2019-2020学年高三数学复习 专题17 弧度制与任意角的三角函数学案 理 苏科版.doc

2019-2020学年高三数学复习 专题17 弧度制与任意角的三角函数
学案 理 苏科版
（一）考点梳理 1．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制
①1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l
r
，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r
与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2
，
2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义
设P (x ，y )是角α终边上任一点，且|PO |＝r (r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝x r
，tan α＝y x
，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2)三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． 3．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
【自学检测】
1．已知角α(0≤α<2π)的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π
3，cos 2π3，则α＝________.
2．若－π
2＜α＜0，则点P (cos α，sin α)位于第________象限．
3．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y
x
的值为________．
4．下列命题：①第二象限角为钝角；②锐角是第一象限角；③若α是第二象限角，则α＋180°是第四象限角；④角α与π＋α终边在一条直线上．其中正确的是________． 5．已知点P (tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限． 【合作释疑】终边相同角的表示
【训练1】(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；
(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ
3角的终边相同的角；
(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α
2所在的象限．
【训练2】(1)已知角α的终边与7α的终边相同，且α是第二象限角，则α的取值集合为________．
(2)已知角α的终边与π6的终边关于角π
4的终边对称，则α的取值集合为________．
三角函数的定义
【训练1】如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B (x B ，y B )，设∠BAO ＝β. (1)用β表示α；
(2)如果sin β＝4
5，求点B (x B ，y B )的坐标；
(3)求x B －y B 的最小值．
【训练2】如图，O 为坐标原点，点A 、B 、C 均在⊙O 上，点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45，点B 在第二象限，点C (1,0)．
(1)设∠COA ＝θ，求sin 2θ的值；
(2)若△AOB 为等边三角形，求点B 的坐标．
弧度制的应用
【训练1】已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【训练2】(1)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形面积最大？
(2)一扇形的中心角为120°，求此扇形的面积与其内切圆的面积之比．
【当堂达标】
1．已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
2．若点(a,9)在函数y ＝3x
的图象上，则tan
a π
6
＝________.
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255
，则y ＝________.
4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →
的坐标为________．
【课后作业】
1．已知sin αtan α<0且cos α·tan α<0，则角α是第________象限角．
2．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π
4，cos 3π4落在角α的终边上，且α∈[0,2π)，则α的值为________．
3．若点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2
＝1逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐
标为________．
4．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α
4角终边相同的角是________．
5．已知一扇形的中心角α＝60°，所在圆的半径R ＝10 cm ，则扇形的弧长为________cm ，面积为________cm 2
.
6．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围为________． 7．若角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ≠0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
3 6x，求sin α，tan α的值．
8．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且 cos α＝。