联赛-hojoolee代数不等式100题
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::11235::19hojoo lee a b a b a b prove a b a b a b solution one a b a b a solution two a >+=+≥
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++++≥+代数不等式第一章的题分享下自己的做法水平有限不足之处请指正 天书
由柯西注意到222
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x y R prove x y xy
LHS RHS x xy y x y x xy y x y x y x y x y x y xy x y x y ∈+++≥-=+++++=+++++++-+=++++-=+++-≥13:0,1,:1:1(1)(1):1
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x x x
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由伯努利2
2
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⇔+≤++⇔+≤++由柯西(
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2223322222222222222222233623()()()()()()30:()93,.3):3x y x y x y x y x y x y x y x y x xy y x y x y x xy y x y x xy y x y x y done a b
⇔+-≤+-⇔-≤-=++-⇔-++-≥++≥>+≤由均值
22222239824a ab b a b ab a b +++++⇔≤
⇔++≤++()()()12128448669339
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22233244233222
27272416162272754161632()()27()16()()()27()16()(x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x xy y x y x y x y x y x xy y x ⇔+++≥++⇔+-++-≥+-⇔-++-≥-⇔+++++≥++⇔()()22233233222332224422223323322222223323342243322233233222)()4()12()27()()()12()27()()()12181233()()12()xy y x y x y x xy y x y x xy y x y x y x xy y x y x y x xy y xy x y x xy y x y x y x x y y x y xy x xy y x y x y x y +++-++≥++-+⇔++-≥++-+⇔++-≥-+--⇔++-≥-()()()
()222224332222243322224332233223()()()12()3()()9219:()27()9219,.
x xy y x y x xy y x y x y x xy y x xy y x y x xy y x xy y x y x xy y x y x xy y done -++-⇔++≥+-++⇔++≥++++≥++>++
注意到5:,0,:11112:11112a b prove a b a b a b b a a b a b >≥
+⎧⎪⎪++≥+⎪+⎪⎪
⎨
⎪
⎪++≥⎪+⎪+⎪⎩
注意到
两式相加整理得原不等式
2
2
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()22xy
x y
xy x y R prove x y
x y x y xy
x y
x y
+>∈+
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()
2
2
22
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1
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21
()
x y
x y x y
+
⇔≥⇔≥+
+-
⇔-≥-⇔≥
+
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22
22
2
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2
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1
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2
x y
x y x y
x y x y
+
⇔≥⇔≥
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⇔-≥-⇔-≥-
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⇔≥-⇔≥-
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⇔+
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0()1
x y
x y x y
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≥
+<⇒-+≥⇒≥
⎪
⎩
若则证毕
若