贵州省凯里一中2019-2020高三3月模拟(入学诊断)数学(理科)试题

贵州省凯里一中2019-2020高三3月模拟（入学诊断）数学
（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若全集U =R ，{}40log 1A x x =<<，则
U A =（ ） A ．{}1x x ≤ B ．{1x x ≤或}4x ≥ C ．{}4x x ≥ D ．{
0x x ≤或}4x ≥
2．设复数()4z a i a R =+∈，且()2i z -为纯虚数，则a = （ ）
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．-2 3．蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率P （每分钟鸣叫的次数）与气温T （单位：℃）有着很大的关系.某观测人员根据下列表格中的观测数据计算出P 关于T 的线性回归方程5160P T =-，那么下表中k 的值为（ ）
A ．50
B ．51
C ．51.5
D ．52.5 4．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）
A ．1-
B ．12
C ．1
D ．2
5．若双曲线22
21(0)9
y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．18
D ．36 6．已知3cos 45πθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，02
πθ<<，则sin θ=（ ）
A ．10
B ．2
C
D 7．若函数()()sin cos 0f x x x ωωω=->的图象关于点()2,0对称，则ω的最小值是（ ）
A ．8π
B ．4π
C ．38π
D ．58
π 8．函数()ln x f x x
=的大致图象为（ ）
A．
B．
C ．
D ．
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为（ ）
A ．140立方尺
B ．280立方尺
C ．2803立方尺
D ．1403
立方尺 10．已知实数,x y 满足不等式组20,40,250,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
若当且仅当1x =，3y =时，y ax -取
得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1
, B ．[)1,+∞ C ．()1,1- D ．0,1
11．已知,,a b c 均为正实数，若122log a a -=，122log b b -=，21log 2c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则（ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c <<
D ．b a c << 12．已知F 是椭圆C ：22
195
x y +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，则||||PA PF +的最小值为（ ）
A ．103
B ．113
C ．4
D ．133
二、填空题
13．已知向量()3,2m =-，()1,n λ=，若m n ⊥，则n =______.
14．已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到,A B 两个班级，若甲必须在A 班，且每班至少有这五名中的2人，则不同的分配方案有______种.
15．已知正三棱锥的底面边长为为__________．
16．已知在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C
++的最小值为__________．
三、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-,数列{}n b 满足31og 2n n a b =-
. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
18．2021年初，某高级中学教务处为了解该高级中学学生的作文水平，从该高级中学学生某次考试成绩中按文科、理科用分层抽样方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩频率分布直方图如图所示，::1:2:4a b c =，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，成绩（单位：分）分布在[]0,60的范围内且将成绩（单位：分）分为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60六个部分，规定成绩分数在50分以及50分以上的作文被评为“优秀作文”，成绩分数在50分以下的作文被评为“非优秀作文”.
（1）求实数,,a b c 的值；
（2）（i ）完成下面22⨯列联表；
（ii ）以样本数据研究学生的作文水平，能否在犯错误的概率不超过0.010的情况下认为获得“优秀作文”与学生的“文理科“有关？ 注：()()()()()
22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为AB 的中点，F 为1D C 的中点.
（1）证明：//EF 平面11ADD A ；
（2）若2AE =，求二面角D EF C --的余弦值.
20．设O 是坐标原点,F 是抛物线()2
20x py p =>的焦点,C 是该抛物线上的任意一点，当它与y 轴正方向的夹角为60°时,21OC =
.
(1)求抛物线的方程; (2)已知()0,A p ,设B 是该抛物线上的任意一点,,M N 是x 轴上的两个动点,且=2MN p ，BM BN =当+AM
AN
AN AM 取得最大值时,求BMN △的面积.
21．已知函数()()()ln 1+ln 1f x x x =--.
（Ⅰ）讨论函数()()()0F x f x ax a =+≠的单调性；
（Ⅱ）若()3
(3)f x k x x >-对()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为,3x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222
3sin 12ρρθ+=.
（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若1,0P ，直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求PM PN +的值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()|||1|f x x a x =---.
（1）当2a =时，求不等式0()1f x <≤的解集；
（2）若(0,)x ∀∈+∞，2()3f x a ≤-
，求a 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】 计算得到{}{}
40log 114A x x x x =<<=<<，再计算补集得到答案.
【详解】 {}{}40log 114A x x x x =<<=<<，U =R ，∴
{ 1U A x x =≤或}4x ≥.
故选：B.
【点睛】
本题考查了补集的计算，属于简单题.
2．D
【解析】 ()()()()2i 4i 2i 8i 4248i a a a a a -+=-++=++-为纯虚数，240a ∴+=，解得2a =-，故选D.
3．B
【分析】
计算40T =，1094k P +=
，代入回归方程计算得到答案. 【详解】
计算()138414239404T =⨯+++=，()110929443644
k P k +=⨯+++=， 代入P 与T 的线性回归方程5160P T =-中，得
1095401604k +=⨯-，解得51k =. 故选：B.
【点睛】
本题考查了根据回归方程求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．D
【分析】
根据程序框图依次计算，找出规律：S 的值成周期为3的间隔存在，得到答案.
【详解】
由程序框图可得第一次：2S =，1k =，
第二次，1S =-，3k =，不满足退出循环的条件； 第三次，12
S =，5k =，不满足退出循环的条件； 第四次，2S =，7k =，不满足退出循环的条件；
第五次，1S =-，9k =，不满足退出循环的条件； 第六次，12S =
，11k =，不满足退出循环的条件； …
观察可知S 的值成周期为3的间隔存在， 第201610082=次，12
S =，2015k =，满足退出循环的条件； 第1009次，2S =，2017k =，满足退出循环的条件；
故输出S 值为2，
故选：D.
【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，找出周期规律是解题的关键. 5．C
【解析】
分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程3
a y x =-
，利用题设垂直，求得9a =，即可得到双曲线的实轴长． 详解：由双曲线的方程22
219
y x a -=，可得一条渐近线的方程为3a y x =-， 所以1133
a -⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选C ． 点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．
6．A
【分析】 计算4sin 45πθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，再根据sin sin 44ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦计算得到答案. 【详解】
因为3cos 45πθ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，02πθ<<，所以4sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，
所以43sin sin 4425510
ππθθ⎡⎤
⎛⎫⎫=+-=-= ⎪⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，变换sin sin 44ππθθ⎡⎤
⎛
⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 7．A 【分析】
化简得到()4f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，根据对称中心得到28k ππω=+，k Z ∈，解得答案.
【详解】
函数()sin cos 4f x x x x πωωω⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，其图象关于点()2,0对称，
则24
k π
ωπ-
=，k Z ∈；解得28
k ππ
ω=
+，k Z ∈， 又0>ω，所以0k =时，ω取得最小值是8
π. 故选：A. 【点睛】
本题考查了根据三角函数的中心对称求参数，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用. 8．D 【分析】 当01x <<时，ln 0x x <，当1x >时，ln 0x
x
>，故排除ABC ，得到答案. 【详解】 当01x <<时，
ln 0x x <，当1x >时，ln 0x x
>，故排除ABC.
故选：D. 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，取特殊值排除选项可以快速得到答案，是解题的关键. 9．C 【分析】
直接利用体积公式计算得到答案. 【详解】
由题意可得：这个四棱锥的体积1280
75833
=⨯⨯⨯=立方尺， 故选：C. 【点睛】
本题考查了四棱锥的体积计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 10．A 【分析】
画出可行域和目标函数，根据图像得到答案. 【详解】
由题意作出其平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，
z 相当于直线y ax z =+的纵截距， 则由图可知，当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，
即目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是()1,3B ，则1a >， 故选：A .
【点睛】
本题考查了根据线性规划最值点求参数范围，画出图像是解题的关键. 11．C 【分析】 画出函数2x
y =，12
log x
y =，12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，2log y x =的图像，根据图像得到答案. 【详解】
122log a
a =，12
1log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2
1log 2c
c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
利用函数2x
y =，
12
log x
y =，12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，2log y x =，
如图所示：由图象可得：a b c <<， 故选：
C.
【点睛】
本题考查了比较方程的解的大小关系，画出函数图像是解题的关键. 12．D 【解析】
分析：根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三边，转化为6PA PF PA PF +=+-'
6AF ≥-'，即可求解其最小值．
详解：设椭圆:C 22
195
x y +=的右焦点为(2,0),(2,0)F F -'，
由4
(1,)3A ，则53
AF '=， 根据椭圆的定义可得
26PF PF a '+==，
所以51366633
PA PF PA PF AF +=+-≥=-
='-' 点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
13．
2
【分析】
根据m n ⊥得到320m n λ⋅=-=，得到31,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，计算模长得到答案. 【详解】
根据题意，向量()3,2m =-，()1,n λ=，m n ⊥，则320m n λ⋅=-=，解得32
λ=
，
则31,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则912
n =+
=
故答案为：2
. 【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力. 14．10 【分析】
将5人分为人数为2、3两组，有2
510C =种分法，将甲所在的组安排到A 班，剩下的1组
安排到B 班，有1种情况，得到答案. 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为人数为2、3的两组，有2
510C =种分法，
②将甲所在的组安排到A 班，剩下的1组安排到B 班，有1种情况， 则有10110⨯=种不同的安排方法. 故答案为：10. 【点睛】
本题了分步乘法原理，意在考查学生的应用能力.
15．
92
-. 【分析】
作出对应的图像,设圆心,再利用内切圆的性质,根据直角三角形中的长度关系即可内切圆的半径.进而求得表面积. 【详解】
如图,E 是底面ABC 的重心,则内切球球心O 在PE 上,OE 与O 到PN 的距离OF 都是内切球的半径.
其中PN =
=,1
6013
EN sin =︒⨯
=,所以
4PE =
=.设内切圆的半径为r .由
PFO
PEN ,得
FO PO
EN PN
=.即
1r =,解得14r -=.所以内切球的表面积为2
244S r ππ==⨯=⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查了内切圆的性质与计算,需要根据立体几何中的相似与比例关系列式求解.属于中等题型.
16 【分析】
先用正弦定理边化角，得2tan tan B C =，再结合诱导公式和内角和代换tan A ，进而求得最值 【详解】
由正弦定理2cos cos b C c B =可转化为2sin cos sin cos B C C B =，两边同时除以
cos cos B C 可得2tan tan B C =，
()()()tan tan tan A B C πA πB C A πB C B C ⎡⎤++=⇒=-+⇒=-+=-+⎣⎦，
即()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 12tan B C B
A B C B C B
+=-+=-
=---
则21112tan 11127=tan tan tan tan 3tan tan 2tan 36tan B B A B C B B B B -++++=+≥
当且仅当tan 2
B =
时取到等号；
故答案为3
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题
17．(1)22n a n =-，113n n b -=.(2)1
321
223n n n T -+=-⨯. 【解析】
分析：(1)分类讨论1n =和2n ≥两种情况可得数列{}n a 的通项公式为22n a n =-.则
1
1
3n n b -=
. （2）结合(1)中的结论错位相减可得数列{}n n a b 的前n 项和1
321
223
n n n T -+=
-⨯. 详解：(1)在2
n S n n =-中,令1n =,得10a =，
当2n ≥时, ()()2
111n S n n -=---,所以1n n n a S S -=-= ()222n n -≥.
由于10a =满足22n a n =-,所以22n a n =-. 因为()311n og b n =--,所以113
n n b -=. （2）由（1）知1223n n n n a b --=
，所以012
024
333n
T =++ 1
22
3n n --++
，① 则1230243333n T =++ 22
3n
n -++
.② ①-②得01220223333n T =+++ 1222
33
n n
n --+- 121122331313
n n
n -⎛⎫- ⎪
-⎝⎭=-- 1122133n n n --=-- 2113n n +=-，
所以1
321
223n n n T -+=
-
⨯. 点睛：数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
18．（1）0.005a =，0.01b =，0.02c =（2）（i ）填表见解析（ii ）在犯错误的概率不超过0.010的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关 【分析】
（1）根据频率直方图得到()100.35a b c ⨯++=，::1:2:4a b c =，解得答案. （2）（i ）计算400人中文科生的数量为80，理科生的数量为320，完善列联表得到答案. （2）（ii ）计算2 1.32 6.635K ≈<，对比临界值表得到答案. 【详解】
（1）由频率分布直方图可知，()()101100.0180.0220.0250.35a b c ⨯++=-⨯++=， 因为::1:2:4a b c =，所以240.035a b c a a a ++=++=， 解得0.005a =，所以20.01b a ==，40.02c a ==. 即0.005a =，0.01b =，0.02c =.
（2）（i ）获奖的人数为0.0051040020⨯⨯=人， 因为参考的文科生与理科生人数之比为1:4， 所以400人中文科生的数量为1
400805
⨯
=，理科生的数量为40080320-=. 由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20614-=人， 不获奖的文科生有80674-=人，不获奖的理科生有32014306-=. 于是可以得到22⨯列联表如下：
（ii ）计算()2
240063061474 1.32 6.6352038080320
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯； 所以在犯错误的概率不超过0.010的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关. 【点睛】
本题考查了频率直方图，列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．（1）证明见解析（2）1
9
【分析】
（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
()4,0,2EF =-，平面11ADD A 的法向量()10,1,0n =，10EF n ⋅=，得到证明.
（2）计算平面DEF 的法向量()1,2,2n =-，平面CEF 的法向量()1,2,2m =，计算夹角得到答案. 【详解】
（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设4AB =，则()4,2,0E ，()0,2,2F ，
()4,0,2EF =-，平面11ADD A 的法向量()10,1,0n =，
∵10EF n ⋅=，EF ⊄平面11ADD A ，∴//EF 平面11ADD A . （2）2AE =，()0,0,0D ，()4,2,0E ，()0,2,2F ，()0,4,0C ，
()4,2,0DE =，()0,2,2DF =，()4,2,0CE =-，()0,2,2CF =-，
设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，
则420220n DE x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩
，取1x =，得()1,2,2n =-，
设平面CEF 的法向量(),,m a b c =，
则420220m CE a b m CF b c ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩
，取得1a =，得()1,2,2m =，
设二面角D EF C --的平面角为θ， 则二面角D EF C --的余弦值为11
cos 339
m n m n
θ⋅=
=
=⨯⋅. 、
【点睛】
本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．(1) 24x y =.(2)4. 【分析】
（1）设()00,C x y ，由抛物线的定义得02
p
FC y =+
，当FC 与y 轴正方向的夹角60°
时，032
p y =
可得
，由202
OC x p ====从而可得结果；(2)设()11,B x y ，则(
)()112,0,2,0M
x N x -+，所以AM AN =
=
，则
2
2
2·AM AN AM AN AN
AM
AM AN
++
=
=利用基本不等式、结合三角形面积
公式可得结果. 【详解】
（1）设()00,C x y ，则由抛物线的定义得02
p FC y =+
.
当FC 与y 轴正方向的夹角60°时，00222p p y y ⎛⎫-
=+ ⎪⎝⎭，即032
p y =.
又202
OC x p =
==
=所以2p =，抛物线的方程为2
4x y =
（2）因为BM BN =所以点B 在线段MN 的中垂线上， 设()11,B x y ，则()
()112,0,2,0
M x N x -+ 所以AM =
=
2
2
2
22·y AM AN AM AN AN
AM
AM AN
+++
=
=
==
所以
22AM AN AN
AM
+
=≤=当且仅当12y =时等号成立，此时1x =±所以11
·42
AMN S MN y ∆=
=. 点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定
义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 21．（1）()F x
在(
上单调递减，在(1,-，上单调递增；（2）k 的取值范围为2
[,)3
-+∞. 【解析】
试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意
()11'11F x a x x =+++- ()22
2
111ax a x x -++=-<<-，根据a 的不同取值逐一讨论导函数
符号即可（2）若()()
3
3f x k x x >-对()0,1x ∈恒成立，显然需要转化为最值问题，设
()()()
3
3g x f x k x x =--，则()()
2
2
2
231'1k x g x x
+-=
-，当()0,1x ∈时，()()2
2
10,1x -∈，
或23
k ≥-
，()
2
2310k x +->，则()'0g x >，∴()g x 在()0,1上递增，从而()()g 00g x 最小值为=.若2
3k <-，令()'0g x x =⇒=
()0,1
，当
x ⎛ ∈ ⎝时，()'0g x <；
当x ⎫⎪∈⎪⎭时，()'0g x >.∴(
)()min 00g x g g =<=综合得出结论即可
解析：（1）()11'11F x a x x =+++- ()22
2
111ax a x x
-++=-<<-， 当20a -≤<时，()'0F x ≥，∴()F x 在()1,1-上单调递增.
当0a >时，()'0F x >，故当20a -≤<或0a >时，()F x 在()1,1-上单调递增. 当2a <-时，令()'0F x >
，得1x -<<
1x <<； 令()'0F x <
，得x <<
∴()F x
在⎛ ⎝上单调递减，
在1,⎛- ⎝
，⎫
⎪⎪⎭
上单调递增. （2）设()()()
3
3g x f x k x x =--，则()()2
2
2
231'1k x g x x
+-=
-，
当()0,1x ∈时，()
()2
2
10,1x -∈，或23
k ≥-
，(
)
2
2310k x +->，则()'0g x >， ∴()g x 在()0,1上递增，从而()()00g x g >=. 此时，()()
3
3f x k x x >-在()0,1上恒成立.
若23k <-，令()'0g x x =⇒=
()0,1
，当x ⎛ ∈ ⎝时，()'0g x <；
当x ⎫
⎪∈⎪⎭
时，()'0g x >. ∴(
)()min
00g x g g =<=，则2
3k <-不合题意. 故k 的取值范围为2,3⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
. 点睛：单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论，注意讨论的完整性，另外对于恒成立问题，通常是转化为最值问题求解，分析函数单调性求出最值解不等式即可
22．（1
）sin cos 3ρθθ=-；22
4312y x +=（2）
16
5
【分析】
（1
）直线的直角坐标方程为3y =
-，根据极坐标公式得到答案.
（2）直线l
的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
，代入椭圆方程得到1245t t +=-，12125t t =-，
12PM PN t t +=-，计算得到答案.
【详解】
（1）直线l
的参数方程为,
3x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数）
，转换为直角坐标方程为3y =-，
转换为极坐标方程为sin cos 3ρθθ=-.
曲线C 的极坐标方程为2
2
2
3sin 12ρρθ+=.转换为直角坐标方程为2
2
4312y x +=.
（2）把直线l
的参数方程转换为标准式为1122x t y t ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
代入22
4312y x +=，得到：254120t t +-=，所以1245t t +=-
，12125
t t =-，
所以1216
5
PM PN t t +=-==
. 【点睛】
本题考查了极坐标方程，参数方程的转化，直线的参数方程求弦长，意在考查学生的计算能力和应用能力.
23．（1）3
(,)2
-∞；（2）(,[2,)-∞⋃+∞. 【分析】
（1）把2a =代入()f x ，分别解不等式()0f x >及()1f x ≤，求交集可得不等式
0()1f x <≤的解集；（2）22max (0,),()3()3x f x a f x a ∀∈+∞≤-⇔≤-，可对a 分
0,01,1a a a ≤<<≥三种情况进行讨论，求解a 的取值范围.
【详解】
（1）当2a =时，因为()()()21211f x x x x x =---≤---= 所以()1f x ≤的解集为R ，
由()0f x >，得21x x ->-，则2
2
21x x ->-，即224421x x x x -+>-+，
解得32x <
，故不等式()01f x <≤的解集为3,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭；
（2）当()0,0,a x ≤∈+∞时，()1,1121,01a x f x x a x x a x -≥⎧
=---=⎨--<<⎩
，
则()()2
max 113f x f a a ==-≤-，又0a ≤，所以12
a +≤
． 当[
)01,1,a x <<∈+∞时，()2103f x a a =->>-，故01a <<不合题意，
当()1,0a x ≥∈+∞时，()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=- 当且仅当01x <≤时等号成立，则231a a -≥-，又1a ≥，所以2a ≥
综上：a 的取值范围为[)1,2,2⎛+-∞-⋃+∞ ⎝
⎦． 【点睛】
不等式证明选讲近年来多以考查绝对值不等式为主，要能够对参数熟练进行分类讨论，或者运用绝对值不等式的几何意义进行求解，当不等式两侧都含有绝对值时，对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论，减少计算量.。