(完整版)高等代数试卷及答案(二),推荐文档

11 6 x i n

∑ 2 ∑ x 一、填空题 （共 10 题，每题 2 分，共 20 分）

1．只于自身合同的矩阵是

矩阵。

⎛ 3 7 ⎫⎛ x 1 ⎫

2．二次型 f (x 1, x 2 )= (x 1 x 2 ) ⎪ ⎪ 的矩阵为

。

⎝ ⎭⎝ 2 ⎭

3. 设 A 是实对称矩阵，则当实数t , tE + A 是正定矩阵。

4. 正交变换在标准正交基下的矩阵为 。

5. 标准正交基下的度量矩阵为 。

6. 线性变换可对角化的充要条件为 。

7. 在 P 2⨯2 中定义线性变换

为：

(X )

= ⎛ a b ⎫ X ，写出

在基 E , E , E , E 下

⎪ ⎝ c d ⎭

的矩阵

。

11

12

21

22

8. 设V 1 、V 2 都是线性空间V 的子空间，且V 1 ⊆ V 2 ，若dim V 1 = dim V 2 ，则

。

9. 叙述维数公式

。

10．向量在基1,2 ,⋅⋅⋅,n （1）与基1,2 ,⋅⋅⋅,n （2）下的坐标分别为 x 、 y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为 A ，则 x 与 y 的关系为

。

二、判断题 （共 10 题，每题 1 分，共 10 分）

1. 线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ）

2. 设

为n 维线性空间V 上的线性变换，则V +

-1

(0)= V 。

（ ）

3. 平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实

数域上的线性空间。（ ）

4. 设V 1 与V 2 分别是齐次线性方程组 x 1 + x 2 + ⋅⋅⋅ + x n = 0 与 x 1 = x 2 = ⋅⋅⋅ = x n 的解空间，则

V 1 ⊕V 2 = P n

（

）

n

⎛ n ⎫2

5. n x - i ⎪ 为正定二次型。（ ）

i =1 ⎝ i =1 ⎭

6. 数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ）

7. 把复数域C 看作复数域上的线性空间， ∀∈ C ，令= ，则是线性变换。（

）

8. 若

是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。（

）

9. 欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ）

10. 若

为P [x ] ( n > 1 )中的微分变换，则不可对角化。（ ）

三、计算题 （共 3 题，每题 10 分，共 30 分）

2

⎪ ⎝ ⎭

⎪ ⎪ 1

1.

设线性变换在基, , 下的矩阵为 A = 1 2 3

并判断是否可对角化？

2. t 取什么值时，下列二次型是正定的？

⎛ 1 2 2 ⎫ 1 2 ⎪ 2 2 1 ⎪ ，求的特征值与特征向量， f (x , x , x )= x 2 + x 2 + 5x 2 + 2tx x - 2x x + 4x x

1

2

3

1

2

3

1 2

1 3

2 3

3.

设三维线性空间V 上的线性变换在基, , 下的矩阵为： A =

⎛ a 11 a 12 a 13 ⎫

a a a ,求

1 2 3 2a 1 2a 2 2a 3 ⎪ ⎝ 31 32 33 ⎭

在基1, k 2 (k ∈ P ,且k ≠ 0)，3 下的矩阵 B 。

四、证明题 （共 4 题，每题 10 分，共 40 分）

1. 证明：

⎛1 ⎫ ⎛i 1 ⎫

A = ⎪ 2

⎪ 与B = i 2

⎪

相似，其中i , i ,⋅⋅⋅, i 是1, 2,⋅⋅⋅, n 的一

⎪

⎪ ⎪ ⎪ 1 2

n

⎝

n ⎭ ⎝

个排列。

in

⎭ s

i -1

2. 证明：和

∑V i 是直和的充要条件为：V i ∑V j = {0}(i = 2, 3,⋅⋅⋅, s )。

i =1

j =1

3. 设 A 是 n 级实对称矩阵，且 A 2 = A ，证明：存在正交矩阵T ，使得：

⎛ 1

⎫ ⎪ ⎪ T -1AT = 1

⎪ ⎪ 0 ⎪

⎪ ⎝

4. 证明： A =

⎛1

⎫

2

⎪ 0 ⎪ ⎭

与 B =

⎛i 1

i 2

⎫ ⎪

⎪ 合同，

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎝

n ⎭

⎝

其中i 1 , i 2 ,⋅⋅⋅, i n 是1, 2,⋅⋅⋅, n 的一个排列。

in ⎭

答案

9 6 ⎪ 1 ⎢ ⎥ ⎩ 1 2 2

⎝ ⎭ ⎛ 3 9 ⎫ 一．1．零 2． ⎪

⎝ ⎭ 3.充分大 4.正交矩阵

5. E

6.有 n 个线性无关的

特征向量

⎛ a 0 b 0 ⎫

0 a 0 b 7.

⎪

8.

V = V

9.

c 0

d 0 ⎪ 1

2

0 c 0 d

⎝

⎭

dim (V 1 + V 2 )= dim V 1 + dim V 2 - dim (V 1 V 2 )

10. X = AY 二．1. ⨯ 2. ⨯

3. ⨯

4.√

5. ⨯

6. ⨯

7. ⨯

8. √ 9. ⨯

10. √

三．1.解： f A (

)= E - A = -1

-2

-2 - 2 -1 -2

-2 - 2 -1

= (- 5)(+1)2

（3 分）

所以，的特征值为1 = -1（二重）和2 = 5 。把1 = -1代入方程组

( E - A )X = 0 得： ⎧⎪-2x 1 - 2x 2 - 2x 2 = 0 ⎡ 1 ⎤ -2x - 2x - 2x = 0 基础解系为 n = ⎢ 0 ⎥

n = ⎢⎡ 0⎥⎤

⎨ 1 2 2 1

⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥

⎪-2x - 2x - 2x = 0 ⎣-1⎦

⎣-1⎦

因此，

属于-1得两个线性无关得特征向量为：

1 = 1 -2

,2 = 2 -3

因而属于-1的全部特征向量就是 k 11 + k 22

， k 1 、 k 2 取遍 P 中不全为零的全部数对

⎡1⎤ （6 分），再用2 = 5 代入(E - A )X = 0 得：基础解系 n 3 = ⎢1⎥ ，因此，属于 5 的全部特 ⎢⎣1⎥⎦

征向量是 k 3 ， k 是 P 中任意不等于零的数。

（9 分） 因为

有三个线性无关的特征向量，所以

可能对角化。

（10 分）

⎛ 1 t -1⎫⎪ 2.解： f 的矩阵为： A = t 1 2

⎪ -1 2 5 ⎪ 1 t 2 2

4 1 > 0 ，

t = 1- t 1

> 0 ， A = -5t - 4t > 0 。得： - < t < 0 5