和差倍问题

和差倍问题

【专题知识点概述】

和差倍问题：已知两个数的和、差、倍三个量中的两个，求这两个数分别是多少的问题。其规律如下：

和倍问题差倍问题和差问题

已知条件几个数的和与倍几个数的差与倍几个数的和与差公式适用范围已知两个数的和、差、倍数关系

公式①和÷（倍数+1）=

较小数

②较小数×倍数=较

大数

③和－较小数=较

大数

①差÷（倍数－1）=

较小数

②较小数×倍数=较

大数

③较小数＋差=较

大数

①（和－差）÷2=

较小数

②（和＋差）÷2=

较大数

掌握基本和倍、差倍、和差问题的基本问题，进而会处理多个量之间的和差倍问题。重点学习如何利用线段图表示数量关系。

学会分析较为隐藏的和差倍问题，进一步掌握画线段图的方法，学会利用不变量进行分析的方法。处理多个量的和差倍问题时，注意选取合适的单位“1”。同时要求学会用方程解决简单的应用题。

一、和倍问题

（1）和倍

例1、纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍。请问：男、女职工各多少人？（★）

分析：

方法一：女职工人数是男职工人数的3倍，选男职工人数为“1”，用一条小线段表示，那么女职工人数就用三条小线段表示，如图：

那么每一小段表示：()48031120÷+=（人）

即男职工人数为120人，那么女职工人数为：1203360⨯=人

方法二：可以用方程来做。设男职工人数是x 人，那么女职工人数是3x 人。根据题意列出方程：

3480x x +=

120x =

即男职工人数为120人，那么女职工人数为：1203360⨯=人

例2、一个长方形，周长是300厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。（★） 分析：

方法一：周长是300厘米，那么长与宽的和为3002150÷=厘米

长是宽的2倍，所以用一条小线段表示宽，那么长就用两条小线段表示，如图：

那么每一小段表示：()1502150÷+=厘米

即宽50厘米，那么长：502100⨯=厘米

方法二：设宽x 厘米，那么长2x 厘米，根据题意列出方程

()22300x x ⨯+=

50x =

即宽50厘米，那么长：502100⨯=厘米

例3、甲班和乙班一共有60人。如果从甲班调6个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的2倍。求甲、乙两班原来的人数。（★★）

分析：现在甲班人数是乙班人数的2倍，并且两班总人数为60人，那么乙班现在的人数为：()602120÷+=人。又乙班现在比原来多6人，那么乙班原来的人数为：20614-=人，则甲班原来的人数为：601446-=人

例4、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数是差的5倍，则减数是多少？（★★）

分析：被减数＝减数＋差，减数是差的5倍，设差为1份，那么减数为5份，被减数为6份，三者共有15612++=份，那么每一份为：2401220÷=，所以减数为：205100⨯=

例5、动物园有5座猴山，其中3座住着金丝猴，2座住着猕猴。这5座猴山上猴子的数量分别为：10、15、30、35、70。已知金丝猴的总数是猕猴的3倍，

问：哪两座山上住着猕猴？（★★★）

分析：5座猴山上的猴子总数为：1015303570160++++=

金丝猴的数量是猕猴的3倍，那么猕猴的数量为：()1603140÷+=

因为只有第一座和第三座猴山上的猴子数量之和为103040+=，所以第一座和第三座猴山上住着猕猴。

练习：

1、甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？（★）

2、甲水库有43亿立方米水，乙水库有37亿立方米水。问：需要从甲水库调多少亿立方米水道乙水库，才能使乙水库的水比甲水库多两倍？（★★）

3、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？（★★）

（2）和倍多

例6、甲、乙两堆货物共有160件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多40件。甲、乙两堆各有多少件货物？（★★）

分析：

方法一：选取乙堆的货物数量为“1”，用一条小线段表示，如图：

四条小线段总共为：16040120

-=件

每条小线段为：120430

÷=件

即乙堆货物有30件，那么甲堆货物有：16030130

-=件

方法二：设乙堆货物有x件，那么甲堆货物有340

x+件，可以列出方程：

()

++=

x x

340160

x=

30

即乙堆货物有30件，那么甲堆货物有：16030130

-=件

例7、两个自然数相除，商是4，余数是1。如果被除数、除数、商及余数的和是56，那么被除数等于多少？（★★★）

分析：被除数＝除数×商＋余数，根据题意知被除数比除数的4倍还多1，且被除数与除数的和为：564151

--=，画出线段图：

5条小线段共为：51150

-=

每条小线段表示：50510

÷=

即除数为10，那么被除数为：511041

-=

练习：

1、某交通协管员七月份开出78张罚单，这些罚单分为两种：一种是违章停车，另一种是闯红灯。违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多3张。违章停车的罚单有多少张？（★★）

2、果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两棵树各种了多少棵？（★★）

（3）和倍少

例8、书架上放着一些童话小说和科幻小说，一共有47本。童话小说的数量比科幻小说数量的4倍少3本，书架上放着多少本科幻小说？（★★）

分析：

方法一：选取科幻小说为“1”，用一条小线段表示科幻小说的数量，如图：实线部分表示科幻小说和童话小说的数量，虚线部分表示少的3本。

那么科幻小说的145+=倍，即图中实线、虚线表示的总数为：47350+=本 那么科幻小说的数量为：()501410÷+=本

童话小说的数量为：471037-=本

方法二：设科幻小说的数量为x 本，那么童话小说的数量为43x -本，列出方程： ()4347x x +-=

550x = 10x =

即科幻小说的数量为10本，那么童话小说的数量为：471037-=本