分组分配问题

C C C C 15 6 2 1 45 A A 2 2
2 6 2 1 4 2 2 2 2 2 1 1
(5)局部均匀分组: 把n个不同的元素分成m组，其中m1个组有r1个元
素， m2个组有r2个元素，…… mk个组有rk个元素， 则共有
rk r1 r1 r1 r2 Cn Cn r1 Cn C C ( m1 1) r1 n mr rk
6 本不同的书分给3 个人，按要求有多少种不同的分法？ (1)平均分给甲、乙、丙三人；
2 2 2 C6 C4 C2 3 2 2 2 A3 C6 C4 C2 90 3 A3
(2)分给甲一本，乙两本，丙三本；
C C C 60
1 6 2 5 3 3
(3)分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；
1 2 3 C6 C5 C3
（2）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
CC C A
（3）分给甲、乙、丙3人，甲1本，乙2本，丙3本；
2 2 C62C4 C2 3 A3
1 6
2 5
3 3
3 3
1 2 3 C6 C5 C3
（4）分成三份，每份两本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
2 2 2 C6 C4 C2
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4
（2）恰有一个空盒，共有多少种放法？
1 2 3 C4 C4 A3
（3）恰有2个空盒，共有多少种放法？
2 2 2 3 2 C4 (C4 C2 C4 A2 )
解：① ③ ⑤
C C C 1260 ②
2 9 3 7 4 4
3 4 3 C92C7 C4 A3 7560
3 3 3 C9 C6 C3 280 3 A3
C C C 1680 ④
3 9 3 6 3 3
2 2 C62C4 C2 3 C3 1260 3 A3
练习4：
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份 4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有 多少种分法?
分组分配问题
平均分组与不平均分组
1、将四个小球分成两组，每组两个，有多 少分法？ 3种
2、将四个小球分给两人，每人两个， 有多少分法？ 6种
甲
乙
甲
乙
3、将四个小球分成两组，一组三个，一组 一个，有多少分法？ 4种
4、将四个小球分给两人，一人三个， 一人一个，有多少分法？ 8种
甲
乙
甲
乙
分组分配问题主要有分组后有分配对象(即 组本身有序)的均分与不均分问题及分组后无分 配对象(即组本身无序)的均分与不均分问题四种 类型，常见的情形有以下几种:
（6）分给5个人，每人至少一本；
C A
2 6
5 5
例2:有6本不同的书，分成4堆. （1）如果一堆3本，其余各堆各1本，有多 少种分法？
CCCC 20 3 2 1 3 20 或C 6 20 3 A3 6
3 6 1 3 1 2 1 1
（2）如果每堆至多2本，至少1本，有多少 种分法？
(1)均匀、无序分组:
把n个不同的元素分成无序的m组，每组r个元素，
则共有
CC C A
r n
r nr
r n2r m m
C
r r
种分法.(其中mr=n)
(2)均匀、有序分组:
把n个不同的元素分成有序的m组，每组r个元素， 则共有
r r r r Cn Cn C C r n2r r种分法.(其中mr=n)
解: (1) C C C C 3150
6 10 1 2 4 6 1 2 1 1
6 2 2 2 (2) C10 C6 C4 C2 18900
(3)今有5本不同的书,分给甲、乙、丙三人，每人至少1本，有 多少种分法?
1 1 2 3 C A C5C4 A3 2
3 5 3 3
r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素，
再分给m个人，则共有
C C
r1 n
r2 n r1
C
r3 n r1 r2
C A
rm rm
m m
种分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
4 6
1 2
1 1
(6)分给甲乙丙三人，每人至少一本. 4 3 1,1,4 6 3
C A 90
1 6 2 5 3 3 3 3
1,2,3
2,2,2
C C C A 360
2 2 2 C6 C4 C2 90
共540种
若分成的m组是有组别的， 只需在原来的分组基础上再
A
m m
有4个不同的球，4个不同的盒子，问： （1）把球全部放到盒子内,共有几种放法?
1
mk m1 m2 Am A A m2 mk 1
种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
练习1:将12个人分成2，2，2，3，3的5个 组，则分组的种数是多少？
C C C C C 2 A A2
2 12 2 10 3 3 2 8 3 6
3 3
练习2:将5个人分成4个组，每组至少1人， 则分组的种数是多少？
(3)非均匀、无序分组: 把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组
r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素，
则共有
C C
r1 n
(其中r1+r2+r3+…+rm=n) (4)非均匀、有序分组:
r2 n r1
C
r3 n r1 r2
C
rm rm
种分法.
把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组
C C C A 360
1 6 2 5 3 3 3 3
(4)分给甲四本，乙、丙各一本；
CC 2 4 1 1 C A C 2 6 C2C1 30 2 A2
4 6
1 2
1 1
6 本不同的书分给3 个人，按以下要求有多少种不同的分法？ (5)分给三个人，一人四本，其余两人各一本；
CC 3 4 3 C A3 C6 A3 90 2 A2
C C C C A
2 5 1 3 1 2 3 3
1 1
C
2 5
练习3:9件不同的玩具，按下列方案有几种分法？ 1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法？ 2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种 分法？ 3.每人3件，有多少种分法？ 4.平均分成三堆，有多少种分法？ 5.分为2、2、2、3四堆，有多少种分法？