3.2.1直线的点斜式方程(优秀经典公开课教案及练习答案详解)

3．2．1直线的点斜式方程
学科： 数学 年级： 高一 班级
【学习目标】
1.了解直线方程的点斜式的推导过程．
2.直线方程的点斜式会应用．
3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念． 【学习重难点】
重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程上．实质上它也是整个直线方程理论的基础。

难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．
【预习指导】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点斜式y －y 1＝k(x －x 1)只适用于不平行于x 轴且不垂直于x 轴的任何直线．( )
(2)斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直于x 轴的任何直线．( ) (3)y －y 1x －x 1
＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线的方程．( )
(4)直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于一点B(0，b)，其中截距b ＝|OB|.( ) 2．直线y －4＝－3(x ＋3)的倾斜角和所过的定点分别是( ) A ．60°，(－3，4) B ．120°，(－3，4) C ．150°，(3，－4) D ．120°，(3，－4)
3．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程式是( ) A ．y ＋3＝4(x －2) B ．y －3＝4(x －2) C ．y －3＝4(x ＋2) D ．y ＋3＝4(x ＋2)
4．斜率是3
2
，在y 轴上的截距是－2的直线的斜截式方程为________．
【合作探究】 (1)点斜式
已知直线l 的斜率是k ，并且经过点P 1(x 1，y 1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l 的方程(图1-24)？
设点P(x ，y)是直线l 上不同于P 1(x 1，y 1)的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
1
1
x x y y k --=
(1) 即y-y 1=k(x-x 1) (2)
注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．
重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．(实质上是证明了直线的方程与方程的直线的关系)
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．
注：当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．
当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．
(2)斜截式
已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．
这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：
y-b=k(x-0)
也就是y=kx+b
上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．
当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．
注：斜截式方程因为形式是直线方程中最简的，故在后续的课程中有十分重要的运用，但上述两种直线方程的形式都要求有斜率，故运用它们时往往要先对斜率的存在与否进行讨论，而这正是最容易错的地方。

【巩固练习】教材P95练习1、2、3、4题
【当堂检测】
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(2，0)的一切直线
B．通过点(2，0)且不垂直于x轴的一切直线
C．通过点(－2，0)的一切直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的一切直线
2．过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程为( )
A．y＋2＝3(x－3) B．y－2＝
3
3
(x＋3)
C．y－2＝3(x＋3) D．y＋2＝
3
3
(x＋3)
3．斜率为－1，且在y轴上的截距为1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
图3­2­ 1
4．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图3­2­1所示，则有( )
A．k1<k2且b1<b2 B．k1<k2且b1>b2
C．k1>k2且b1>b2 D．k1>k2且b1<b2
5．经过点(0，2)，且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线l的方程为________．
6．直线l的斜率为1
4
，且和两坐标轴围成面积为2的三角形，则直线l的方
程为________．【拓展延伸】
直线l过定点A(－2，3)，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l 的方程
【课堂小结】
（1）本节课我们学过那些知识点；
（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？
（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？
【课外作业】习题3.2第1（1）（2）（3）题
【教学反思】。