概率建模
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解：以A表示事件“试验反应为阳性”，C表示事件：“被诊断 者确患有癌症”，我们求出试验为阳性为癌症病人的概率
已知P(A|C)=0.95， P(A|C)=1－ P(A | C)=0.05
P(C)＝0.005， P(C)＝0.995,
由贝叶斯公式，得
P(C A)
P( AC)P(C)
0.087
P( AC)P(C) P( AC )P(C )
解：设甲胜的场次为X,若采用3局2胜制则X~B(3,0.6),甲获 胜即胜至少两场的概率
P(X 2) C32 0.620.4 .63 0.648
若采用5局3胜制则X~B(5，0.6),甲获胜即胜至少三场的概率，
P( X 3) C530.630.42 C54 0.640.4 0.65 0.68256
解：将三人编号为1，2，3，记 Ai={第i个人破译出密码}
i=1,2,3 所求为 P(A1 A2 A3)
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1 A2 A3) 1 P( A1 A2 An )
常言道: “三个臭皮匠，顶 一个诸葛亮”,
1 P( A1A2 A3 ) 1 P( A1)P( A2 )P( A3 )
7、品来源问题
某电子设备制造厂所用的某种晶体管由三家元件制造厂提供， 根据以往的记录有以下的数据：
设三家的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地抽取一只晶体管，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地抽取一只晶体管，已知它 是次品，问它是 哪个厂生产的可能性更大？ 分析: (1)随机的抽取一只晶体管，这支晶体管可能属于三家的 任何一家，因此该问题是全概率问题,(2)是出现次品寻找责任 的问题，直观上好像是谁的次品多就是谁的问题，实质它是贝 叶斯问题，我们看具体谁与谁的责任大。这种问题再生活中经 常遇到。
解: 记A=“系统(Ⅰ) 有效”,B=“系统(Ⅱ)有效”,由 已知, P(A) 0.92, P(B) 0.93, P(B / A) 0.85,
所求概率为：P( A B) P( A) P( AB)
P( A) P( A)P(B / A) 0.92 0.08 0.85 0.988.
0.993 P(A0 ) 0.992 0.05P(A1) 0.99 0.052 P(A2 ) 0.053 P(A3)
0.8629
P(B) 1 P(B) 0.1371
9、公共汽车车门高度设计
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下
来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?
解：他们的生日各不相同的概率
365 364 363(365 n 1) 365n
因而,n个人中至少有两个人生日相同的概率为:
经计算可得下述结果:
p
1
365
364
363(365 365n
n
1)
3、蒲丰投针问题
平面上画着一些平行直线，它们之间的距离 都等于a，向此平面任投长度为d（d<a）的 针，试求此针与任一平行直线相交的概率。
8、产品验收问题
要验收一批乐器共100件,从中随机地取3件来测试(设测试是相 互独立的),若3件中任意一件音色不纯,这批乐器就拒绝接收.设 一件音色不纯乐器经测试查出的概率为0.95,而一件音色纯的乐 器经测试被误认为不纯的概率为0.01.若100件中有4件音色不纯, 求这批乐器被拒绝接收的概率. 分析：该问题是产品的验收问题，即使一批产品没有达到产品 的要求，在一定的验收标准下，它一定的很大可能性通过验收， 通过该问题有助于我们日常生活中的产品质量问题。
2532 1218 328 489 1808 859
的值
3.1596 3.1554 3.137 3.1595 3.14159 3.1795
蒙特卡洛（Monte-Carlo)方法思
4、密码破译问题
三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5， 1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
27、灯泡寿命检验问题
11、保险问题
28、不同方法的一致性检验
12、赛制的选择问题
29、机床精度比较
13、比赛获胜概率问题
30、事故的发生是否与时间有关问题
14、维修人员配备问题
31、农作物的施肥效果分析ຫໍສະໝຸດ Baidu
1、电话试号问题
某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号。求他 拨号不超过三次而接通所需电话的概率。
为使针与直线相交，必须有： x
d 2
sin
a 2
x
d sin 2
G
以G 表示边长为a 2 及的长方形，满足这个关 系式的区域记为g ,由几何概率，所求的概率为： 0
g
p
g的面积 G的面积
1 2
d sind
0
1 a
2d
a
2
x
G
a
2
d sin 2
应用：由于最后的答案与有关，因此有不少人想0 利用g它来计 算的数值，再以频率 nN作为概率p的近似值，得到：
则：设计车门高度为184厘米时，可使男子与车 门碰头机会不超过0.01
10、故障概率问题
某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故 障的概率为0.02,求:一天内没有出租车出现故障的概率.
解: 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因 为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车 是否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现 故障的出租车数,则: X ∼ B(400, 0.02).
分析：该问题的求解需要把问题简化，由于直线平行且距离相 等，故所求问题只需考虑和一条直线相交的概率，需要找出针 所有可能情形，这涉及到怎样用变量把针固定的问题。
解：以x表示针的中点到最近
一条直线的距离，表示针与平 行线的交角。针与直线的位置 关系如图所示。
x a
显然有 0 x a 2 , 0
概率论与数理统计
应用实例与模型
一、建模的一般步骤 二、理论应用与数学模型举例
一、建模的一般步骤：
模型准备
模型假设
模型检验
模型分析
模型构成 模型求解
模型应用
二、理论应用与数学模型举例
概率论基础
数字特征与中心极限定理
1、电话试号问题 2、生日问题 3、蒲丰投针问题
15、开门问题 16、戴帽子问题 17、公平赌博问题 18、白细胞估计问题 19、戏院设座问题 20、电力的供给问题
因此采用5局3胜制对甲更有利
13、比赛获胜概率问题
甲乙进行某项比赛，已知甲的一分的概率为p,乙的一分的概率为 q(p+q=1),比赛规定：谁先得n分谁获胜，但是如果出现n-1分平的 话，则谁比对方多的两分谁胜利，则甲获胜的概率有多大。
4、密码破译问题 5、报警系统有效性问题 6、患癌症概率问题
21、福利彩票问题 22、化验血清 23、报童的最大收入问题
7、品来源问题 8、产品验收问题
24、轧钢的最低损失问题 25、书店广告的最优效益问题
随机变量及其分布
估计与检验
9、公共汽车车门高度设计 26、湖中鱼的数量估计问题
10、故障概率问题
分析：保险公司每年从这2500人收取2500*120=300000保费，只有 超过30/2=15人死亡保险公司才赔本，只要不多于10人死亡保险公 司至少赚10万，而这2500人死亡人数服从二项分布；保险共以不 小于0.99个概率转10万元，则报险公司的投保的死亡人数不超过k 个人的概率为0.99，而收取的保费减去k人保险支出后的余额多余 10万，或者收取的保费至少是10+2k万元
n 2d
N a
实验者 年份
Wolf
1850
Smith
1855
De Morgan 1860
Fox
1884
Lazzerini 1901
Reina
1925
2dN na
针长 投掷次数 相交次数
0.8 5000 0.6 3204 1.0 600 0.75 1030 0.83 3408 0.542 2520
解： 设Ai=“某人第i 次接通电话” (i =1,2,3)， A=“某人拨号不超过三次而接通电话”，则
P(A) 0.3
2、生日问题
假设每人在一年365天中任何一天出生是等可能的,即都等于1/365, 那么,随机地选取n(n365)个人,计算至少两个人生日相同的概率。
分析：该问题可以看作向365个不同盒子中放不同的求的问题。
0.999993662
k 0
2
C2k5000.0001k0.99992500k 0.9974 0.99
k 0
则2500人死亡不超过两人，且交的保费不少于14万，即每人至少 交保费140000/2500=56元时保险公司以0.99的概率至少赚10万。
12、赛制的选择问题
甲乙两队进行某种比赛，以致每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概 率是0.4，可采用3局2胜制或5局3胜制，问采用哪种比赛制对甲 更有利。 分析：现实中比赛或赌博的结果与技术和规则的都有关系。这一 问题实际上比较哪种比赛制甲获胜的概率最大，只需计算出两种 比赛甲获胜的概率比较一下，甲获胜概率高的即对甲更有利。
6、患癌症概率问题
已知某人在癌症诊断检查中被查出试验反应为阳性，请问有必要 因检查结果的阳性而怀疑自己患上癌症吗？已知癌症病人阳性的 概率为没0.95，非癌症自然人阳性的概率为0.05,癌症病人的发 病率为0.005。 分析：这事现实生活中经常遇到的问题，我们只需求出试验 为阳性换癌症的条件概率即可，这个问题时贝叶斯问题。
解：设X为这2500人中死亡人数，则X的分布为B~(2500,0.0001)
（1）保险公司亏本的概率为
2500
P C2k5000.0001k0.99992500k 0.000001 k 16
（2）保险公司一年获利多于10万的概率是
(3)由于
10
P
Ck 2500
0.0001k
0.99992500k
P(A)= P(A|B1)P(B1)+P(A | B2 )P(B2)+ P(A | B3 )P(B3) =0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.0125
(2)由贝叶斯公式
P(B1 |A)=
P(A B1)P(B1) 0.02 0.15 0.24
P(A)
0.0125
同理 P(B2|A)=0.64 , P(B3|A)=0.12 .
解: 设车门高度为h cm,按设计要求
P(X≥ h)≤0.01 或 P(X< h)≥ 0.99，
因为X～N(170,62),
X 170 ~ N (0,1)
故 P(X< h)= ( h 170) 6 0.99
6
查表得 (2.33)=0.9901>0.99
所以 h 170 =2.33, 6
即 h=170+13.98 184
解:设Ai为“取出的3件有i件音色不纯”,i=0,1,2,3
P( A0 )
C
3 96
C3 100
,
P( A1)
C
926C
1 4
C3 100
,
P( A2 )
C916C
2 4
C3 100
,
P( A3 )
C
3 4
C3 100
设B “乐器被拒绝接收”,
P(B) P(B | A0 )P(A0 ) P(B | A1)P(A1) P(B | A2 )P(A2 ) P(B | A3)P(A3)
令=np=400×0.02=8 于是: P{一天内没有出租车出现故障} =P{X=0}=b(0;400,0.02) ≈(80/0!)e-8 =0.0003355
11、保险问题
有2500个同一年龄阶段统一社会阶层的人参加某保险公司的人寿 保险，根据以往统计资料，在1年里每个人死亡的概率是0.0001， 每个参加保险的人1年付给保险公司120元保费，而在死亡时家属 从保险公司领取2万元，求下列事件：保险公司亏本；保险公司一 年获利不少于10万元；2500个参保对象保险公司收多少保费才能 使公司以不小于0.99的概率每年获利不少于10万元。
解：设 A=“取到的一只是次品”
Bi=“取到的是第i厂的产品” ，i=1,2,3. B1,B2,B3是样本空间的一个完备事件组，
P(B1)=0.15 , P(B2)=0.80,
P(B3)=0.05,
P(A|B1)=0.02, P(A | B2)=0.01, P(A | B3)=0.03
(1)由全概率公式
1 4 2 3 3 0.6 534 5
5、报警系统有效性问题
为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种 系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和 0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85， 求两个报警系统至少有一个有效的概率。
已知P(A|C)=0.95， P(A|C)=1－ P(A | C)=0.05
P(C)＝0.005， P(C)＝0.995,
由贝叶斯公式，得
P(C A)
P( AC)P(C)
0.087
P( AC)P(C) P( AC )P(C )
解：设甲胜的场次为X,若采用3局2胜制则X~B(3,0.6),甲获 胜即胜至少两场的概率
P(X 2) C32 0.620.4 .63 0.648
若采用5局3胜制则X~B(5，0.6),甲获胜即胜至少三场的概率，
P( X 3) C530.630.42 C54 0.640.4 0.65 0.68256
解：将三人编号为1，2，3，记 Ai={第i个人破译出密码}
i=1,2,3 所求为 P(A1 A2 A3)
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1 A2 A3) 1 P( A1 A2 An )
常言道: “三个臭皮匠，顶 一个诸葛亮”,
1 P( A1A2 A3 ) 1 P( A1)P( A2 )P( A3 )
7、品来源问题
某电子设备制造厂所用的某种晶体管由三家元件制造厂提供， 根据以往的记录有以下的数据：
设三家的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地抽取一只晶体管，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地抽取一只晶体管，已知它 是次品，问它是 哪个厂生产的可能性更大？ 分析: (1)随机的抽取一只晶体管，这支晶体管可能属于三家的 任何一家，因此该问题是全概率问题,(2)是出现次品寻找责任 的问题，直观上好像是谁的次品多就是谁的问题，实质它是贝 叶斯问题，我们看具体谁与谁的责任大。这种问题再生活中经 常遇到。
解: 记A=“系统(Ⅰ) 有效”,B=“系统(Ⅱ)有效”,由 已知, P(A) 0.92, P(B) 0.93, P(B / A) 0.85,
所求概率为：P( A B) P( A) P( AB)
P( A) P( A)P(B / A) 0.92 0.08 0.85 0.988.
0.993 P(A0 ) 0.992 0.05P(A1) 0.99 0.052 P(A2 ) 0.053 P(A3)
0.8629
P(B) 1 P(B) 0.1371
9、公共汽车车门高度设计
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下
来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?
解：他们的生日各不相同的概率
365 364 363(365 n 1) 365n
因而,n个人中至少有两个人生日相同的概率为:
经计算可得下述结果:
p
1
365
364
363(365 365n
n
1)
3、蒲丰投针问题
平面上画着一些平行直线，它们之间的距离 都等于a，向此平面任投长度为d（d<a）的 针，试求此针与任一平行直线相交的概率。
8、产品验收问题
要验收一批乐器共100件,从中随机地取3件来测试(设测试是相 互独立的),若3件中任意一件音色不纯,这批乐器就拒绝接收.设 一件音色不纯乐器经测试查出的概率为0.95,而一件音色纯的乐 器经测试被误认为不纯的概率为0.01.若100件中有4件音色不纯, 求这批乐器被拒绝接收的概率. 分析：该问题是产品的验收问题，即使一批产品没有达到产品 的要求，在一定的验收标准下，它一定的很大可能性通过验收， 通过该问题有助于我们日常生活中的产品质量问题。
2532 1218 328 489 1808 859
的值
3.1596 3.1554 3.137 3.1595 3.14159 3.1795
蒙特卡洛（Monte-Carlo)方法思
4、密码破译问题
三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5， 1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
27、灯泡寿命检验问题
11、保险问题
28、不同方法的一致性检验
12、赛制的选择问题
29、机床精度比较
13、比赛获胜概率问题
30、事故的发生是否与时间有关问题
14、维修人员配备问题
31、农作物的施肥效果分析ຫໍສະໝຸດ Baidu
1、电话试号问题
某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号。求他 拨号不超过三次而接通所需电话的概率。
为使针与直线相交，必须有： x
d 2
sin
a 2
x
d sin 2
G
以G 表示边长为a 2 及的长方形，满足这个关 系式的区域记为g ,由几何概率，所求的概率为： 0
g
p
g的面积 G的面积
1 2
d sind
0
1 a
2d
a
2
x
G
a
2
d sin 2
应用：由于最后的答案与有关，因此有不少人想0 利用g它来计 算的数值，再以频率 nN作为概率p的近似值，得到：
则：设计车门高度为184厘米时，可使男子与车 门碰头机会不超过0.01
10、故障概率问题
某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故 障的概率为0.02,求:一天内没有出租车出现故障的概率.
解: 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因 为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车 是否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现 故障的出租车数,则: X ∼ B(400, 0.02).
分析：该问题的求解需要把问题简化，由于直线平行且距离相 等，故所求问题只需考虑和一条直线相交的概率，需要找出针 所有可能情形，这涉及到怎样用变量把针固定的问题。
解：以x表示针的中点到最近
一条直线的距离，表示针与平 行线的交角。针与直线的位置 关系如图所示。
x a
显然有 0 x a 2 , 0
概率论与数理统计
应用实例与模型
一、建模的一般步骤 二、理论应用与数学模型举例
一、建模的一般步骤：
模型准备
模型假设
模型检验
模型分析
模型构成 模型求解
模型应用
二、理论应用与数学模型举例
概率论基础
数字特征与中心极限定理
1、电话试号问题 2、生日问题 3、蒲丰投针问题
15、开门问题 16、戴帽子问题 17、公平赌博问题 18、白细胞估计问题 19、戏院设座问题 20、电力的供给问题
因此采用5局3胜制对甲更有利
13、比赛获胜概率问题
甲乙进行某项比赛，已知甲的一分的概率为p,乙的一分的概率为 q(p+q=1),比赛规定：谁先得n分谁获胜，但是如果出现n-1分平的 话，则谁比对方多的两分谁胜利，则甲获胜的概率有多大。
4、密码破译问题 5、报警系统有效性问题 6、患癌症概率问题
21、福利彩票问题 22、化验血清 23、报童的最大收入问题
7、品来源问题 8、产品验收问题
24、轧钢的最低损失问题 25、书店广告的最优效益问题
随机变量及其分布
估计与检验
9、公共汽车车门高度设计 26、湖中鱼的数量估计问题
10、故障概率问题
分析：保险公司每年从这2500人收取2500*120=300000保费，只有 超过30/2=15人死亡保险公司才赔本，只要不多于10人死亡保险公 司至少赚10万，而这2500人死亡人数服从二项分布；保险共以不 小于0.99个概率转10万元，则报险公司的投保的死亡人数不超过k 个人的概率为0.99，而收取的保费减去k人保险支出后的余额多余 10万，或者收取的保费至少是10+2k万元
n 2d
N a
实验者 年份
Wolf
1850
Smith
1855
De Morgan 1860
Fox
1884
Lazzerini 1901
Reina
1925
2dN na
针长 投掷次数 相交次数
0.8 5000 0.6 3204 1.0 600 0.75 1030 0.83 3408 0.542 2520
解： 设Ai=“某人第i 次接通电话” (i =1,2,3)， A=“某人拨号不超过三次而接通电话”，则
P(A) 0.3
2、生日问题
假设每人在一年365天中任何一天出生是等可能的,即都等于1/365, 那么,随机地选取n(n365)个人,计算至少两个人生日相同的概率。
分析：该问题可以看作向365个不同盒子中放不同的求的问题。
0.999993662
k 0
2
C2k5000.0001k0.99992500k 0.9974 0.99
k 0
则2500人死亡不超过两人，且交的保费不少于14万，即每人至少 交保费140000/2500=56元时保险公司以0.99的概率至少赚10万。
12、赛制的选择问题
甲乙两队进行某种比赛，以致每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概 率是0.4，可采用3局2胜制或5局3胜制，问采用哪种比赛制对甲 更有利。 分析：现实中比赛或赌博的结果与技术和规则的都有关系。这一 问题实际上比较哪种比赛制甲获胜的概率最大，只需计算出两种 比赛甲获胜的概率比较一下，甲获胜概率高的即对甲更有利。
6、患癌症概率问题
已知某人在癌症诊断检查中被查出试验反应为阳性，请问有必要 因检查结果的阳性而怀疑自己患上癌症吗？已知癌症病人阳性的 概率为没0.95，非癌症自然人阳性的概率为0.05,癌症病人的发 病率为0.005。 分析：这事现实生活中经常遇到的问题，我们只需求出试验 为阳性换癌症的条件概率即可，这个问题时贝叶斯问题。
解：设X为这2500人中死亡人数，则X的分布为B~(2500,0.0001)
（1）保险公司亏本的概率为
2500
P C2k5000.0001k0.99992500k 0.000001 k 16
（2）保险公司一年获利多于10万的概率是
(3)由于
10
P
Ck 2500
0.0001k
0.99992500k
P(A)= P(A|B1)P(B1)+P(A | B2 )P(B2)+ P(A | B3 )P(B3) =0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.0125
(2)由贝叶斯公式
P(B1 |A)=
P(A B1)P(B1) 0.02 0.15 0.24
P(A)
0.0125
同理 P(B2|A)=0.64 , P(B3|A)=0.12 .
解: 设车门高度为h cm,按设计要求
P(X≥ h)≤0.01 或 P(X< h)≥ 0.99，
因为X～N(170,62),
X 170 ~ N (0,1)
故 P(X< h)= ( h 170) 6 0.99
6
查表得 (2.33)=0.9901>0.99
所以 h 170 =2.33, 6
即 h=170+13.98 184
解:设Ai为“取出的3件有i件音色不纯”,i=0,1,2,3
P( A0 )
C
3 96
C3 100
,
P( A1)
C
926C
1 4
C3 100
,
P( A2 )
C916C
2 4
C3 100
,
P( A3 )
C
3 4
C3 100
设B “乐器被拒绝接收”,
P(B) P(B | A0 )P(A0 ) P(B | A1)P(A1) P(B | A2 )P(A2 ) P(B | A3)P(A3)
令=np=400×0.02=8 于是: P{一天内没有出租车出现故障} =P{X=0}=b(0;400,0.02) ≈(80/0!)e-8 =0.0003355
11、保险问题
有2500个同一年龄阶段统一社会阶层的人参加某保险公司的人寿 保险，根据以往统计资料，在1年里每个人死亡的概率是0.0001， 每个参加保险的人1年付给保险公司120元保费，而在死亡时家属 从保险公司领取2万元，求下列事件：保险公司亏本；保险公司一 年获利不少于10万元；2500个参保对象保险公司收多少保费才能 使公司以不小于0.99的概率每年获利不少于10万元。
解：设 A=“取到的一只是次品”
Bi=“取到的是第i厂的产品” ，i=1,2,3. B1,B2,B3是样本空间的一个完备事件组，
P(B1)=0.15 , P(B2)=0.80,
P(B3)=0.05,
P(A|B1)=0.02, P(A | B2)=0.01, P(A | B3)=0.03
(1)由全概率公式
1 4 2 3 3 0.6 534 5
5、报警系统有效性问题
为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种 系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和 0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85， 求两个报警系统至少有一个有效的概率。