理论力学(机械工业出版社)第十二章动能定理习题解答

习 题

12–1 一刚度系数为k 的弹簧，放在倾角为θ的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m 的物块A 相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离s ，不计摩擦力，试求作用于重物A 上所有力的功的总和。

图12-23

))((2

sin 2st 2

st s k s mg W +-+

⨯=δδθ 2st 2

sin s k

s k mgs --=δθ

22

s k -=

12–2 如图12-24所示，在半径为r 的卷筒上，作用一力偶矩M=a ϕ+b ϕ2

，其中ϕ为转角，a 和b 为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B 。设重物B 的质量为m ，它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。

图12-24

3

22π40

π3

64π8d )+ (d b a b a M W M +

===⎰

⎰ϕϕϕϕ mgr r mg W F π4π4μμ-=⨯-=

)3π16π6π(3

4

π4π364π8232mgr b a mgr b a W μμ-+=-+=∑

12–3 均质杆OA 长l ，质量为m ，绕着球形铰链O 的铅垂轴以匀角速度ω转动，如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为θ，

试求杆的动能。

图12-25

x x l m

x x l m v m E d )sin 2()sin )(d (21)(d 21d 2222k θωθω===

θωθω2220222k sin 6

1

d )sin 2(ml x x l m E l ⎰==

12–4 质量为m 1的滑块A 沿水平面以速度v 移动，质量为

m 2的物块B 沿滑块A 以相对速度u 滑下，如图12-26所示。试求

系统的动能。

图12-26

])30sin ()30cos [(2

1

2

122221k ︒++︒+=u v u m v m E

)30cos 2(212

122221︒+++=uv v u m v m

)3(2

1

2122221uv v u m v m +++=

12–5 如图12-27所示，滑块A 质量为m 1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB ，杆AB 长为l ，质量为m 2。当AB 杆与铅垂线的夹角为ϕ时，滑块A 的速度为A v ，杆AB 的角速度为ω。试求在该瞬时系统的动能。

图12-27

AB A E E E k k k +=

22222221)12

1(21])sin 2()cos 2[(2121ωϕωϕωl m l l v m v m A A ++++= )12

1cos 41(212122222

221ωϕωωl lv l v m v m A A A ++++=

)cos 3

1(2121222

221ϕωωA A A lv l v m v m +++=

12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规

尺都是均质细杆，其质量分别为m 1和2m 1，且OC=AC=BC=l ，如图12-28所示。滑块A 和B 的质量都等于m 2。如作用在曲柄上的力偶矩为M ，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。

图12-28

ωl v C = ωω=AB ϕωωϕcos 2cos 2l l v AB A =⨯= ϕωsin 2l v B = B A AB OC E E E E E k k k k k +++=

)(2

1])2)(2(12

1[21)2(21)31(212

2222121221B A C v v m l m v m l m ++++=ωω 22222122122142

13161ωωωωl m l m l m l m ⨯+++=

2221243ωl m m +=

ϕM W =∑

动能定理

ϕωM l m m =+2

2212

43 2

21)43(l m m M

+=

α

12–7 曲柄导杆机构在水平面内，曲柄OA 上作用有一力偶矩为M 的常力偶，如图12-29所示。若初始瞬时系统处于静止，且∠AOB =2π，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为m 1，长为r 且为均质细杆；导杆质量为m 2；导杆与滑道间的摩擦力可认为等于常值F ，不计滑块A 的质量。

图12-29

01k =E

2221222212k )3(6

1

)(2161ωωωr m m r m r m E +=+=

Fr M W 4π2-=∑

动能定理

)2(π2)3(6

1

2221Fr M r m m -=+ω 2

12213)2(π32)3()2(π12m m Fr M r r m m Fr M +-=

+-=ω

12–8 半径为R 质量为m 1的均质圆盘A 放在水平面上，如图12-30所示。绳子的一端系在圆盘中心A ，另一端绕过均质滑轮C 后挂有重物B 。已知滑轮C 的半径为r ，质量为m 2；重物B 质量为m 3。绳子不可伸长，不计质量。圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。系统从静止开始运动，试求重物B 下落的距离为h 时，圆盘中心的速度和加速度。

图12-30

01k =E

23222212k 21

))(21(2143v m r v r m v m E ++=

2321)23(4

1v m m m ++=

gh m W 3=∑

动能定理

gh m v m m m 32321)23(4

1

=++ 3

213234m m m gh

m v ++=

3

213232m m m g

m a ++=

12–9 图12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为θ，在链轮B 上作用一力偶矩为M 的力偶，传运机从静止开始运动。已知被提升重物A 的质量为m 1，链轮B 、C 的半径均为r ，质量均