时间最优控制

u j (t ) 1，
j 1,2, m
并 使 系 统 从 已 知 初 态x(0) x0转 移 到 状 态 空 间 原 点 的时间最短。
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H ( x(t ),u(t ),(t ),t ) 1 T (t )Ax(t ) Bu(t )
1)正 则 方 程 x(t )＝ H Ax(t ) Bu(t )
其 中x(t ) Rn，u(t ) Rm，f ()和B()的 各 元 对x(t )和t连 续 可 微 ，
g() R p， 其 各 元 对x(t f )和t f 连 续 可 微 ，t f 是 状 态 轨 线 首 次 与 目标集相遇的时刻。
为 统 一 起 见 ， 时 间 最 优控 制 问 题 的 性 能 指 标 取为 积 分 型
4.4 时 间 最 优 控 制
时 间 最 优 控 制 也 称 为 快速 控 制 或 最 速 控 制
4.4.1 一 类 非 线 性 系 统 的 时 间最 优 控 制
问 题4.4.1 min J t f dt,
u j (t ) 1
t0
j 1,2, m
s.t. (1) x(t ) f ( x(t ),t ) B( x(t ),t )u(t ), x(t0 ) x0 (2) g( x(t f ),t f ) 0
控制问题是正常的。
定 义3.3.2 若 对 所 有 的j 1,2, , m, 至 少 存 在 一 个q j (t )
函 数 ， 在 某 一 段 时 间 区间 t1 , t2 t0 , t f 上 取 零 值 ， 则 对 应 的 时 间 最 优 控 制 问题 是 奇 异 的 ， 并 把 区 间t1 , t2 称
5
1，
u*j (t )＝ 1,

u*j (t )

1,
当q j (t) 0
当q j (t) 0

当q j (t) 0
正常情况 奇异情况
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定 义3.3.1 若 所 有 的 函 数q j (t )，j 1,2, , m, 在 时 间
区 间 t0 , t f 上 只 存 在 有 限 个 零 点 ，则 对 应 的 时 间 最 优
为奇异区间。
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定 理4.4.1 Bang Bang控 制 原 理 设u*(t )是 问 题4.4.1的 时 间 最 优 控 制 ， 且 问题4.4.1是 正 常 的 ， 则最优控制
u*(t ) sgnq(t ) sgn BT ( x(t ),t )(t )
或
u*j (t )＝ sgn q j (t ) sgn bTj ( x(t ),t )(t )
(t )＝ H AT (t )
x 2)边 界 条 件 x(0) x0 x(t f ) 0
3) u*j (t )＝ sgn q j (t ) sgn bTj (t )
1，
u*j (t )＝ 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

u*j (t )

1,
当q j (t) 0 当q j (t) 0 当q j (t) 0
或
u*j (t )＝ sgn q j (t ) sgn bTj ( x(t ),t )(t )
j 1,2, , m; t t0 , t f
j 1,2, , m; t t0 , t f
因 此 时 间 最 优 控 制 的 各个 分 量u*j (t )都 是 时 间t的 分 段 常 值 函 数 ， 在q j (t )＝0的 诸 点 上 ，u*j (t )由 一 个 边 界 值 切 换到另一个边界值。
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4.4.2 线 性 定 常 系 统 的 时 间 最优 控 制 问 题 4.4.2 已 知 线 性 定 常 系 统x(t ) Ax(t ) Bu(t ) 是 完 全 能 控 的 ， 求 满 足约 束
(t)

min
q j (t)u j (t)
j 1
u j (t ) 1 j 1
j 1,2, , m
3
因各控制分量的约束是相互独立的，于是有
m
T (t)B(x*(t),t)u*(t) min q j (t)u j (t) j 1 u j (t ) 1
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从 而 得 到u*j (t )与q j (t )的 关 系 ：
u j (t ) 1
设 q(t) BT (x(t),t)(t)
或 q j (t) bTj (x(t),t)(t), j 1,2, , m
其中bj (x(t),t)是矩阵B的第j个列向量，于是(1)式可写为
m
m
T (t)B(x*(t),t)u*(t)
q
j
(t
)u
* j
x
x(t )
x(t )
2)边 界 条 件
x(t0 ) x0 g( x(t f ),t f ) 0
(t
f
)

gT
( x(t f x(t f
),t )
f
)

3)1 T (t f
)
f
( x(t f
),t f
) T (t f
)B( x(t f
),t f
)u(t f
)

T
g( x(t f t f
性能指标。
1
H ( x(t ),u(t ), (t ),t ) 1 T (t ) f ( x(t ),t ) T (t )B( x(t ),t )u(t )
1)正 则 方 程
x(t )＝ H f ( x(t ),t ) B( x(t ),t )u(t )

(t )＝ H f T ( x(t ),t ) (t ) B( x(t ),t )u(t )T (t )
),t f
)
2
H (x(t),u(t),(t),t) 1 T (t) f (x(t),t) T (t)B(x(t),t)u(t)
令h(x(t),u(t),(t),t)＝ T (t)B(x(t),t)u(t)
4) 极值条件为：
T (t)B(x*(t),t)u*(t) min T (t)B(x*(t),t)u(t) (1)