曲线积分与曲面积分复习

第8章 曲线积分与曲面积分

向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分

概念与形式

恒力沿直线方向做功 →

→→

→

⋅=⋅=l F l F w θcos ||||

变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→

||，则⎰+

+=

L Qdy Pdx W 。

平面曲线⎰+

+L Qdy Pdx ，空间曲线⎰+

++L Rdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-

+=L L

一、计算方法

1．设参数，化定积分

⎰L

dx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{10

⎰

'+'

2．平面闭曲线上积分－用格林公式

⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D

的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。

~

3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关

),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。下列四个命题等价

（1）⎰

+C

Qdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .

（2）

⎰+L

Qdy Pdx 积分与路径无关

（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A L

L

u du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰

（4）x

Q

y P ∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.

常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题

1．基础题目，设参数，化定积分 ,

（1） 计算⎰

-=L

ydx xdy I ，:

L 如图ABCDEA

解 （1）设参数法

⎰∑⎰

==L

i L i

5

1

于1L 上 设t x cos =，t y sin =

⎰⎰

-=

+=-0

2

222

)sin (cos 1

ππ

dt t t ydx xdy L

于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=

⎰⎰

=⋅+⋅=-20

)sin sin 2cos 2(cos 2

π

πdt t t t t ydx xdy L

于3L 上 以x 为参数，xdx

dy 2-=

⎰

⎰

-=

---=-2

223

8)]2()2([3

dx x x x ydx xdy L 于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰

-=-=-1

0224

dy ydx xdy L

于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰

⎰-=--=-02

2)1(5

dx ydx xdy L

} 综上

23

14

23+=-⎰πL

ydx xdy 解（2）（用格林公式）

)(224321

S S S S

dxdy ydx xdy D

L

+++==-⎰⎰⎰

231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+

=πππ （2） 计算 ⎰++=C

dz x dy z dx y I 2

22。其中C 是曲线

)0,0(2

22222≥>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z R Rx

y x R

z y x 从x 轴正向看去，逆时针方向。

解（1）令2sin sin 2cos 2

2222θθ

θR y x R z R y R R x =--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

==-

θθθθθθθπd R R R R R R I ]2cos 2)cos 1(4cos 22sin sin 2sin 4[22222022⋅+++-=⎰ 34

1R π-=

解（2） 由对称性 02≠⎰C dy z ，而02=⎰C dx y ，02

=⎰C

dz x ，由上述参数法

》

dt t t R t d R

R I 22cos sin 2

2

cos 2

2sin

02

320

2

2

⋅==⎰

⎰π

π

θ

θ

θθ ⎰

⎰

-=-=20

423

2

2

3

)sin 2(sin 2)sin 21(sin π

π

dt t t R

dt t t R

3

3

41

2241322

1

2R R ππ

-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-= 注（1）设参数注重平面，“抓住平面痕迹，解得空间曲线

(2)对称性问题，以直观（几何）定义解之为好

（3） 计算：⎰++L

xdz zdy ydx 。⎩⎨⎧=++=+1

:222z y x R y x L 交线，从z 轴正向看去逆时针方

向。 （令t R x cos =,t R y sin =，t R t R z sin cos 1--=） 例2 格林公式（加线减线）

（1） 计算

⎰-++-C

x x

dy ax y e dx y x b y e

)cos ()](sin [，:C 从点)2,0(a A 沿曲线

22y ay x --=到点)0,0(O 的曲线。