第三章 命题逻辑的推理理论

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前提：pq, pr, rs 结论：sq 证明: ① s 附加前提引入 ② p r 前提引入 ③ rs 前提引入 ④ ps ②③假言三段论 ⑤ p ①④拒取式 ⑥ p q 前提引入 ⑦ q ⑤⑥析取三段论 请用直接证明法证明。
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3.归谬法（反证法）
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将 B 加入前提，若推出矛盾，则得证 推理正确。 理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 A1A2…AkB为重言式。
请用直接证明法证明。
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注意： • 把具体的命题公式代入某条推理定律 后就得到这条推理的一个代入实例； • 推理定律的每一个代入实例都是重言 式，可以使用这些推理定律证明推理 正确； • A B 产生两条推理定律: A B, B A
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§3.2 自然推理系统P
一、自然推理系统 二、在自然推理系统P中构造证明
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(11) 破坏性二难推理 (9) 析取三段论规则 规则 AB AB B CD \A BD (10) 构造性二难推理 \AC 规则 (12) 合取引入规则 AB A CD B AC \AB \BD
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二、在自然推理系统P中构造证明
1.直接证明法 2.附加前提证明法 3.归谬法（反证法）
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注意 1. 由前提A1，A2，…，Ak推结论B的推理是否 正确与诸前提的排列次序无关。 2. 前提和结论的取值有以下四种：
A1∧A2∧…∧Ak 0 0 B
0
1
推理 T T
1 1
0 1
F T
推理正确并不能保证结论B一定成立。这 与人们通常对推理的理解是不同的。
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二、判断推理是否正确的方法
1.真值表法 2.等值演算法 3.主析取范式法（主合取） 注意： 判断推理是否正确，即判断A1∧A2∧…∧Ak→B 为重言式。
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欲证明
例：用归缪法构造下面推理的证明。 前提：(pq)r, rs, s, p 结论：q
证明： ① q ② r s ③ s ④ r ⑤ (pq)r 结论否定引入 前提引入 前提引入 ②③拒取式 前提引入
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⑥ (pq) ⑦ pq ⑧ p ⑨p ⑩ pp
④⑤析取三段论 ⑥置换 ①⑦析取三段论 前提引入 ⑧⑨合取
2. 有效推理（定理3.1） 定理3.1：“A1, A2, …, Ak推B” 的推理正确 当且仅当A1∧A2∧…∧Ak→B为重言式。
3.形式结构
前提：A1, A2, … , Ak 结论： B 若推理正确， 则记住A1∧A2∧…∧Ak B
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1. 定义(定义3.1)
设A1，A2，…，Ak和B都是命题公式，若 对于A1，A2，…，Ak和B出现的命题变项的任 意一组赋值， 或者A1∧A2∧…∧Ak为假， 或者当A1∧A2∧…∧Ak为真时B也为真， 则称由前提推出结论B的推理是有效的或正 确的，并称B是有效的结论。
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注意：第11页幻灯片的内容要熟记。
三、推理定律（重言蕴涵式）
序号 名称 等值式
1 2 3 4 5 6 7 8
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
附加律 A (AB) 化简律 (AB) A 假言推理 (AB)A B 拒取式 (AB)B A 析取三段论 (AB)B A 假言三段论 (AB)(BC) (AC) 等价三段论 (AB)(BC) (AC) 构造性二难 (AB)(CD)(AC) (BD) （特殊性） (AB)(AB)(AA) B (AB)(CD)( BD) 破坏性二难 (AC)
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例：用附加前提证明法构造下面推理的证明。 2是素数或合数. 若2是素数，则 2 是无理 数. 若 2 是无理数，则4不是素数. 所以，如 果4是素数，则2是合数. 解：设 p：2是素数. q：2是合数. r： 2是无理数. s：4是素数. 形式结构: 前提：pq, pr, rs 结论：sq
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一、自然推理系统
1.字母表 系统中允许出现的字符，有三类——命 题变项符号、联结词、括号与逗号。 2.合式公式（同定义1.6） 原则上不出现除5个联结词外的其他联结 词，同时原则上不出现命题常量0或1。 3.推理规则集 上节9个重言蕴涵式作为推理规则；同时， 一个基本等值式相当于2个推理规则；除此之 外，还要使用2个最基本的推理规则。
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注意：第15-16页幻灯片的内容要熟记。 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
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前提：(pq)r, rs, 结论：pq
s
证明: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
r s s r (p q ) r (pq) pq
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤置换
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2.附加前提证明法
欲证明 前提：A1, A2, …, Ak 蕴涵式 结论：AB 等价地证明 前提：A1, A2, …, Ak, A 结论：B 理由： (A1A2…Ak)(AB) ( A1A2…Ak)(AB) ( A1A2…AkA)B (A1A2…AkA)B
例：如果天气凉快，小王就不去游泳. 天气凉快. 所以小王没有去游泳. p:天气凉快. q:小王去游泳. 前提： (p→┐q)∧p 结论： ┐q
那么，什么样的推理是正确的？
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§3.1 推理的形式结构
一、推理的形式结构
二、判断推理是否正确的方法
三、推理定律
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一、推理的形式结构
1. 定义（定义3.1）
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1.直接证明法
例：构造下面推理的证明。 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星期一和星期三. 解 :设 p：明天是星期一. q：明天是星期三. r：我有课. s：我备课. 形式结构为: 前提：(pq)r, rs, s 结论：pq
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(2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解： 设p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (pq)qp 证明（用主范式法） (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp M1 (pq)(pq)(pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1 ，故01是成假赋值，所以 推理不正确。
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例: 判断下面推理是否正确。 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以明天是5号. 解：设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (pq)pq 证明（用等值演算法） (pq)pq ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
前两章中，已建立起具有严格语法的符
号语言，也就是形式语言。这为用数学方法
研究推理过程在理论和技术做了充分准备。
本章中，主要讨论推理的基本概念、推
理规则及证明推理有效性的方法。
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第三章 命题逻辑的推理理论
§2.1 推理的形式结构
§2.2 自然推理系统P
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推理指的是从前提出发推出结论的思维过 程，而前提是已知的命题公式集合，结论是从 前提出发应用推理规则推出的命题公式。