2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题及答案(A卷)

高数B

武汉大学数学与统计学院

2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题

一、（42分）试解下列各题：

1、计算30arctan lim

1

x x x x

e →--. 2、求解微分方程096=+'-''y y y 的通解。 3

、计算-+⎰

121

(1)d x x x .

4、计算

+∞⎰

d x

e x .

5、求曲线⎧=

⎪

⎨

⎪=⎩

⎰⎰

11

cos d sin d t t u

x u u u y u u

自1=t 至2π

=t 一段弧的长度。

6、设2

132

y x x =

++，求()

n y . 二、（8分）已知xy

u e =，其中()y f x =由方程22

d cos d y x t

e t t t =

⎰

⎰

确定，求d d u x

.

三、（8分）设11x =,+11(1,2,)1n

n n

x x n x =+

=+L ，试证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞

.

四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。并说明此结论的几

何意义。

五、（15分）已知函数32

4x y x

+=，求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

六、（12分）已知函数()y y x =满足微分方程2(1)y y x '''-=-，且x 轴为曲线()y y x =的一条切线，在曲线()y y x =（0x ≥）上某B 点处作一切线，使之与曲线、x 轴所围平面图形的面积为

1

12

，试求：（1）曲线()y y x =的方程；（2）切点B 的坐标；（3）由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积。

七、（7分）若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0==f a f b 及()()0''>f a f b ，则()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0ξ=f .

高数B

2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案

一、 （42分）试解下列各题：

1、解：3

2320001

1arctan arctan 11lim

lim lim 33

1

x x x x x x x x

x x x e →→→-

--+===- 2、解：方程的特征方程为：2

690r r -+=，其特征根为321==r r ， 故方程的通解为：x

e x c c y 321)(+= 3、解：原式=1

202x dx ⎰ =

2

3

4、解：00022()x t

x t t e dx te dt td e +∞

+∞+∞

=---==-⎰⎰⎰0

2[]22t t te e dt +∞

-+∞

-=-+=⎰ 5

、解：s =

/1π=⎰/2

1

1ln 2

dt t ππ

==⎰

6、解：11

12

y x x =

-

++ ()(1)(1)(1)![(1)(2)]n n n n y n x x -+-+=-+-+ 二、（8分）解：

=()xy du dy

e y x dx dx

+ ，方程两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222cos y dy x x e dx -=

故有2

22=(2cos )xy y du e y x x e dx

-+

三、（8分）解：0n x >, 211

02

x x -=

>，因此21x x > 设1n n x x ->，则1111(1)11n n n n n n x x x x x x -+--=+

-+++1

10(1)(1)

n n n n x x x x ---=>++ n x ∴单调增加，且111

112211n n n n x x x x ---=+

=-<++,故lim n n x →∞存在

设lim n n x a →∞

=，则: 11a a a

=+

+ 解得

a =因为a 非负，

∴lim n n x →∞=四、（8分）证：设函数()f x 在区间(,)a b 内()0f x '>，12,(,)x x a b ∀∈，且12x x <，函数()f x 在12[,]x x 上可

导，由拉格朗日中值定理得:

212112()()()(),(,)f x f x f x x x x ξξ'-=-∈，由于2121()0,0()()f x x f x f x ξ'>->⇒>

由12,x x 的任意性，()f x 在(,)a b 上单调增加。当()f x 在(,)a b 上导数为正时，函数曲线()y f x =在(,)a b 上切

线的斜率为正，即切线与x 轴正向夹角为锐角。 五、（15分）解：定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 3

8

1y x '=-

令0y '=⇒驻点2x = ，不可导点0x =

4

24

''0y x =

> 1） 故单调增加区间为：(,0),(2,)-∞+∞ ，单调减少区间为：(0,2) 极小值为：(2)3f =，无极大值。

2）下凸区间为：(,0),(0,)-∞+∞ ，无拐点，由32

04

lim

x x x →+=∞，故0x =为函数图形的铅直渐近线。 又33()4lim

lim 1x x f x x x x →∞→∞+== 324

lim[()]lim[]0x x x f x x x x

→∞→∞+-=-=

故y x =为函数图形的斜渐近线。

六、（12分）解：（1）由观察法知曲线方程为：2y x =