z 2=0． 因为|z̅1|2≠0，所以z 2=0． 例5 计算：(1)−12i；(2)1+2i 2−3i ；(3)(1+i1−i )6． 解：(1)−12i=−1×(−i )2i×(−i )=i2；(2)1+2i2−3i=(1+2i )×(2+3i )(2−3i )×(2+3i )=−4+7i 13=−413+713i ； (3)(1+i 1−i)6=[(1+i )2(1−i )(1+i )]6=(2i 2)6=i 6=−1． 设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。
复数乘法除法的教案
复数乘法除法的教案教案标题：复数乘法除法的教案一、教学目标：1. 理解复数的乘法和除法的概念；2. 掌握复数乘法和除法的计算方法；3. 能够应用复数乘法和除法解决实际问题。
二、教学准备：1. 教师准备：教师需要准备白板、黑板、彩色粉笔、复数乘法和除法的示例题目；2. 学生准备：学生需要准备笔和纸。
三、教学过程：步骤一：导入1. 教师可以通过一个简短的复习，回顾复数的概念和基本运算规则。
步骤二：引入复数乘法1. 教师通过示例，向学生解释复数乘法的概念和规则。
2. 教师可以使用白板或黑板上的示例，让学生一起完成复数乘法的计算过程。
3. 教师可以提供一些练习题，让学生在纸上进行计算，并进行批改。
步骤三：引入复数除法1. 教师通过示例，向学生解释复数除法的概念和规则。
2. 教师可以使用白板或黑板上的示例，让学生一起完成复数除法的计算过程。
3. 教师可以提供一些练习题，让学生在纸上进行计算，并进行批改。
步骤四：综合练习1. 教师提供一些综合性的练习题，包括复数乘法和除法的计算。
2. 学生独立完成练习，并互相交换答案进行批改。
3. 教师可以挑选几道题进行讲解和讨论，解答学生的疑惑。
步骤五：拓展应用1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用复数乘法和除法解决。
2. 学生独立思考并解答问题，教师可以进行讨论和引导。
四、教学评价：1. 教师可以通过观察学生的课堂表现、练习题的完成情况和回答问题的准确性来评价学生的学习情况。
2. 教师可以提供一些小测验或考试，检验学生对复数乘法和除法的掌握程度。
五、教学延伸：1. 学生可以通过自主学习和练习，进一步巩固和拓展对复数乘法和除法的理解和应用。
2. 学生可以尝试解决更复杂的实际问题，提高解决问题的能力。
六、教学反思：本教案通过引入复数乘法和除法的概念，结合示例和练习，帮助学生理解和掌握这两种运算方法。
同时，通过实际问题的应用，培养学生解决问题的能力。
教师在教学过程中要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和积极性。
复数乘除法教案范文
复数乘除法教案范文教案：复数的乘除法教学目标：1.学生通过本节课的学习，能够掌握复数的乘除法的基本概念和运算方法；2.学生能够应用所学的知识解决实际问题。
教学重点：1.复数的乘法的概念和运算方法；2.复数的除法的概念和运算方法。
教学难点：1.复数的乘法的应用；2.复数的除法的应用。
教学准备：1.复数的乘法和除法的定义；2.复数的运算规则和性质；3.相应的习题和作业。
教学流程：步骤一：复习复习复数的基本概念和基本运算，包括复数的定义、实部与虚部、共轭复数等内容。
步骤二：复数的乘法1. 复数的乘法：设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d为实数，那么z1×z2=(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
2.举例说明：计算(3+2i)×(1-4i)。
步骤三：复数的除法1. 复数的除法：设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d为实数且z2≠0，那么z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)。
a. 首先，将复数的除法转化为乘法：z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)=(a+bi)×(c-di)÷(c+di)；b.其次，利用分子有理化的方法将复数的除法转化为分数除法。
2.举例说明：计算(5+6i)÷(3-4i)。
步骤四：实际应用1.将复数乘除法运用于实际问题的解决中，如计算电路中的复阻抗、计算电流相位等问题。
步骤五：小结总结复数的乘法和除法的基本概念和运算方法。
教学延伸：1.提供更多的实例让学生进行练习；2.引导学生应用复数乘除法解决其他实际问题。
教学评价：1.学生是否能够正确理解并应用复数的乘法和除法；2.学生是否能够解决实际问题并给出合理的答案。
教学反思：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握复数的乘法和除法的概念和运算方法。
对于一些学生来说，这可能是一个相对较难的内容，需要进行多次的练习和巩固。
复数乘除法公开课优秀教案
§3.2.2复数代数形式的乘除运算【学习目标】1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；【重点难点】重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.【知识链接】1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.【问题探究】探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：=⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导2:试验证复数乘法运算律 （1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义：满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者dic bia ++()0≠+di c .引导2：除法运算规则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bia ++的分母有理化得：原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()21i +.引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等. 例3计算(12)(34i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法. 例4i43+引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性. 点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】1.复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -2.设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +3.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ） A.i - B.i C.1- D.1 4.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z .提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来. 提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性. 【总结反思】知识 . 重点 .能力与思想方法 . 【自我评价】你完成本学案的情况为( )A.很好B.较好C.一般D.较差2011年训练试题2．（浙江理2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+，则(1)z z +⋅= ．3．（天津理1）i 是虚数单位，复数131ii-=- ． 4．（四川理2）复数1i i-+= ．9．（江西理1）若12iz i +=，则复数z = ． 13．（北京理2）复数212i i-=+ ．6．（全国新课标理1）复数212ii+=- ． 7．（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ． 12．（广东理1）设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z = ． 14．（安徽理1）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a = ． 15．（江苏3）设复数z 满足(1)32i z i +=-+（i 是虚数单位），则z 的实部是 ．。
复数的乘除运算教案
复数的乘除运算教案复数乘除运算教案一、教学目标1. 理解复数的乘除运算的概念和规律；2. 能够进行复数的乘除运算；3. 通过实际问题的解决，培养学生的应用能力。
二、教学重点1. 复数的乘法规则；2. 复数的除法规则。
三、教学难点1. 对复数的乘除运算规则的理解和灵活运用。
四、教学准备1. 复数的定义和性质；2. 复数的乘法和除法运算规则。
五、教学过程Step 1 知识导入复习复数的概念和性质，并引导学生回顾复数的加减运算规则。
Step 2 复数的乘法规则1. 引导学生思考：如何计算两个复数的乘积？2. 让学生观察一些简单的乘法例子，并总结乘法的规律，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些乘法运算练习。
Step 3 复数的除法规则1. 引导学生思考：如何计算一个复数除以另一个复数？2. 让学生观察一些简单的除法例子，并总结除法的规律，例如：(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c^2 + d^2)。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些除法运算练习。
Step 4 综合运用通过实际问题的解决，让学生灵活应用复数的乘除运算规则。
例如：问题：如果有一个复数z，满足z乘以4等于(-8 + 16i)，求z的值。
解决思路：设z = a + bi，将已知条件代入乘法规则，得到方程(a + bi) * 4 = (-8 + 16i)，然后解方程，求得z的值。
六、教学拓展引导学生思考复数的乘法和除法规则在实际生活中的应用，例如在电路分析、信号处理等领域。
七、作业布置完成教师布置的练习题，巩固所学的乘除运算规则。
八、课堂小结复习复数的乘除运算规则，并提醒学生练习和巩固所学知识。
以上是关于复数的乘除运算教案的参考内容，通过引导学生总结计算规律和应用实例，帮助学生理解复数的乘除运算规则，并通过实际问题的解决来培养学生的应用能力。
《复数的乘除运算》教案、导学案、课后作业
《7.2.2 复数的乘除运算》教案【教材分析】复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.数学学科素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点和难点】重点：复数代数形式的乘法和除法运算．难点：求复数范围内的方程根.【教学过程】一、情景导入前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本77-79页，思考并完成以下问题1、复数乘法、除法的运算法则是什么？2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有3．复数代数形式的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)四、典例分析、举一反三题型一复数的乘法运算例1 计算下列各题．(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 . 【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i.【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.解题技巧（复数乘法运算技巧）1．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开．(2)再将i2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)．(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. 跟踪训练一1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ( )A ．2－13iB ．13＋2iC ．13－13iD ．－13－2i【答案】D.【解析】 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i ＋i 2－(4－9i 2)＝－13－2i. 2．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)【答案】B.【解析】因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.题型二 复数的除法运算 例2计算(1＋2i)÷(3－4i). 【答案】−15+25i.【解析】 原式=1+2i3−4i =(1+2i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=−5+10i 25=−15+25i.解题技巧： (复数的除法运算技巧) 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)＝－i ；(2)＝i ；(3)＝－i. 跟踪训练二 1．复数z ＝11＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 【答案】22. 【解析】∵z ＝11＋i ＝＝1－i 2＝12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.2．计算：1＋i4＋3i 2－i1－i＝________.【答案】－2＋i. 【解析】＝1＋7i 1－3i ＝＝－2＋i. 题型三 复数范围内的方程根问题 例3 在复数范围内解下列方程： （1）；（2），其中，且． 【答案】 （1）方程的根为．（2）方程的根为． 【解析】（1）因为，所以方程的根为．（2）将方程配方，得， 1(1)(1)i i i -+-(1)(43)(2)(1)i i i i ++--(17)(13)10i i ++220x +=20ax bx c ++=,,a b c ∈R 20,40a b ac ≠∆=-<220x +=2x i =±()242b ac b x a --=-±222(22==-220x +=2x i =20ax bx c ++=222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 所以原方程的根为．解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．跟踪训练三1、已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．【答案】(1)b ＝－2，c ＝2. (2)1－i 也是方程的一个根． 【解析】(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0. ∴⎩⎨⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2.(2)将方程化为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.2bx a +=2b x a =-±【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.《7.2.2 复数的乘除运算》导学案【学习目标】知识目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.核心素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点】：复数代数形式的乘法和除法运算．【教学难点】：求复数范围内的方程根.【学习过程】一、预习导入阅读课本77-79页，填写。
复数代数形式的乘除运算教案
复数代数形式的乘除运算教案一、教学目标：1.了解复数的定义和性质；2.掌握复数的加减乘除运算；3.能够应用复数进行实际问题求解。
二、教学重点：1.复数的加减乘除运算；2.复数的相关性质。
三、教学难点：1.复数乘除运算的步骤；2.复数运算过程中的常见问题。
四、教学过程：第一步：了解复数的定义和性质（10分钟）1. 复数的定义：复数由实数和虚数相加得到，形式为a + bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
2.复数的性质：复数的加法、减法、乘法、除法满足相应运算规则；- 加法性质：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- 减法性质：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i- 乘法性质：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法性质：(a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c^2 + d^2) + (bc - ad) / (c^2 + d^2)i第二步：复数的加法和减法运算（15分钟）1.讲解复数的加法和减法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的加法和减法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第三步：复数的乘法运算（25分钟）1.讲解复数的乘法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的乘法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第四步：复数的除法运算（25分钟）1.讲解复数的除法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的除法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第五步：实例分析和拓展应用（20分钟）1.提供一些实际问题，要求学生用复数进行求解。
2.学生们自己动手解决实际问题，并展示解题过程和结果。
3.学生之间进行交流和讨论，明确解题思路和答案的合理性。
高中数学复数乘除教案
高中数学复数乘除教案一、教学目标：1. 理解复数的乘法和除法的定义和运算法则。
2. 熟练掌握复数的乘法和除法的计算方法。
3. 能够解决相关的实际问题。
二、教学重难点：1. 复数的乘法和除法的运算法则。
2. 复数的乘除混合运算的解题方法。
三、教学准备：1. 准备复数的乘法和除法的相关习题。
2. 准备板书和教学课件。
3. 备有学生讲解和解题的素材。
四、教学过程：1. 复数的乘法：首先复习一下复数的定义和加减法运算法则，然后介绍复数的乘法规则。
学生可以通过展示实例进行练习，以加强理解。
2. 复数的除法：介绍复数的除法规则，并结合实例进行展示和练习。
教师应重点解释复数的除法运算过程和步骤。
3. 复数乘除混合运算：学生通过实例进行习题练习，巩固复数的乘法和除法运算法则。
教师可以提供一些实际问题，让学生应用所学的知识解决问题。
4. 课堂练习：通过课堂练习，学生对复数的乘法和除法进行巩固和提高。
教师可以提供一定量的练习题，让学生熟练掌握相关知识。
五、作业布置：布置相关的练习题，让学生进行巩固和复习。
同时，鼓励学生多进行实际问题的应用练习，加深对复数乘除的理解和掌握。
六、课堂小结：通过本节课的学习，学生应该理解复数的乘法和除法的定义和运算法则，能够熟练进行相关的计算和解题。
同时，掌握并运用复数乘除混合运算的方法，解决实际问题。
以上为高中数学复数乘除教案范本，希望能对您的教学工作有所帮助。
祝教学顺利！。
《复数的乘法与除法》 讲义
《复数的乘法与除法》讲义一、复数的基本概念在数学中，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 均为实数，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。
a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。
例如，3 ＋ 2i 就是一个复数，其中 3 是实部，2 是虚部。
二、复数的乘法（一）乘法法则设两个复数 z₁＝ a ＋ bi，z₂＝ c ＋ di，它们的乘积为：z₁z₂＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i例如，（2 ＋ 3i)（1 ＋ 4i)＝ 2×1 ＋ 2×4i ＋ 3i×1 ＋ 3i×4i＝ 2 ＋ 8i ＋ 3i ＋ 12i²＝ 2 ＋ 11i 12＝－10 ＋ 11i（二）乘法的几何意义复数的乘法在几何上可以看作是对应向量的伸缩和旋转。
设复数 z₁对应的向量为 OZ₁，复数 z₂对应的向量为 OZ₂，那么它们的乘积 z₁z₂对应的向量 OZ 就是将 OZ₁先按照 z₂的模进行伸缩，再按照 z₂的辐角进行旋转得到的。
（三）乘法运算律复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
交换律：z₁z₂＝ z₂z₁结合律：（z₁z₂)z₃＝ z₁(z₂z₃)分配律：z₁(z₂＋ z₃) ＝ z₁z₂＋ z₁z₃三、复数的除法（一）除法法则为了进行复数的除法运算，我们需要将分母实数化。
设 z₁＝ a ＋ bi，z₂＝ c ＋ di（c ＋di ≠ 0），则：＼＼begin{align}＼frac{z₁}｛z₂}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi²}｛c²＋ d²}＼＼＆＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c²＋ d²}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c²＋ d²} ＋＼frac{bc ad}｛c²＋ d²}i＼end{align}＼例如，计算＼（＼frac{2 ＋ 3i}｛1 2i}＼）＼＼begin{align}＼frac{2 ＋ 3i}｛1 2i}＆＝＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i)｝｛（1 2i)（1 ＋ 2i)｝＼＼＆＝＼frac{2 ＋ 4i ＋ 3i ＋ 6i²}｛1 4i²}＼＼＆＝＼frac{2 ＋ 7i 6}｛1 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{－4 ＋ 7i}｛5}＼＼＆＝＼frac{4}｛5} ＋＼frac{7}｛5}i＼end{align}＼（二）除法的几何意义复数的除法在几何上可以看作是对应向量的缩放和旋转的逆运算。
《复数的乘法与除法》 讲义
《复数的乘法与除法》讲义一、复数的基本概念在深入探讨复数的乘法与除法运算之前，让我们先回顾一下复数的基本概念。
复数通常可以表示为＄z ＝ a ＋ bi$ 的形式，其中＄a$ 被称为实部，＄b$ 被称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
当＄b ＝ 0$ 时，复数＄z ＝ a ＋ 0i ＝ a$ 就是一个实数；当＄b ＼neq 0$ 时，复数就被称为虚数；当＄a ＝ 0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数就被称为纯虚数。
二、复数的乘法1、乘法法则设两个复数＄z_1 ＝ a ＋ bi$ ，＄z_2 ＝ c ＋ di$ ，它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci bd\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼2、乘法运算的几何意义复数的乘法运算在几何上可以理解为复数对应的向量的伸缩和旋转。
假设复数＄z_1$ 对应的向量为＄＼overrightarrow{OZ_1}＄，复数＄z_2$ 对应的向量为＄＼overrightarrow{OZ_2}＄，那么它们的乘积＄z_1 ＼cdot z_2$ 对应的向量为＄＼overrightarrow{OZ}＄，其中向量＄＼overrightarrow{OZ}＄的长度是向量＄＼overrightarrow{OZ_1}＄和＄＼overrightarrow{OZ_2}＄长度的乘积，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄与实轴正方向的夹角是向量＄＼overrightarrow{OZ_1}＄和＄＼overrightarrow{OZ_2}＄与实轴正方向夹角之和。
3、乘法运算的性质（1）交换律：＄z_1 ＼cdot z_2 ＝ z_2 ＼cdot z_1$（2）结合律：＄（z_1 ＼cdot z_2) ＼cdot z_3 ＝ z_1 ＼cdot （z_2＼cdot z_3)＄（3）分配律：＄z_1 ＼cdot （z_2 ＋ z_3) ＝ z_1 ＼cdot z_2 ＋ z_1＼cdot z_3$三、复数的除法1、除法法则为了进行复数的除法运算，我们需要将分母实数化。
3.2.2复数的乘法和除法优秀教学设计
(bc d2
ad )i
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
2
三、运 用新 知， 体验成 功
练习 1： ①．计算：
1.(1 i)2; 2.(1 i)2; 3.（[ 3 2i) i]2; 4.i23 , i352 , i1000 , i2007
②．
若
1 2
(2)设z a bi,则z2 (a bi)2 a2 b2 2abi (z)2 (a bi)2 a2 b2 2abi于是z2 (z)2
(3)设z1 a bi, z2 c di,则z1 z2 (ac bd ) (ad bc)i (ac bd ) (ad bc)i z1 z2 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i于是z1 z2 z1 z2
教学环节
一、复习 引入
（3）情感与能力目标：通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学 的情感认识。
【教学重点】： i 的运算和分母实数化。
【教学难点】：复数除法中的分母实数化。 【课前准备】：powerpoint 课件 【教学过程设计】：
教学活动
1．根据虚数单位 i 的定义, i 满足方程 x2 1,即i 2 1, i i 1 ,那么 (2i) (i) 呢, (1 i)2 呢？
3 2
i,
求
2和1
2
③．计算：
1.
2i 7 4i
;
2.1i ;
3.1
1
i
复数代数形式的乘除运算精品教案
复数代数形式的乘除运算【教课目的】一、知识与技术理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法例，深刻理解它是乘法运算的逆运算二、过程与方法理解并掌握复数的除法运算本质是分母实数化类问题三、感情、态度与价值观复数的几何意义纯真地解说或介绍会显得较为乏味无味，学生不易接受，教课时，我们采用解说或体验已学过的数集的扩大的，让学生领会到这是生产实践的需要进而让学生踊跃主动地建构知识系统。
【教课要点】复数代数形式的除法运算。
【教课难点】对复数除法法例的运用。
【教课过程】一、学生研究过程：1．复数的加减法的几何意义是什么？2．计算（ 1）(14i )+(7 2i ) （2） (5 2i) +( 1 4i) (2 3i) （3） (3 2i) -[ ( 4 3i ) (5 i)]3．计算：（1）(1 3) (2 3) （2） ( a b) ( c d )二、解说新课：1．复数代数形式的乘法运算（1）复数的乘法法例：(a bi)( c di) ac bci adi bdi 2(ac bd ) ( ad bc)i 。
例 1．计算（1）(1 4i ) (7 2i)（2）(7 2i ) (1 4i)（ 3）[(3 2i) ( 4 3i)] (5 i)（4）(3 2i ) [ ( 4 3i) (5 i)]研究：察看上述计算，试考证复数的乘法运算能否知足互换、联合、分派律？例 2．计算（ 1）(1 4i) (1 4i)（ 2）(1 4i ) (7 2i) (1 4i )（3）(3 2i)2（2）共轭复数：两复数 a bi与 a bi 叫做互为共轭复数，当b0 时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出以下复数的共轭复数 3 2i , 4 3i,5 i, 5 2i ,7,2 i 。
（3）类比12 (1 2)(2 3) ，试写出复数的除法法例。
2 3 (2 3)(2 3)2．复数的除法法例：(a bi) ( c di) a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad i，此中c di叫c di (c di )(c di) c 2 d2 c 2 d2做实数化因子例 3．计算(32i) (2 3i ) ， (1 2i ) ( 3 2i ) 3 2i，(13 i练习：计算(1 2i) 2 i) 2 12．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
复数的乘法和除法教案
复数的乘法和除法教案教案：复数的乘法和除法教学内容：本节课将讲解复数的乘法和除法。
复数是由实数和虚数组成的数，可以用来表示平面上的点或向量。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，通过学习这些运算，学生将能够更好地理解和应用复数的概念。
教学目标：1.能够理解复数的乘法和除法的定义；2.能够使用复数的乘法和除法进行运算；3.能够应用复数的乘法和除法解决实际问题；4.能够解释复数乘法和除法的几何意义。
教学准备：1. PowerPoint课件；2.白板、黑板、彩色粉笔/白板笔；3.复数乘法和除法的练习题。
教学过程：Step 1: 引入复数的乘法和除法（10分钟）1. 使用PowerPoint课件引入复数的乘法和除法的概念。
2.几何概念：复数的乘法和除法对应于平面上的点或向量的运算。
3.解释复数的乘法：实数与虚数的乘积等于虚数，并且实数与实数的乘积仍然是实数。
4.解释复数的除法：将除数乘以其共轭复数，然后将分子和分母都除以复数的模长。
Step 2: 复数乘法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数乘法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3.解释如何计算乘积的实部和虚部。
示例：计算(2+3i)(4+5i)解：(2+3i)(4+5i)=2×4+2×5i+3i×4+3i×5i=8+10i+12i+15i²=8+22i-15=-7+22i4.更多示例：让学生计算更多的复数乘法示例，以加深对计算方法的理解。
Step 3: 复数除法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数除法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc-ad)i] /(c²+d²)。
3.解释如何计算商的实部和虚部。
示例：计算(3+4i)/(1+2i)解：(3+4i)/(1+2i)=[(3×1+4×2)+(4×1-3×2)i]/(1²+2²)=(3+8+4i-6i)/5=(11-2i)/5=11/5-(2/5)i4.更多示例：让学生计算更多的复数除法示例，以加深对计算方法的理解。
复数的乘、除运算(优秀经典公开课课件)
学业标准
素养目标
1．结合多项式的乘法了解复数的乘法法 1．通过学习复数的乘法和除法，培养学
则．(难点) 生数学运算素养．
2．理解共轭复数的概念．(重点) 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算
3．能进行复数的除法以及分母实数 律，培养学生数学抽象素养.
答案
3 2
4．设 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且zz12为纯虚数，则实数 a＝________. 解析 设zz12＝bi(b∈R 且 b≠0)，所以 z1＝bi·z2， 即 a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，
所以a2＝ ＝43bb， ， 所以 a＝83.
答案
8 3
02
课堂案 题型探究
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
z1z2＝___z2_z_1___ (z1z2)z3＝___z_1(_z_2z_3_) ___ z1(z2＋z3)＝____z_1z_2_＋__z_1z_3_____
导学 2 复数的除法 如何规定两复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)
值可以是( )
A．1
B．－2
C．－3
D．－4
解析 因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以a1＋－1a＜＞00，， 解得 a＜－1，所以选 B，C，D.
答案 BCD
题型二 复数的除法运算
[例 2] (1)31＋ ＋ii＝(
答案 －2＋i
题型三 复数乘法和除法的综合应用 [例 3] 已知 z1 是虚数，z2＝z1＋z11是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围； (2)若 ω＝11＋－zz11，求证：ω 为纯虚数．
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公开课复数乘除法运算课件
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五、【课堂小结】
复数乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i. 复数代数式相乘，
可按多项式类似方法进行，无须去记
公式.
复数除法法则是：
i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷方法是把它们商 写成份式形式，然后把分子与分母都 乘以分母共轭复数，再把结果化简
（１）在复平面内，它们所对应点有怎样位 置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样数？
公开课复数乘除法运算课件
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两个互为共轭复数乘积等于这个复数（或 其共轭复数）模平方
结论： •
2
2
公开课复数乘除法运算课件
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练习：
求(1 i)2 (1 i)2
(a bi)2 a2 2abi b2i2
(ac
bd ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
(bc d2
ad )i
分母实数化
公开课复数乘除法运算课件
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例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
公开课复数乘除法运算课件
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四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
,
,
z2
z1
•
1
z2
4i
, z1 z2
碰到 时i，2 要把 换i成2 ，
并-把1 最终止果写成
a bi(a,b R) 形式。
公开课复数乘除法运算课件
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设 z1 a bi , z2 c di
《4.2.2复数的乘法与除法》教学设计
2．2复数的乘法与除法●三维目标1．知识与技能(1)能够运用复数代数形式的乘法与除法法则求两个复数的积与商．(2)了解复数的乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．2．过程与方法通过学习，使学生进一步理解算法与算理，提高对运算法则合理性的认识．3．情感、态度与价值观通过对复数运算的学习，培养学生严密的推理能力、准确的计算能力．●重点难点重点：能准确进行复数的乘、除运算．难点：对复数四则运算的算法与算理的理解．教学中，要引导学生进行类比，将复数的乘法与多项式的乘法进行类比，将复数的乘、除运算之间的关系与实数的乘、除运算之间的关系进行类比，将复数的除法与实数的分母有理化进行类比．在类比中，领会复数乘除法的算法与算理．●教学建议1．在教学中应向学生指明：复数的乘法，可按多项式相乘的方法进行，不必专记公式．2．学习共轭复数时，首先要求学生明确共轭复数的概念，其次必须注意共轭复数的性质，即z·z＝|z|2＝|z|2＝a2＋b2∈R.合理地运用这个结论，及时进行虚、实的转换，有时可以简化计算．3．关于复数的四则运算，应避免繁琐的计算和过分的技巧，突出基本方法和基本技能的应用，突出运算中的求简原则．4．对于i的正整数幂i m的运算，要引导学生发现i m结果的周期性．●教学流程类比引入：类比多项式的乘法定义复数的乘法⇒复数乘法所满足的运算律⇒应用示例，感悟复数乘法法则及运算律的用法⇒定义共轭复数，探究其性质⇒定义复数的除法⇒应用示例，感悟复数除法的运算方法⇒归纳总结，深化认识1．若规定复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法满足分配律，试计算(a ＋b i)(c ＋d i)，其中a ，b ，c ，d 都是实数．【提示】 (a ＋b i)(c ＋d i)＝a (c ＋d i)＋(b i)(c ＋d i)＝ac ＋ad i ＋bc i ＋bd i 2＝ac ＋ad i ＋bc i －bd ＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．根据复数的除法是乘法的逆运算，求a ＋b i c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d 都是实数，且c ＋d i ≠0.【提示】 设(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(x ，y ∈R )，则(cx －dy )＋(cy ＋dx )i ＝a ＋b i.根据复数相等的定义，⎩⎪⎨⎪⎧cx －dy ＝a ，cy ＋dx ＝b ，解得x ＝ac ＋bd c 2＋d 2，y ＝bc －ad c 2＋d 2，∴a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 1．复数的乘法(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (2)运算律对任意复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有z m ·z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2. 2．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z 来表示，即当z ＝a ＋b i 时，z ＝a －b i.3．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝(ac＋bd)＋(bc－ad)ic2＋d2.计算：(1)(1＋i)(1－i)－(1＋i)2；(2)(1＋2i)(2＋3i)(3＋4i)．【思路探究】利用复数乘法的运算法则及运算律求解．【自主解答】(1)(1＋i)(1－i)－(1＋i)2＝1－i2－2i＝2－2i.(2)(1＋2i)(2＋3i)(3＋4i)＝(2＋3i＋4i＋6i2)(3＋4i)＝(－4＋7i)(3＋4i)＝－12－16i＋21i＋28i2＝－40＋5i.1．复数的乘法、乘方的运算法则类似于多项式的乘法和乘方运算．2．在进行乘方运算时，注意i的整数次幂的性质(i4k＋r＝i r，k，r∈Z)以及“(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i”的灵活运用，它们的作用在于简化解题过程．3．实数的乘法公式在复数集中仍然成立，应注意灵活运用它解决相关问题．(1)(2013·浙江高考)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝() A．5－5i B．7－5iC．5＋5i D．7＋5i(2)设a∈R，若(a－i)2i(i为虚数单位)为正实数，则a等于() A．2B．1 C．0D．－1【解析】(1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.(2)∵(a－i)2i＝[(a2－1)－2a i]i＝2a＋(a2－1)i.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞0，a 2－1＝0，解得a ＝1.【答案】 (1)C (2)B计算：(1)(1－i 1＋i )2 013 (2)3＋i 1－3i. 【思路探究】 计算的关键是掌握复数的除法的运算法则并注意解题技巧的应用． 【自主解答】 (1)由1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝1－2i ＋i 21－i 2＝1－2i －11－(－1)＝－2i 2＝－i ，得(1－i 1＋i)2 013＝(－i)2 013＝(－1)2 013i 2 013＝－i 4×503＋1＝－(i 4)503i ＝－i. (2)法一3＋i1－3i ＝(3＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝3＋3i ＋i ＋3i 21－3i 2＝3＋4i －31＋3＝4i 4＝i. 法二 3＋i1－3i ＝－3i 2＋i 1－3i ＝i (1－3i )1－3i ＝i.1．在进行复数除法运算时，有以下两种方法： (1)利用除法法则进行运算；(2)把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b i c ＋d i 的形式，再把分子与分母同乘以分母的共轭复数，并进行化简整理．2．对于有些复数的除法，可类比分式的化简，约去公因式，再进行除法运算，比如例2第(2)题的方法二．(1)(2013·山东高考)复数z ＝(2－i )2i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25 B.41 C ．5D. 5(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12【解析】 (1)z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii ＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝25＝5.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i ＋a i 24－i 2＝2＋(1＋2a )i －a 4－(－1)＝2－a 5＋1＋2a5i ，由1＋a i2－i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a5＝0，1＋2a5≠0，解得a ＝2.【答案】 (1)C (2)A复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .【思路探究】 解答本题只需根据条件设出纯虚数a ，利用z 2＋az 为实数，且小于0，列式求解即可．【自主解答】 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i＝3－i2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝6－3i －2i ＋i 25＝5－5i5＝1－i. 设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋(m2－2)i ＜0.∴⎩⎨⎧－m2＜0，m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.1．复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，先进行高级运算(乘方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)，如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数除低，然后再进行四则运算．2．对于复数的运算，除应用四则运算法则之外，还应掌握一些运算结果，以简化运算．如：①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i ；④a ＋b i ＝i(b －a i)．设复数z 满足|z |＝5，且(7＋i 1－i )z 是纯虚数，求z .【解】 设(7＋i1－i )z ＝b i(b ≠0)，则(3＋4i)z ＝b i.∴z ＝b i 3＋4i＝4b ＋3b i 25.∴|4b ＋3b i25|＝5，∴(4b 25)2＋(3b25)2＝5， ∴b ＝±25.当b ＝25时，z ＝4＋3i ，当b ＝－25时，z ＝－4－3i. 所以z ＝4－3i 或－4＋3i.整体代换在求复数代数式的值中的应用(12分)已知复数z ＝2＋i ，试求z 4－4z 3＋6z 2－4z －1的值．【思路点拨】 考虑用整体代换求解着眼点：①以谁为整体；②怎样将所求式用整体表示．【规范解答】 由z ＝2＋i ，得z －2＝i ， ∴z 2－4z ＋4＝－1，∴z2－4z＝－5. 6分∴z4－4z3＋6z2－4z－1＝z2(z2－4z)＋6z2－4z－1＝－5z2＋6z2－4z－1＝z2－4z－1＝－5－1＝－6. 12分本题直接代入求值，计算量较大，且易错．通过整体代换求值，可简化计算过程，提高解题的准确性．用该方法求解时，需要考虑两个问题：一是以谁为整体；二是如何将所求式用该整体表示，这需要观察和分析已知和所求式的结构特征获得．1．复数相乘类似于多项式相乘，只要在所求得的结果中把i2换成－1，并把实部与虚部分别合并即可．2．复数的除法实质上就是通过分子与分母分别乘以分母的共轭复数把分母实数化的过程．3．性质：z·z＝|z|2＝|z|2是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看成整体进行运算的依据．1．复数(3i －1)i 的共轭复数是( ) A ．－3＋i B ．－3－i C ．3＋iD ．3－i【解析】 由(3i －1)i ＝3i 2－i ＝－3－i ，得(3i －1)i 的共轭复数是－3＋i. 【答案】 A2．(2013·课标全国卷Ⅱ)⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( )A ．2 2B ．2 C. 2D ．1【解析】 由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 1－i2＝1－i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝ 2.故选C. 【答案】 C3．已知f (z ＋2i)＝3z －2i ，则f (i)＝________.【解析】 取z ＝－i ，则f (－i ＋2i)＝3(－i)－2i ，∴f (i)＝－5i. 【答案】 －5i4．已知复数z 满足i(z ＋3)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，试求|z |. 【解】 由i(z ＋3)＝－3＋2i ，得z ＋3＝－3＋2ii ＝2＋3i ，∴z ＝－1＋3i.∴|z |＝(－1)2＋32＝10.一、选择题1．复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35i B.35i C ．－i D ．i【解析】 ∵2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝i.其共轭复数为－i. 【答案】 C2．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i 【解析】 z ＝1＋i ，z ＝1－i. ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i. 【答案】 B3．(2013·江西高考)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 因为z ＝i(－2－i)＝1－2i ，所以复数z 对应的点在第四象限． 【答案】 D4．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )A.83 B ．－83 C.32 D ．－32【解析】 设z 1z 2＝a (a ∈R )，则z 1＝az 2，即m ＋2i ＝3a －4a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3a ，2＝－4a ， 解得a ＝－12，m ＝－32.【答案】 D5．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则z 2＝－1的θ值可能为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋(2sin θcos θ)i ＝cos 2θ＋isin 2θ. 由z 2＝－1，得cos 2θ＝－1.故选D.【答案】 D 二、填空题6．已知z ＝(1－i)(2－i)，则|z |的值是________． 【解析】 ∵z ＝2－i －2i ＋i 2＝1－3i ，∴|z |＝12＋(－3)2＝10.【答案】107．已知(a －i)2＝2i ，其中i 是虚数单位，那么实数a ＝________. 【解析】 由(a －i)2＝2i ，得(a 2－1)－2a i ＝2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，－2a ＝2，解得a ＝－1. 【答案】 －18．已知i 是虚数单位，使(1＋i)n 为实数的最小正整数n ＝________. 【解析】 (1＋i)4＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝22i 2＝－4，故最小正整数n ＝4. 【答案】 4 三、解答题 9．计算(1)(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2； (2)(3－2i )2－3(1－i )2＋i ；(3)(21＋i)2 013. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2＝1－(－1)＋1＋4i ＋(－4)＝－1＋4i.(2)(3－2i )2－3(1－i )2＋i ＝9－12i ＋4i 2－3＋3i 2＋i＝9－12i －4－3＋3i2＋i＝2－9i2＋i ＝(2－9i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝4－2i －18i ＋9i 25＝4－2i －18i －95＝－5－20i5＝－1－4i. (3)(21＋i )2 013＝[2(1－i )2]2 013＝(1－i )2 012(1－i )22 0132＝(－2i )1 006(1－i )22 0132＝(－4)503(1－i )22 0132＝－21 006(1－i )22 0132＝－1－i 2＝－22＋22i.10．已知x ，y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i ，求x ，y 的值．【解】 由已知得x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10.整理得(5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.∴⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得x ＝－1，y ＝5.11．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根，根据定义，试求复数i 的平方根．【解】 设复数i 的平方根为x ＋y i(x ，y ∈R )，则(x ＋y i)2＝i ，即(x 2－y 2)＋2xy i ＝i.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝1.解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－22.∴复数i 的平方根是22＋22i 或－22－22i.(教师用书独具)已知复数z ＝1＋i1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 100的值．【思路探究】 先化简z 及所要求的式子，然后代入计算． 【自主解答】 z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝1＋2i ＋i 21－i 2＝1＋2i －11－(－1)＝2i2＝i.法一 由z ＝i ，得1＋z ＋z 2＋z 3＝1＋i －1－i ＝0，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 100＝1＋z (1＋z ＋z 2＋z 3)＋z 5(1＋z ＋z 2＋z 3)＋…＋z 97(1＋z ＋z 2＋z 3)＝1.法二 1＋z ＋z 2＋…＋z 100＝1－z 1011－z ＝1－i 1011－i ＝1－i 100·i 1－i ＝1－i 1－i＝1.1．实数数列的有关运算公式在复数范围内仍然成立． 2．求解过程中，应遵循先化简再代入求值的原则．在备选例题的条件下，求z ·z 2·z 3·…·z 100的值． 【解】 z ·z 2·z 3·…·z 100＝z 1＋2＋3＋…＋100＝z (1＋100)×1002＝z 5 050＝i 5 050＝(i 2)2 525＝(－1)2 525＝－1.复数—错误!)—复数的几何意义—错误!) —复数的四则运算—错误!)))a ，虚部是b 而不是b i ，复数的模|z |＝a 2＋b 2.复数z 的共轭复数为z ＝a －b i ，且z z ＝|z |2.求当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】 复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3＝(m ＋2)(m －3)m ＋3，虚部为m 2－2m －15＝(m ＋3)(m －5)．(1)要使z 是实数，必须⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋3)(m －5)＝0，m ＋3≠0，∴当m ＝5时，z 是实数．(2)要使z 为虚数，必须(m ＋3)(m －5)≠0， ∴当m ≠－3，且m ≠5时，z 为虚数． (3)要使z 为纯虚数，必须⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)(m －3)m ＋3＝0，(m ＋3)(m －5)≠0，∴当m ＝－2或m ＝3时，z 为纯虚数．如果复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，那么b＝( )A.2B.23 C ．－23D ．2【解析】 ∵2－b i 1＋2i ＝(2－2b )－(4＋b )i5，∴2－2b 5＋(－4＋b 5)＝0.解得b ＝－23.【答案】 C代数问题．(1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )一一对应，又与复平面内的向量OZ →一一对应． (2)复数加、减法的几何意义的实质是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z 1－z 2|表示复平面上两点Z 1，Z 2间的距离．已知复平面上凸四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 依次对应的复数为z 1，z 2，z 3，z 4，若|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝r ≠0，且z 1－z 2＋z 3－z 4＝0，则四边形ABCD 必是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【思路点拨】 |z |＝r 在复平面内表示复数z 所对应的点Z 的轨迹是以原点为圆心，r 为半径的圆，复数z 1－z 2对应向量OA →－OB →＝BA →，复数z 4－z 3对应向量OD →－OC →＝CD →，利用平面向量知识和平面几何知识都是使本题获解的关键．【规范解答】 ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝r ≠0，∴A ，B ，C ，D 四点都在以原点为圆心，以r 为半径的圆上，即四边形为圆内接四边形，又z 1－z 2＋z 3－z 4＝0，∴z 1－z 2＝z 4－z 3，根据复数的几何意义，复数z 1－z 2对应向量OA →－OB →＝BA →，复数z 4－z 3对应向量OD →－OC →＝CD →，∴BA →＝CD →，∴AB ∥CD 且|AB |＝|CD |，∴四边形ABCD 为平行四边形，而圆内接平行四边形是矩形，∴满足条件的四边形ABCD 是矩形，故选B. 【答案】 B复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝z 1z 2＝4－2i ，故其对应的点在第四象限． 【答案】 D减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意i 2＝－1.在运算的过程中常用来降幂的公式有：(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )． (2)(1±i)2＝±2i.(3)作复数除法运算时，有如下技巧： a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．(2012·安徽高考)复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z＝( )A ．－2－2iB ．－2＋2iC ．2－2iD ．2＋2i【思路点拨】 利用复数的除法求解．【规范解答】 由已知得z －i ＝52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，所以z ＝(2＋i)＋i ＝2＋2i.【答案】 D(2012·课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i【解析】 ∵z ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i. 【答案】 D易于解决的问题，最终使问题得到解决的解题方法．通常是由未知转化为已知，将新知识向旧知识转化，将复杂问题转化为简单问题，抽象问题具体化．在复数中常见的是把不易解决的问题通过转化使问题简化，变得易于解决，但转化有一定的技巧性，因而在解题时要认真分析，合理转化．复数z 和ω满足：z ·ω＋2i·z －2i·ω＋1＝0.若z 和ω满足ω－z ＝2i ，求z 和ω的值．【思路点拨】 由题意可知有三个未知量z 、ω、ω，但由于知道三者之间的关系，故可将z ·ω＋2i·z －2i·ω＋1＝0转化为关于复数ω的方程来求解，先求出ω，然后再求z .【规范解答】 (1)∵ω－z ＝2i ，∴z ＝ω－2i ，将其代入z ·ω＋2i·z －2i·ω＋1＝0中， 得(ω－2i)(ω＋2i)－2i·ω＋1＝0， ∴ω· ω－4i·ω＋2i·ω＋5＝0. 设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则上式可变为： (x ＋y i)(x －y i)－4i(x ＋y i)＋2i(x －y i)＋5＝0， 即x 2＋y 2＋6y ＋5－2x i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6y ＋5＝0，2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－5.∴ω＝－i ，z ＝－i 或ω＝－5i ，z ＝3i.在例题的条件下，求证：如果|z |＝3，那么|ω－4i|的值是一个常数，并求这个常数． 【解】 ∵z (ω＋2i)＝2i·ω－1， ∴|z ||ω＋2i|＝|2i·ω－1|.① 设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则|ω＋2i|＝|x ＋(y ＋2)i|＝x 2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2＋4y ＋4.|2i·ω－1|＝|－(2y ＋1)＋2x i|＝(2y ＋1)2＋4x 2＝4x 2＋4y 2＋4y ＋1.又∵|z |＝3，∴①可化为3(x 2＋y 2＋4y ＋4)＝4x 2＋4y 2＋4y ＋1. ∴x 2＋y 2－8y ＝11. ∴|ω－4i|＝|x ＋(y －4)i|＝x 2＋(y －4)2＝x 2＋y 2－8y ＋16＝3 3.∴|ω－4i|的值是一个常数，这个常数是3 3.。
公开课课件：复数的乘除法运算
在进行复数乘除法运算时，需要仔细核对运算过程，确保 每一步运算都是正确的。同时，也要注意符号的处理和结 果的正确性。
THANKS
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01
复数乘法定义为两个复数相乘， 将它们的实部和虚部分别相乘， 然后合并同类项。
02
例如：$(a+bi) times (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$
复数乘法的计算方法
计算步骤
先计算实部和虚部的乘积，然后合并同类项。
注意事项
在进行乘法运算时，需要注意运算的优先级，先进行括号内的乘法，再进行实部 和虚部的乘法。
复数除法的几何意义
几何意义
复数除法运算可以理解为在复平面内，以原点为起点，作一 个向量与给定向量成比例，这个比例即为所求的复数除法的 结果。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$，在复平面内表 示为以原点为起点，作一个向量，该向量与 $z$ 成比例为 $frac{1}{2}$，即为所求的结果。
CHAPTER 03
复数的除法运算
复数除法的定义
定义
复数除法运算是指将一个复数除以一 个非零实数或复数，得到的结果仍为 一个复数。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$。
复数除法的计算方法
计算步骤
先对分母进行化简，再对分子和 分母进行乘除运算，最后得到结
复数的表示方法
总结词
复数可以用多种方式表示，包括代数式、三角式和极坐标式。
详细描述
代数式是将复数表示为实部和虚部的和，即$z=a+bi$；三角式是将复数表示为 模长和幅角的乘积形式，即$z=r(costheta+isintheta)$；极坐标式是将复数表 示为模长和角度的形式，即$z=r(costheta+isintheta)$。
〖2021年整理〗《《复数的乘、除运算》一》优秀教案
3请用复数的乘法法则证明：复数的乘法满足运算律
（1）交换律： ；
（2）结合律： ；
（3）分配律：
证明过程如下：
（1）
证明：设 ，
，
又 ，
，
（2）
证明：设 ，
,
同理可证：
,
（3）
证明：设 ， ，
，
学生独立完成引例教师可进一步提问：多项式的乘法遵循什么原则？
3安排学生做教材上的习题，也可以根据学生的实际情况，自编部分练习题
得出商以后，教师还应向学生着重指出：如果根据除法运算的定义，每次都按照左边乘法逆运算的办法来求商，这是很麻烦的分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘分母的共轭复数，再把结果化简即可
复数除法运算的概念形成
1类比实数的除法是乘法的逆运算，从复数的乘法出发，再看复数的除法运算
教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数 ，使它满足 （这里 是已知的复数）列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：
，
，
由此： ， ，
于是：
2复数的除法运算法则：
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数
学生板演
教师指导点评
结合例3，教师引导学生对在复数范围内一元二次方程的解法进行总结，得出如下结论：
在复数范围内，实系数一元二次方程 的求根公式为：
（1）当 时，
；
（2）当 时，
通过例题，熟悉法则的使用，掌握复数乘、除法的运算法则，提高运算熟练程度
巩固训练
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复数乘除法公开课优
秀教案
§3.2.2复数代数形式的乘除运算
【学习目标】
1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；
2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；
【重点难点】
重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.
【学法指导】
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.
【知识链接】
1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；
2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；
3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；
4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；
5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.
【问题探究】
探究一、复数的乘法运算
引导1:乘法运算规则
设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：
=⋅21z z
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且
把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
引导2:试验证复数乘法运算律
（1）1221z z z z ⋅=⋅
（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅
（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅
点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
探究二、复数的除法运算
引导1：复数除法定义：
满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者
di c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：
利用()()22d c di c di c +=-+.于是将di
c bi a ++的分母有理化得： 原式=22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d
c a
d bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
【典例分析】
例1计算()()()i
3
1
-2
2
4
i
i+
-
+
引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.
点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i换成－1.
1i+.
例2计算：（1）()()i
+；（2）()2
3-
i4
3
4
引导:按照复数乘法运算展开即可.
点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.
例3计算(12)(34)
+÷-
i i
引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.
点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.
例4
3+
i4
引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.
点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.
【目标检测】
1.复数2
2i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 2.设复数z 满足
12i i z +=，则z =（ ） A ．2i -+
B ．2i --
C ．2i -
D ．2i +
3.复数32321⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）
A.i -
B.i
C.1-
D.1
4.已知复数z 与()i z 822
-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.
5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.
(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来. 提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.
【总结提升】
复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.
【总结反思】
知识 .
重点 .
能力与思想方法 .
【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好
B.较好
C.一般
D.较差
2011年训练试题
2．（浙江理2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+，则
(1)z z +⋅= ．
3．（天津理1）i 是虚数单位，复数131i i
-=- ． 4．（四川理2）复数1i i
-+= ． 9．（江西理1）若12i z i
+=，则复数z = ． 13．（北京理2）复数212i i
-=+ ．
6．（全国新课标理1）复数212i i
+=- ． 7．（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ．
12．（广东理1）设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z = ．
14．（安徽理1）设i 是虚数单位，复数12ai i
+-为纯虚数，则实数a = ．
15．（江苏3）设复数z满足(1)32
+=-+（i是虚数单位），则z的实部
i z i
是．。