微专题2 立体几何与空间向量

2
＝ 7
77，
则 sin θ＝ 1－cos2 θ＝ 742，故二面角 B-PC-D 的正弦值为
742.
微专题2 立体几何与空间向量
对点训练
大题考法 4 利用空间向量解决探索性问题 如图，四棱锥 E-ABCD 的侧棱 DE
与四棱锥 F-ABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD 垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝3， AD＝CD＝4，AE＝5，AF＝3 2.
取 x＝1，得到 n＝(1，1，2)，A→B＝(2，0，0)，设直
线 AB 与平面 B1CD1 所成角为 θ，
故
sin
θ＝|cos〈n，A→B〉|＝|n|n|··|A→A→BB||＝2
2
＝ 6
6 6.
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对点训练
1．异面直线所成的角 θ，可以通过两直线的方向向 量的夹角 φ 求得，即 cos θ＝|cos φ|.
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对点训练
(1)证明：取 PD 的中点 N，连接 CN， MN，因为 M 为 PA 的中点，则 MN∥AD， 且 MN＝12AD，又 BC∥AD，且 BC＝12AD， 所以 MN∥BC，MN＝BC，
所以四边形 BMNC 为平行四边形，所以 BM∥CN， CN⊂平面 PCD，BM⊄平面 PCD，所以 BM∥平面 PCD.
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对点训练
在平行四边形 BCC1B1 中，因为 E 是 BC 的中点，所 以 EC∥B1C1，且 EC＝12B1C1.
所以 EC∥FG，且 EC＝FG. 所以四边形 FECG 是平行四边形．所以 FE∥GC. 又因为 FE⊄平面 A1C1CA，GC⊂平面 A1C1CA，所以 EF∥平面 A1C1CA.
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对点训练
证明：(1)因为 BC1⊥C1C，又平面 A1C1CA⊥平面 BCC1B1，
且平面 A1C1CA∩平面 BCC1B1＝C1C，所以 BC1⊥平 面 ACC1A1.
又因为 A1C⊂平面 A1C1CA，所以 BC1⊥A1C.
(2)取 A1C1 中点 G，连接 FG，GC. 在△A1B1C1 中，因为 F，G 分别是 A1B1，A1C1 中点，所以 FG∥B1C1，且 FG＝12B1C1.
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对点训练
垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用 方法如下：
1．证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即 证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进 行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行； 四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
2．直线与平面所成的角 θ 主要通过直线的方向向量 与平面的法向量的夹角 φ 求得，即 sin θ＝|cos φ|，有时也 可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两方向向量的夹角(或其补角)．
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对点训练
(2020·威海模拟)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD， AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.过点 A 做四棱锥 PABCD 的截面 AEFG，分别交 PD，PC，PB 于点 E，F，G，已知 PG∶PB＝2∶3，E 为 PD 的中点．
对点训练
所以 AG∥EF，所以 EF∥HD，因为 E 为 PD 中点，所
以 F 为 PH 中点，所以 PF＝13PC，所以 F23，23，43，A→F＝
23，23，43，设平面 PAB 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，则
z21x＝1－0，y1＝0，令
x1＝1， x1＝1，解得y1＝2，所以
z1＝0，
故 AC⊥平面 ABEF，故 AF⊥AC，又 AF⊥AB，所 以 AF⊥平面 ABCD，
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对点训练
以 A 为原点，AC，AB，AF 分别为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系，
A(0，0，0)，C(4，0，0)，B(0，2，0)，D(4，－2， 0)，F(0，0，2)，M(2，－1，1)，
则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2， 0，2)，C(2，4，0)，D1(0，2，2)．
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对点训练
B→1C＝(0，4，－2)，B→1D1＝(－2，2，0)．
设平面 B1CD1 的法向量 n＝(x，y，z)，则nn··BB→→11CD＝1＝00，，
即4－y－2x2＋z＝2y0＝，0，
故二面角 M-AC-F 的大小为 45°.
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对点训练
1．二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱 垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角 的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹 角或其补角．
2．求二面角的余弦值时，必须判定所求二面角的平 面角是锐角或钝角，以确定二面角余弦值的正负；求二 面角的正弦值，则其一定为正值，可用两个法向量夹角 的余弦值及同角三角函数的基本关系求解．
n1＝(1，2，0)是
平面 PAB 的一个法向量，cos〈A→F，n1〉＝ 1300，所以 AF 与
平面
PAB
所成角的正弦值为
30 10 .
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对点训练
大题考法 3 求二面角 (2020·北 京 市 平 谷 区 模 拟 ) 如 图，在三棱柱 ADF-BCE 中，平面 ABCD ⊥平面 ABEF，侧面 ABCD 为平行四边 形，侧面 ABEF 为正方形，AC⊥AB，AC＝2AB＝4，M 为 FD 的中点． (1)求证：FB∥平面 ACM； (2)求二面角 M-AC-F 的大小．
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对点训练
由nn··PP→ →CB＝ ＝00， ，得zy－＝0，3x＝0，令 x＝1，得平面 PBC 的一个 法向量为 n＝(1，0， 3)，
同理可得平面 PCD 的一个法向量为 m＝(1，－ 3，－ 3)
设二面角
BPCD
的平面角为
θ，则|cos
θ|＝||mm|·|nn||＝2
设平面 ACM 的法向量为 m＝(x，y，z)，A→C＝(4，0， 0)，A→M＝(2，－1，1)，
m·A→C＝4x＝0， 由m·A→M＝2x－y＋z＝0，得 m＝(0，1，1)，平面 ACF
微专题2 立体几何与空间向量
对点训练
的法向量为A→B＝(0，2，0)，由
cos〈A→B，m〉＝
1＝ 2
22，
对点训练
(2)①证明：AA1⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD， 故 AA1⊥AB.
AB＝AD＝2，BD＝2 2，故 AB2＋AD2＝BD2，故 AB ⊥AD.
又 AD∩AA1＝A，故 AB⊥平面 ADD1A1.
②解：如图所示：分别以 AB，AD， AA1 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
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对点训练
(2020·济宁模拟)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，BC∥AD， ∠BAD＝90°，AD＝PD＝2AB＝2BC＝2， M 为 PA 的中点．
(1)求证：BM∥平面 PCD； (2)若平面 ABCD⊥平面 PAD，异面直线 BC 与 PD 所 成角为 60°，且△PAD 是钝角三角形，求二面角 B-PC-D 的正弦值．
C. 10
D.3
(2)(2020·北京市西城区模拟)如图，
在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1⊥平 面 ABCD，底面 ABCD 满足 AD∥BC，
且 AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2 2.
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对点训练
①求证：AB⊥平面 ADD1A1；
②求直线 AB 与平面 B1CD1 所成角的正弦值． (1)解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
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对点训练
大题考法 2 求异面直线所成的角与线面角
(1)(2020·哈尔滨师大附中模拟)如图，
四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，ED⊥平面
ABCD，FC⊥平面 ABCD，ED＝2FC＝2，则异
面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为( )
1
5
3 10
2
A.3
B. 5
由题意可得 A(2，0，0)，E(0，0，2)，B(2，2，
0)，F(0，2，1)，所以A→E＝(－2，0，2)，B→F＝
(－2，0，1)，所以
cos〈A→E，B→F〉＝
→→ AE·BF →→
＝3
|AE|·|BF|
10 10 .
所以异面直线
AE
与
BF
所成角的余弦值为3
10 10 .
答案：C
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(1)证明：DF∥平面 BCE； (2)在棱 AF 上是否存在点 M，使平面 ABF 与平面 CDM 所成角的正弦值为45？如果存在，指出 M 点的位置； 如果不存在，请说明理由．
2．证明线线垂直常用的方法：(1)利用等腰三角形底边 中线即高线的性质；(2)勾股定理；(3)线面垂直的性质，即 要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在 的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.
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对点训练
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PC⊥BC，点 E 是 PC 的 中点，且平面 PBC⊥平面 ABCD.求证：
(1)PA∥平面 BDE； (2)平面 PAC⊥平面 BDE. 证明：(1)设 AC∩BD＝O，连接 OE， 因为底面 ABCD 是菱形，故 O 为 BD 中点，又因为 点 E 是 PC 的中点， 所以 AP//OE，又因为 OE⊂平面 BDE，AP⊄平面 BDE， 所以 AP//平面 BDE.
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(1)求证：AG∥平面 PCD； (2)求 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值． (1)证明：在 PC 上取点 H，且满足 PH∶PC＝2∶3， 连接 GH，HD，则 GH∥BC，且 GH＝23BC＝2，因为 AD ∥BC，所以 AD∥GH，且 AD＝GH，
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对点训练
所以 ADHG 是平行四边形，所以 AG∥HD，又因为 HD⊂平面 PCD，AG⊄平面 PCD，所以 AG∥平面 PCD.
(2)解：过点 A 作与 DC 平行的射线 l， 易证两两垂直，
所以以 l 为 x 轴，以 AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz，如图，
则有 P(0，0，2)，C(2，2，0)，B2，－1，0. 因为 AG∥平面 PCD，且平面 AGFE∩平面 PCD＝ EF，
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(2)因为平面 PBC⊥平面 ABCD，PC⊥BC， 平面 PBC∩平面 ABCD＝BC，PC⊂平面 PBC，所以 PC⊥平面 ABCD， 又 BD⊂平面 ABCD，所以 PC⊥BD，因为 ABCD 是 菱形，所以 AC⊥BD， 又 PC⊥BD，AC∩PC＝C，AC⊂平面 PAC，PC⊂平 面 PAC，所以 BD⊥平面 PAC， 又 BD⊂平面 BDE，所以平面 PAC⊥平面 BDE.
(2)解：由题意可知 BC∥AD，所以 ∠ADP 或其补角为异面直线 BC 与 PD 所成角，
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对点训练
又 AD＝PD，△PAD 为钝角三角形，所以∠ADP＝120°， 又平面 ABCD⊥平面 PAD，平面 ABCD∩平面 PAD＝ AD，AB⊥AD， 所以 AB⊥平面 PAD，以 A 为坐标原点，AD，AB 所在 直线为 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，0)，B(0，0，1)，D(0，2，0)，C(0，1，1)， P( 3，3，0)， P→C＝(－ 3，－2，1)，P→B＝(－ 3，－3，1).设平面 PBC 的法向量为 n＝(x，y，z)，
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(1)证明：如下图连接 BD，交 AC 与 O，连接 MO， 在△DFB 中，MO∥FB，
又 FB⊄平面 ACM，MO⊂平面 ACM，所以 FB∥平 面 ACM.
(2)解：由平面 ABCD⊥平面 ABEF，AC⊥AB，AB 为平面 ABCD 与平面 ABEF 的交线，
专题三 立体几何
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大题考法 1 平行与垂Hale Waihona Puke Baidu关系的证明 (2020·江西省名师联盟调研) 如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 的 侧 面 BCC1B1 是平行四边形，BC1⊥C1C，平 面 A1C1CA⊥平面 BCC1B1，且 E，F 分别是 BC，A1B1 的 中点． (1)求证：BC1⊥A1C； (2)求证：EF∥平面 A1C1CA.