数学分析中的化归法
高中数学解题中应用化归法的总结与分享
高中数学解题中应用化归法的总结与分享
1、理解分段函数：
分段函数包括三种：常函数、分子函数和分母函数。
理解这三种常见的分段
函数，掌握各种变换的方法是解决这类题目的关键。
2、对于函数的求值：
首先要明确，在分段函数的求值过程中，一定要注意求值的区间，确定属于
哪一段函数。
其次，需要注意函数表达式是否可分解，有时需要先分解函数以简化求值步骤。
3、化归法：
化归法是求解分段函数的一种常用方法，最重要的是注意运用表达式的变换，将分段函数简化，从而使其归为具��有解的函数。
一般来说，这种方法求解复杂的分段函数可能有多种可能，所以需要学会如何变换函数，找到最有效的变换方式，以及如何快速判断是否成功变换，以便得到正确的解。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用化归是高中数学解题中经常运用的一种方法，它指的是通过某种操作，将一个复杂的问题转化为一个更为简单的问题，以便于解决。
化归思想的应用广泛，下面我们来看看在高中数学解题中，化归思想是如何运用的。
一、化式化式即将一个式子，通过某种运算，转化为另外一个式子。
在高中数学中，经常会用到多项式式子化简、换元、配方法、公式代入等方法。
1、多项式式子化简多项式式子的化简，是将多项式式子中的一个或多个同类项进行合并，以达到简化的目的。
如：将多项式2x³+5x²-3x-7与4x³-2x²+x+5相加，可以化简成为6x³+3x²-2x-2。
2、换元高中学习中，经常会碰到求导题目，这时可以通过换元，将高阶函数转化为低阶函数，以便进行求导运算。
如：设y=e^x，求y’/y。
y’/y=e^x/e^x=1又如：将x²+1=t，代入y=ln(t)中，则y’=1/(x²+1) * 2x =2x/(x²+1)3、配方法配方法是指通过某种运算，将一个含有有理式的式子转化为分子含有多项式，分母含有完全平方的式子，进而简化解题。
如：将分式1/(x-2)(x+3)进行配方法：1/(x-2)(x+3)=(A/(x-2))+(B/(x+3))，化简得：令x=2，则得到A=-1/5；令x=-3，则得到B=1/5。
4、公式代入高中数学中，很多题目都有相应的公式，可以将公式代入到试题中，从而进行解题。
如：已知一条直线经过点P（2，3），斜率为2，求该直线在y轴上的截距。
直线的一般式为：Ax+By+C=0已知斜率为2，可得到：A=2，B=-1将点P代入一般式中，则可得到C=1将A=2，B=-1，C=1代入公式中，可得到y轴截距为1。
二、化形化形是将一个复杂的问题转化为一个更加简单的问题，通过分析问题、变换思路，重构问题的形式，从而使问题更容易得到解决。
数学中的划归方法及其应用
数学中的化归方法及其应用班级电子商务10-01 学号 20104045 姓名鲁婷数学思想是对数学事实、概念、理论和方法的本质认识，是数学方法的灵魂，揭示了数学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化中的辩证唯物主义观点，数学方法是数学思想的具体表现，它们是数学知识的核心。
在数学中比较常用和基本的数学思想及方法是化归（转化）。
一、化归思想方法及化归原则1、化归的思想“化归”是转化和归结的简称，是数学家们十分典型的思维特点，匈牙利数学家罗莎•彼得在《无穷的玩艺》中分析数学家在面临所要解决的问题时提出：“他们不是对问题实行正面的攻击，而是不断的将它变形直至将它转化成能够解决的问题。
”化归，是运用某种方法和手段，把有待解的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为所熟悉的规范性问题来解决的方法。
2、化归的一般原则化归原则的结构中蕴涵着三个基本要素，即化归的对象、目标、和方法。
化归的对象就是待解问题中需要变更的成分，化归的目标是所要达到的规范问题。
化归原则的核心是实现问题的规范化，也就是把一个生疏的，复杂的问题化为熟悉的、简单的问题，以便利用已知的理论、方法和程序实现问题的解决。
因此熟悉化和简单化是化归的基本方向。
化归与转化的一般原则是：①化归目标简单化原则；②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。
）；③具体化原则；④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。
标准形式是指已经建立起来的数学模式。
如二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）；椭圆方程）；⑤低层次化原则（解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。
这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单）。
3、化归与转化策略化归与转化的策略有：①已知与未知的转化（已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗化的方向转化，如综合法；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或从结论人手进行转化，如分析法）。
数学解题思想【数学解题中的化归思想】
数学解题思想【数学解题中的化归思想】一、化归的基本思想“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.二、化归的基本原则在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际的问题转化为数学问题；将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.三、化归的基本类型1.常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.分析：若采用方程求根公式x=来讨论x的整数值，显然十分复杂.在原方程中，x是变元，a是参数，不妨把a与x的位置换一下，把a看做变元，x看做参数来处理.解：将原方程以a作变元，重新整理，得a（x+2）=2x+7①显然，当x=-2时，①式不成立.因此，有a=（x≠-2）②若要a为正整数，则须2x+7≥（x+2）解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分别代入②式中即知，仅当x=-3，x=-1和x=1时能使a 为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.2.数与形之间的转化数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.例2.求函数f（x）=的值域.分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.解：设y=，则f（x）==，于是所求y的值域就是求定点A（1，-2）与半圆y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的动点P（x，y）所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A（1，-2）斜率为［1，+∞），即f（x）的值域为［1，+∞）.图13.一般与特殊的转化若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决；反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.例3.设f（n）=++。
“化归法”在高等数学教学中的应用
“化归法”在高等数学教学中的应用
化归法是高等数学中一种常用的解题方法，通过将复杂问题化简为简单问题，从而更
容易求解。
在高等数学教学中，化归法被广泛应用于不同的数学领域，包括代数、微积分、线性代数等。
本文将从这些方面介绍化归法在高等数学教学中的应用。
在代数中，化归法常常用于解方程和证明数学等式。
对于复杂的方程，可以通过化归
法将其转化为简单的方程从而解得方程的解析解。
举个例子，在解二次方程时，可以通过
变量代换将方程化为标准的二次方程，再利用求根公式求出方程的解。
化归法也能帮助证
明一些数学等式，例如利用二项式定理将复杂的多项式转化为简单的形式。
通过化归法，
学生不仅能够更好地理解代数中的概念和方法，还能锻炼他们的问题解决能力和逻辑思维
能力。
在线性代数中，化归法可以用于求解线性方程组和矩阵的特征值与特征向量。
对于复
杂的线性方程组，可以通过使用矩阵的初等变换将其化简为简单的行阶梯或行最简形式，
从而求出线性方程组的解。
对于复杂的矩阵，可以通过相似变换将矩阵化为特殊形式，从
而求出其特征值和特征向量。
化归法在线性代数教学中的应用，不仅能够帮助学生理解矩
阵和向量的性质，还能提高他们求解线性方程组和矩阵特征值特征向量的能力。
化归法是高等数学教学中一种重要的方法。
它能够帮助学生理解和应用各种数学概念
和方法，提高他们的问题解决能力和思维能力。
化归法虽然简单，但却可以解决许多看似
复杂的数学问题。
在高等数学教学中深入研究和运用化归法，对于学生的数学素养的提高
具有重要意义。
高中数学解题教学中化归法的使用策略
高中数学解题教学中化归法的使用策略
一、明确化归的内容
1、明确所用化归的名称，明确化归的目的以及要使用的关键步骤。
2、把题中所给已知条件分类归纳，把相似含义有关的句子归并为一类，仔细分析，形成“归纳总结链”。
3、认真审题，明确未知量、未知变量，依据未知量的特点，可能形成
一些“计算式”，让未知量从具体变数失不确定性。
4、根据化归关键步骤推导完成，使用方便明了的计算式，把未知量具
体化，把遗留的未知量明确及解出。
二、化归法的使用策略
1、在解题之前，向学生介绍化归策略，提醒学生此策略能够让解题变
得容易：先将解题中的已知和未知数据归类，分类总结，去掉不重要
的条件，并形成归纳总结链，分析未知量的特性，最后系统地进行推导，从而完成数学解题的过程。
2、在讲解具体策略时，Mac 课堂、形象生动的说明栽子图等形式呈现，让学生更容易掌握化归步骤，并明确让学生熟练掌握化归与具体题目
的自然联系。
3、在作业里尽量给出化归法解题的实例，让学生以此为范例，在实践
中巩固化归策略，形成巩固性学习。
4、在讲解和训练的过程中即给学生出具体的练习，让其手把手实践解题，巩固策略的熟练度，并及时狠严地订正学生的错误习惯。
第五章数学中的化归方法
第五章数学中的化归方法数学中的化归方法在不同的学科和领域中都有广泛的应用，从初等数学到高等数学，无一不离开化归方法的运用。
化归方法是指将一个复杂的问题通过其中一种方式转化为一个相对简单的问题，从而更容易解决。
下面将介绍一些常见的化归方法及其在数学中的应用。
一、代数化归法代数化归法是将一个数学问题通过代数运算转化为一个简单的代数关系或方程，并从中得出解的方法。
例如，在解方程问题中，经过代数化归可以将一个高次方程化归为一个低次方程，从而更容易求解。
代数化归法也常应用于恒等式的证明，通过代数运算将一个复杂的恒等式转化为一个简单的恒等式，从而完成证明。
二、几何化归法几何化归法是将一个几何问题通过几何变换转化为一个简单的几何问题，并从中得出解的方法。
例如，在求解三角形问题中，可以通过几何化归将一个三角形问题转化为一个矩形问题或平行四边形问题，从而更容易解决。
几何化归法也常应用于证明几何定理，通过几何变换将一个复杂的几何问题转化为一个简单的几何问题，并利用已知定理得出结论。
三、数列化归法数列化归法是将一个数列问题通过数列变换转化为一个简单的数列问题，并从中得出解的方法。
例如，在求解数列极限问题中，可以通过数列化归将一个复杂的数列极限问题转化为一个简单的数列极限问题，从而更容易求解。
数列化归法也常应用于求解递推数列问题，通过数列变换将一个递推数列问题转化为一个简单的递推数列问题，并从中得出通项表达式或递推公式。
四、微积分化归法微积分化归法是将一个微积分问题通过微积分运算转化为一个简单的微积分问题，并从中得出解的方法。
例如，在求解定积分问题中，可以通过微积分化归将一个复杂的定积分问题转化为一个简单的定积分问题，从而更容易求解。
微积分化归法也常应用于求解微分方程问题，通过微积分运算将一个微分方程问题转化为一个简单的微分方程问题，并从中得出解析解或数值解。
除了以上提到的几种常见的化归方法，化归方法还可以通过其他数学工具和技巧实现，例如复数化归、矩阵化归、函数化归等。
化归法
问题 得到解决
从和谐美 获取启发
案例3： 小莉今年10岁，她爸爸今年 36岁，问几年后，爸爸的年龄是小莉的三倍？ 假设小莉一年长3岁， 问题就变成：
小莉今年30岁，她爸爸今年36岁，几年 后小莉的年龄和她爸爸的年龄一样？
(36 30) (3 1) 3（年）
训练2： 粗蜡烛和细蜡烛长短一样。粗的
由5％变为6.2％，100千克里需要有 的水转换为盐。
6.2 5 1.2 （千克）
由 1.2 3 1.8 2可知 ，必需有200千克浓度为8％的盐水 与300千克浓度为5％的盐水才能混合为浓度为6.2％的盐水。
1 1 8% (200 ) 5% (300 ) 4 6 4 2.5 将原问题中比较复杂 的形式、关系结构，通过化归途径，将其 变为比较简单的形式、关系结构，或者通 过问题的简单化，获得解决复杂问题的思 路。
复杂的 问题
化归
简单的 问题
复杂的问题 得到解决
解决简单的问题
案例1：44 4888 66 6 ____
第二讲
案例： 一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要2小时， 去时顺水，比返回来每小时多航行8千米，且第二小时比第 一小时少航行6千米，求甲、乙两地水路的距离？ 顺水
甲
3千米
乙
3 3 1 顺航： 6 8 （小时）前一小时里逆航： （小时） 1 4 4 4 1 逆行速度为每小时： 6 2） 12 （ （千米） 4 1 甲、乙两地水路的距离是：12 (1 ) 15 （千米） 4
可以点5小时，细的可以点4小时。同时点燃这 两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛比细蜡烛 长 3 倍。你能算出这两支蜡烛点了多少时间？
《数学方法论》数学中的化归方法
《数学方法论》数学中的化归方法数学中的化归方法是一种常用的解题策略，它通过将复杂的问题转化为简单的问题来进行求解。
化归方法在数学中应用广泛，可以用于解代数方程、数列求和、几何问题等各个领域。
首先，化归方法常常用于解代数方程。
对于一般的一元方程，我们可以通过化归将其转化为更简单的方程来求解。
例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过变量替换或者配方法来化简为标准的二次方程求解。
对于高次方程，我们也可以通过不断化归，将其转化为低次方程或者一元方程组来求解。
这种化归方法在解方程过程中发挥了重要的作用。
其次，化归方法也常应用于数列求和问题。
对于一般的数列，我们可以通过找到其递推关系或者通项公式来化归为简单的数列，从而求出数列的和。
例如，对于等差数列和等比数列，我们可以通过化归方法求得其求和公式。
化归方法在数列求和问题中的应用，可以大大简化求和运算，提高求解效率。
此外，化归方法也常用于几何问题中。
对于一些复杂的几何问题，我们可以通过化归将其转化为更简单的几何问题来求解。
例如，对于一般的三角形，我们可以通过将其转化为等边三角形或者等腰三角形来求解。
化归方法在几何问题中的应用，可以使问题变得更易于理解和解决。
然而，化归方法也存在一定的局限性。
有时候，问题本身可能并不适合通过化归来求解，或者化归方法并不能将问题转化为更简单的形式。
此外，化归方法需要一定的数学基础和思维灵活性，对于初学者来说可能有一定的难度。
综上所述，《数学方法论》中的化归方法是一种重要的数学解题策略。
化归方法可以将复杂的问题转化为简单的问题，提高求解效率，加深对数学知识的理解和应用。
尽管存在一定的局限性，但化归方法在数学中的应用广泛，对于解决各种数学问题起到了重要的作用。
第五章 数学中的化归方法
§5.1 化归方法的基本思想与原则
我们将射影定理写成
§5.1 化归方法的基本思想与原则
例如，在微积分中，不定积分的计算方法 中就有所谓分部积分法； u x dv x u x v x v x du x 利用上述公式有时可以使难求的不定积分 u x dv x 转化为易求的不定积分 vx du x ，从而得到所要 求的结果。
第五章
数学中的化归方法
有人提出了这样一个问题：“假设在你面 前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开 水，应当怎样去做？”对此，某人回答说： “在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气 灶上。”提问者肯定了这一回答。但是，他又 追问到：“如果其它的条件都没有变化，只是 水壶中已经有了足够的水，那么你又应当怎样 去做？”这时被提问题者往往会很有信心地回 答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”。 但是，这一回答却未能使提问者感到满意.
§5.1 化归方法的基本思想与原则
已知 af 2 x 2 1 bf 1 2 x 2 4 x 2 , a 2 b 2 0.求f x . 例1、
分析：根据题设等式结构的特点，遵循简单化原则，予以 简化。 令 2 x 2 1 y, 条件等式就可化为 af y bf y 2 y 2, f 在此条件下求f ，关系就明朗许多。由新条件等式中 y 与
§5.1 化归方法的基本思想与原则
数学中的化归方法在数学的理论研究及数学问 题的解决过程中都占有重要的地位。 例如，两个数学系统之间的同构关系（视为一 种化归），不同的数学对象化归在同一种数学系 统中进行研究，从而导致新的数学理论的产生， 因而推动了数学的发展。 另一方面，化归又为解决数学问题提供了一个 有力的武器。
数学分析中的化归法
数学分析中的化归法目录摘要 (1)Abstract (1)1. 绪论 (2)1.1 化归法的背景 (2)2. 详谈化归法 (3)2.1 化归法的分类 (3)2.2 常见的化归方法及化归思想 (3)2.2.1 化归的方法 (3)2.2.2 化归的思想 (4)2.3 化归法的原则 (5)2.3.1 化归的方向与一般模式 (5)2.3.2 化归法的原则 (5)3. 数学分析中的化归 (6)3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6)3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12)3.2.1 在极限中的体现 (12)3.2.2 在微分中的体现 (15)3.2.3 在积分中的体现... .. (16)3.2.4 在级数中的体现 (22)3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24)4.小结 (25)参考文献 (26)致27数学分析中的化归法摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。
何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。
化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等容。
化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。
化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用中图分类号：O1-0The reduction method of mathematical analysisAbstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction.Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method1 绪论数学问题的解决往往有很多的方式、方法，在这些方式、方法中有一个共同的特点，就是化归。
浅谈数学解题中的“化归”
意味着方程①的根：（1）两负根；（2）一负根一零根；（3）一负根一正根三种情况
分别求解. 这样较麻烦
有的学生会想到
上述三种情况可概括为方程①的较小根＜0
但在目前的知识范围内求解存在困难.
化归引导：如果考虑题设的反面：
(－1,0),(4,0)为焦点
点为中心
实轴长2的双曲线的
右半支
如图
图象与轴的交点为
可见当是实数时
原不等式的解集为＞.
八、结构与模型化归
由于所求问题的结构与某一熟悉的数学问题的结构（模型）相类似
而将待解决问题的条件或结论与这一熟悉的问题（模型）相类比
进行适当的代换或直接利用这个熟悉的数学问题（模型）的解决办法
不仅要善于对题目的表面形式进行观察并发现其特点
而且要善于挖掘隐含条件
把未知条件化归为已知条件.
例7：首次系数不相等的两个二次方程
（1）
（2）
（其中a,b为正整数）有一个出两个方程的公共根
再求a,b的值
最后代入所求式子
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浅谈数学解题中的"化归"
黄州区赤壁中学 杨三元
所谓"化归"
从字面上看
可理解为转化和归结的意思. 化归方法是将待解决或未解决的问题
通过某种转化过程
计算所求式子的值. 这样计算量太大
不是解这个题的好方法.
化归引导：因两方程有一个公共根（已知数）
不妨设为, 显然（否则a=b）
“化归法”在高等数学教学中的应用
“化归法”在高等数学教学中的应用“化归法”是高等数学教学中一种重要的方法，广泛应用于初等代数、数论、离散数学和计算机科学中。
它的基本思想是将目标问题转化为一个已知的问题，从而简化求解过程。
本文将从几个方面介绍“化归法”在高等数学教学中的应用。
初等代数是高等数学中最基础的学科之一，它主要研究代数式、方程、不等式等基本概念和基本方法。
在初等代数中，“化归法”主要应用于解方程和不等式。
例如，对于下面的方程：$$x^2+5x+6=0$$我们可以使用“化归法”将其转化为两个一次方程的和。
具体地，我们可以将上式变形为：然后我们就可以得到方程的解为$x=-3$或$x=-2$。
同样地，对于许多其他类型的代数问题，我们也可以使用类似的思路使用“化归法”对问题进行转化和简化。
$$\text{求出所有正整数解 }(x,y,z)\text{ 使得 }x^2+y^2+z^2=2xyz$$我们可以使用“化归法”将其转化为另一个方程。
首先，我们不妨假设$x,y,z$中至少有一个是奇数。
不失一般性，我们可以假设$x$是奇数。
然后我们将上式化归为：$$\frac{x^2-1}{2}+\frac{y^2-1}{2}+\frac{z^2-1}{2}=xyz$$这样，等式左边的三个分数分别为偶数，即分别可以写成$2a,2b,2c$的形式，其中$a,b,c$为整数。
于是我们得到：$$a+b+c=abc$$现在问题已经转化为了一个整数方程，我们可以使用一些数论方法求解。
例如，我们可以考虑使用Vieta定理或者整数分解来求解这个方程。
离散数学是一门关注离散结构和离散对象的学科，它的研究范围包括图论、组合数学、离散概率、离散算法等。
在离散数学中，“化归法”主要用于简化问题和证明问题。
例如，在图论中，“化归法”是一个重要的工具，可以用来证明和求解一些图论问题。
例如，对于下面的“The Eternal Question”问题：$$\text{对于三个走廊和两个相交点构成的平面图，求其色数。
化归思想在数学分析中的应用
化归思想在数学分析中的应用化归是数学的灵魂,它是数学中解决问题的一种非常重要的方法。
简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉的问题的一种数学思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,并选择恰当的变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上,最终解决原始问题。
由此可见,运用化归的方法可以使要解决的问题简算化、熟悉化、具体化。
这种思想现在已经渗透到数学学习的各个分支中,特别是在数学分析中。
一、极限中的化归思想1.数列问题化归为级数问题数列的敛散性和级数的敛散性实质上是等价的。
事实上,设x1=a1,…,x n=a1+a2+…+a n(n≥1),则数列收敛{x n}级数收敛∞n=1a n,当二者都收敛时有limx→∞x n=∞n=1a n。
因此,判定数列{x n}的敛散性与求limx→∞x n存在与否,可归结为判定∞n=1a n的敛散性与求S=∞n=1a n.例1证明limx→∞(n+1)!(2n)!!=0.证明设a n(n+1)!(2n)!!,则有limn→∞a n+1a n=limn→∞n+22n+2=12<1,因此由比式判别法的极限形式知:∞n=1=∞n=1a n(n+1)!(2n)!!是收敛的,所以limn→∞(n+1)!(2n)!!=0.2.数列极限化归为函数极限海涅定理说明数列极限和函数极限是可以相互转化的,而计算函数极限有“L’Hospital法则”“泰勒公式”这样强有力的方法可以利用,从而在计算数列极限时,应优先考虑将其转化为函数极限。
一般方法是:选取函数f(x)与数列{x n},使a n=f(x n)且x n→a(n→∞),于是有limn→∞a n=limn→∞f(x n)=limn→∞f(x)。
这样计算数列极限就转化为计算函数极限了,这种化归思想在某些时候是特别有效的。
例2计算limn→∞[ne-n(ne-1)].解设x=1n,那么n→∞就相当于x=1n→0,于是有limn→∞n[ne-n(ne-1)]=limx→0x-1[e x-1]=limx→0xe x-e x+1x2,那么原式=limx→∞xe x-e x+1x2(利用了L’Hospital法则)=limx→∞xe x+e x-e x2x=limx→∞12e x=12.3.多元函数极限化归为一元函数极限多元函数极限的计算,有许多技巧,需要灵活掌握和运用。
数学化归法
第七章 化归法
知识要点：
第一节 化归法概述
• 1．“化归”就可理解为转化、归结的意思。
• 数学中的化归法是指把待解决的问题归结 到一类已经解决或者比较容易解决的问题 中，从而求得原问题解决的一种方法，化 归法有时也称为化归原则。
• 化归法的核心思想是指对问题的转换
• 化归法的特征是转换、转化
• 2．熟化：向自己熟知、熟练的问题上转化
• 6．恒等变形包括：多项式的恒等变形，分 式的恒等变形，有理式的恒等变形，对数 式的恒等变形，三角式的恒等变形等
• 7．同解变形：在等价转化思想的指导下三节 分割法
第四节 关系映射反演方法
• 8．关系映射反演方法，也称关系映射反演 原则，或简称RMI方法
• 3．外部的化归法：其一是把一个实践问题 化为数学问题（建立数学模型过程），其 二是解决数学问题的求解问题
第二节 变形法
• 4．变形法包括：等价变形，恒等变形，同 解变形，参数变形
• 5．在中小学数学中等价变换大体有如下两 个方面：
• 在数的方面——有等值变换，同余变换， 同解变换等
• 在形的方面——有合同变换，相似变换， 等积变换等
探析小学数学中化归思想的运用策略
探析小学数学中化归思想的运用策略
化归是指将问题转化成相同形式或同种类型的问题，从而使问题更易于处理或解决。
在小学数学中，化归主要是将问题转化成更简单或更直观的问题，以便于学生理解和计算。
下面将就小学数学中化归思想的运用策略进行探析。
1.相似三角形化归法
相似三角形化归法是小学数学中最基本的化归方法，主要用于解决关于比例的问题。
例如，若要比较两个三角形的面积大小，通常可以使用相似三角形化归法，将两个三角形
按比例缩放至相同大小，然后比较它们的底和高的乘积大小即可得到答案。
2.约分化归法
约分化归法主要用于分数运算中，将分数变形为最简分数形式，便于计算。
例如，若
要将两个分数相加，可以使用约分化归法，将两个分数化为相同分母后再进行运算。
3.升级化归法
4.代数化归法
代数化归法主要用于解决代数方程组和代数式问题，将复杂的代数式化简为简单的代
数式，便于计算。
例如，若要解决某个代数方程组，可以使用代数化归法，将其中一些变
量用其他变量表示出来，以便于求解。
5.凑整化归法
凑整化归法主要用于解决大数减小数的求解问题，将小数凑整成整数，便于计算。
例如，若要求解60.8-19.7，可以使用凑整化归法，将小数89.7凑整成90，然后进行计算得到70.2。
综上所述，掌握化归思想的运用策略对于小学数学的学习和解题非常重要。
学生应该
在实际的学习和解题中加强对于化归思想的理解和运用，从而掌握更多的化归方法，提高
数学计算和解题的能力。
数学分析报告中地化归法
数学分析中的化归法目录摘要 (1)Abstract (1)1. 绪论 (2)1.1 化归法的背景 (2)2. 详谈化归法 (3)2.1 化归法的分类 (3)2.2 常见的化归方法及化归思想 (3)2.2.1 化归的方法 (3)2.2.2 化归的思想 (4)2.3 化归法的原则 (5)2.3.1 化归的方向与一般模式 (5)2.3.2 化归法的原则 (5)3. 数学分析中的化归 (6)3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6)3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12)3.2.1 在极限中的体现 (12)3.2.2 在微分中的体现 (15)3.2.3 在积分中的体现... .. (16)3.2.4 在级数中的体现 (22)3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24)4.小结 (25)参考文献 (26)致谢 (27)数学分析中的化归法摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。
何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。
化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。
化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。
化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用中图分类号：O1-0The reduction method of mathematical analysisAbstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solvedby the reduction.Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method1 绪论数学问题的解决往往有很多的方式、方法，在这些方式、方法中有一个共同的特点，就是化归。
化归思想方法在数学解题中的应用
化归思想方法在数学解题中的应用化归思想方法是解决数学问题的常用方法之一。
下面从以下几个方面来谈谈化归方法在数学解题中的应用。
一、化未知为已知已知与未知是相对的，在一定条件下，未知可转化为已知，已知也可视为未知，这种看法上的转变，往往可帮助我们找到解题的方向。
例：已知sinα=■，cos（α+β）=■，α，β∈0，■，求cosβ。
分析：该题若将β转化为[（α+β）-α]，再运用公式展开，则容易求解。
解：∵α∈0，■，sinα=■，∴cosα=■，∵α，β∈0，■，∴α+β∈（0，π），又∵cos（α+β）=■，∴sin（α+β）=■，∴cosβ=cos[（α+β）-α]= cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=■×■+■×■=■。
二、化繁为简有些数学问题情况复杂，使用常规解法无处下手，对这些问题，可视情况对问题进行转化。
例：求函数f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）的最大值分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。
若把（x+80 ）转化为[（x+20 ）+60 ]，则非常容易。
解：f（x）=3sin（x+20°）+sin[（x+20°）+60°]=3sin（x+20°）+■sin（x+20°）+■cos（x+20°）=■sin（x+20°）+■cos（x+20°）=■sin（x+20°+φ）（其中φ=arc tan■）因此f（x）的最大值为■三、一般为特殊“一般”与“特殊”，两者之间可以互相转化，我们可以从问题的特殊情况入手，探索研究问题的一般性。
例：已知PA，PB是圆0的切线，∠APB=60°，AP=5■，C为弦AB上的任意一点，过OC作射线OH，使PH 于H，求OC·OH的值。
数学化归方法概述
1 数学化归方法概述1.1对数学思想方法的理解与认识“数学思想”这一术语,还未形成精确的定义,比较一致的认识是,数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,基本看法,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的后果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。
数学方法是指人们在数学学习,研究,以及利用数学解决实际问题的步骤、程序和格式，是实施有关教学思想的技术手段，由此可以看出数学方法具有过程性、层次性、可操作性特点。
1.2 化归是数学发现的重要策略和方法数学问题的形式千变万化，结构错综复杂，特别是一些难度较大的综合题（如一些国内外竞赛题），不仅题型新颖，知识覆盖面大，而且技巧性强，个别问题的解法独到别致，寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境，绕过障碍的途径。
因此，我们在解决数学问题时，思考的重点就是要把所需要解决的问题转化为已能解决的问题，也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把它化归成一个或若干个熟知的或已能解决的问题，这就是数学思维中重要的特点和方法——化归方法。
匈牙利著名数学家P.路莎指出：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经解决的问题。
”P.路莎还用以下比喻，十分生动地说明了化归的实质。
“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些开水，应当怎么去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上。
”接着路莎又提出了第二个问题：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经放了足够的水，这时你又应当如何去做？”这时，人们往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。
”但是路莎指出，这一回答并不能使她感到满意。
因为，更好的回答应该是这样的：“只有物理学家才会这样去做；而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一个问题化归成先前的问题了。
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数学分析中的化归法目录摘要 (1)Abstract (1)1. 绪论 (2)1.1 化归法的背景 (2)2. 详谈化归法 (3)2.1 化归法的分类 (3)2.2 常见的化归方法及化归思想 (3)2.2.1 化归的方法 (3)2.2.2 化归的思想 (4)2.3 化归法的原则 (5)2.3.1 化归的方向与一般模式 (5)2.3.2 化归法的原则 (5)3. 数学分析中的化归 (6)3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6)3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12)3.2.1 在极限中的体现 (12)3.2.2 在微分中的体现 (15)3.2.3 在积分中的体现... .. (16)3.2.4 在级数中的体现 (22)3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24)4.小结 (25)参考文献 (26)致谢 (27)数学分析中的化归法摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。
何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。
化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。
化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。
化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用中图分类号：O1-0The reduction method of mathematical analysisAbstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction.Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method1 绪论数学问题的解决往往有很多的方式、方法，在这些方式、方法中有一个共同的特点，就是化归。
在学术界有一个这样的故事，也许这个故事更能体现化归的思维特点。
有人提出了这样的一个问题：“假设在你的面前有水龙头、火柴、煤气灶、和水壶，你想烧一些水，应该怎么做呢？”对此，有人这样回答：“把水壶里灌上水，点燃煤气灶，然后把水壶放在煤气灶上。
”提问者对这一回答给予肯定。
接着，提问者又问到：“假如现在水壶里盛满了水，其他的条件都没有变化，又该如何做呢？”此时被提问者会很有自信的回答道：“直接点燃煤气灶，然后再把水壶放在煤气灶上即可。
”这个答案会使人比较容易接受，但提问者指出：“这个答案不能使我感到满意，因为只有物理学家才会这样做，而数学家则会把水壶里的水倒掉并说我已经把这个问题转化为第一个已经解决的问题了。
”在这个故事中也包含着这样一层意思：即化归法是数学家们所常用的一种方法。
化归法是数学研究中的一种重要的技能和方法，它就是把有待解决和未解决的问题通过各种转化、归结到一类已经解决的或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题之解的方法。
目前，随着数学科学发展至今，化归法逐渐走向成熟，渗入到数学的各个领域中，化归法也有着广泛的应用。
本篇论文将主要阐述化归法在数学分析中的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
1.1 化归法的背景对化归法的研究有着漫长的经历，这要从费尔玛大定理的证明谈起。
1637年费尔玛留下了著名的费尔玛猜想，在此后的几百年时间里，众多著名的数学家对此进行了漫长的证明求解过程，主要分为三次重大的突破；第一次重大突破是1857年，德国数学接库麦尔引入分圆数和理想数，开创了分圆数和理想数的数学分支；第二次重大突破是1983年，德国29岁的青年数学家G.法尔廷斯利用法国数学家A.格罗腾迪克建立的概型理论证明了莫德尔猜想，还解决了泰特猜想和沙发列维奇猜想；第三次重大突破是费尔玛大定理的完全获证，即1993年英国青年数学家A.怀尔斯通过证明谷山-韦恩-志村猜想而获得费尔玛大定理的全证；从上面的论述可以看出，费尔玛大定理的完全获证，是数学家们前赴后继，艰苦卓绝地运用了各种转化方法和转化思想才得到的，而这种转化的方法就是化归法在数学研究中的具体运用。
2 详谈化归法化归思想是数学中最重要、最基本的一种思想方法，是数学思想方法的灵魂。
何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的意思；具体来说就是将实际中解决问题的一些复杂的方法转化为简单方法，是将我们有待解决或未能解决的问题通过各种转化，最终变成我们容易解决和已经的问题和方法，从而达到证明和求解的目的。
在学习中化归思想无处不在，它是分析问题和解决问题的有效途径。
2.1 化归法的分类1.按照化归方法应用范围来分，可以分为外部的化归方法和内部的化归方法。
外部的化归方法是指把实际的问题转化为数学中的问题；内部的化归方法则是指将某一类数学问题转化为另外一类数学问题。
2.按照化归方法解决问题性质来分，可以分为计算中的化归方法和论证中的化归方法以及建立新的学科体系中的化归方法等等。
3.按照化归方法应用广度来分，可以分为多维的化归方法和二维的化归方法以及广义的化归方法。
多维的化归方法是指跨越多种数学分支，广泛的适用于各种学科系统的化归方法，例如变量代换法、坐标变换法、参数变换法、映射法、待定系数法、分解与组合法、反证法都属于多维的化归方法；二维的化归方法是指联接两个不同的数学分支的化归方法，例如解析法、坐标法、代数法等；广义的化归方法是指超出数学范围的化归方法，例如数学模型方法、反证法等。
2.2常见的化归方法及化归思想1. 化归的方法化归的方法也就是规范化的手段、措施以及技术。
化归方法包含三个基本要素：化归的对象、目标、途径。
化归的对象就是把什么问题进行化归，化归的目标就是把问题化归到何处去，化归的途径就是如何对问题进行化归（也就是化归的方法）。
例如在求解有理函数的积分时一般的方法是先化为部分的分式求解。
在这里被积的有理函数就是化归的对象，部分的分式就是化归的目标，而把有理函数表示成部分分式之和时所用的待定系数法就是化归的方法。
在化归的三个要素中，化归途径是实现化归的关键，这是很显然的。
常见的化归方法主要有分割法、求变法、映射法、极端化法。
分割法就是把一个要解决的问题分割为若干个有逻辑关系、较简单、较熟悉的小问题，然后对这些小问题进行逐一求解的方法。
求变法是化归方法的重要方法之一，包括恒等变形法、放缩变形法、参数变形法、换元变形法。
恒等变形法是把一个解析式变换成另一个与它恒等的式子，通过求得恒等式子的解来得到原问题的解的方法；放缩变形法是指在解决某些数学题时，例如在不等式的证明中，往往会通过放大或缩小的形式从而达到化归目的的方法；参数变形法是指利用参数和题中各个量之间的联系，因而通过讨论参数的变化来求得原问题的解的方法；换元变形法是指通过把题目中某些量用另一个形式相对简单的量来代替，使之更容易发现关系，是一种用处十分广泛的方法。
映射法也就是关系映射反演方法，简称RMI方法。
所谓映射就是在两个数学集合的元素之间去建立某种对应关系。
使用映射法解题的过程是：首先通过映射把原来的问题转化为问题1，然后求得问题1的解，再通过逆映射去求原问题的解。
极端化法在解决某些数学问题时可以以极端的情况去考察，从而获得更好的启示以得到新的容易解决的问题，再通过一定的教学手段得到原问题的解的方法。
极端化的情况往往是多种形式的，并不存在于原问题中，需要充分发挥个人的数学想象力从而把它构造来。
2. 化归的思想化归思想是指在分析处理问题时，把需要解决或者难以解决的问题，通过各种转化使之化为已经解决或者比较容易解决的问题，从而得到原问题的解的一种思维方法。