单质点拉格朗日方程推导

包含有势力在内的质点受力满足：
F
U F P , i 1,2,3
其中F P 为非有势力，代入(6)表达的牛顿第二定律，得： U F P , i 1,2,3
或者写作：
U F P , i 1,2,3
定义 Lagrange 量 L：
L ,,,,,,
(4.3)式通常简写为
L, ,
–U ,
L 对 求偏导：
L
, , –U , , , p , i 1,2,3
进一步分析，还可以知道引力场中的质点所受的引力和质点的质量成正比，同样电场中 的带电质点所受的力与质点所带电荷成正比，而引力与质点质量之比、电场力与质点所带电 荷之比是一个仅和位置有关而与质点无关的量。有时也称这个量为“势”，相应的，引力场 叫“引力势”，静电场叫“电势”或“电场强度”。弹簧的具有的弹性势能与质点无关，只和 弹簧末端位置有关，所以和“弹性势”是一回事。注意，不同的“势”物理单位不一定相同， 也就是说不同的势可能有不同的量纲。
(5.6)
Lagrange 量对 求偏导，仍有，
L
U , i 1,2,3
(5.7)
也就是：
U
L , i 1,2,3
(5.7’)
令(5.6)、(5.7’)代入(5.3’)仍可得到和(4.6)相同的形式：
L ,,
L ,,
F P , i 1,2,3
(5.8)
这说明，在广义势下，欧拉-拉格朗日（Euler-Lagrange）方程形式不变。这样，对于电
L
L ’
η t dt
欲使(4)取得极值，上式为零。由于η t 只在t 能取值，故必须有：
t 和t
(6.6) t 处为零，其他处有多种可
’
0
若函数 为矢量函数，比如是三维位置矢量
L ,,
L ,,
0 , i 1,2,3
(6.7)
, , ，则立即得到： (6.8)
这正是(4.6)和(5.8)在非有势力为零的情况。
(1.5)
Hamilton 算符 具有以下特点： 可以作用在标量上也可以作用在矢量上，并遵守矢量运算法则； 是微分运算符，对其他变量做微分运算。
Hamilton 算符 作用在标量上，就如(1.4)所示的结果。U 按标量与矢量的乘法“右乘” 的 每个分量，当然并不是“乘”，而是分配给 的每个分量做偏微分。
注意区别“静电场”和非静电场。前者电场每一点的电势不随时间改变，仅和坐标有关。 非静电场则不是，比如变化的磁场产生的电场的电力线是一个封闭的曲线，因此也称作涡旋 电场，当带电质点沿电力线转一周时，电场力做功不为零。 2、广义势
为了解决变化的电磁场问题，需要考虑运动带电质点在电磁磁场下的作用力，也就是洛 伦兹（Lorentz）力作用下的情况。洛伦兹力满足：
Hamilton 算符 作用在矢量上，也有“点积”和“叉积”两种，前者的结果是一个标量， 后者的结果是一个矢量。
“点积” · 公式如下：
·
·
(1.6)
· 称作散度，物理意义是封闭的曲面上矢量的面积分与面积之比，当面积趋近于零时
的极限。
“叉积”
公式如下:
(1.7)
称作旋度。
很显然，当质点在三维空间走过一个封闭曲线时，有势力做功为零，同样质点克服有势 力做功也为零。
而忽略二高阶无穷小量 dvd 和更高阶无穷小量，并不会影响精度，有：
dd
d
显然，动能的变化也是由于施加在质点上的力做功引起的。即：
d dW · d
·d d
因为质点不动时动能为零，因此有：
v
∑
, i 1,2,3
这就是动能公式。 4、单质点的欧拉‐拉格朗日（Euler‐Lagrange）方程形式的牛顿第二定律
,
U F P , i 1,2,3
(5.3)
上式或写作： ,
U F P , i 1,2,3
(5.3’)
Lagrange 量 L 公式变为：
L, ,
∑
, –V ,
(5.4)
Lagrange 量对 求偏导：
L
,
p
, , i 1,2,3
(5.5)
所以根据(5.5)求出的p ，因此有：
L ,,
, , i 1,2,3
, y, y d
(6.1)
关于函数 取得极值。 注意“光滑性”不好积分路径的不可能取得极值。通过合适选取ε，可以用函数族y , ε 代 表那些“光滑性”好的路径，这里可以要求y , ε 满足二次微商连续，并使积分在ε 0 时 取得极值。显然所有函数族函数满足：
y , 0 y , ε ，y , 0 y , ε
1、势能和有势力
包含质点的系统，如引力场和该引力场中的质点、静电场和该电场中的具有质量的点电
荷、弹簧和固定在弹簧末端的质点，具有一种仅和位置坐标 相关的能量，我们称作势能，
记作 U( )。 当位置发生微小变化d 时，势能的变化dU应与质点本身克服某种“力”F 做功dW有关，
即：
dU dW Fd
(1.1)
因此，有：
(2.4) (2.5)
说明
是无旋场。可以引入一个标量φ , ，使得：
E
φ
(2.6)
φ就是电磁场的标势。
注意到对于任意矢量 ，有
·
(2.7)
并且有以下的矢量乘法公式：
·
·
(2.8)
得：
Fq
qφ
qφ
·
q
φ
·
定义电磁场下的广义势：
U ,,
qφ
·
则由：
U
qφ
·
这里
将(2.10)、(2.10)代入(2.8)，得：
L 对 求偏导:
L
U , i 1,2,3
亦即：
U
L , i 1,2,3
(4.2’)中 p 用(4.4)式左端代入， U 用(4.5’)右端代入，得：
L ,,
L ,,
F P , i 1,2,3
(4.6)就是单质点的欧拉‐拉格朗日（Euler‐Lagrange）方程。
(3.3) (3.4) (3.5)
(4.1) (4.2) (4.2’) (4.3) (4.3’) (4.4) (4.5) (4.5’)
同样质点运动也具有能量，称作动能，记作 。显然 只和质点的运动状态有关，和位置 无关，并且质点不动时动能为 0。
假设质点动能变化初始时刻的速度为 v，质点质量为 ，则质点动量为： (3.1)
根据牛顿第二定律，有：
(3.2) 为了方便，我们并没有使用下列式子，因为 是常量，所以两者是一样的。
(3.2’)
(4.6)
5、广义势下的单质点的欧拉-拉格朗日（Euler-Lagrange）方程形式 考虑广义势时，U 对 求偏导为:
U
, , i 1,2,3
(5.1)
广义势下质点受力公式变为：
F
U
U FP
,
U FP
(5.2)
需要注意这里的非有势力F P 含义与(4.1)中的不同，是去除掉广义势力之后的。
牛顿第二定律公式变为：
Fq
(2.1)
其中 为电场强度， 为磁感应强度。
由于没有磁单极存在，即 是无源有旋场，散度为零。
·0
(2.2)
所以 应是有旋场的旋度，即总能找到一个矢量场 , ，使得
(2.3)
是电磁场的矢势。物理意义：在任意时刻，矢势沿任意一闭合回路的线积分等于该时 刻通过该回路的磁通量。
而 E 的来源有两个，一个是电荷，一个是变化的磁场，对于后者，可用下式表示：
F
U
U
一般的，定义Fra Baidu bibliotek含与速度相关的广义势，是有意义的。
U ,, V ,
·,
(2.9) (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) (2.14)
其中V , 为标势， , 为矢势。其原因是来自一个场论中的定理：任何一个矢量场
可以表示成一个无散场和无旋场之和。这个定理被称作亥姆霍兹定理。(2.14)下对应的场力 可以表示为(2.12)。 3、动能与动量
磁场而言，Euler-Lagrange 方程仍然成立。
6.哈密尔顿( Hamilton)原理欧拉‐拉格朗日（Euler‐Lagrange）方程 哈密尔顿( Hamilton)原理：一个拉格朗日量为 L 的动力学系统，当
及y 已给定，
及 为任意的但固定的时间，这个系统从时间 到时间 内的运动应使积分
I
(6.5)
上式对ε求微分，因ε与t无关，故可交换微分积分顺序，即：
I
L t, y t, ε , y t, ε dt
L
L
‘
dt
L
L
‘
dt
L dt
L ‘
–
L ‘
dt
L
L
dt
全导数公式，注意到 0 “光滑性”保证二次微商连续
第二项分部积分 利用 6.3 式消去第二项
L
L ‘
y t, 0 ε η t dt 将 6.4 式代入
变化率。
上面的分析也适合三维空间的情形。只不过(1)应该改写为矢量形式：
dU dW
·d
(1.3)
相应地(1.2)应该改写为梯度形式，直角坐标系下为：
U
U
U
U
(1.4)
(1.4)表明有势力的方向是沿势能增加最快的方向，大小等与该方向上的方向导数。 其中 为哈密尔顿(Hamilton)算符，直角坐标系下为：
上式中的 F 就是这个力。这种“力”就是引力场对质点的引力、静电场对带电质点的电
场力、弹簧对质点的弹力。因为质点需要克服这种力做功，也就是质点对引力场、电场、弹
簧的作用力是上力的反作用力，所以前边需要添加一个负号。（牛顿第三定律）
由上式可得 F 的表达式：
F
U
(1.2)
可见这个力是由势能沿位置坐标变化引起的，所以也称作有势力，它的大小等于势能的
(6.2)
即在t t 和t t 处的y t, ε 不随ε 改变，所以：
0
(6.3)
对于函数族中的任意一条y t, ε ，总可以定义一个函数η t ，使得：
y t, ε y t, 0 ε η t ，且 η t η t 0
(6.4)
拉格朗日函数的积分可写作关于ε 的函数：
Iε
L t, y t, ε , y t, ε dt