求圆锥曲线的离心率的常用方法

求圆锥曲线的离心率的常用方法

一、根据条件先求出a ，c ，利用e=c

a

求解

例1 若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为( ) A.34 B.23 C.12 D.14

解析：由F 1、F 2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,

所以离心率e=c a =1

2

.故选C.

例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A.

32 B. 62 C. 3

2

D2 解析：由题设a =2，2c =6，则c =3，e =c a =3

2,因此选C

二、构建关于a ，c 的齐次等式求解

例3 设双曲线x 2

a 2﹣y

2

b 2＝1(0

c ，直线L 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点

到直线的距离为

3

4

c ，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.23

3

解析：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0. 由点到直线的距离公式，得

ab a 2

+b

2

＝34

c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2

, 两边平方，得16a 2

(c 2

﹣a 2

)=3c 4

.两边同除以a 4

，并整理，得 3e 4

-16e 2

+16=0.

解得 e 2

＝4或e 2

＝43.又0

a 2＝a 2

+b 2

a 2=1+

b 2

a

2>2，∴e 2

＝4，∴e ＝2.故选A.

例4 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）

（A ） 3 （B ）

62 （C ）63 （D ）33

解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则 |MF 1|=|MF 2|=c 2

+b 2

.又|F 1F 2|＝2c ，

在△F 1MF 2中， 由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2

+|MF 2|2

﹣|F 1F 2|

2

2|MF 1|·|MF 2|

,

图2

即

(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 2

2c 2

+b 2

·c 2

+b

2

)＝cos120°＝﹣12，∴b 2﹣c 2

b 2＋

c 2＝﹣1

2

，

∵b 2

＝c 2

﹣a 2，∴﹣a 2

2c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2

＝32，∴e ＝62

.故选B.

例5 双曲线x 2

a 2﹣y

2

b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )

A.2

B. 3

C. 2

D.3

2

解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，∴a=b ，∴c=2a ，∴e ＝c

a ＝ 2.故选C.

三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e 的取值范围

例6 设θ∈(0，p 4)，则二次曲线x 2cot θ﹣y 2

tan θ=1的离心率的取值范围为( )

A.(0，12)

B.(12，2

2)

C.(

2

2

，2) D.(2，+∞) 解析：由x 2cot θ﹣y 2tan θ=1，θ∈(0，p 4

)，得a 2＝tan θ，b 2= cot θ,∴c 2＝a 2+b 2

＝tan

θ+ cot θ,

∴e 2

＝c 2

a 2＝tan θ+ cot θtan θ＝1+ cot 2θ,∵θ∈(0，p 4

)，∴cot 2θ>1,∴e 2

>2，∴e> 2.故

选D.

四、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围

例7 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜＝2｜CD ｜，点E 分有向线段AC →

所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤3

4时，求双曲线离心率e 的取值范围．

解析：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图3所示的直

角坐标系x Oy ，则CD ⊥y 轴.

因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记A(﹣c ，0)，C(c 2，h),E(x 0，y 0)，其中c =1

2｜AB ｜

为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．

由定比分点坐标公式得 x 0＝-c+λ·

c

21+λ＝(λ-2)c 2(1+λ)，y 0＝λh

1+λ．

设双曲线的方程为x 2

a 2﹣y 2

b 2＝1，则离心率e =c

a

.

由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得 c 2

4a 2﹣h

2

b 2＝1 ①，

将点E 的坐标代入双曲线方程得c 2

4a 2(λ﹣21+λ)2－(λ1+λ)2h

2

b

2＝1 ②．

图3