椭圆定义及应用

一、椭圆第一个定义的应用

1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F

1、F

2

，和一个定长2a。若动点P到

两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F

1F

2

|<2a.则动点轨迹是椭圆。

两个定点F

1、F

2

称为椭圆的焦点。

由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。

1.2 应用举例

例1.已知点

1(3,0)

F-,

2(3,0)

F,有

126

PF PF

+=,则P点的轨迹是.

例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的

焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切.

解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗

长，属于中档题。我们若抓住PF

2为一个圆直径，PF

1

为另一个圆半径的2倍，用

公式，很容易得出正确解答。

例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，

求的面积.24

解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用

解决

例4.P 是椭圆22

14520

x y +

=上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点,若

则12PF PF -的值为( )

A.65

B.25

C.

1

53

D.253 例5.在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程.

练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

例6.已知定点A（－2，3）,点F为椭圆

22

1

1612

x y

+=的右焦点，点M在该椭圆上移动时，

求| AM| ＋| MF |的最小值与最大值。

例7.设P是直线x-y+9=0上一点，过P点的椭圆以F

1 (-3，0)和F

2

（3，0）为

焦点，试求P点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出具有最短长轴的椭圆的方程。

解评：（1）转化思想是高中数学重要的数学思想，此题把求长轴最短值转化为

求的最小值，再转化为求F

1

关于直线x-y+9=0的对称点。这样做后，思路清晰，条理分明，计算简捷。

二、椭圆第二个定义的应用

2.1 椭圆的第二个定义（课本P 78）点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

时，这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆

的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

2.2 应用举例

例1.椭圆焦点F 1（-c ，0），F 2（c ，0），离心率M 是椭圆上一点，其横坐

标为x 0，求M 点的两个焦半径|MF 1|和|MF 2|之长.

解：过M 作右准线的垂线MM 2，则

根据椭圆第二定义

同理可得

解评（1）解析几何中很容易求出平行于坐标轴的线段长，因此椭圆上一点到准线的距离易求，某点的焦半径

结果易见。题设中若有某点的焦半

径信息，用第二定义解题可得事半功倍之效。 （2）此题的结果

，与第二定义等式

都可作为公式加以应用。

例2.椭圆上一点P到左准线的距离等于2，求P到右焦点距离。

解：

解评此题使用了椭圆的两个定义.

例3.已知定点A（－23,点F为椭圆

22

1

1612

x y

+=的右焦点，点M在该椭圆

上移动时，求| AM| ＋2| MF |的最小值。

三、同步检测

1.椭圆上一点P 到左、右两焦点距离之比为1：3，则P 到左准线的

距离是（ ）

A.5

B.15

C.

D.

2.短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F 1和F 2 . 过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则

的周长为（ ）

A.24

B.12

C.6

D.3 3.已知椭圆上一点P 到右焦点的距离为b ，则P 到左准线的距离是

（ ）

4.已知椭圆的焦点F 1（-1，0），F 2（1，0），P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 2|与|PF 1|的等差中项，则该椭圆的方程是（ ）

5.P 是椭圆

上的动点，过点P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中

点的轨迹方程是（ ）

答案及提示

提示：

1. | PF

1

|=5

2.

3.

4.

5. 设P（x

0，y

），PM的中点N（x，y），

代入即得结果。