曲线积分与曲面积分复习
高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题
高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题第11章曲线积分与曲面积分一(曲线积分1.对弧长的曲线积分 (第一类), f(x,y)ds,f[,(t),,(t)],'(t)，,'(t)dt(,,,),,L,典型例题,x,acost (1)圆周0,t,1 {y,asint2,222n222n222n，1 (，)ds,(cost，asint)(acos't)，(asin't)dt,2,ayax,,L0(x，y)ds(2)线段:把线段表示出来 L是(1，0)到(0,1)的直线段 ,L1(x，1,x)x，1dx,2,0 原式= 直线为:y=1-x22x，yeds (3)圆弧的整个边界(分段) ,La,a222,，xyxa22a42e1dx，e(acos't)，(asin't)dt，e1，1dx,e(2，a),2 ,,,0004(4)参数方程 (公式)2xyzds(5)利用折线围成的封闭图形 (坐标分段) A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2) ,,3322,0,0,1y20，1，0dy,y,9AB: BC: CD: ,,,,ABBC0CD0？,，，,9 ,,,,,ABBCCD2.对坐标的曲线积分 (第二类),P(x,y)dx，Q(x,y)dy,{P[,(t),,(t)],'(t)，Q[,(t),,(t)],'(t)dt ,,L,典型例题x,acost222xydx0,t,1(1)圆周圆周及x轴在一(x,a)，y,a(a,0){,Ly,asint xaacost,，x,x:(0,t,1),:象限逆时针 {{LL12yasint0,y,2a,3a(1cost)asint(aacost)'dt0dxa,，,，，，,, ,,,,120LLL21222(2)直线: 写出函数关系从(0,0)到(2,4) x-ydx，L:y,x,L25624 原式=x-xdx- (),,015,(3)圆弧 L: x=rcost,y=rsint上对应t从0到的一段弧 ydx，xdy，,L2(4)参数方程 (公式)(5)利用折线围成的封闭图形dx-dy，ydz ，A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) ABCA封闭图形 ,,=01131[1(1)][(1)'(1)']121 ，，,,,zdx，,,z，,zzdz，dx,,，，,,,,,,,ABBCCA10022二(格林公式,Q,P(-)dxdy,Pdx，Qdy1. ,,,L,x,yD1A,xdy-ydx2.面积 ,L2,,PQ3.曲线积分;pdx，dy,, 与路径无关Q,L,y,xP(x，y)dx，Q(x，y)dy同上Pdx，Qdy与路径无关,存在u(x，y)使du,Pdx，Qdy4. ,Lxy u(x,y),p(x,y)dx，Q(x,y)dy0,,xy00典型例题22xyxyyedxxedyL(,)，(3，):，,1的正向(1) 22,Lab,p,Q,1,3？,2dxdy,2,ab，解: ,,,L,y,xD(2)验证整个xoy面内存在u(x，y)使2232ydu= (3xy，8xy)dx，(x，8xy，12ye)dy并求u(x，y),p,Q2,,3x，16xy，？存在解: ,y,xxy32y322yU(x，y),0dx，(x，8xy，12ye)dy，c,xy，4xy，12(y,1)e，c ,,002三(曲面积分1.对面积的曲面积分 (第一类)22 f(x，y,z)ds,f[x,y,z(x,y)]1，z，zdxdyxy,,,,Dxy典型例题221，4zds,其中,是z,x，y上z,1的曲面部分(1)球面。
曲线积分与曲面积分复习
第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。
平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价 （1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1） 计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
曲线积分与曲面积分复习
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
一定，二代，三换元，定，代，换关键在 方程。小下限,大上限.
L:
L:
步骤：
1.写出L的参数方程，确定参数的范围 2.化为定积分
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
应用：
例6 计算 L (3x y)dy ( x y)dx, 其中L为
( x 1) 2 ( y 4) 2 9 的负向.
例7 计算
2 2 xdy , 其中 L 为 x y 1上由点 L
A(1,0) 到点 B(0,1) 的一段弧.
例8 计算 原点的分段光滑正向闭曲线. y L
利用路径无关计算曲线积分
2 2 xy d x x dy，其中L是xoy平面内的任 例9 计算 L
意有向闭曲线. 特点：路径无关，闭曲线,积分为零.
x e 例10 计算 L cos ydx sin ydy，其中L是从点(0, 0)
到点 ( , ) 的任意有向曲线. 2 2
特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.
i
n 1
L
L
对坐标的曲线积分
M i 1 M2 M 1
L
Pdx Qdy
A
o
x
对坐标的曲线积分
L
Pdx Qdy
特点(1)积分曲线是有向曲线弧. (2)被积函数的定义域是曲线弧.
P( x, y ), Q( x, y ),( x, y) L
(3)微元 dx,dy 是有向弧微分ds 在坐标轴上的投影 与一类曲线积分的 本质区别
(完整版)曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则1(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分.若积分曲线L 关于x 轴对称，则1(,)2(,)LL f y f x y ds f x y ds f y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数10 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则()()=⎰⎰LLf x ds f y ds .（3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则10 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分.若积分曲面∑关于yOz 面对称，则10 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分.若积分曲面∑关于zOx 面对称，则10 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分.（4）若曲线弧():()()αβ=⎧≤≤⎨=⎩x x t L t y y t ，则[(,)(),()()βααβ=<⎰⎰Lf x y ds f x t y t若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r （极坐标），则[(,)()cos ,()sin βαθθθθθ=⎰⎰Lf x y ds f r r若空间曲线弧():()()()αβ=⎧⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则[(,,)(),(),()()βααβΓ=<⎰⎰f x y z ds f x t y t z t（5）若有向曲线弧():(:)()αβ=⎧→⎨=⎩x x t L t y y t ，则[][]{}(,)(,)(),()()(),()()βα''+=+⎰⎰LP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则(,,)(,,)(,,)Γ++⎰P x y z dx Q x y z dy R x y z dz[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()βα'''=++⎰P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt（6）若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈，则[(,,),,(,)xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈，则[(,,)(,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈，则[(,,),(,),zxD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.（7）若有向曲面:(,)z z x y ∑=，则(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰（上“+”下“-”） 其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.若有向曲面:(,)x x y z ∑=，则(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰（前“+”后“-”） 其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.若有向曲面:(,)y y x z ∑=，则(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰（右“+”左“-”） 其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域. （8）d d +⎰LP x Q y 与路径无关d d 0⇔+=⎰cP x Q y （c 为D 内任一闭曲线）(,)⇔=+du x y Pdx Qdy （存在(,)u x y ） ∂∂⇔=∂∂P Qy x其中D 是单连通区域，(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.（9）格林公式(,)(,)⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L D Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向，(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或(cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z PQRΓ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰其中Γ为曲面∑的边界曲线，且Γ的方向与∑的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤：（1）计算曲线积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分； ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2+=++⎰Ldx dyI x y x，其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++⎰⎰⎰⎰LL L L dx dy dx dy dx dyI x y x x x x 由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称，被积函数211==+P Q x对x 、y 均为偶函数，因此220,011==++⎰⎰L L dxdyx x故 20+==++⎰Ldx dyI x y x『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.例 2 计算曲面积分2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS ，其中∑为球面2222++=x y z R .解 2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS2222222(222222)∑=+++++++++⎰⎰a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知0∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS又由轮换对称性知222∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dS y dS z dS 故 2222222∑∑∑∑=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰I a x dS b y dS c z dS n dS22222()∑∑=+++⎰⎰⎰⎰a b c x dS n dS22222222()43π∑++=+++⎰⎰a b c xy z dS R n22222222222244[()]33ππ∑++=+=+++⎰⎰a b c R R dS R n R a b c n『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3 计算曲面积分222()∑++⎰⎰x y z dS ，其中∑为球面2222++=x y z ax .解 2222()22()2∑∑∑∑++==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z dS axdS a x a dS a dS 222402248ππ∑=+==⎰⎰a dS a a a『方法技巧』 积分曲面∑是关于0-=x a 对称的，被积函数-x a 是-x a 的奇函数，因此()0∑-=⎰⎰x a dS例4 计算曲线积分2222-+⎰Lxy dy x ydxx y L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆时针方向.解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式cos :(:02)sin θθπθ=⎧→⎨=⎩x a L y a代入被积函数中得22232222[cos sin cos cos sin (sin )]πθθθθθθθ-=--+⎰⎰Lxy dy x ydxad x y2232232202sin cos 2sin (1sin )ππθθθθθθ==-⎰⎰a d a d324332013118(sin sin )8224222πππθθθπ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ad a a解法2 利用格林公式2222222211()-=-=++⎰⎰⎰⎰LLDxy dy x ydxxy dy x ydx x y dxdy aa x y 其中222:+≤D x y a ，故222232200112πθρρρπ-==+⎰⎰⎰a Lxy dy x ydxd d a a x y『方法技巧』 本题解法1用到了定积分的积分公式：213223sin 13312422πθθπ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰n n n n n n d n n n nn 为奇数为偶数解法2中，一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.例5 计算曲线积分22()()+--+⎰L x y dx x y dyx y，其中L 为沿cos π=y x 由点 (,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.解 直接计算比较困难.由于 2222,+-+==++x y x yP Q x y x y，222222()∂--∂==∂+∂P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周2222π+=x y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ，其参数方程为：cos 5:(:)44sin θππθθ⎧=⎪'-→⎨=⎪⎩x L y ，代入被积函数中得 222()()1()()2π'+--=+--+⎰⎰LL x y dx x y dy x y dx x y dy x y544[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]ππθθθθθθθ-=+---⎰d54432ππθπ-=-=-⎰d『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段'L ，既要保证'L 简单，又要保证不经过坐标原点.例6 计算曲面积分∑++⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，其中∑1=的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解 由于曲面∑具有轮换对称性，∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，∑投影到xOy面的区域{}(,)1=≤xy D x y ，故233(1∑∑∑++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy21(1223(13(1==⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy 1401(12=⎰dx411(1)30--=⎰t t dt 『方法技巧』 由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ，∑只要投影到xOy 面即可.例7 计算曲面积分222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy ，其中∑为锥面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.解 利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ，取下侧，则222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy 1222()()()∑+∑=-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑--+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy123()Ω∑=---⎰⎰⎰⎰⎰dxdydz h x dxdy 23()Ω=-+-⎰⎰⎰⎰⎰xyD dxdydz h x dxdy其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域，xy D 为∑投影到xOy 面的区域，即{}222(,)=+≤xy D x y x y h ，由xy D 的轮换对称性，有2221()2=+⎰⎰⎰⎰xyxyD D x dxdy x y dxdy 故222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y zdzdx z x dxdy222113()32π=-+-+⎰⎰⎰⎰xyxyD D h h h dxdy x y dxdy23234001124πππθρρπ=-+-=-⎰⎰h h h h d d h『方法技巧』 添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.例8 计算曲线积分()()()-+-+-⎰Lz y dx x z dy x y dz ，其中221:2⎧+=⎨-+=⎩x y L x y z 从z 轴的正向往负向看，L 的方向是顺时针方向.解 应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧，∑在xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ，则()()()∑∂∂∂-+-+-=∂∂∂---⎰⎰⎰Ldydzdzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z yx zx y222π∑==-=-⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面∑的选取都是关键，∑既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下： (1) 曲线或曲面形物体的质量. (2) 曲线或曲面的质心（形心）. (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）平面曲线形物体 (,)ρ=⎰LM x y ds空间曲线形物体 (,,)ρ=⎰LM x y z ds曲面形构件 (,,)ρ∑=⎰⎰M x y z dS（2） 质心坐标平面曲线形物体的质心坐标： (,)(,),(,)(,)ρρρρ==⎰⎰⎰⎰L L LLx x y ds y x y ds x y x y dsx y ds空间曲线形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,)(,)(,)ρρρρρρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰LLLLLLx x y z dsy x y z dsz x y z dsx y z x y dsx y dsx y ds曲面形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑∑∑∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dSy x y z dSz x y z dSx y z x y z dSx y z dSx y z dS当密度均匀时，质心也称为形心.（3） 转动惯量平面曲线形物体的转动惯量：22(,),(,)ρρ==⎰⎰x y LLI y x y ds I x x y ds空间曲线形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+⎰⎰x y LLI y z x y z ds I z x x y z ds22()(,,)ρ=+⎰z LI x y x y z ds曲面形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ∑∑=+=+⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dS I z x x y z dS22()(,,)ρ∑=+⎰⎰z I x y x y z dS其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4） 变力沿曲线所作的功平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy 空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功(,,)(,,)(,,)=++⎰ABW P x y z dx Q x y z dy R x y z dz （2） 矢量场沿有向曲面的通量矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量(,,)(,,)(,,)∑Φ=++⎰⎰P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy（3） 散度和旋度矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度div A ∂∂∂=++∂∂∂P Q R x y z矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度rot A ()∂∂=-∂∂R Q y z i ()∂∂+-∂∂P R z xj +()∂∂-∂∂Q P x y k xy z P Q R∂∂∂=∂∂∂ 1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤：ij k（1）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分.例9 设质点在场力F {}2,=-k y x r 的作用下，沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2πA 移动到(,0)2πB ，求场力所做的功.（其中=r k解 积分曲线L 如图11.7所示. 场力所做的功为(,)(,)=+⎰AB W P x y dx Q x y dy 22=-⎰AB y x k dx dy r r 令22,==-y x P Q r r ，则22224()(∂-∂==+≠∂∂P k x y Q x y y r x 即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径：1πππ:cos ,sin (:0)222θθθ==→L x y 1022222π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=⎰⎰L y x W k dx dy k k r r 『方法技巧』 本题的关键是另取路径1L ，一般而言，最简单的路径为折线路径，比如AO OB ，但不可以选取此路径，因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径1L 的取法不是唯一的.例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ，曲面∑是由曲线(12)0⎧⎪=≤≤⎨=⎪⎩y z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .解 旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ，令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧，2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧，则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧，故(,,)(,,)(,,)∑=++⎰⎰Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy2sin ∑=+⎰⎰xz dydz xdxdy1212222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy 122sin sin Ω∑∑=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰z dxdydz xdxdy xdxdy2222222221125sin sin +≤++≤+≤=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z x y x y z dz dxdy xdxdy xdxdy2221128(1)0015ππ=-+-+=-⎰z z dz 『方法技巧』 本题的关键是写出旋转曲面∑的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分.。
(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
曲线积分与曲面积分复习课好-PPT文档资料
（3）计算 直接计算法 ——化为对L的定位参数的定积分。 第一类：从小参数到大参数； 第二类：从起点参数到终点参数。 注意： 先化简； 第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲线积分的联系； 用Green公式及其推论、Stokes公式.
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I Pdx Qdy
（2）两类曲面积分的联系 0 d S n dS (cos , cos , cos ) dS
( dydz ,dzdx ,dxdy )
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（3）计算 直接计算法 第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分； 第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二 重积分。 注意： 先化简；第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲面积分的联系； 用高斯公式。
L
(x ,y )
Q P ( ) dxdy I Pdx Qdy P Q P Q 闭合 I x y (x ,y D 0 0) y x y x 补充曲线再用公式 I Pdx Qdy 0
非闭
L
闭合
非闭
基本 方法
xx ( t) yy ( t)
O ( 0 , 0 ) A ( 1 , 1 ) L y sin x 中 为 由 点 到 点 的 曲 线 . 2
思路:
(x ,y )
Q Байду номын сангаасP 非闭 ( ) dxdy 闭合 I I Pdx Qdy P Q P Q x y (x ,y D 0 0) y x y x I Pdx Qdy 0 非闭 补充曲线再用公式
曲线积分与曲面积分的复习建议(1)
曲线积分与曲面积分的复习建议：1. 方向导数按公式计算时，给的方向向量没有单位化。
原因：对208页书上例2没有打重点星号。
2. 用格林公式计算第二曲线积分没有真正掌握，课上我们强调了三条：一封闭二方向三光滑对于在所围区域中不够光滑的函数P ，Q 不可以直接用格林公式，要挖了再用。
原因：对书上167页例3没有打重点星号。
或打了没有去体会两种情形的区别。
3. 格林公式基本掌握，但挖的方针没有掌握（挖时兼顾将被积函数的分母变为常数） 原因：课上我们讲解176页课后习题4，没有注意体会。
这个习题很重要，请打重点星号4. 计算曲线或曲面积分，要结合曲线或曲面方程适当观察，看被积函数是否有部分或整体可以化简例如：本次考试题第3题被积函数可以化成常数，书上160页课后习题5的分母可以化成常数。
5. Gauss 公式被冷落。
Gauss 公式在第二曲面积分的计算时使用频率是很高的，特别是被积函数没有分母，而被积区域是一些常见曲面问题，例如四面体，球面，碗面，锥面，柱面，重点例题：197页例3191页例3，这里书上是用定义计算的，我们改成用Gauss 公式计算6.第一曲面积分计算掌握得不牢固，原因可能是以为书上178页到181页的例题，除了例二 其他曲面参数选取都没有根据曲面特点，全将参数取成x,y（i ） 曲面是球面的，我们用球面参数表达，此时参加126页。
但根126页不同的是，球面上的第一曲面积分，半径是常值，即该球面的半径所以θϕϕd d R dS sin 2=请大家把126页的球面坐标的面去掉，因为此时时球坐标，积分区域是球而非球面。
(ii)曲面是柱面的，我们可以选取柱面坐标，参加125页，但125页上的半径此时在柱面情形下是常数⎪⎩⎪⎨⎧===z z R y R x θθsin cosdz Rd dS θ= (iii)曲面是碗面或锥面的，由z 已经是显示表达为x,y 的函数，所以一般选取x,y 为参数,dxdy z z dS y x 221++=x,y 的变化区域即为曲面投影在xoy 平面的区域7. 曲面S 的面积的计算公式不清楚⎰⎰=S1dS S 的面积 即常值函数1的第一类曲面积分8.三重积分化为累次积分计算的两种基本方法没有掌握累次积分方法一：一般来说，碗，锥体，球体的体积分，因为横切面都是圆，我们可以尝试着先横截，参加124页图11.22这里以球体为例解释一下，第一次的二重积分区域z D 的得来：第一步，首先，写出立体的边界曲面方程2222R z y x =++第二步：将x,y 变量留左边，其他全移在右边，等号改成不小于等于号2222z R y x -≤+累次积分方法二：先串，见122页图11.209.第二曲面积分计算因为受191页例3及192页例4的影响，不管z 的显示表达，取x,y 为参数，依然取y,z 为曲面的参数。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
高数：曲线积分与曲面积分总结
对坐标的曲线积分
L
f ( x , y )ds lim f ( i , i )si
0 i 1
n
L P ( x, y )dx Q( x, y )dy
n 0 i 1
lim [ P ( i , i )xi Q( i , i )yi ]
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
Q P ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) L x y D 格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
（ 1 ） 对D内任意一条闭路径L, Pdx Qdy 0; ( 2)
Pdx Qdy 在D内与积分路径无关；
L
L
（ 3 ） 存在二阶连续可导函数 u( x, y )使得 du Pdx Qdy, ( x, y ) D;
Q P (4) , ( x , y ) D. x y
y
x
投影法
(1)把曲面Σ向xoy面投影，得区域D xy
( 2)把曲面Σ的方程z f ( x , y )代入被积函数 .
n { z x , z y ,1},
R( x , y, z )dxdy R( x , y, z ) cos dS
cos
1
2 1 z2 z x y
L f ( x, y )ds
2 2
计
LPdx Qdy
[ P[ x ( t ), y( t )] x t Q[ x ( t ), y ( t )] y t dt f [ x( t ), y( t )] x y dt t t 算 二代一定 (与方向有关) ( ) 三个代换
高等数学复习-曲线积分与曲面积分
高等数学复习-曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的物理意义？曲线形构件的质量f(x,y)为线密度ds为弧微分长度二、对弧长的曲线积分的性质？（1）数乘与加减性（2）分段性（3）比较性三、对弧长的曲线积分的计算法？（1）确定谁是谁的函数（2）函数对自变量求导（3）仅用自变量代换因变量（4）仅用自变量代换弧微分（5）将曲线积分转化为对自变量的定积分四、对坐标的曲线积分的物理意义？变力沿曲线做功五、对坐标的曲线积分的性质？（1）数乘与可加性（2）分段性（3）方向性六、对坐标的曲线积分的计算法？（1）找到P与Q；（2）确定x与y的参数方程（也可以是以x、y其中一个为参数）；（3）将x、y全部换成参数方程；（4）转化为对参数的定积分（注意参数的范围）。
七、两类曲线积分的转化？八、格林公式的物理意义？再平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L 上的曲线积分来表达。
若给出的是二重积分形式（1）找到Q对x的偏导，P对y的偏导按顺序作差后的值；（2）反推出P与Q（注意合理分配P与Q，例如可令其中一个为零）；（3）转化为坐标的曲线积分（令P、Q其中一个为零比较好计算）；（4）若给出的是对坐标的曲线积分（1）找到P与Q；（2）计算出Q对x的偏导，P对y的偏导（若两个偏导相等，则积分为零）；（3）两个偏导数按计算时的顺序作差；（4）转化为二重积分；（5）确定X（Y）型区域；（6）确定x的固定范围；（7）任取x确定y的变动范围；（8）转化为线对y的变上限积分再对x的定积分九、利用格林公式计算曲线积分？十、对曲面积分的物理意义？流向曲面一侧的流量（单位时间内流向制定曲面一侧流体的质量）十一、对曲面积分的计算法？（1）确定题目给出的是哪侧；（2）确定外侧还是内侧（外侧取正，内侧取负）；（3）确定需不需要分块（上前左取正，下后右取负）；（4）转化为二重积分。
十二、对坐标的曲面积分的物理意义？十三、对坐标的曲面积分的计算法？十四、两类曲面积分的转化？十五、高斯公式的物理意义？十六、利用高斯公式计算曲面积分？。
高数期末复习题 第十一章 曲线积分与曲面积分
第十一章 曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。
ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。
x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。
用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。
d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。
αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。
011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。
dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。
曲线积分与曲面积分总结
曲线积分与曲面积分总结standalone； self-contained； independent； self-governed；autocephalous； indie； absolute； unattached； substantive第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分 ⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则 原式=dt t y t x t y t x f ⎰'+'βα)()())(),((22对弧长的曲线积分 (,,)((),(),(LLf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩βα≤≤t则 原式=((),(),(f x t y t z t βα⎰常见的参数方程为：特别的：22222.2xy LLLe ds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分 ⎰+L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点处α=t ，终点处β=t 则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++⎰计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。
曲线积分与曲面积分复习课好
04
计算
05
计算
06
计算
07
Green公式
08
Stokes公式
09
Guass公式
10
曲线积分与曲面积分 复习 课
主要内容 例题 各种积分之间的联系
汇报时间：12月20日
Annual Work Summary Report
一、主要内容
1、曲线积分 （1）概念 第一类 第二类 （2）两类曲线积分的联系
（3）计算
闭合 非闭 闭合 非闭 补充曲线再用公式 基本方法
2、曲面积分
概念 第一类 第二类 两类曲面积分的联系
（3）计算
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Green公式、Gauss公式、Stokes公式
注意：
建立了不同维数积分间的联系 公式及其推论在计算曲线积分、曲面积分中的应用
注意：条件。
定向。
二、例题
思路: 闭合 非闭 闭合 非闭 补充曲线再用公式
解
解
例3
解
例4
解
解
三、各种积分之间的联系
定积分 二重积分 积分概念的联系
三重积分
曲面积分 曲线积分
计算上的联系
其中
理论上的联系
1. 定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2. 二重积分与曲线积分的联系 格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
高斯公式 曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式
附、 各种积分之间的联系图
定积分
01
曲线积分
02
重积分
03
曲面积分
高数下册-曲线积分与曲面积分复习题
24、 选择题
下列结论正确的是( )
A. ∫∫ e x+ydxdy = 4∫∫ e x+ydxdy , D：| x | + | y |≤ 1, D1：x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0；
13、
计算
∫L
(x
+
y)dx x2
− +
(x y2
−
y)dy
，其中
L
为圆周
x2
+
y2
=
a2(按逆时针方
向绕行)；
14、
计算
∫ xydx + ( x − y)dy + x2dz Γ
，其中
Γ
为螺旋线
x = a cos t,
y = a sin t, z = at (0 ≤ t ≤ π ) 上从点 A(a,0,0) 到点 B(−a,0, aπ ) 的一段
∫ e x (cos L
ydx − sin ydy)
17、 计算 ∫Γ xdx + ydy + zdz ，其中曲线 Γ 为从点 A(1,1,1) 到点 B(2,3,4) 的
直线段；
18、 计算 ∫L xy2dy − x2 ydx ，其中 L 为圆周 x2 + y2 = R2 的逆时针方向； 19、 利用格林公式计算 I = ∫L (2xy − x2 )dx + ( x + y2 )dy ，其中 L 是由抛物
线 y = x2和 y2 = x 所围区域的正向边界曲线；
20、
∫ 利用格林公式计算 I = (e x sin y − my)dx + (e x cos y − m)dy ，其中 AnO
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
曲线积分与曲面积分复习课件
z z 面积元素 dS 1 x y dxdy 2dxdy
求 D yz
求 Dxy
求 Dxz
2 2 I f [ x, y, z( x , y )] 1 z x z2 I f [ x( y, z ), y, z ] 1 x 2 y dxdy y x z dxdz
Dyz
Dxy
2 I f [ x , y( x, z ), z )] 1 y x yz2 dxdz Dxz
第十章 曲线积分与曲面积分
习题课（三）
对面积的曲面积分（第一型曲面积分）
一、对面积的曲面积分的定义
1．定义:
f ( x, y, z )dS lim f ( , ,
0 i 1 i i
n
i
)S i
2．物理意义:
M ( x , y , z )dS
表示面密度为 ( x, y, z )的曲面 的质量。
五、对面积的曲面积分的应用
1．几何应用 求曲面的面积： S dS
2．物理应用 质量 M ( x , y , z )dS 质心 1
1 z M
1 x x( x , y, z )dS y M M
y( x, y,
z )dS
z( x, y,
从而 ( z 2 x
4 y )dS 3
D xy
4
61 dxdy 3
4 61 1 2 3 4 61 3 2
注： 本题亦可框图中线路1或线路3的解题方法来求解。
【例2】计算曲面积分 ( xy yz zx )dS，其中 为锥面
曲线积分与曲面积分复习提纲
ϕ ( x) = x 2 + C ，因为 ϕ (0) = 0 ，所以 C = 0 ，于是 ϕ ( x) = x 2 。
∫
(1, 2 )
( 0, 0)
xy 2 dx + x 2 ydy =
设
1 2 2 (1, 2 ) x y |( 0, 0) = 2 。 2
2
例题 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∫ ϕ ( x) + y
L
xdy − ydx
≡ A(≠ 0) ， 其 中 L 是 绕 过 原 点 的 正 向 闭 曲 线 ， ϕ ( x) 可 导 且
ϕ (1) = 1 。
（1）求 ϕ ( x) ； （2）求 A 。
解答： （1） P ( x, y ) =
−y x ， , Q ( x, y ) = 2 ϕ ( x) + y ϕ ( x) + y 2
0 0
t
因为
∫
( t ,1)
( 0,0 )
2
2 xydx + Q( x, y )dy = ∫
1 t 0 0
(1,t )
(0,0)
2 xydx + Q( x, y )dy ，
所以 t +
∫ ϕ ( y)dy = t + ∫ ϕ ( y)dy ，两边对 y 求导得 ϕ (t ) = 2t − 1 ，
2
故 Q ( x, y ) = x + 2 y − 1 。 例题 4 设曲线积分
∫
( t ,1)
( 0,0 ) (1,t )
2 xydx + Q( x, y )dy = ∫ Q(t , y )dy = ∫ [t 2 + ϕ ( y )]dy = t 2 + ∫ ϕ ( y )dy ，
华中科技大学微积分下复习笔记—曲线积分与曲面积分
文档说明：本文档为作者自己整理的微积分（下）有关曲线积分与曲面积分的复习笔记，包含两部分——基本公式（基于华中科技大学微积分课本）和题型汇总（基于华中科技大学微积分学习辅导），请勿用作商用，若文中有打错的字还请多多包涵。
基本公式1.第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）或者1）物理意义：a. 曲线的质量，重心坐标b. 曲线弧长s=！可以用于简化计算2）性质：线性性、可加性、中值公式：s是L的弧长，L上有一点P，3）计算a.参数方程版：三元：，注意这个公式必须满足①L是空间光滑曲线；②α和β必须满足α<β二元：同理b.坐标代换版：三元柱面坐标：二元极坐标：c.普通曲线版对于y=f(x)，2.第二型曲线积分（对坐标的曲线积分，矢量场在有向线段上的积分），L是分段光滑有限长的有向线段，F={P,Q,R}分段连续1）物理意义：质点沿有向曲线L从起点运动到终点时，变力F={P,QR}所做的功2）基本概念：a.①其中P,Q,R是被积函数，L是积分弧段或者积分路径②r是L上动点的矢径（位置矢量），质点的坐标可以表示成(x,y,z)，也可以r=x i+y j+z k③τ是L的单位切矢量， α β 是τ的方向余弦。
④d r和τ同向，dx,dy,dz是d r分别在x轴，y轴，z轴上的投影，投影可正可负，依赖于L的方向。
⑤矢量函数F是数量函数F τ的第一型曲线积分。
b.性质：反向性、线性性、曲线可加性（方向不变）可拆分性：（空间一个力做的功等于三个分力做的功之合）垂直：若，则（垂直与物体运动方向的力不做功）3）计算a.化为定积分：需注意：①t的取值，即从α到β一定要反应L的方向；②这种化为定积分的计算方式中是不出现弧微分的；③P,Q,R都是用t表示的；④参数化方程时，如y=y(x)的，可以b.化为二重积分：格林公式c.二元函数的全微分求积找到原函数v使得，则其中，P,Q在D上有连续的一阶连续偏导，且在D内Q x=P y4）格林公式a.普通版公式①成立条件：D由xy平面上的简单闭曲线L（分段光滑且自身不相交）围成，函数P,Q,R（包括边界！）有连续的一阶偏导数。
曲线积分和曲面积分复习资料
L
x y ds ( 2 sin ) 2 d
2 2
0
π
8.
x y 例3 求 ( 3 x 4 y 2 xy)ds, 其中L : 1. L 4 3
对弧长的曲线积分的概念、 计算与应用
一、对弧长的曲线积分的概念 二、对弧长的曲线积分的性质
三、对弧长的曲线积分的计算
一、对弧长的曲线积分的概念
定义 设 L是xOy面内以A, B 为 端点的光滑曲线弧 ,函数f ( x , y )
y
( i , i ) 在L上有界 .在L上任意插入一个点 A M 2 M i 1 列 A M 0 , M 1 , M 2 , , M n B , 把 O M 1 L分成n个小段 , 设第i个小段M M 的长度为s , 在 x
L2
( 3)当f ( x , y ) 1时, ds等于L的长度 .
(4)设在 L 上f ( x , y ) g( x , y ), 则
L f ( x, y )ds L g( x, y )ds.
特殊地
L f ( x, y)ds L f ( x, y) ds.
(5)设函数f(x)在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点 ( , ) 使得
S柱面面积 f ( x , y )ds;
L
z f ( x, y)
O y
L
x
L
( 2)当 f ( x , y ) 1时, L弧长 ds;
y
(3)当 ( x, y )表示 L的线密度时,
M ( x , y )ds .
L
( x, y)
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第8章 曲线积分与曲面积分向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=L Qdy Pdx W 。
平面曲线⎰++L Qdy Pdx ，空间曲线⎰+++L Rdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=L L一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{10⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
~3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价（1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）xQy P ∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分 ,（1） 计算⎰-=Lydx xdy I ，:L 如图ABCDEA解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-20)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L 于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-10224dy ydx xdy L于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L} 综上231423+=-⎰πLydx xdy 解（2）（用格林公式）)(224321S S S Sdxdy ydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ （2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
其中C 是曲线)0,0(222222≥>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z R Rxy x Rz y x 从x 轴正向看去，逆时针方向。
解（1）令2sin sin 2cos 22222θθθR y x R z R y R R x =--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-θθθθθθθπd R R R R R R I ]2cos 2)cos 1(4cos 22sin sin 2sin 4[22222022⋅+++-=⎰ 341R π-=解（2） 由对称性 02≠⎰C dy z ，而02=⎰C dx y ，02=⎰Cdz x ，由上述参数法》dt t t R t d RR I 22cos sin 22cos 22sin0232022⋅==⎰⎰ππθθθθ ⎰⎰-=-=20423223)sin 2(sin 2)sin 21(sin ππdt t t Rdt t t R3341224132212R R ππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-= 注（1）设参数注重平面，“抓住平面痕迹，解得空间曲线(2)对称性问题，以直观（几何）定义解之为好（3） 计算：⎰++Lxdz zdy ydx 。
⎩⎨⎧=++=+1:222z y x R y x L 交线，从z 轴正向看去逆时针方向。
（令t R x cos =,t R y sin =，t R t R z sin cos 1--=） 例2 格林公式（加线减线）（1） 计算⎰-++-Cx xdy ax y e dx y x b y e)cos ()](sin [，:C 从点)2,0(a A 沿曲线22y ay x --=到点)0,0(O 的曲线。
连接O ，A 直线段（记为L ）⎰⎰+-+=LLC Qdy Pdx Qdy Pdx I"⎰-++-=LC x x dy ax y e dx y x b y e )cos ()](sin [⎰-++--Lx x dy ax y e dx y x b y e )cos ()](sin [⎰⎰⎰----=a Dx x ydy dxdy b y e a y e 20cos )]cos ()cos [(a ab a y dxdy a b aD2sin )(2|sin )(220--=--=⎰⎰π2．L 是不过原点的简单闭曲线（正向）计算曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224。
解 （1）当L 不包围原点时⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--++-=+-L D dxdy y x y x y x y x y x ydx xdy 0)4(4)4(44222222222222 （2）当L 包围原点时，做小椭圆2224:εε=+y x L (使ε充分小，从而e L 含于闭曲线内)。
则πεεπεεεεε=⋅⋅⋅=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰+221)11(1222LDL L dxdy ydxxdy 。
注：本题为一特殊类型，形式：闭曲线围奇点；只当满足yPx Q ∂∂=∂∂可微，此时对于任意围奇点的闭曲线积分相等。
例3 （积分与路径无关问题）.a P ，Q 已知，积分与路径无关，自选路径 ·（1）计算⎰+-L y x ydx xdy 22，L ：x y 2cos π=，由)0,1(-A 至)1,0(B 再到)0,1(C 弧段解 易验证yP x Q ∂∂=∂∂，积分与路径无关，做)0(122≥=+y y x 段（记为1L ） 则原式⎰⎰⎰-=+=-=+-=1)sin (cos 02222L L dt t t ydx xdy yx ydx xdy ππ（2）计算⎰--+^)(cos )12(AOByy dy xe y dx e xy ，其中^AOB 为起于)1,1(-A 沿2x y =到)0,0(O 再沿0=y 至)0,2(B 。
解 ⎰⎰⎰⎰⎰++-++=+=2)10(cos 12^^^dx ydy xydx dy xe dx e I AOOBAOyy AO2cos 12)(0112^+-+=⎰⎰⎰-ydy dx xx xe d AOy1sin 12|sin |41201014)0,0()1,1(+-=+-⋅+=--e y x xey b ．P ，Q 之一未知，已知积分于路径无关问题。
（1）设f 具有连续二阶导数，且1)1()1(='=f f ，⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+L dy x y f x y dx x y xf x y 0[]2，》其中L 是任一不与y 轴相交的简单光滑逼曲线，求)(x f 。
解 L ∀原积分为零，则y P x Q ∂∂=∂∂，即⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎭⎫ ⎝⎛--'-='+x y f x y x x y f x y f x x x y 2)()(2 xy x y f x y f x y 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛''，令t x y =，得t t f t f t 2)(2)(='-''，2)(2)(='-''t f t t f 222222222122)(ct t ct t t c dt t t c dt e e t f dt t dt t +-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰='⎰⎰- 代入1)1(='f 得c +-=21，3=c ，t t t f 23)(2-='，123)(c t t t f +-=，代入初值1)1(=f 得1111c +-=,11=c ，则1)(23+-=t t t f 即1)(23+-=x x x f （2）设函数),(y x Q 与xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分⎰+Ldy y x Q xydx ),(2路径无关，且t ∀恒有 ⎰⎰+=+),1()0,0()1,()0,0(),(2),(2t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx~求),(y x Q 。
解 由于积分与路径无关，得x xy yx Q 2)2(=∂∂=∂∂，则)(),(2y c x y x Q +=，)(y c 为待定函数，则 ⎰⎰⎰+=+=+1122)1,()0,0()())((),(2dy y c t dy y c t dy y x Q xydx t⎰⎰⎰⎰+=+==+tttt dy y c t dy y c dy y Q dy y x Q xydx 0),1()0,0()())(1(),1(),(2从而 ⎰⎰+=+tdy y c t dy y c t 0102)()(，对t 求导得 )(12t c t +=，12)(-=t t c ，12)(-=y y c 从而12),(2-+=y x y x Q ；小注：上述两例由积分与路径无关，和P ，Q 之一未知而导得微分方程，称为解方程问题。
向量值函数在有向曲面上的积分一、概念与形式 1．定义流量→→→→⋅∆⋅⋅=s v v n S v Q ),cos(||，Rdxdy Qdzdx Pdydz ds v dQ ++∆⋅=→→ ))),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P v =→⎰⎰⎰⎰++++=⋅→S S Rdxdy Qdzdx Pdydz dS v2．物理意义：计算流量，通量 3．性质：⎰⎰⎰⎰-+-=S S4．计算方法：投影，定号：上正下负，右正左负，前正后负，做二重积分 5.高斯公式Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω，或dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos (γβα++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω这里∑是Ω的整个边界曲面的外测,γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦.二、例题例1 求积分⎰⎰外S xyzdxdy ，其中1:222=++z y x S ，0,0≥≥y x 部分外测 …解 把S 分成两部分：221:y x z S --=上，221:y x z S ---=下⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+--=+=xyxyS S S D D dxdy y x xy dxdy y x xy)1()1(12222下外上外外1521cos sin 2121224022=-=--=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x xy xyD πθθθ。