模糊集的理论及应用_1_1解析

1.1 经典集合的基本概念
9/23/2020 2:08:42 AM
❖ 定义
❖ 集合是确定的、具有一定性质的事物的全体
❖ 集合常用大写字母表示
❖ 集合中的事物称为集合的元素，常用小写字母表示
❖ 集合的元素与集合的关系是：属于∊，或者，不属于∉
❖ 对于给定的问题，所关心的事物的全体组成论域集合
模
糊 ❖ 集合的表示方法：
❖运算及表示
❖ 子集（⊆）
❖ 相等（=）
模
糊 集
❖ 并（∪）
的 理
❖ 交（∩）
论 及
❖ 余（-,c,’）
应 用
❖ 差（-）
❖对称差（）
❖ 注意特征函数表示方法：
AB (x) A (x) B (x)
AB (x) A (x) B (x)
Ac (x) 1 A(x)
❖ 上述公式可以推广到任意多 个集合的情况
糊
集 的
❖集合A（L）的极大元：
理
论 及
A ，且 A， =
应 用
或者 A ，且 A， <( 且 ≠)
最小元、极小元的定义可以仿照给出
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1.2 格与代数系统
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❖偏序集
❖特殊元素
❖集合A（L）的上界：
模
L，且 A，
糊
集
的 理
❖集合A（L）的上确界：
❖(P(A),,,c)是布尔代数
14
1.2 格与代数系统
❖代数系统的相互关系
❖布尔代数软代数, 优软代数软代数
模
糊 集
❖反之不然
的
理
论
及
应
用
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1.2 格与代数系统
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❖代数系统例子
❖ ({0,1},,,c)是布尔代数 其中运算定义同逻辑运算
模
糊 集
❖([0,1],,,c)是优软代数
的 理
其中运算定义为:
论 及
=inf{,} =sup{,}，c=1-
应
用
([0,1],,,c)不是布尔代数,因为补余律不成立。
定义Ⅱ：（L,,）称为格，如果L上的运算,满足
模 糊
幂等律、交换律、结合律、吸收律。
集
的
理 论
定理：定义Ⅰ和定义Ⅱ是等价的：
及 应
❖ (L, )为格，定义, 为：
用
=inf{,} ， =sup{,}
❖（L,,）为格，在L上定义：
= =
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1.2 格与代数系统
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糊 集
❖整数集合Z关于“mod(k)”做成的集合（Z, mod(k)）
的
理
论 及
其中（Z, ≤）为全序集。
应
用
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1.2 格与代数系统
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❖偏序集的哈斯（Hassen）图
偏序集合的哈斯（Hassen）图反映的是不同元素之间的偏 序关系。
作出偏序集合的哈斯（Hassen）图，要用到覆盖的概念：
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1.2 格与代数系统
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❖代数系统：对定义于其上的代数运算封闭的 集合称为代数系统。
❖特殊代数系统：
模 糊
❖布尔代数：
集
的 理
(有Fra Baidu bibliotek分配格+余运算+(复原律，补余律))
论 及
❖软代数：
应 用
(有界分配格+余运算+(复原律，对偶律))
❖优软代数
(稠密、可以无限分配、完全的软代数)
论 及
最小上界 L ，记为=sup{|A}
应
用
对于下界、下确界的定义，可仿照上述定义给出
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1.2 格与代数系统
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❖偏序集的例子
❖整数集合Z关于“≤”做成的集合（Z, ≤）
❖集合A的幂集合P(A)关于“”做成的集合（P(A), ）
模
❖正整数集合Z+关于“|”（整除）做成的集合（Z+, |）
❖特殊格：
❖分配格 (格+分配律)
❖有界格 (格有最大元1: 1 = , 1 = 1
模 糊
最小元0: 0 = 0, 0 = )
集 的
❖对偶格 (格+余运算（满足对偶律、复原律）)
理
论 及
❖完全格：
应 用
(格+ sup{| A ⊆L}，inf{| A ⊆L}都存在)
❖稠密格：
(格+ (，L，<，L，使得 < <))
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1.1 经典集合的基本概念
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❖运算律
幂等律 A A A , A A A 交换律 A B B A , A B B A
结合律 (A B) C A (B C)
模 糊
吸收律 A (A B) A A (A B)
集 的
分配律 A (B C) (A B) (A C)
模 糊
（ ， ，L ）
集 的
1、反身性：
理
论 及
2、反对称性： ， =
应 用
3、传递性： ，
❖ 全序集： ， L，成立 或者
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1.2 格与代数系统
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❖偏序集
❖特殊元素
❖集合A（L）的最大元：
模
A ，且 A，
第1 章 模糊集的基本概念
第 1章 模糊集的基本概念
1.1 经典集合的基本概念
1.2 格与代数系统
1.3 模糊集合的定义及运算
1.4 模糊集的分解定理
模
糊 集
1.5 模糊集的表现定理
的
理 论
1.6 模糊集的其它运算
及 应
1.7 模糊算子的性质
用
1.8 模糊集的模运算
1.9 隶属函数的确定方法
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集 的
❖ 列举法：将集合的元素列举出来 A={1,2,3,…,n,…}
理 论
❖ 描述法：给出集合元素满足的性质 A={x|x是x2+2x-3=0的根}
及
❖ 特征函数：
应
用
❖ 文氏图法：
A
(
x)
1, 0,
xA xA
❖ 特殊集合：全集合、空集合
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1.1 经典集合的基本概念
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模
糊
集
的
， L，说覆盖，如果<（ 且 ≠ ） 且不
理 论
存在使得< < 。
及
应
用
若覆盖，则在，间画连线，且保证在上， 在下。
将所有的覆盖连线做出形成的图称为哈斯（Hassen）图。
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1.2 格与代数系统
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❖格的定义
定义Ⅰ：偏序集(L, )称为格，如果 ， L， 集合 {，}的上、下确界均存在。
理
论 及
复原律 A A
应 用
补余律 A A U, A A （排中律，矛盾律）
对偶律 A B A B
算律可以推广到任意多个集合的情况
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1.2 格与代数系统
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❖偏序集
❖ 定义：一个集合L连同定义其上满足下面3个条
件的偏序关系，构成一个偏序集（L， ）：