专题06 一次函数(知识点串讲)(解析版)

专题06 一次函数
知识框架
重难突破
一、正比例函数的概念、图象和性质
1、正比例函数的概念：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．正比例函数中自变量的取值范围是全体实数．
2、正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．
图像如图：
3、正比例函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大．当x＜0时，y随x的增大而减小．
备注：(1)正比例函数y＝kx，也可以说成y与x成正比例．要求函数关系式只需通过x，y的一组对应值求出k，从而确定关系式．
(2)正比例函数的图象是过原点的直线．当k＞0时，直线从左到右呈上升趋势，经过第三、一象限；当k＜0时，直线从左到右呈下降趋势，经过第二、四象限．画正比例函数的图象时．只需选取除原点外的一点，过原点和选取点画直线即可，选取的点一般为点(1，k)．
(3)正比例函数的性质也可以逆用．如当正比例函数y ＝kx (k ≠0)中y 随x 的增大而增大时，则k ＞0，反之k ＜0；再比如，正比例函数的图象过第一、三象限，则k ＞0等． 二、一次函数的概念、图象和性质
1.一次函数的概念：一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.
备注：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数. 2.一次函数b kx y +=（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：
正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线；一次函数图像可由正比例函数图像平移得到；
当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：
备注：(1)一次函数的关系式是关于自变量的一次关系式，要确定一次函数关系式，只需确定k ，b ． (2)一次函数的图象是一条直线，要画出图象只需确定图象上的两点，这两点一般选与x 轴、y 轴的交点⎪⎭
⎫
⎝⎛-
0,k b ，(0，b )，过这两点画直线即可．
(3)直线y ＝kx +b 也可以看做是把直线y ＝kx 向上(b ＞0)或向下(b ＜0时)平移b 个单位得到的． 3. k 、b 对一次函数b kx y +=的图象和性质的影响：
k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经
过的象限．
备注：（1）由k ，b 的符号可以确定直线y ＝kx ＋b 的位置．反过来，由直线y ＝kx ＋b 的位置也可以确定k ，b 的符号．这种数形结合的思想方法，是我们解决图象问题的重要方法．由k ，b 的符号也可以不通过画图象，直接判定直线的位置，k 的符号决定直线的倾斜方向，b 的符号决定直线与y 轴交点的位置．
(2)k 的大小决定直线的倾斜程度，即k 越大，直线与x 轴相交成的锐角度数越大；k 越小，直线与
x 轴相交成的锐角度数越小．b 决定直线与y 轴交点的位置，b ＞0时，直线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上；b ＜0时，直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．
4. 两条直线位置关系的确定：
两条直线：1l 11b x k y +=：和2l ：22b x k y +=的关系：
（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 备注：（1）直线y ＝k 1x ＋b 1与直线y ＝k 2x ＋b 2的位置关系： 当k 1＝k 2，b 1＝b 2时，两直线重合． 当k 1＝k 2，b 1≠b 2时，两直线平行．
当k 1≠k 2，b 1＝b 2时，两直线相交于y 轴上的一点(0，b 1)． 当k 1≠k 2，b 1≠b 2时．两直线相交． 三、待定系数法
待定系数法是确定函数关系式的基本方法． 1、用待定系数法确定一次函数表达式的步骤 (1)设出函数关系式的一般形式y ＝kx ＋b ．
(2)把自变量x 与函数y 的对应值代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程或方程组． (3)求出待定系数． (4)写出函数关系式．
备注：确定实际问题中一次函数关系式时，首先要将实际问题转化为数学问题，即建立数学模型，其次是建立函数与自变量之间的关系式，要注意确定自变量的取值范围． 例1．（2020·成都嘉祥外国语学校成华校区八年级期中）若函数2
3
(2)m y m x -=-是关于x 的正比例函数，
则常数m 的值等于（ ）
A ．±2
B ．﹣2
C ．3±
D ．3-
【答案】B
解：根据题意得，m 2﹣3＝1且2﹣m≠0， 解得m ＝±2且m≠2， 所以m ＝﹣2． 故选：B ．
练习1．（2020·成都嘉祥外国语学校成华校区八年级期中）若y ＝（k ﹣1）2k x -+k+1是关于x 的正比例函数，则k ＝_____． 【答案】-1
解：∵y ＝（k ﹣1）x 2﹣|k|+k+1，y 是x 的正比例函数， ∴2﹣|k|＝1，且k ﹣1≠0，k+1＝0， 解得：k ＝﹣1． 故答案为：﹣1．
例2．（2018·四川宜宾市·八年级期中）若函数2
(3)9y a x a =++-是正比例函数，则a=_______，图像过__________象限.
【答案】3 一、三 【解析】
解：根据正比例函数的定义，可得a+3≠0,a 2−9=0， ∴a=3，此时a+3=6>0， ∴图象过一、三象限. 故答案为：3；一、三.
练习1．（2018·四川成都市·八年级期中）在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，a ）在正比例函数1
2
y x =的图象上，则点Q （a ，3a ﹣5）位于第_________象限 【答案】四 【解析】
∵点P （2，a ）在正比例函数的图象上，
∴a=1，
∴a=1，3a ﹣5=﹣2，
∴点Q （a ，3a ﹣5）位于第四象限． 故答案为四．
例3．（2019·成都七中实验学校八年级期中）下列函数中y 是x 的一次函数的是（ ） A ．1
y x
=
B ．31y x
C ．2
1y x =
D ．231y x =+
【答案】B A ：1
y x
=，未知数x 充当了分母，不是(0)y kx b k =+≠的形式，故此选项错误； B ：31y x ，是一次函数，故此选项正确；
C ：21
y x
=
，未知数x 充当了分母，不是(0)y kx b k =+≠的形式，故此选项错误； D ：231y x =+，未知数x 的次数为2，故此选项错误； 故答案选B
练习1．（2020·渠县崇德实验学校八年级期中）下列函数：① y = -2x + 1；②2y x =；③ 1
2
y x =；④ y =6x ；⑤y = 2x 2 + 1，其中y 是x 的一次函数有（ ） A ．4个 B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】B
解：符合函数()0y kx b k =+≠都是一次函数，
∴①③④都是一次函数，②⑤不符合一次函数的解析式，故不是一次函数； ∴y 是x 的一次函数有3个； 故选B ．
例4．（2020·四川省内江市第六中学八年级期中）一次函数y ＝－3x －2的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 解：∵k=-3＜0，
∴函数经过第二、四象限，
∵b=﹣2＜0，∴函数与y 轴负半轴相交， ∴图象不经过第一象限． 故选A
练习1．（2020·渠县天关中学八年级期中）一次函数y=kx+1（0k ≠）的图像可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
∵一次函数解析式中：b=1，即：该函数图象与y 轴交于正半轴， ∴符合题意的图象只有C ， 故选：C
例5．（2020·四川电子科大实验中学八年级期中）若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则k ，b 的取值范围是（ ） A ．0k >，0b > B ．0k >，0b <
C ．0k <，0b >
D ．0k <，0b <
【答案】C
∵一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，
当k ＞0时，直线必经过一、三象限；当k ＜0时，直线必经过二、四象限； ∴k ＜0
当ｂ＞0时，直线必经过一、二象限；当ｂ＜0时，直线必经过三、四象限； ∴ｂ＞０ 故选C ．
练习1．（2020·成都七中万达学校八年级期中）已知一次函数y ＝kx ＋b 随着x 的增大而减小，且kb ＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
因为y 随着x 的增大而减小， 可得：k<0， 因为kb<0， 可得：b>0，
所以图像经过一、二、四象限. 故选A.
例6．（2020·四川成都市·成都外国语学校八年级期中）若一次函数1y kx k =++的图象不经过第三象限，则k 的取值范围是（ ） A ．10k -≤< B ．10k -<<
C ．0k <
D ．1k ≤-
【答案】A
一次函数1y kx k =++的图象， 不经过第三象限，
010k k <⎧∴⎨+≥⎩
，
解得10k -≤<． 故选A ．
练习1．（2020·四川雅安市·雅安中学八年级期中）已知正比例函数y kx =，且y 随x 的增大而减少，则直线
2y x k =+的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
解：∵正比例函数y kx =，且y 随x 的增大而减少，
∴k ﹤0， 在2y x k =+中， ∵2﹥0，k ﹤0，
∴直线2y x k =+经过第一、三、四象限， 故选：D ．
例7．（2020·渠县崇德实验学校八年级期中）已知正比例函数y=kx 的图象经过点P(- 2，2)， （1）求出该正比例函数的关系式；
（2）若点Q(a ，- 4)在这个函数的图象上，求a 的值，并写出点Q 的坐标． 【答案】（1）y x =-；（2）4a =；点Q 为：（4，4-）． 解：（1）∵点P （2-，2）在y kx =的图像上， ∴22k =-， ∴1k =-，
∴正比例函数的解析式为：y x =-； （2）∵点Q 在y x =-的函数图像上， ∴4a -=-， ∴4a =；
∴点Q 为：（4，4-）．
练习1．（2020·成都嘉祥外国语学校成华校区八年级期中）已知一次函数的图象经过(2,3)A --，()1,3B 两点.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）试判断点(1,1)P -是否在这个一次函数的图象上.
【答案】（1）21y x =+；（2）点(1,1)P -不在这个一次函数的图象上. 解：（1）设这个一次函数的表达式为y kx b =+.
由题意得23,3,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得2,
1,k b =⎧⎨
=⎩
∴这个一次函数的表达式为21y x =+. （2）当1x =-时，2(1)111y =⨯-+=-≠. ∴点(1,1)P -不在这个一次函数的图象上.
例8．（2017·四川成都市·八年级期中）已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（1，4）和（2，2）． （1）求这个一次函数；
（2）画出这个函数的图象，与x 轴的交点A 、与y 轴的交点B ；并求出△AOB 的面积；
（3）在第四象限内，直线AB 上有一点C 使△AOC 的面积等于△AOB 的面积，请求出点C 的坐标． 【答案】（1）y=﹣2x+6；（2）9；（3）C （6，﹣6）。

【解析】 本题解析：
解：（1）∵一次函数y=kx+b 的图象经过点（1，4）和（2，2）． ∴
，解得：
，
∴这个一次函数的解析式为y=﹣2x+6． （2）令y=0可得﹣2x+6=0，解得x=3，
∴A 点坐标为（3，0），令x=0可得y=6，∴B 点坐标为（0，6）， 函数图象如图：△AOB 的面积为：×3×6=9； （3）．设C （t ，﹣2t+6），
∵△AOC 的面积等于△AOB 的面积， ∴•3•|﹣2t+6|=9，解得t 1=6，t 2=0（舍去）， ∴C 点坐标为（6，﹣6）．
练习1．（2020·四川成都市·成都铁路中学八年级期中）已知一次函数y kx b =+的图象经过点(1,2)和(1,6)-． （1）求这个一次函数的表达式．
（2）若这个一次函数的图象与x 轴交于A ，与y 轴交于点B ，求ABO
S 的值．
【答案】（1）24y x =-+；（2）4．
解：（1）由题意得y kx b =+过点(1,2)和 (1,6)-，
代入得：26k b k b =+⎧⎨=-+⎩
，
解得24
k b =-⎧⎨
=⎩，
故一次函数表达式为24y x =-+．
（2）令0x =，则4y =，故B 点坐标为：()0,4， 令0y =，则2x =，故A 点坐标为：()2,0，
1
4242
ABO
S
∴=⨯⨯=． 例9．（2019·四川广元市·戴氏教育集团广元总校八年级期中）如图：已知直线y kx b =+经过点()5,0A ，
()1,4B ．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）若直线24y x =-与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标； （3）根据图象，直接写出关于x 的不等式240x kx b ->+>的解集．
【答案】（1）5y x =-+；（2）点C 的坐标为()32，；（3）35x <<
解：（1）因为直线y kx b =+经过点()5,0A ，()1,4B
所以将其代入解析式中有504x b x b +=⎧⎨+=⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩
，
所以直线AB 的解析式为5y x =-+；
11 / 12
（2）因为直线24y x =-与直线AB 相交于点C
所以有524y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩
所以点C 的坐标为()32，
； （3）根据图像可知两直线交点C 的右侧直线24y x =-高于直线y kx b =+且大于0，此时x 的取值范围是大于3并且小于5，所以不等式240x kx b ->+>的解集是35x <<.
练习1．（2021·成都高新新源学校八年级期中）如图，直线AB ：2y x k =-过点M （k ，2），并且分别与x 轴，y 轴相交于点A 和点B ．
（1）求k 的值；
（2）求点 A 和点B 的坐标；
（3）将直线AB 向上平移3个单位得直线l ，若C 为直线l 上一点，且3AOC S =，求点C 的坐标． 【答案】（1）2；（2）(1,0),(0,2)A B -；（3）5
,62⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 解：（1）将()2M k ，
代入2y x k =-中可得， 22k k -=，
2k =，
故k 的值为 2；
（2）将2k =代入直线AB 可得∶22y x =-，
令0x =，则2y =-，
令0y =，则1x =，
12 / 12 (1,0),(0,2)A B ∴-；
（3）由题意可得，平移3个单位后的直线l 为， 223y x =-+，即：21y x =+，
设C 点坐标为(1)2a a +，，
1
2ADC C S AO y =⨯⨯△，
1
1|21|32a ∴⨯⨯+=，
|21|6a +=，
216a +=±，
解得∶5
2a =或7
2a =-，
代入可得，点C 的坐标为5,62⎛⎫
⎪⎝⎭或7 ,62⎛
⎫
-- ⎪⎝⎭.。