小波变换基础以及haar小波

V0 V1 V j
函数集： 2 j/ 2 (2 j t k ), k Z

是Vj的一个标准正交基。
图中的尖峰就表示噪声部分，也 是我们想要去除的部分，随着j的 增大，分辨率越高， (2 j t ) 就越接近噪声成分，由haar小波 可知，它所表示的宽度为 1j
即： L ( R) Wj
2

L2(R)的塔式分解如下：

V j Wj V j 1
V1 W1 , V0 W0 , W1 V0 W1 W0
V j span{2 j 2 (2 j t k )
j, k Z} 称“尺度空间”.
W j span{2 j 2 (2 j t k )
将母函数φ(t)作伸缩(伸缩因子为a)和平移(平移因子为b)变换，a， b∈R，且a≠0，得到一个函数簇φa,b(t).
t b a ,b (t ) | a | ( ) a
1 2
称φa,b(t)为连续小波. 式中的变量a反映函数的尺度(或宽度)，变量b检测沿t轴的平移位置.
t b a ,b (t ) | a | ( ) a
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.


从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率 ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 τ。尺度a 控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。 尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。 某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包 含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积 分也就是计算信号与基函数的相似程度。
1 2
为什么系数有个 |a|
-1 / 2
？？？
a .b
为了保证在不同尺度a时，
(t )
的 (t ) 能量相同 。
φ(t)是母小波，φa,b(t)是由φ(t)作伸缩和平移得到的连续小波，对任意 信号f(t)∈L2(R)，有 连续小波变换：
连续小波反变换：
f (t ) 1 C

R R
g ( t ) f ( A t ) Wg (a, b) A1 2 Wf ( Aa, Ab)
⑷等内积特性
W f ( a, b) f ( t ), a ,b ( t ) F ( ), Φa ,b ( )
⑸能量守恒特性
dadb 2 | W ( a , b ) | ( t ) C || f ( t ) || dt a ,b R 2 R R f a

三角函数sin(nωt)构成一组完备正交基，所以信号f(t) 可以用三角函数表示—傅里叶变换. Fourier_series_and_transform (1).gif
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小波函数能够构成一组完备正交基，所以信号f(t) 也可以用小波函数表示—小波变换.
小波变换
如果e1(t), e2(t), e3(t), ……, en(t)构成一组完 备正交基, 则任何信号f(t)可以表示成：
小波分析是时间和频率的 局域变换，采用多分辨率 分析的思想，非均匀地划 分时频空间.通过伸缩和平 移对信号进行多尺度细化， 可以在不同尺度上来观察 信号.
对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频 部分采取较高的时间分辨率和较低的频率分辨率. 逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意细节，因而 它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号，被誉为“数学显微镜”.

如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是 频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同 频率的四个成分。 做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅 值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上 无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一 样的，只是出现的先后顺序不同。 可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段 信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无 所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
2
⑹具有可变的时间频率窗
连续小波的窗口面积是不随参数a，b而变化的，即时频 窗口的形状变化，而窗口面积固定不变.
CWT具有很大的冗余性，恢复信号的重构方式不是 唯一的，小波函数也可以有很多选择，可以是非正交的 的小波。 为了减少冗余度，我们可以对尺度因子a和平移因子 b按二进的方式进行离散化。相应的小波变换就是离散 小波变换.
j, k Z}
称“小波空间”.
Haar小波
下边就用最简单的基函数Haar函数来举例：
1, 0 t 1 (t ) 0, other
(t ) 平移 (t k ) 伸缩 ak (t k ) 组合 ak (t k )
kZ
用这个来表示V0空间。
若需要分析高频信号，则可以对haar小波进行二进压缩， 再平移组合来近似模拟原始信号。即：
(2t ) 平移 (2t k ) 伸缩 ak (2t k ) 组合 ak (2t k )
kZ
用这个来表示V1空间。 若需要分析更高频信号，则可以对haar小波进行多次二进 压缩，再平移来近似模拟原始信号。即Vj：
小波与傅里叶的区别


傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的 函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分 析. 小波分析中，利用联合时间—尺度函数分析信 号，通过平移和伸缩构造小波基，由于小波同 时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以 同时进行时频域分析.
傅里叶变换

这幅图可形象的表示傅里 叶变换的不足之处。
kZ
(2 j t ) 平移 (2 j t k ) 伸缩 ak (2 j t k ) 组合 ak (2 j t k )
根据实际频率情况来选择压缩大小，也就是选择j。频率越大， 对应的j就越大，反之越小。
由上三式可知，它们之间是有一定包含关系的：即

由多分辨率分析的定义，多分辨率分析的一系列尺度空间是由同 一尺度函数在不同尺度下张成的，由于{Vj}空间相互包含，不具 有正交性。

下面讨论如何构造L2(R)的正交小波ψ(t) 。
由于{Vj , j∈Z}不是L2(R)的正交分解，所以不能从Φj,k(t)得到L2(R)的规范正交 基，为了使f(t)∈L2(R)中的函数能在新的正交基下展开，MRA通过正交补的办 法，从{Vj , j∈Z}构造出L2(R)的正交小波子空间{Wj, j∈Z}，使得L2(R)得到正 交分解.
f (t ) Vj f (t k ) Vj
f ( t ) V j f ( 2t ) V j 1 , f ( 2 j t ) V2 j
⑶二进制伸缩相关性：
⑷逼近： V j L2 ( R), V j {0} (5)正交基存在性：存在φ∈V0，使得{φ(t −n)}（n∈Z）是V0的正交基
W f ( a, b ) a , b ( t )
dadb a2
其中，a称“尺度因子”，b称“平移因子”.
ˆ ( ) |2 | C d R | |
连续小波变换的性质
⑴线性 f ( t ) Af ( t ) Bf ( t ) W ( a, b) AW ( a, b) BW ( a, b) 1 2 f f1 f2 ⑵平移 g ( t ) f ( t t0 ) Wg ( a, b) W f ( a, b t0 ) ⑶频域特性
2
所以，为了滤除噪声部分，我们需要很高的分辨率，也就需要很 大的j，但在低频部分，我们不需要太高的分辨率，就可以表示 信号，所以我们需要一种孤立的属于Vj的但不属于Vj-1的尖峰函 数，这就是小波函数.
小波函数的构造方法就是把Vj分解成Vj-1及其正交补. 首先确定V0的正交补：因为V0是由函数 (t)及其平移系列所构成， 以希望V0的正交补也是由某个函数ψ (t)及其平移系列所构成. Ψ(t)是V1的成员，可以表示成：
R
f (t ) C
j k
W

f
( j, k ) j ,k (t )
离散小波变换的性质：
j ,k ( t ) | a | (
1 2
tb ) 2 j 2 ( 2 j t k ) a
j, k Z
随j的变化，φ j,k (t)在频域上处于不同的频段，随k的变化， φ j,k (t)在时域上处于不同的时段，所以离散小波变换是一种信 号的时间—频率分析.
图像处理与识别
小波变换及应用

小波发展 Haar小波 小波去噪 展望
小波发展


小波分析（Wavelets Analysis）是20世纪80 年代中后期逐渐发展起来的一种新的数学分析 方法，它既具有丰富的数学理论意义，又具有 广泛的工程应用价值。广泛应用在信号处理、 图像处理、语音分析以及其他非线性科学领域. 小波分析是对傅立叶分析（Fourier Analysis） 理论最辉煌的继承、总结和重大突破.
DWT（离散小波变换）
进行二进制离散，得到离散小波变换：
j ,k ( t ) | a |

1 2
tb ( ) 2 j 2 ( 2 j t k ) a
j, k Z
f(t)的离散小波变换为：
其逆变换为：

W f ( j , k ) 2 j 2 f ( t ) ( 2 j t k ) dt
CWT（连续小波变换）
设函数
( t ) L1 ( R) L2 ( R) ，若其FT满足条件:
ˆ ( ) |2 | R | | d
则称φ(t)为一个小波母函数. φ(t) ∈L1(R)意味着小波函数具有衰减性. φ(t) ∈L2(R)意味着小波函数的能量有限. φ(t) 满足 R (t ) dt 0 意味着小波函数具有波动性.