第10讲 土中应力计算

1．竖向自重应力 竖向自重应力，等于单位面积上土柱体的重力W 竖向自重应力，等于单位面积上土柱体的重力W，如上图所 示。当地基是均质土体时，在深度z 示。当地基是均质土体时，在深度z处土的竖向自重应力为：
式中：——土的天然重度，kN/m 式中：——土的天然重度，kN/m3； W——土柱体重力，kN； ——土柱体重力，kN； F——土柱体截面积。 ——土柱体截面积。 由上式可见，自重应力随深度Z 由上式可见，自重应力随深度Z线形增加，呈三角形分布，如 上图所示。 上图所示。
对于路基、坝基及薄板基础等柔性基础，其刚度很小，可 近似地看成是理想柔性基础。此时，基底压力分布与作用 的荷载分布规律相同，如由土筑成的路基，可以近似地认 为路堤本身不传递剪力,那么它就相当于一种柔性基础, 为路堤本身不传递剪力,那么它就相当于一种柔性基础,路 堤自重引起的基底压力分布就与路堤断面形状相同是梯形 分布，如上图所示。
2．刚性基础 是指基础刚度大大超过地基刚度，理论与实测证明，在中心 受压时，刚性基础的接触压力为马鞍形分布，如下图所示。 当上部荷载加大，基础边缘土中产生塑性变形区，边缘应力 不再增大，应力分布变为抛物线形。当荷载继续增加接近地 基的破坏荷载时，应力分布变成钟形。
从上面有分析可以看出，对于柔性基础在中心荷载作用下， 基底压力一般均匀分布。而对于刚性基础，基底压力一般不 是均匀分布，但为便于计算，一般也简化成均匀分布考虑。 虽然不够精确，但这种误差也是工程所允许的。
三、下埋不透水层时自重应力的计算
在地下水位线以下存在不透水层时，由于不透水层不存在浮 力，所以，层面及层面以下自重应力应按上覆土层的水土总 重计算，如上图所示。
§5.3 基底压力分布及简化计算
基底压力：基础底面与地基间的接触压力称为基底压力。 基底压力：基础底面与地基间的接触压力称为基底压力。 为了计算上部荷载在地基中引起的附加应力，应首先研究基 底压力的大小及分布规律。
四、土中应力的种类
（1）自重应力：由土体重力引起的应力称为自重应力。自重应 自重应力：由土体重力引起的应力称为自重应力。自重应 力一般是自土形成之日起就在土中产生，因此也将它称为长 驻应力。
（2）附加应力： 附加应力： 由于外荷载（如建筑物荷载、车辆荷载、土中水的渗透力、 地震力等）的作用，在土中产生的应力增量。 自重应力存在于任何土体中，附加应力则存在于受荷载影响 的那部分土层中。 修建建筑物前，土中应力属于自重应力；修建建筑物后， 土中的应力为自重应力和附加应力之和，称为总应力，即 总应力=自重应力+ 总应力=自重应力+附加应力
应特别注意的是，在土力学中法向应力以压应力为正，拉应 应特别注意的是，在土力学中法向应力以压应力为正，拉应 力为负，这与一般固体力学中的符号规定有所不同。剪应力 的正负号规定是：以外法线与坐标轴方向一致的面为正面， 反之为负面；在正面上剪应力与坐标方向相反者为正，反之 为负；在负面上剪应力与坐标方向相同者为正，反之为负。
对于条形基础（l≥10b），则沿长度方向取1m来计算。此时上 对于条形基础（l≥10b），则沿长度方向取1m来计算。此时上 式中的、代表每延米内的相应值，如上图c 式中的、代表每延米内的相应值，如上图c所示。
2．偏心荷载作用下的基底压力 （1）单向偏心荷载作用下的矩形基础 这是一个矩形基底，受偏向荷载（F＋ 这是一个矩形基底，受偏向荷载（F G）的作用，偏心距为e,如用一等代力 ）的作用，偏心距为e,如用一等代力 系代替，将（F 系代替，将（F＋G）移到中心，同时 应有一力距M=(F+G)e。此时，基底压 应有一力距M=(F+G)e。此时，基底压 力分布应按左图所示，其最大值为p 力分布应按左图所示，其最大值为pmax, 最小值为p 最小值为pmin。
二、基底压力简化计算法
1．中心荷载作用下的基底压力 对于中心荷载作用下的矩形基础，如下图a、b所示，此时基 对于中心荷载作用下的矩形基础，如下图a 所示， 底压力均匀分布，其数值可按下式计算， 底压力均匀分布，其数值可按下式计算，即
式中： p——基底（平均）压力，kPa； ——基底（平均）压力，kPa； F——上部结构传至基础顶面的垂直荷载，kN； ——上部结构传至基础顶面的垂直荷载，kN； G——基础自重与其台阶上的土重之和，一般取kN/m3计算， ——基础自重与其台阶上的土重之和，一般取kN/m3计算， kN； kN； A——基础底面积，A=lb m2。 ——基础底面积，A=lb
2．水平自重应力 由于假设地表为无限大的水平面，因此，在自重作用下只能 产生竖向变形，而不能产生侧向变形，即：ξ 产生竖向变形，而不能产生侧向变形，即：ξcx=ξcy=0，且 =0，且 σcx=σcy。根据广义虎克定律，有
将侧限条件代入上式，得
令，称为土的侧压力系数或静止土压力系数，则
土的侧压力系数反映了水平应力与竖向应力的比值。不同的 土体，该值有所不同，一般情况下应采用实测法确定该值的 大小。无实测资料时，也可近似采用经验值，见P49表 大小。无实测资料时，也可近似采用经验值，见P49表3－1。 从上面的分析可以看出，自重应力包括三个应力分量，但对 于源自文库基自重应力场的分析与计算，主要针对竖向自重应力。
土的种类与状态 碎石土 砂土 粉土 粉质粘土
Ko 0.18～ 0.18～ 0.25 0.25～ 0.25～ 0.33 0.33 0.33 0.43 0.53 0.33 0.53 0.72
v 0.15～ 0.15～0.20 0.20～ 0.20～0.25 0.25 0.25 0.30 0.35 0.25 0.35 0.42
根据材料力学公式有：
式中：A——基底面积，A bl； 式中：A——基底面积，A＝bl； M——偏心矩， M=(F+G)e ； ——偏心矩， W ——基底抵抗矩，W=bl2/6。 ——基底抵抗矩，W=bl /6。 则
从上式可以看出： （1）当e<l/6 时， pmin > 0 ,基底压力呈梯形分布； ）当e<l/6 ,基底压力呈梯形分布； （2）当e=l/6时， pmin = 0 ,基底压力呈三角形分布； ）当e=l/6时， ,基底压力呈三角形分布； （3）当e>6/l时 ， pmin < 0 ,也即产生拉应力。 ）当e>6/l时 ,也即产生拉应力。
知识回顾
σz ( +)
材料力学
τzx ( +) 正应力 τxz ( −) σx ( −) 拉为正
剪应力 顺时针为正 逆时针为负
压为负
σz ( −)
正应力 τzx ( −) 压为正 τxz ( −) σx ( −) 拉为负 剪应力 逆时针为正 顺时针为负
土力学
三、土中一点的应力
在土中任取一单元体，如下图所示。 作用在单元体上的 3个法向应力（正 应力）分量分别为 右图，六个剪应力 分量分别为。剪应 力的脚标前面一个 表示剪应力作用面 的法线方向，后一个表示剪应力的作用方向。
式中：W ——基底对轴的抵抗矩，W 式中：Wx——基底对轴的抵抗矩，WX=bl2/6 Wy——基底对轴的抵抗矩， Wy=bl2/6 ——基底对轴的抵抗矩，
三、基底附加压力
基底压力减去基底处竖向自重应力称为基底附加压力 基底压力减去基底处竖向自重应力称为基底附加压力，即： 基底附加压力，即：
P0=P-σa=P-γ0d =P- =P式中：P ——基底附加压力； 式中：P0——基底附加压力； p ——基底压力； ——基底压力； d——基础埋深； ——基础埋深； γ0——基础埋深范围内土的加权平均重度。 ——基础埋深范围内土的加权平均重度。
课
次：第10次 次：第10次
主要内容：土的应力计算方法；土中自重应力；基底压力； 地基附加应力 重点内容：土的自重应力的计算；基底附加压力的计算； Flamant解 Flamant解 教学方法：精讲启发式与逻辑推理式
第五章 土中应力计算
§ 5.1 概 述
一、土中应力计算的目的
建筑物、构筑物、车辆等的荷载，要通过基础或路基传递到 土体上。在这些荷载及其它作用力（如渗透力、地震力）等 的作用下，土中产生应力。土中应力的增加将引起土的变形， 使建筑物发生下沉、倾斜以及水平位移；土的变形过大时， 往往会影响建筑物的安全和正常使用。此外，土中应力过大 时，也会引起土体的剪切破坏，使土体发生剪切滑动而失去 稳定。为了使所设计的建筑物、构筑物既安全可靠又经济合 理，就必须研究土体的变形、强度、地基承载力、稳定性等 问题，而不论研究上述何种问题，都必须首先了解土中的应 力分布状况。
但基底与土之间是不能承受拉应力的，这时产生拉应力部分 的基底将与土脱开，而不能传递荷载，基底压力将重新分布， 如下图所示。
最大压力用表示p` 最大压力用表示p`max ，根据静力平衡条件有：
在实际工程设计中，应尽量避免大偏心，此时基础难于满足 抗倾覆稳定性的要求，建筑物易倾倒，造成灾难性的后果。 (2） (2）偏心荷载作用下的条形基础 对于条形基础（l≥10b），偏心荷载在基础宽度方向的基底 对于条形基础（l≥10b），偏心荷载在基础宽度方向的基底 压力计算，只需取l=1m作为计算单元即可，即 压力计算，只需取l=1m作为计算单元即可，即
只有掌握了土中应力的计算方法和土中应力的分布规律，才 能正确运用土力学的基本原理和方法解决地基变形、土体稳 定等问题。因此，研究土中应力分布及计算方法是土力学的 重要内容之一。
二、土中应力计算的方法
目前计算土中应力的方法，主要是采用弹性理论，也就是把 地基土视为均质的、连续的、各向同性的半无限空间线弹性 体。事实上，土体是一种非均质的、各向异性的多相分散体， 是非理想弹性体，采用弹性理论计算土体中应力必然带来计 算误差，对于一般工程，其误差是工程所允许的。但对于许 多复杂工程条件下的应力计算，弹性理论是远远不够的，应 采用其他更为符合实际的计算方法，如非线性力学理论、数 值计算方法等等。
一、基底压力的实际分布规律
1．柔性基础 若一个基础作用着均布荷载，并假设基础是由许多小块组成， 如下图所示，各小块之间光滑而无摩擦力，则这种基础即为 理想柔性基础（即基础的抗弯刚度），基础上的荷载通过小 块直接传递到地基土上，基础随着地基一起变形，基底压力 均匀分布，但基础底面的沉降则各处不同，中央大而边缘小。
式中：F——上部结构传至每延米长度基础上的垂直荷载， 式中：F——上部结构传至每延米长度基础上的垂直荷载， kN/m； kN/m； G——每延米长度的基础自重与其台阶上的土重之和，取 ——每延米长度的基础自重与其台阶上的土重之和，取 γG=20kN/m3计算，kN/m。 计算，kN/m。
(3)双向偏心荷载作用下的矩形基础 (3)双向偏心荷载作用下的矩形基础 若矩形基础受双向荷载作用，如下图所示。 则基底压力可按下式计算
坚硬状态 可塑状态 软塑及流塑状态 坚硬状态 可塑状态 软塑及流塑状态
粘土
二、成层土竖向自重应力的计算
天然地基土一般都是成层的，而且每层的重力密度也不同， 如下图所示。
则竖向自重应力 计算公式为：
式中：n--深度z 式中：n--深度z范围内的土层总数； hi----第i层土层厚。当地下水位面位于同一土层时，地 ----第 下水位面也应作为分界面； γi----第层土的重度，地下水位以下取浮重度。 ----第层土的重度，地下水位以下取浮重度。 从上面公式可以看出，这里计算的自重应力是指有效自重应 力，按上述计算出的四层土的竖向自重应力分布如上图所示。 力，按上述计算出的四层土的竖向自重应力分布如上图所示。
§5.2 土中自重应力的计算
一、均质地基自重应力场
假设：（1 假设：（1）天然地表为无限大的水平面，即假定地基是半无 限空间体，如下图所示。 （2）土质均匀，其重度为γ。在地面下深度z处，任取 ）土质均匀，其重度为γ。在地面下深度z 一单元体，其上的自重应力 分量为：竖向自重应力σczτ；水 分量为：竖向自重应力σ 平自重应力σ 平自重应力σcx=σcy；不存在着剪应力， 即τcxy=τcyx=0；τcyz=τczy=0;τczx=τcxz=0