间隙特性的描述函数共111页

自动控制原理__(13)

x0 e t , 其中x0 x(0) t 1 x0 x 0 e
江南大学物联网工程学院——自动控制原理
（2）会产生自激振荡非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本身特性决定。说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系统等效增益减小，因此可用来改善系统的稳定性，但会降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性起信号限幅作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时，才有信号输出。常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的影响往往也可用死区来表示。影响：控制系统中死区特性的存在，将导致系统稳态误差增大，而测量元件死区的影响尤为显著。摩擦死区会造成系统低速运动的不均匀，导致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。（1）相平面法相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。

描述函数法

系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时，其输出出现切顶，变成与输入同频率的周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加，其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙等非线性现象。所谓线性系统只是在一定的工作范围内，非线性的影响很小，以致可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统，可采用第二章所述的线性化方程解决非线性问题；但也有一定数量的非线性问题不能这样处理，只能采用其他的方法。

非线性系统的分析 (3)

第七章非线性系统的分析
2、饱和特性
输出
k x( t ) y( t ) ka sgn x( t )
输入
x( t ) a x( t ) a
特征：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。
放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。饱和特性对系统性能的影响：使系统在大信号作用下开环增益下降，因而降低了稳态精度。
继电器特性对系统性能的影响
带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果
第七章非线性系统的分析
三、非线性系统的特点
１、系统的稳定性
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始状态有关。２、系统的自持振荡非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
第七章非线性系统的分析
7-2 相平面分析法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来的，它是一种求解一、二阶微分方程的图解法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统运动规律的全部信息。由于它能比较直观、准确、全面地表征系统的运动状态，因而获得广泛应用。
第七章非线性系统的分析
用x1、x2描述二阶系统常微分方程方程的解，也就是用质点的状态来表示该质点的运动。在物理学中，状态又称为相。
把由x1—x2所组成的平面坐标系称为相平面，系统的一个状态则对应于相平面上的一个点。
当t变化时，系统状态在相平面上移动的轨迹称为相轨迹。
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图叫做相平面图。利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。

描述函数

非线性特性的描述函数的共同点
1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数：
2）非线性的描述函数可叠加、即
y y1 y2
设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）
N(A) N1(A) N2 (A)
N1 N2
N1( A) N 2 ( A)
非线性系统与线性系统的差异
b点为稳定自振交点。
a点:不稳定自振交点 b点:稳定自振交点 c点:不稳定自振交点
典型非线性系统的稳定性
具有饱和特性的非线性系统具有死区特性的非线性系统具有间隙特性的非线性系统具有理想继电器特性的非线性系统具有滞环继电器特性的非线性系统
具有饱和特性的非线性系统
1

N ( A) 2k[sin 1 a a 1 ( a )2
ImG( j) 0
2
ReG( j) |

2
3K
4 52 4 |
2
1 N ( A)
Re G( j) |
0.5
2
K=3
非线性系统的校正
C(s) G(s)N(A) R(s) 1 G(s)N(A)
！改变G(j ) ！改变N(A)
① K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l，试分析系统稳定性； ②如果系统出现自持振荡，如何消除之？
b Ab
具有理想继电器特性的非线性系统
1 A N(A) 4M
负倒描述函数轨迹为整个负实轴
1）如只有一个交点必为稳定的自振交点
2）如有数个交点必有稳定的自振交点
具有滞环继电器特性的非线性系统
1 A (180 0 sin1 h )
N ( A) 4M

描述函数法

描述函数法
9-2目录
1.描述函数的基本概念 2.典型非线性特性的描述函数 3.非线性系统的简化 4.非线性系统稳定性分析的描述函数法
2020/12/21
非线性环节的正弦响应(补充)
y(t)
ωt y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
2020/12/21
描述函数的定义()
∞
y(t)= A0+∑nx =(1(Atn)cosnA ωts+Bin sn intnωt) y A (0t ) Y Yn1 ssinni (tn t n )(1)
2020/12/21
G(jω)
1 N(A )
c
M2
2020/12/21
P不为0的例题 (补充)
交点M1M2将-1/N(A)分为三段将三段聚焦为a,b,c三点，
P=1 G(jω)逆时针包围b点一圈，
IImm
所以R=1,
z=P-R=1-1=0
G(jω)包围的区域为稳定区域
b
G(jω)
RRee 0
a h
正弦N若响(AA0应=0)仅，=有且一N当次n(>A谐1时)波，分eYj量∠n均！N很(A小) =，则Y可1近e似j认1 为非B1线性j环A节1 的 y 2( 02t 0/1) 2/21 A Y11c A o 12t Bs B 121s1i t aAn r ctY g1 ABs11 i ntA (1)
2
0
G(j)027o0
有自振存在 c 2 c 3c A11200
cc 0 cG (c j 30 )0.5
c 2 c 1c s 1
( s 1 ) 2 1
c c 0 N(1A) 1c c 0

自动控制原理第8章

y f ( x)
输入为
x X sin t ，输出为 y ( t ) f ( X sin t ) ，它是一个非正弦的
周期函数。展成富氏级数：
第8章非线性系统分析
y ( t ) A0 A0
(A
n 1

n
cos n t B n sin n t )
2．死区特性的描述函数死区特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形如图。
a
0
y
y
K
a
x
0
1
1 2
t
0
x
1
1
2
1
t
死区特性及输入、输出波形
第8章非线性系统分析
其输出表达式为
y (t )
0
0≤ t≤ 1
K ( X sin t a )
Y
n 1
n
sin( n t n )
An 1
其中：
A0
1 2

2
y (t ) d t
0

2
y ( t ) cos n td t
0
Bn
1

2
y ( t ) sin n td t
0
Yn
An B n
2
2
n arctan
An Bn
设非线性特性均为对称奇函数， A 0
0
x a
x≥a x ≤ a
控制系统中的测量元件、执行部件以及放大器都存在着不灵敏区。
y
K (xa) K (x a)
死区特性元件等效于一个变增益元件，在死区范围内，等效增益为零，大于死区后，等效增益随输入信号的增大在增大，但等效增益总是小于原来的 K 值。

非线性系统分析

其数学表达式为
NX
RX
Y1sin(t 1) Xsint
Y1 X
1
A12 B12 arctanA1
A1102y(t)costdt
X
B11
B1
2y(t)si ntdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
y1x1x3(11x2)x 2 4 24
N(X)10.75X2 24
7.3 非线性特性的描述函数法
❖ 了解典型非线性环节的特点； ❖ 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数
的计算方法； ❖ 掌握分析非线性系统的近似方法——描述
函数法，能够应用描述函数法分析非线性系统的稳定性。
7.1 非线性系统动态过程的特点
1. 非线性系统的定义及种类 2. 几种典型的非线性特性 3. 非线性系统的稳定性 4. 非线性系统的运动形式 5. 非线性系统的自振
n0 2n1
推论：①
②
③
方波函数可以看作无数个正弦分量的叠加。正弦分量中，有一个与输入信号频率相同的分量，称为基波分量；而其它分量的频率均为输入信号频率的奇数倍，统称为高次谐波。每个分量的振幅也各不相同，频率愈高的分量，振幅愈小。
7.3 非线性特性的描述函数法
（3）非线性系统的谐波线性化
3. 间隙 5 改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用
用振荡线性化改善系统性能非线性环节及其对系统结构的影响
1 非线性系统动态过程的特点
4. 摩擦（1）非线性系统的典型结构
3 非线性特性的描述函数法（2）描述函数法对非线性系统的假设
取
后，与
不再相交，自振消除。
5. 继电器（1）非线性的负倒描述函数

第八章描述函数法

h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
G1 ( s ) N ( A) 1 1 G1 ( s ) G1 ( s ) 0.5( s 1) G * ( s) 2 1 G1 ( s ) s 0.5s 0.5
§7.3.3
1
1 2 2 2 非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式 A0 y ( t ) d t Yn A n Bn 0 2 为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波 1 2 1 2 分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用 N(A) 表示： B y ( t ) sin n t d t An y ( t ) cos n t d t 1 1 n 1 1 0 0

KA 2b 2b b b [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] 2 A A A A K 2b 2b b b 4Kb b N ( A) [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] j ( 1) 2 A A A A A A
4 MKe j t 3 2 j ( 2 2 ) A
4 5
2 4
22 ( arctan ) 3
M 1 K 10 9.93 代入 A 4 比较模和相角得 1 t arctan 0.322 1 3

自动控制原理第七章

特点
常见于放大器中，在大信号作用下，放大倍数小，因而降低了稳态精度。
a
k
K
0
a
e
4
2、死区特性
0 e(t ) a
x
a
0
k
x
k e (t ) a k e (t ) a
e(t ) > a e (t ) < a
a
e
特点
常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系统产生稳态误差，且用提高增益的方法也无法消除。
0 A
a

1 N ( A)
（2）交点 b
外界干扰外界干扰
G ( j )
A↑ A↓
该交点产生自持振荡
24
总结
G ( j ) 1 N ( A)
A b
Im
Re
1 R e G ( j ) R e N ( A) 1 Im G ( j ) Im N ( A)
G ( j ) 1 N ( A)
1 N ( A) 1 2
Im
1 R e G ( j ) R e N ( A) 1 Im G ( j ) Im 0 N ( A)
Re
A 1
0
28
G ( j )
令
Im G ( j ) 0
0 .3 K 4 .5

50 rad / s
G(jw)与负实轴相交处的幅值
R e G ( j )
50
系统临界稳定
0 .3 K c 4 .5

1 2
K c 7 .5

自动控制理论第七章

x a( x ， x)x b( x ， x)x 0
相轨迹的斜率方程为
x)x b( x ， x)x 令 dx dx a( x ， dx x dx
2016/11/12
上式可改写成
a ( x ， x ) x b ( x ， x ) x x b ( x ， x ) x x a( x ， x)
0.5
0
2016/11/12
1
0.7 0.4
x ( x2 1)x x 0
2 0 1
x 0 2 5 6
3
x
3
0
5 2 0
2016/11/12
6
1 0 2
2016/11/12
j
s1
x
j
s1
x
0

0
x
0

0
x
s2
稳定焦点
s2
不稳定焦点
j
x
j
x
s2
s1
0
0
x
0
s1
s2
0
x
稳定节点
不稳定节点
2016/11/12
j
s1
x
0

0
x
s2
中心点
j
斜率 k s 2
x
s1
0 s2
0
x
斜率 k s 1
2016/11/12
鞍点
§7.3
x
解：原方程可写为：dx ( x x) ， dx ( x x)
dx
x
dx
得等倾线方程为：

描述函数法

描述函数的定义对于很多非线性环节当输入信号为正弦函数出量xt一般都不是同频率的正弦波而是一个非正弦的周期函数其周期与输入信号的周期相同一般可以展开为傅里叶级数480481a481b设非线性特性是关于原点对称的则at0xt的基波分量为482sinsincos483a483b484atg1484b类似于线性系统理论中的频率特性的概念把非线性环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之比定义为该非线性环节的描述函数记为naj3
(4.82)
式中
2
A1

1 π
x(t) cosω td (ω t)
0
2
B1

1 π
x(t) sin ω td (ω t)
0
X1 A12 B12
（4.83a）（4.83b） (4.84a)
1=tg-1A/B
(4.84b)
类似于线性系统理论中的频率特性的概念，把非线性
环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之
解因为是x(t)奇函数，所以A1=0。由式（4.83b）得

B1

1
2
x(t) sin ω td (ω t)

4
2 [ A sin ω t 2

A3 4
sin 3 ω t]sin ω td (ω t)
0
0

A 2 (2 sin 2 A2 sin 4 )d A 3 A3

其中， 1

sin 1 (
A
2a) A
，于是
0ωt
2
2
ωt

1
1 ωt
A1

2

x(t) cosω td (ω t)

第4.5 描述函数法

1 , e(t ) 0 sign(e(t )) 1 , e(t ) 0
（4.86b）
式中（4.86c）
(3) 饱和特性的描述函数
饱和特性在正弦输入下的输出波形如图4.21所示。
图4.21 饱和特性正弦输入下的输出波形

其中A1=0
4 B1 π
x(t ) sinω td(ω t )
e(t )
N
x(t ) G(s)
c(t )
图4.17 非线性系统
当输入正弦函数时，其输出x(t)中含有与输入信号频率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值分量。线性部分在x(t)作用下产生的响应c(t)中，也会包含这些高频分量。但很多线性系统具有低通滤波特性,c(t)中的高频分量相对于基波分量要小得多。在这种情况下，可以只考虑x(t)中基波分量的作用，用来近似分析非线性系统的特性，这就是描述函数法的基本思想。
1.描述函数的定义对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数 e(t ) A sinω t 时，输出量x(t)一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数 A0 (4.80) x(t ) ( Ai cos iω t Bi siniω t )
（4）死区特性的描述函数死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0

42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a ), α ω t 1 2

非线性系统课件

N (A )N (A )ej N (A )Y 1ej1B 1j1 A
A
A
非线性系统
2. 描述函数的求取步骤（1）取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘
制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。（2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达式，求相关系数A1、B1。（3）用式(7-8)计算描述函数。
必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加
控制误差，因此在通常情况下，不希望系统产生自振，必
须设法抑制它。
非线性系统
３.频率响应复杂
线性系统的频率响应，即正弦信号作用下系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号。而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关于ω的高次谐波分量。
形称为相平面图。
非线性系统
二、绘制相轨迹的方法
解析法
采用解析法绘制相轨迹通常有两种作法。一种方法是通过积分法，直接由微分方程求解x(t)和的解析关系式。
0
2 Msintdt
1
2M
(c
os 1
c
os2
)
＝2M
1- mh2 A
1-
h
2
A
非线性系统
3）死区滞环继电特性的描述函数为
N (A )＝ 2 M A1-m A2h1-A h2j2 M A2(m Ah -≥1h )（7-17）
取h=0可得理想继电特性的描述函数为
N(A)＝4M
取m=1可得死区继电特性的A描述函数为
足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡３.李亚普诺夫第二法

精品文档-自动控制原理(李素玲)-第8章

x c xc
x c
(8-5)
28
在输入信号|x|＜c时，该环节是放大倍数为k的比例环节，当|x|＞c时出现了饱和，随着|x|的不断增大，其等效放大倍数逐步降低，如图8-6所示。
因此，饱和的存在使系统在大信号作用下的等效增益下降，深度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。另外，饱和会使系统产生自振荡。但在控制系统中也可以人为地利用饱和特性作限幅，限制某些物理量，保证系统安全合理的工作，如调速系统中利用转速调节器的输出限幅值限制电机的最大电枢电流，以保护电动机不致因电枢电流过大而烧坏。
16
非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这些现象无法用线性系统理论来解释，因而有必要研究它们，以便抑制或消除非线性因素的不利影响。在某些情况下，还可以人为地加入某些非线性环节，使系统获得较线性系统更为优异的性能。
17
8.1.2 非线性系统的分析与设计方法系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以
26 图8-4 包含多个死区的非线性系统
27
8.2.2 饱和特性饱和特性也是控制系统中常见的一种非线性，几乎所有
的放大器都存在饱和现象。由于采用了铁磁材料，在电机、变压器中存在磁饱和。系统中加入的各种限幅装置也属饱和非线性。
典型的饱和特性如图8-5所示，其数学表达式为
kx, y kc,
kc,
29 图8-5 饱和非线性特性
30 图8-6 饱和非线性特性的等效增益
31
8.2.3 间隙(回环)特性在各种传动机构中，由于加工精度及运动部件的动作需
要，总会存在一些间隙。如图87所示的齿轮传动系统，为了保证转动灵活，不至于卡死，必须留有少量的间隙。
由于间隙的存在，当主动轮的转向改变时，从动轮开始保持原有的位置，直到主动轮转过了2c的间隙，在相反方向与从动轮啮合后，从动轮才开始转动。典型的间隙非线性特性如图8-8所示。