小波变换基础以及haar小波
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kZ
(2 j t ) 平移 (2 j t k ) 伸缩 ak (2 j t k ) 组合 ak (2 j t k )
根据实际频率情况来选择压缩大小，也就是选择j。频率越大， 对应的j就越大，反之越小。
由上三式可知，它们之间是有一定包含关系的：即
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是 频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同 频率的四个成分。 做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅 值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上 无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一 样的，只是出现的先后顺序不同。 可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段 信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无 所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
R
f (t ) C
j k
W
f
( j, k ) j ,k (t )
离散小波变换的性质：
j ,k ( t ) | a | (
1 2
tb ) 2 j 2 ( 2 j t k ) a
j, k Z
随j的变化，φ j,k (t)在频域上处于不同的频段，随k的变化， φ j,k (t)在时域上处于不同的时段，所以离散小波变换是一种信 号的时间—频率分析.
g ( t ) f ( A t ) Wg (a, b) A1 2 Wf ( Aa, Ab)
⑷等内积特性
W f ( a, b) f ( t ), a ,b ( t ) F ( ), Φa ,b ( )
⑸能量守恒特性
dadb 2 | W ( a , b ) | ( t ) C || f ( t ) || dt a ,b R 2 R R f a
2
所以，为了滤除噪声部分，我们需要很高的分辨率，也就需要很 大的j，但在低频部分，我们不需要太高的分辨率，就可以表示 信号，所以我们需要一种孤立的属于Vj的但不属于Vj-1的尖峰函 数，这就是小波函数.
小波函数的构造方法就是把Vj分解成Vj-1及其正交补. 首先确定V0的正交补：因为V0是由函数 (t)及其平移系列所构成， 以希望V0的正交补也是由某个函数ψ (t)及其平移系列所构成. Ψ(t)是V1的成员，可以表示成：
图像处理与识别
小波变换及应用
小波发展 Haar小波 小波去噪 展望
小波发展
小波分析（Wavelets Analysis）是20世纪80 年代中后期逐渐发展起来的一种新的数学分析 方法，它既具有丰富的数学理论意义，又具有 广泛的工程应用价值。广泛应用在信号处理、 图像处理、语音分析以及其他非线性科学领域. 小波分析是对傅立叶分析（Fourier Analysis） 理论最辉煌的继承、总结和重大突破.
CWT（连续小波变换）
设函数
( t ) L1 ( R) L2 ( R) ，若其FT满足条件:
ˆ ( ) |2 | R | | d
则称φ(t)为一个小波母函数. φ(t) ∈L1(R)意味着小波函数具有衰减性. φ(t) ∈L2(R)意味着小波函数的能量有限. φ(t) 满足 R (t ) dt 0 意味着小波函数具有波动性.
尺度j增大时， φ j,k (t)在时域上伸展，在频域上收缩，中心频 率降低，变换的时域分辨率降低，频域分辨率提高.
每一个小波基函数φ j,k (t)对应一个小波系数Wf (j,k)，在FT中， 则是通过对时间的全域积分得到频谱函数.
多分辨率分析( MRA ) :
把全空间L2(R)按照分辨率(2j)先分解成一系列嵌套的闭子空间 序列(尺度空间) {Vj, j∈Z}.如果满足下面五条，则称集合{Vj， j∈Z}为L2(R)的一个多分辨分析(MRA ). ⑴单调性： V j V j 1 ⑵平移不变性：
f (t ) Vj f (t k ) Vj
f ( t ) V j f ( 2t ) V j 1 , f ( 2 j t ) V2 j
⑶二进制伸缩相关性：
⑷逼近： V j L2 ( R), V j {0} (5)正交基存在性：存在φ∈V0，使得{φ(t −n)}（n∈Z）是V0的正交基
小波与傅里叶的区别
傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的 函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分 析. 小波分析中，利用联合时间—尺度函数分析信 号，通过平移和伸缩构造小波基，由于小波同 时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以 同时进行时频域分析.
傅里叶变换
这幅图可形象的表示傅里 叶变换的不足之处。
V0 V1 V j
函数集： 2 j/ 2 (2 j t k ), k Z
是Vj的一个标准正交基。
图中的尖峰就表示噪声部分，也 是我们想要去除的部分，随着j的 增大，分辨率越高， (2 j t ) 就越接近噪声成分，由haar小波 可知，它所表示的宽度为 1j
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率 ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 τ。尺度a 控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。 尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。 某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包 含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积 分也就是计算信号与基函数的相似程度。
f ( t ) k1e1 ( t ) k2e2 ( t ) ...... knen ( t )
如果 n ， 那么 f ( t ) ki ei ( t )
i 1
小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.
小波分析是时间和频率的 局域变换，采用多分辨率 分析的思想，非均匀地划 分时频空间.通过伸缩和平 移对信号进行多尺度细化， 可以在不同尺度上来观察 信号.
对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频 部分采取较高的时间分辨率和较低的频率分辨率. 逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意细节，因而 它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号，被誉为“数学显微镜”.
DWT（离散小波变换）
进行二进制离散，得到离散小波变换：
j ,k ( t ) | a |
1 2
tb ( ) 2 j 2 ( 2 j t k ) a
j, k Z
f(t)的离散小波变换为：
其逆变换为：
W f ( j , k ) 2 j 2 f ( t ) ( 2 j t k ) dt
W f ( a, b ) a , b ( t )
dadb a2
其中，a称“尺度因子”，b称“平移因子”.
ˆ ( ) |2 | C d R | |
连续小波变换的性质
⑴线性 f ( t ) Af ( t ) Bf ( t ) W ( a, b) AW ( a, b) BW ( a, b) 1 2 f f1 f2 ⑵平移 g ( t ) f ( t t0 ) Wg ( a, b) W f ( a, b t0 ) ⑶频域特性
短时傅里叶变换（STFT）
如果我们还想知道各个成分出现的时间 ？ 一个简单可行的方法就是——加窗。把整个时域过程 分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳， 再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频 率了。
那么问题又来了？ 我们选择多大的窗口合适呢？
窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率 分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。这 也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频 率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的 分量存在。 短时傅立叶变换(STFT)的核心就是加窗，然后滑动求得联合 时频分布.当窗口函数g(t)确定后，STFT的时—频窗口就固定 不变，与频率无关. STFT是一种单一分辨率的分析，若要改 变分辨率，则必须重新选定窗函数g(t) .我们不能同时获取信 号绝对精准的时刻和频率。对于非稳信号，信号变化剧烈时， 主频是高频，要求有较高的时间分辨率( 要小)，信号变化平 缓时，主频是低频，要求有较高的频率分辨率(要小). STFT 不能同时兼顾两者.
由多分辨率分析的定义，多分辨率分析的一系列尺度空间是由同 一尺度函数在不同尺度下张成的，由于{Vj}空间相互包含，不具 有正交性。
下面讨论如何构造L2(R)的正交小波ψ(t) 。
由于{Vj , j∈Z}不是L2(R)的正交分解，所以不能从Φj,k(t)得到L2(R)的规范正交 基，为了使f(t)∈L2(R)中的函数能在新的正交基下展开，MRA通过正交补的办 法，从{Vj , j∈Z}构造出L2(R)的正交小波子空间{Wj, j∈Z}，使得L2(R)得到正 交分解.
将母函数φ(t)作伸缩(伸缩因子为a)和平移(平移因子为b)变换，a， b∈R，且a≠0，得到一个函数簇φa,b(t).
t b a ,b (t ) | a | ( ) a
1 2
称φa,b(t)为连续小波. 式中的变量a反映函数的尺度(或宽度)，变量b检测沿t轴的平移位置.
t b a ,b (t ) | a | ( ) a
即： L ( R) Wj
2
L2(R)的塔式分解如下：
V j Wj V j 1
V1 W1 , V0 W0 , W1 V0 W1 W0
V j span{2 j 2 (2 j t k )
j, k Z} 称“尺度空间”.
W j span{2 j 2 (2 j t k )
j, k Z}
称“小波空间”.
Haar小波
下边就用最简单的基函数Haar函数来举例：
1, 0 t 1 (t ) 0, other
(t ) 平移 (t k ) 伸缩 ak (t k ) 组合 ak (t k )
2
⑹具有可变的时间频率窗
连续小波的窗口面积是不随参数a，b而变化的，即时频 窗口的形状变化，而窗口面积固定不变.
CWT具有很大的冗余性，恢复信号的重构方式不是 唯一的，小波函数也可以有很多选择，可以是非正交的 的小波。 为了减少冗余度，我们可以对尺度因子a和平移因子 b按二进的方式进行离散化。相应的小波变换就是离散 小波变换.
kZ
用这个来表示V0空间。
若需要分析高频信号，则可以对haar小波进行二进压缩， 再平移组合来近似模拟原始信号。即：
(2t ) 平移 (2t k ) 伸缩 ak (2t k ) 组合 ak (2t k )
kZ
用这个来表示V1空间。 若需要分析更高频信号，则可以对haar小波进行多次二进 压缩，再平移来近似模拟原始信号。即Vj：
1 2
为什么系数有个 |a|
-1 / 2
？？？
a .b
为了保证在不同尺度a时，
(t )
的 (t ) 能量相同 。
φ(t)是母小波，φa,b(t)是由φ(t)作伸缩和平移得到的连续小波，对任意 信号f(t)∈L2(R)，有 连续小波变换：
连续小波反变换：
f (t ) 1 C
R R
三角函数sin(nωt)构成一组完备正交基，所以信号f(t) 可以用三角函数表示—傅里叶变换. Fourier_series_and_transform (1).gif
小波函数能够构成一组完备正交基，所以信号f(t) 也可以用小波函数表示—小波变换.
Fra Baidu bibliotek 小波变换
如果e1(t), e2(t), e3(t), ……, en(t)构成一组完 备正交基, 则任何信号f(t)可以表示成：
(2 j t ) 平移 (2 j t k ) 伸缩 ak (2 j t k ) 组合 ak (2 j t k )
根据实际频率情况来选择压缩大小，也就是选择j。频率越大， 对应的j就越大，反之越小。
由上三式可知，它们之间是有一定包含关系的：即
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是 频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同 频率的四个成分。 做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅 值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上 无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一 样的，只是出现的先后顺序不同。 可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段 信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无 所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
R
f (t ) C
j k
W
f
( j, k ) j ,k (t )
离散小波变换的性质：
j ,k ( t ) | a | (
1 2
tb ) 2 j 2 ( 2 j t k ) a
j, k Z
随j的变化，φ j,k (t)在频域上处于不同的频段，随k的变化， φ j,k (t)在时域上处于不同的时段，所以离散小波变换是一种信 号的时间—频率分析.
g ( t ) f ( A t ) Wg (a, b) A1 2 Wf ( Aa, Ab)
⑷等内积特性
W f ( a, b) f ( t ), a ,b ( t ) F ( ), Φa ,b ( )
⑸能量守恒特性
dadb 2 | W ( a , b ) | ( t ) C || f ( t ) || dt a ,b R 2 R R f a
2
所以，为了滤除噪声部分，我们需要很高的分辨率，也就需要很 大的j，但在低频部分，我们不需要太高的分辨率，就可以表示 信号，所以我们需要一种孤立的属于Vj的但不属于Vj-1的尖峰函 数，这就是小波函数.
小波函数的构造方法就是把Vj分解成Vj-1及其正交补. 首先确定V0的正交补：因为V0是由函数 (t)及其平移系列所构成， 以希望V0的正交补也是由某个函数ψ (t)及其平移系列所构成. Ψ(t)是V1的成员，可以表示成：
图像处理与识别
小波变换及应用
小波发展 Haar小波 小波去噪 展望
小波发展
小波分析（Wavelets Analysis）是20世纪80 年代中后期逐渐发展起来的一种新的数学分析 方法，它既具有丰富的数学理论意义，又具有 广泛的工程应用价值。广泛应用在信号处理、 图像处理、语音分析以及其他非线性科学领域. 小波分析是对傅立叶分析（Fourier Analysis） 理论最辉煌的继承、总结和重大突破.
CWT（连续小波变换）
设函数
( t ) L1 ( R) L2 ( R) ，若其FT满足条件:
ˆ ( ) |2 | R | | d
则称φ(t)为一个小波母函数. φ(t) ∈L1(R)意味着小波函数具有衰减性. φ(t) ∈L2(R)意味着小波函数的能量有限. φ(t) 满足 R (t ) dt 0 意味着小波函数具有波动性.
尺度j增大时， φ j,k (t)在时域上伸展，在频域上收缩，中心频 率降低，变换的时域分辨率降低，频域分辨率提高.
每一个小波基函数φ j,k (t)对应一个小波系数Wf (j,k)，在FT中， 则是通过对时间的全域积分得到频谱函数.
多分辨率分析( MRA ) :
把全空间L2(R)按照分辨率(2j)先分解成一系列嵌套的闭子空间 序列(尺度空间) {Vj, j∈Z}.如果满足下面五条，则称集合{Vj， j∈Z}为L2(R)的一个多分辨分析(MRA ). ⑴单调性： V j V j 1 ⑵平移不变性：
f (t ) Vj f (t k ) Vj
f ( t ) V j f ( 2t ) V j 1 , f ( 2 j t ) V2 j
⑶二进制伸缩相关性：
⑷逼近： V j L2 ( R), V j {0} (5)正交基存在性：存在φ∈V0，使得{φ(t −n)}（n∈Z）是V0的正交基
小波与傅里叶的区别
傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的 函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分 析. 小波分析中，利用联合时间—尺度函数分析信 号，通过平移和伸缩构造小波基，由于小波同 时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以 同时进行时频域分析.
傅里叶变换
这幅图可形象的表示傅里 叶变换的不足之处。
V0 V1 V j
函数集： 2 j/ 2 (2 j t k ), k Z
是Vj的一个标准正交基。
图中的尖峰就表示噪声部分，也 是我们想要去除的部分，随着j的 增大，分辨率越高， (2 j t ) 就越接近噪声成分，由haar小波 可知，它所表示的宽度为 1j
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率 ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 τ。尺度a 控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。 尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。 某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包 含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积 分也就是计算信号与基函数的相似程度。
f ( t ) k1e1 ( t ) k2e2 ( t ) ...... knen ( t )
如果 n ， 那么 f ( t ) ki ei ( t )
i 1
小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.
小波分析是时间和频率的 局域变换，采用多分辨率 分析的思想，非均匀地划 分时频空间.通过伸缩和平 移对信号进行多尺度细化， 可以在不同尺度上来观察 信号.
对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频 部分采取较高的时间分辨率和较低的频率分辨率. 逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意细节，因而 它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号，被誉为“数学显微镜”.
DWT（离散小波变换）
进行二进制离散，得到离散小波变换：
j ,k ( t ) | a |
1 2
tb ( ) 2 j 2 ( 2 j t k ) a
j, k Z
f(t)的离散小波变换为：
其逆变换为：
W f ( j , k ) 2 j 2 f ( t ) ( 2 j t k ) dt
W f ( a, b ) a , b ( t )
dadb a2
其中，a称“尺度因子”，b称“平移因子”.
ˆ ( ) |2 | C d R | |
连续小波变换的性质
⑴线性 f ( t ) Af ( t ) Bf ( t ) W ( a, b) AW ( a, b) BW ( a, b) 1 2 f f1 f2 ⑵平移 g ( t ) f ( t t0 ) Wg ( a, b) W f ( a, b t0 ) ⑶频域特性
短时傅里叶变换（STFT）
如果我们还想知道各个成分出现的时间 ？ 一个简单可行的方法就是——加窗。把整个时域过程 分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳， 再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频 率了。
那么问题又来了？ 我们选择多大的窗口合适呢？
窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率 分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。这 也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频 率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的 分量存在。 短时傅立叶变换(STFT)的核心就是加窗，然后滑动求得联合 时频分布.当窗口函数g(t)确定后，STFT的时—频窗口就固定 不变，与频率无关. STFT是一种单一分辨率的分析，若要改 变分辨率，则必须重新选定窗函数g(t) .我们不能同时获取信 号绝对精准的时刻和频率。对于非稳信号，信号变化剧烈时， 主频是高频，要求有较高的时间分辨率( 要小)，信号变化平 缓时，主频是低频，要求有较高的频率分辨率(要小). STFT 不能同时兼顾两者.
由多分辨率分析的定义，多分辨率分析的一系列尺度空间是由同 一尺度函数在不同尺度下张成的，由于{Vj}空间相互包含，不具 有正交性。
下面讨论如何构造L2(R)的正交小波ψ(t) 。
由于{Vj , j∈Z}不是L2(R)的正交分解，所以不能从Φj,k(t)得到L2(R)的规范正交 基，为了使f(t)∈L2(R)中的函数能在新的正交基下展开，MRA通过正交补的办 法，从{Vj , j∈Z}构造出L2(R)的正交小波子空间{Wj, j∈Z}，使得L2(R)得到正 交分解.
将母函数φ(t)作伸缩(伸缩因子为a)和平移(平移因子为b)变换，a， b∈R，且a≠0，得到一个函数簇φa,b(t).
t b a ,b (t ) | a | ( ) a
1 2
称φa,b(t)为连续小波. 式中的变量a反映函数的尺度(或宽度)，变量b检测沿t轴的平移位置.
t b a ,b (t ) | a | ( ) a
即： L ( R) Wj
2
L2(R)的塔式分解如下：
V j Wj V j 1
V1 W1 , V0 W0 , W1 V0 W1 W0
V j span{2 j 2 (2 j t k )
j, k Z} 称“尺度空间”.
W j span{2 j 2 (2 j t k )
j, k Z}
称“小波空间”.
Haar小波
下边就用最简单的基函数Haar函数来举例：
1, 0 t 1 (t ) 0, other
(t ) 平移 (t k ) 伸缩 ak (t k ) 组合 ak (t k )
2
⑹具有可变的时间频率窗
连续小波的窗口面积是不随参数a，b而变化的，即时频 窗口的形状变化，而窗口面积固定不变.
CWT具有很大的冗余性，恢复信号的重构方式不是 唯一的，小波函数也可以有很多选择，可以是非正交的 的小波。 为了减少冗余度，我们可以对尺度因子a和平移因子 b按二进的方式进行离散化。相应的小波变换就是离散 小波变换.
kZ
用这个来表示V0空间。
若需要分析高频信号，则可以对haar小波进行二进压缩， 再平移组合来近似模拟原始信号。即：
(2t ) 平移 (2t k ) 伸缩 ak (2t k ) 组合 ak (2t k )
kZ
用这个来表示V1空间。 若需要分析更高频信号，则可以对haar小波进行多次二进 压缩，再平移来近似模拟原始信号。即Vj：
1 2
为什么系数有个 |a|
-1 / 2
？？？
a .b
为了保证在不同尺度a时，
(t )
的 (t ) 能量相同 。
φ(t)是母小波，φa,b(t)是由φ(t)作伸缩和平移得到的连续小波，对任意 信号f(t)∈L2(R)，有 连续小波变换：
连续小波反变换：
f (t ) 1 C
R R
三角函数sin(nωt)构成一组完备正交基，所以信号f(t) 可以用三角函数表示—傅里叶变换. Fourier_series_and_transform (1).gif
小波函数能够构成一组完备正交基，所以信号f(t) 也可以用小波函数表示—小波变换.
Fra Baidu bibliotek 小波变换
如果e1(t), e2(t), e3(t), ……, en(t)构成一组完 备正交基, 则任何信号f(t)可以表示成：